2.5 Hermite插值
Newton与Lagrange插值的不足,
y=f(x),其Newton与Lagrange插值多项式Pn(x) 与Nn(x)
满足插值条件:P
n
(xi)=Nn(xi)=f(xi) i=0,1,2,…n
Newton与Lagrange插值多项式与y= f(x)在插值节点上有相同的函数值----“过点”.
但在插值节点上y=f(x) 与 y=Pn(x) 一般不” 相切”,
f’(xi) Pn’(xi).——光滑性较差
Hermite插值:求与y=f(x)在插值节点x0,x1,…,xn上具有相同函数值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式.
Hermite插值
Problem2.6:已知函数y=f(x)在插值节点a x
0
<x
1
<…<x
n
b上的函数值f(xi)与导数值f’(xi),i=0,1,2,…n.求多项式H(x)
使 H(xi)=f(xi),H’(xi)=f’(xi) i=0,1,2,…n.
对于以上问题,可用两种方法求H(x).
方法一:待定系数法.
由2n+2个插值条件 可唯一确定一个次数不超过2n+1次的多项式.
1 H(x)是2n+1次多项式;
2 令H(x)=a
0
+a
1
x+…+a
2n+1
x
2n+1;
3 由2n+1个插值条件建立关于a0,a1,?a2n+1的线性方程组.解之得H(x).
方法二:基函数法.
Hermite插值
Problem,已知f(x
i
) f’(x
i
) i=0,1,…n.求H
2n+1
(x)
H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H
2n+1
’(x
i
)=f’(x
i
),i=0,1,2,…n.
基函数法
1 2n+2个已知量f(x
i
),f’(x
i
) i=0,1,2,…n.
2 构造2n+2个基函数
i
(x),
i
(x) i=0,1,2,…n.
3 使H
2n+1
(x)为2n+2个基函数的线性组合
H
2n+1
=
0
(x)f(x
0
)+
1
(x)f(x
1
)+…+
n
(x)f(x
n
)
+
0
(x)f’(x
0
)+
1
(x)f’(x
1
)+…+
n
(x)f’(x
n
).
如何求这些基函数呢?
Hermite插值基函数
≠
β=δ=
=
'
ij ij
i j
(x )
i j
0
1
≠
α=δ=
=
ij ij
i j
(x )
i j
0
1
21 0 0
'''
00
() ()() ()()
()() ()()
()()
()
() ()
nj j nnj
jj
j
j
j
j j
j
j
Hxfx x fx x
f xx f x f xx
fx
fx
x
xαα
β β
α
β
+
= +++
++?
=
+
+
()0
ij
xβ =
如果
'
21 0 0
'' ''
00
' '
'
'
() ()() ()
()()
(
(()( )
()() ()
)
()
)
j
jjnj j nnjj
njj j n
j
j
Hxfxx fxx
fx fx
fx x
xxx
fx
fβ β
α
β
+
= +++
+ +++
=
+
+
''
α=
'
ij
(x ) 0
Hermite插值基函数
ij ij
'
ij
i j
(x )
i j
()
(x )
≠
α=δ=
=
Ι
α=
0
1
0
()
i
xα
degree=2n+1,有根x
0
,…,x
i-1
,x
i+1
,…,x
n
且都是2重根
11
2
(() ( ) )
i i
xxablxα?=+
因
'
()1,() 0
ii
xxαα==
∏
≠
=
ij
ji
j
i
xx
xx
xl
)(
)(
)(
+=
++× =
i
'
ii i iiii
ax b
al(x) (a x b ) l(x)l(x)
11
2
1
1
20
+=
+=
i
'
ii
ax b
al(x)
11
1
1
20
=
≠
=
α
∑
n
i
k
ik
i
ki
i
(x) [ l(x)(x x ) ]
xx
0
2
1
12
因
'
()1
i i
xβ =
ij
'
ij ij
(x )
()
ij
(x )
i j
β=
ΙΙ
≠?
β=δ=
=
0
0
1
()
i
xβ
degree=2n+1,
有根x
0
,…,x
i
,…,x
n
且除了x
i
都是2重根
2
() )()(
i i i
xxxlxcβ?=?
1c? =
Hermite插值基函数
2
() ( ) ()
i i i
xxxlxβ?=?
所求的Hermite插值多项式为
nn
niiiii
ik
ik
ki
H (x) {f(x )[ (x x ) ]l (x) f '(x )(x x )l (x)}
xx
22
21
00
1
12
+
==
≠
= +?
∑∑
Hermite插值多项式是唯一的 H2n+1(x)与 G2n+1 (x)
都是所求的Hermite插值多项式 F(x)= H2n+1(x)- G2n+1 (x)有
n+ 个二重根x
0
,x
1
,…,x
n
deg(F(x)) 2n+1,F(x)= 0.)
,lagrange插值 项
n
wx
(n+1)
nn
f()
R (x)=f(x)-P (x)=
(+1)!
()
ξ
其 W(x)=(x-x
0
)(x-x
1
)..(x-x
n
)
x
0
,x
1
,…,x
n
为Rn(x)的根,Rn(x)有n+1阶 点.,
是Hermite插值 项R2n+1(x)的二重根,R2n+1(x)有2n+2
阶 点,
得
n
n
Rx
n
wwx
f
K xx
(
2+
22
+
1
22)
(
=
)
=()
(2 +2)!
() () ()
ξ
Hermite插值 项R
2n+1
(x)=f(x)-H
2n+1
(x)=?
定 2.5 [a,b] 有 节点
0,
x
1,
...x
n,
f(x)在[a,b]
在 2n+2阶导数,满足插值条件
H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H?
2n+1
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1,?n
的Hermite插值多项式H2n+1(x)的 项
wx
n
(2n+2)
2
2n+1 2n+1
f()
R (x)=f(x)-H (x)= ( )
(2 + 2)!
ξ
其,[a,b]且与x的 有关,W(x)=(x-x
0
)(x-x
1
)..(x-x
n
)
定 2.5的?
由插值条件,H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H?
2n+1
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1,?n
R
2n+1
(x
i
)= H
2n+1
(x
i
) -f(x
i
)=0 R?
2n+1
(x
i
)= H?
2n+1
(x
i
) -f?(x
i
)=0
令R2n+1(x)=K(x)W
2
(x),构造￠￡函数?￥用Rolle定
1 在插值节点x
0
~x
n
§,R2n+1(xi)=0,项currency1式 '立.
2 对于[a,b] 于插值节点x
0
~x
n
的x,“?￠￡函数
nn
Ft ft H t w t R t w tKx Kx
22
2+1 2+1
()= ()- ()- ()= ( () )-) (( )
F(x
0
)= F(x
1
)= F(x
2
)=?= F(x
n
)= F(x)=0
由Rolle定,在
0
(x
0
,x
1
),使F’(
0
)=0
,?有n+ 个 点
0
,
,…,
n
使F?(t)=0
2
()
=2 () '()
dw t
wtw t
dt
F?(x
0
)= F?(x
1
)= F?(x
2
)=?= F?(x
n
) =0
F?(t)有2n+2个 根
0
,
,…,
n
x
0
,x
1
,?,x
n
由Rolle定,
在 (a,b).使
nn
KxFf
(2 +2) (2 +2)
()= ()- (2+ 0.() 2)!=ξξ
,?n=1fi 满足插值条件
H
3
(xi)=f(xi) H?
3
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1
的插值currency1式:
xx xx
x
xx xx
20 1
0
10 01
- -
()=(1+2 )( ),
--
α
xxxx
x
xxxx
201
1
01 10
--
()=(1+2 )( ),
--
α
xx
xxx
xx
21
00
01
-
()=( - )( ),
-
β
xx
xxx
xx
20
11
10
-
()=( - )( ),
-
β
Hx fx x fx x fx x fx x
3001 0 1
()= ( ) ()+ ( ) ()+ '( ) ()+ '( ) ().αα β β
f
Rx f xHx xxxxx x
(4)
22
33 0101
()
()= ()= ()= ( - )( - ),< <,
4!
ξ
ξ
fl题2.5 –数–·构造插值多项式
911
3
Y
’
00
YX
解:
Hx x x x xiii
30101
()=0 ()+1 ()+3 ()+9 ()ααββ
xx x x
xx
222
-1 -0 -1 -1
=(1+2 )( )+3(-0)( )+9(-1)( )
0-1 0-1 0-1 0-1
xxxxx xx
32 2 2
=-2 +3 +3 ( -2 +1)+9 ( -1)
xxx
32
=10 -12 +3
f
Rx x x,
(4)
22
3
()
()= ( -0)( -1)
4!
ξ
x0< <1,ξ depending ond n a
fl 用Hermite插值求满足条件的 次多项式H4(x)与 项解 基函数法
1
()xα
''
012 0211401
() () (() )()()() () () () ()xxxxfx fx f xfxxH xxfααα β β=++++
其
''
4444
(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1.HHHH=====
,?x
0
=0,x
1
=1,x
2
=2的插值问题
41 21
() () 2 () ()xx xxH ααβ=+ +
22 2
''
22
(0) (1) 0 (2) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
111
''
11
(0) (1) (2) 0
(0) 0,(1) 1
βββ
ββ
===
==
2
1
() ( )( )( )02xaxbx xα =+
'
11
(1) 1,(1) 0αα==
,? a=1,b=-2
11 1
''
11
(0) (2) 0 (1) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
2
1
2
() ( 2)xxxα =?
22
44 012
() () () ()( )( )( ),Rx fx Hx Kxxx xx xx=? =
(5)
()
(),0 2
5!
x
x
f
Kx
ξ
ξ=<<
1
()xβ
''
44444
(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1.HHHHH=====
22 2
''
22
(0) (1) 0 (2) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
111
''
11
(0) (1) (2) 0
(0) 0,(1) 1
βββ
ββ
===
==
2
()xα
2
2
2
() ( )( )01xcx xα =
1
21
4
cα =? =
2
由
22
2
1
() ( )
4
1xxxα? =?
2
1
() ( )( )(012)xdx x xβ =
'
1
11dβ =? =?由 1
1
2
() ( ) 21xxxxβ =
432
4
139
()
424
Hx x x x∴=?+
方法二 基于性,?x
0
=0,x
1
=1 的”?Hermite插值问题
'' 32
3333 3
() 0,() 1,() 0,() 1 () 2010 HHHHH xxx====?=?+
2
34
2
)( 1)0xHx x xH =A令 +(
2
1
() 1
4
4
H A=? =又
!求Hermite多项式的基…‰
"根–多项式的?次数 根的个数`′·?式
#根–?ˉ?用的条件解′·?式 的待定系数
$˙¨?`′H(x)
%`′相￥于条件的 的组合?式
ii
xxαβ
&对 一个?′?可ˇ多的条件—′的根
ii
xxαβ
HW,
p.51 #19 21
2.8 线 合的˙ 二 法在 与,—′一组 数–
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……(x
N
,y
N
)
确定 量 x与 y的函数关系y=f(x)
方法一,构造插值多项式P
n
(x) 使P
n
(x)=y
i
i=0~N
过点
方法二,线 合
Problem 已知 N个 数–(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……(x
N
,y
N
)
求一个多项式 P(x)ˇ˙? a 这些点的?
不过点
线 合
数–点(x
i
,y
i
) i=1~N'一条 线,
fi 合 线为一 线,o这些点 过.
o 有e
1
,e
2
,……e
N
之为 差
e
1
,e
2
,……e
N
˙ 'e=(e
1
,e
2
,……e
N
)
T
的? ˙
合 线为 =a+bx
∧
y
(x
i
)=a+bx
i
≠ y
i
∧
y
∧
y
e
i
=y
i
-(x
i
)
线 合
量的? ||x|| (x R
n
)? 如?
||x||
2
= (x
1
2
+x
2
2
+……+x
n
2
)
0.5
||x||
1
= |x
i
|
||x|| =max|x
i
|
2
22 2 2
12
2
1
(,) [ ( )] min
N
Ni i
i
Qab e e e e y a bx
=
==++?+=?+ =
∑
使Q(a,b)=min的a,b构'的 线y=a+bx 为Problem的
˙ 二 合 线
Problem 已知N组数–(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……,(x
N
,y
N
)
求一条 线 y=a+bx 求a b 使由知 求Q(a,b)的? 值点,可解
0
0
Q
a
Q
b
=
=
求 合 线关?是求 a,b,使Q(a,b)˙,
这可 之为˙ 二 合
2
22 2 2
12
2
1
(,) [ ( )]
N
Ni i
i
Qab e e e e y a bx
=
==++?+=?+
∑
*为 方程组 解*可得a,b 为所求
^
y=a+bx
方程组的解 在且唯一,且是˙ 二 合问题的解
11
2
111
*
NN
ii
ii
NNN
iii
iii
Na b x y
axbx xy
==
===
+=
=>
+=
∑∑
∑∑∑
fl 有数–·
187 126 172 125 148
165 123 150 123 141
1 2 3 4 5
y
i
x
i
i
求其一次 合 线解,因(x
1
,y
1
),…,(x
5
,y
5
) 于一 线 其˙ 二
合 线为y=a+bx 其 方程组为
5 702 758
702 9984 108396
ab
ab
+=
+=
-60.939227 1.513812∴= =
所求的˙ 二 合 线为y=-60.939227+1.513812x
多项式 合
N个点(x
i
,y
i
) o草图上 判断 于一条m 次 线
Problem 已知(x
1
,y
1
),……(x
N
,y
N
) 求作m 次多项式(m<<N)
使其˙? a 这N个点的?
解 令y=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+……+a
m
x
m
(a
m
0)
e
i
=y
i
-y(x
i
)
2
min
=
"
1
2
2
N
e
e
e=
e
实现˙?a … '
使Q=Q(a
0
,a
1
,……a
m
)= [y
i
-(a
0
+a
1
x
i
+…a
m
x
i
m
)]
2
˙
求 合多项式'求Q的? 值点(a
0
,a
1
,……a
m
)
∴
i
Q
= 0 i= 0 ~ m
a
o 方程组为
01
1
2
01
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1 1
1
1
1
1
N
i
i
N
i
N
m
i
i
N
m
i
N
mi
i
NN
im i
ii
NN
mm
mi ii
i
N
m
i
i
m
i
i
i i
N
i
aN a a y
aaxa x
x
x
x
x y
ax
x
aaxx
=
+
=
=
==
==
=
= =
=
+
++…+
++…+ =
++…+=
∑
∑
∑
∑ ∑
∑∑
∑
∑
∑ ∑
"
令S
l
x
i
l
(l=0,1,…,2m),f
l
= x
i
l
y
i
(l=0,1,…,m) 有
…
…
"
…
00 11 mm 0
10 21 m+1m 1
m0 m+11 2mm m
S a +S a + +S a =f
S a +S a + +S a =f
S a +S a + +S a =f
1,对
2,次对角线元素相等两个问题,
1,方程组是否有解
2,有解 (a
0
,a
1
,…a
m
)
T
,该解是否使Q(a
0
,a
1
,…a
m
)˙?
定,方程组的解 在且唯一,
且其解就是使 Q(a
0
,a
1
,…a
m
)? ˙ 的点一般的˙ 二 合
Problem,已知 量 x 与y 的N 个 值
(x
1
,y
1
),(x
2,
y
2
),
……
,(x
N
,y
N
)
由x与y 的物 意义或N 个点的草图判断 合函数P(x)
( 为函数 ) 且
0
(x),
1
(x),
…
,
n
(x)为 的一组基函数
合函数y=p(x)=a
0 0
(x)+a
1 1
(x)+…+a
n n
(x) 其其 差 差
Q(a
0
,a
1
,…a
m
)= [p(x
i
)-y
i
]
2
= [a
0 0
(x
i
)+a
1 1
(x
i
)+…+a
n n
(x
i
)-y
i
]
2
求a
0
,a
1
,…a
n
使Q(a
0
,a
1
,…a
n
)= min
…
01 n
QQ Q
=0,=0,,=0
aa a
=>
令
11
22
()
()
,
()
Φ
Φ
=Φ=
Φ
k
k
k
NkN
y x
y x
y
yx
""
由 量的?得 方程组为
a=b
其
00 01 0
10 11 1
01
(,)(,) (,)
(,)(,) (,)
(,)(,) (,)
n
n
nn nn
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
Φ=
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
"
00
11
(,)
(,)
,
(,)
nn
ay
ab
ay
Φ
Φ
==
Φ
""
￥用
fl解矛盾方程解 令Q(x
1
,x
2
)=(x
1
-15.5)
2
+(x
2
-6.1)
2
+(x
1
+x
2
-20.9)
2
x
1
-15.5=0
x
2
-6.1=0
x
1
+x
2
-20.9=0
为使Q(x
1
,x
2
)=min
112
1
212
2
Q
=2(x -15.5)+2(x +x -20.9)=0
x
Q
=2(x -6.1)+2(x +x -20.9)=0
x
HW,
p.51 #26
12
=> x =15.266 x =5.867
结
…章? 了已知数–·构造 函数的两种方法:
1,插值方法(用基函数与待定系数法建立currency1式)
Lagrange插值currency1式:节点 不等距,用于数值,
方程求根的 currency1式的构造
Newton插值currency1式:用于增加节点与等距节点的插值
Hermite插值currency1式:提高逼 函数的光滑性
段插值(样条函数插值)
2,线 合
求,掌握插值currency1式的推导原
掌握currency1式的?式特征掌握 项currency1式的及其?方法
Newton与Lagrange插值的不足,
y=f(x),其Newton与Lagrange插值多项式Pn(x) 与Nn(x)
满足插值条件:P
n
(xi)=Nn(xi)=f(xi) i=0,1,2,…n
Newton与Lagrange插值多项式与y= f(x)在插值节点上有相同的函数值----“过点”.
但在插值节点上y=f(x) 与 y=Pn(x) 一般不” 相切”,
f’(xi) Pn’(xi).——光滑性较差
Hermite插值:求与y=f(x)在插值节点x0,x1,…,xn上具有相同函数值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式.
Hermite插值
Problem2.6:已知函数y=f(x)在插值节点a x
0
<x
1
<…<x
n
b上的函数值f(xi)与导数值f’(xi),i=0,1,2,…n.求多项式H(x)
使 H(xi)=f(xi),H’(xi)=f’(xi) i=0,1,2,…n.
对于以上问题,可用两种方法求H(x).
方法一:待定系数法.
由2n+2个插值条件 可唯一确定一个次数不超过2n+1次的多项式.
1 H(x)是2n+1次多项式;
2 令H(x)=a
0
+a
1
x+…+a
2n+1
x
2n+1;
3 由2n+1个插值条件建立关于a0,a1,?a2n+1的线性方程组.解之得H(x).
方法二:基函数法.
Hermite插值
Problem,已知f(x
i
) f’(x
i
) i=0,1,…n.求H
2n+1
(x)
H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H
2n+1
’(x
i
)=f’(x
i
),i=0,1,2,…n.
基函数法
1 2n+2个已知量f(x
i
),f’(x
i
) i=0,1,2,…n.
2 构造2n+2个基函数
i
(x),
i
(x) i=0,1,2,…n.
3 使H
2n+1
(x)为2n+2个基函数的线性组合
H
2n+1
=
0
(x)f(x
0
)+
1
(x)f(x
1
)+…+
n
(x)f(x
n
)
+
0
(x)f’(x
0
)+
1
(x)f’(x
1
)+…+
n
(x)f’(x
n
).
如何求这些基函数呢?
Hermite插值基函数
≠
β=δ=
=
'
ij ij
i j
(x )
i j
0
1
≠
α=δ=
=
ij ij
i j
(x )
i j
0
1
21 0 0
'''
00
() ()() ()()
()() ()()
()()
()
() ()
nj j nnj
jj
j
j
j
j j
j
j
Hxfx x fx x
f xx f x f xx
fx
fx
x
xαα
β β
α
β
+
= +++
++?
=
+
+
()0
ij
xβ =
如果
'
21 0 0
'' ''
00
' '
'
'
() ()() ()
()()
(
(()( )
()() ()
)
()
)
j
jjnj j nnjj
njj j n
j
j
Hxfxx fxx
fx fx
fx x
xxx
fx
fβ β
α
β
+
= +++
+ +++
=
+
+
''
α=
'
ij
(x ) 0
Hermite插值基函数
ij ij
'
ij
i j
(x )
i j
()
(x )
≠
α=δ=
=
Ι
α=
0
1
0
()
i
xα
degree=2n+1,有根x
0
,…,x
i-1
,x
i+1
,…,x
n
且都是2重根
11
2
(() ( ) )
i i
xxablxα?=+
因
'
()1,() 0
ii
xxαα==
∏
≠
=
ij
ji
j
i
xx
xx
xl
)(
)(
)(
+=
++× =
i
'
ii i iiii
ax b
al(x) (a x b ) l(x)l(x)
11
2
1
1
20
+=
+=
i
'
ii
ax b
al(x)
11
1
1
20
=
≠
=
α
∑
n
i
k
ik
i
ki
i
(x) [ l(x)(x x ) ]
xx
0
2
1
12
因
'
()1
i i
xβ =
ij
'
ij ij
(x )
()
ij
(x )
i j
β=
ΙΙ
≠?
β=δ=
=
0
0
1
()
i
xβ
degree=2n+1,
有根x
0
,…,x
i
,…,x
n
且除了x
i
都是2重根
2
() )()(
i i i
xxxlxcβ?=?
1c? =
Hermite插值基函数
2
() ( ) ()
i i i
xxxlxβ?=?
所求的Hermite插值多项式为
nn
niiiii
ik
ik
ki
H (x) {f(x )[ (x x ) ]l (x) f '(x )(x x )l (x)}
xx
22
21
00
1
12
+
==
≠
= +?
∑∑
Hermite插值多项式是唯一的 H2n+1(x)与 G2n+1 (x)
都是所求的Hermite插值多项式 F(x)= H2n+1(x)- G2n+1 (x)有
n+ 个二重根x
0
,x
1
,…,x
n
deg(F(x)) 2n+1,F(x)= 0.)
,lagrange插值 项
n
wx
(n+1)
nn
f()
R (x)=f(x)-P (x)=
(+1)!
()
ξ
其 W(x)=(x-x
0
)(x-x
1
)..(x-x
n
)
x
0
,x
1
,…,x
n
为Rn(x)的根,Rn(x)有n+1阶 点.,
是Hermite插值 项R2n+1(x)的二重根,R2n+1(x)有2n+2
阶 点,
得
n
n
Rx
n
wwx
f
K xx
(
2+
22
+
1
22)
(
=
)
=()
(2 +2)!
() () ()
ξ
Hermite插值 项R
2n+1
(x)=f(x)-H
2n+1
(x)=?
定 2.5 [a,b] 有 节点
0,
x
1,
...x
n,
f(x)在[a,b]
在 2n+2阶导数,满足插值条件
H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H?
2n+1
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1,?n
的Hermite插值多项式H2n+1(x)的 项
wx
n
(2n+2)
2
2n+1 2n+1
f()
R (x)=f(x)-H (x)= ( )
(2 + 2)!
ξ
其,[a,b]且与x的 有关,W(x)=(x-x
0
)(x-x
1
)..(x-x
n
)
定 2.5的?
由插值条件,H
2n+1
(x
i
)=f(x
i
),H?
2n+1
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1,?n
R
2n+1
(x
i
)= H
2n+1
(x
i
) -f(x
i
)=0 R?
2n+1
(x
i
)= H?
2n+1
(x
i
) -f?(x
i
)=0
令R2n+1(x)=K(x)W
2
(x),构造￠￡函数?￥用Rolle定
1 在插值节点x
0
~x
n
§,R2n+1(xi)=0,项currency1式 '立.
2 对于[a,b] 于插值节点x
0
~x
n
的x,“?￠￡函数
nn
Ft ft H t w t R t w tKx Kx
22
2+1 2+1
()= ()- ()- ()= ( () )-) (( )
F(x
0
)= F(x
1
)= F(x
2
)=?= F(x
n
)= F(x)=0
由Rolle定,在
0
(x
0
,x
1
),使F’(
0
)=0
,?有n+ 个 点
0
,
,…,
n
使F?(t)=0
2
()
=2 () '()
dw t
wtw t
dt
F?(x
0
)= F?(x
1
)= F?(x
2
)=?= F?(x
n
) =0
F?(t)有2n+2个 根
0
,
,…,
n
x
0
,x
1
,?,x
n
由Rolle定,
在 (a,b).使
nn
KxFf
(2 +2) (2 +2)
()= ()- (2+ 0.() 2)!=ξξ
,?n=1fi 满足插值条件
H
3
(xi)=f(xi) H?
3
(x
i
)=f?(x
i
) i=0,1
的插值currency1式:
xx xx
x
xx xx
20 1
0
10 01
- -
()=(1+2 )( ),
--
α
xxxx
x
xxxx
201
1
01 10
--
()=(1+2 )( ),
--
α
xx
xxx
xx
21
00
01
-
()=( - )( ),
-
β
xx
xxx
xx
20
11
10
-
()=( - )( ),
-
β
Hx fx x fx x fx x fx x
3001 0 1
()= ( ) ()+ ( ) ()+ '( ) ()+ '( ) ().αα β β
f
Rx f xHx xxxxx x
(4)
22
33 0101
()
()= ()= ()= ( - )( - ),< <,
4!
ξ
ξ
fl题2.5 –数–·构造插值多项式
911
3
Y
’
00
YX
解:
Hx x x x xiii
30101
()=0 ()+1 ()+3 ()+9 ()ααββ
xx x x
xx
222
-1 -0 -1 -1
=(1+2 )( )+3(-0)( )+9(-1)( )
0-1 0-1 0-1 0-1
xxxxx xx
32 2 2
=-2 +3 +3 ( -2 +1)+9 ( -1)
xxx
32
=10 -12 +3
f
Rx x x,
(4)
22
3
()
()= ( -0)( -1)
4!
ξ
x0< <1,ξ depending ond n a
fl 用Hermite插值求满足条件的 次多项式H4(x)与 项解 基函数法
1
()xα
''
012 0211401
() () (() )()()() () () () ()xxxxfx fx f xfxxH xxfααα β β=++++
其
''
4444
(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1.HHHH=====
,?x
0
=0,x
1
=1,x
2
=2的插值问题
41 21
() () 2 () ()xx xxH ααβ=+ +
22 2
''
22
(0) (1) 0 (2) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
111
''
11
(0) (1) (2) 0
(0) 0,(1) 1
βββ
ββ
===
==
2
1
() ( )( )( )02xaxbx xα =+
'
11
(1) 1,(1) 0αα==
,? a=1,b=-2
11 1
''
11
(0) (2) 0 (1) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
2
1
2
() ( 2)xxxα =?
22
44 012
() () () ()( )( )( ),Rx fx Hx Kxxx xx xx=? =
(5)
()
(),0 2
5!
x
x
f
Kx
ξ
ξ=<<
1
()xβ
''
44444
(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1.HHHHH=====
22 2
''
22
(0) (1) 0 (2) 1
(0) (1) 0
αα α
αα
==,=
==
111
''
11
(0) (1) (2) 0
(0) 0,(1) 1
βββ
ββ
===
==
2
()xα
2
2
2
() ( )( )01xcx xα =
1
21
4
cα =? =
2
由
22
2
1
() ( )
4
1xxxα? =?
2
1
() ( )( )(012)xdx x xβ =
'
1
11dβ =? =?由 1
1
2
() ( ) 21xxxxβ =
432
4
139
()
424
Hx x x x∴=?+
方法二 基于性,?x
0
=0,x
1
=1 的”?Hermite插值问题
'' 32
3333 3
() 0,() 1,() 0,() 1 () 2010 HHHHH xxx====?=?+
2
34
2
)( 1)0xHx x xH =A令 +(
2
1
() 1
4
4
H A=? =又
!求Hermite多项式的基…‰
"根–多项式的?次数 根的个数`′·?式
#根–?ˉ?用的条件解′·?式 的待定系数
$˙¨?`′H(x)
%`′相￥于条件的 的组合?式
ii
xxαβ
&对 一个?′?可ˇ多的条件—′的根
ii
xxαβ
HW,
p.51 #19 21
2.8 线 合的˙ 二 法在 与,—′一组 数–
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……(x
N
,y
N
)
确定 量 x与 y的函数关系y=f(x)
方法一,构造插值多项式P
n
(x) 使P
n
(x)=y
i
i=0~N
过点
方法二,线 合
Problem 已知 N个 数–(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……(x
N
,y
N
)
求一个多项式 P(x)ˇ˙? a 这些点的?
不过点
线 合
数–点(x
i
,y
i
) i=1~N'一条 线,
fi 合 线为一 线,o这些点 过.
o 有e
1
,e
2
,……e
N
之为 差
e
1
,e
2
,……e
N
˙ 'e=(e
1
,e
2
,……e
N
)
T
的? ˙
合 线为 =a+bx
∧
y
(x
i
)=a+bx
i
≠ y
i
∧
y
∧
y
e
i
=y
i
-(x
i
)
线 合
量的? ||x|| (x R
n
)? 如?
||x||
2
= (x
1
2
+x
2
2
+……+x
n
2
)
0.5
||x||
1
= |x
i
|
||x|| =max|x
i
|
2
22 2 2
12
2
1
(,) [ ( )] min
N
Ni i
i
Qab e e e e y a bx
=
==++?+=?+ =
∑
使Q(a,b)=min的a,b构'的 线y=a+bx 为Problem的
˙ 二 合 线
Problem 已知N组数–(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),……,(x
N
,y
N
)
求一条 线 y=a+bx 求a b 使由知 求Q(a,b)的? 值点,可解
0
0
Q
a
Q
b
=
=
求 合 线关?是求 a,b,使Q(a,b)˙,
这可 之为˙ 二 合
2
22 2 2
12
2
1
(,) [ ( )]
N
Ni i
i
Qab e e e e y a bx
=
==++?+=?+
∑
*为 方程组 解*可得a,b 为所求
^
y=a+bx
方程组的解 在且唯一,且是˙ 二 合问题的解
11
2
111
*
NN
ii
ii
NNN
iii
iii
Na b x y
axbx xy
==
===
+=
=>
+=
∑∑
∑∑∑
fl 有数–·
187 126 172 125 148
165 123 150 123 141
1 2 3 4 5
y
i
x
i
i
求其一次 合 线解,因(x
1
,y
1
),…,(x
5
,y
5
) 于一 线 其˙ 二
合 线为y=a+bx 其 方程组为
5 702 758
702 9984 108396
ab
ab
+=
+=
-60.939227 1.513812∴= =
所求的˙ 二 合 线为y=-60.939227+1.513812x
多项式 合
N个点(x
i
,y
i
) o草图上 判断 于一条m 次 线
Problem 已知(x
1
,y
1
),……(x
N
,y
N
) 求作m 次多项式(m<<N)
使其˙? a 这N个点的?
解 令y=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+……+a
m
x
m
(a
m
0)
e
i
=y
i
-y(x
i
)
2
min
=
"
1
2
2
N
e
e
e=
e
实现˙?a … '
使Q=Q(a
0
,a
1
,……a
m
)= [y
i
-(a
0
+a
1
x
i
+…a
m
x
i
m
)]
2
˙
求 合多项式'求Q的? 值点(a
0
,a
1
,……a
m
)
∴
i
Q
= 0 i= 0 ~ m
a
o 方程组为
01
1
2
01
1
1
1
1
1
1
1
2
0
1 1
1
1
1
1
N
i
i
N
i
N
m
i
i
N
m
i
N
mi
i
NN
im i
ii
NN
mm
mi ii
i
N
m
i
i
m
i
i
i i
N
i
aN a a y
aaxa x
x
x
x
x y
ax
x
aaxx
=
+
=
=
==
==
=
= =
=
+
++…+
++…+ =
++…+=
∑
∑
∑
∑ ∑
∑∑
∑
∑
∑ ∑
"
令S
l
x
i
l
(l=0,1,…,2m),f
l
= x
i
l
y
i
(l=0,1,…,m) 有
…
…
"
…
00 11 mm 0
10 21 m+1m 1
m0 m+11 2mm m
S a +S a + +S a =f
S a +S a + +S a =f
S a +S a + +S a =f
1,对
2,次对角线元素相等两个问题,
1,方程组是否有解
2,有解 (a
0
,a
1
,…a
m
)
T
,该解是否使Q(a
0
,a
1
,…a
m
)˙?
定,方程组的解 在且唯一,
且其解就是使 Q(a
0
,a
1
,…a
m
)? ˙ 的点一般的˙ 二 合
Problem,已知 量 x 与y 的N 个 值
(x
1
,y
1
),(x
2,
y
2
),
……
,(x
N
,y
N
)
由x与y 的物 意义或N 个点的草图判断 合函数P(x)
( 为函数 ) 且
0
(x),
1
(x),
…
,
n
(x)为 的一组基函数
合函数y=p(x)=a
0 0
(x)+a
1 1
(x)+…+a
n n
(x) 其其 差 差
Q(a
0
,a
1
,…a
m
)= [p(x
i
)-y
i
]
2
= [a
0 0
(x
i
)+a
1 1
(x
i
)+…+a
n n
(x
i
)-y
i
]
2
求a
0
,a
1
,…a
n
使Q(a
0
,a
1
,…a
n
)= min
…
01 n
QQ Q
=0,=0,,=0
aa a
=>
令
11
22
()
()
,
()
Φ
Φ
=Φ=
Φ
k
k
k
NkN
y x
y x
y
yx
""
由 量的?得 方程组为
a=b
其
00 01 0
10 11 1
01
(,)(,) (,)
(,)(,) (,)
(,)(,) (,)
n
n
nn nn
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
Φ=
ΦΦ ΦΦ … ΦΦ
"
00
11
(,)
(,)
,
(,)
nn
ay
ab
ay
Φ
Φ
==
Φ
""
￥用
fl解矛盾方程解 令Q(x
1
,x
2
)=(x
1
-15.5)
2
+(x
2
-6.1)
2
+(x
1
+x
2
-20.9)
2
x
1
-15.5=0
x
2
-6.1=0
x
1
+x
2
-20.9=0
为使Q(x
1
,x
2
)=min
112
1
212
2
Q
=2(x -15.5)+2(x +x -20.9)=0
x
Q
=2(x -6.1)+2(x +x -20.9)=0
x
HW,
p.51 #26
12
=> x =15.266 x =5.867
结
…章? 了已知数–·构造 函数的两种方法:
1,插值方法(用基函数与待定系数法建立currency1式)
Lagrange插值currency1式:节点 不等距,用于数值,
方程求根的 currency1式的构造
Newton插值currency1式:用于增加节点与等距节点的插值
Hermite插值currency1式:提高逼 函数的光滑性
段插值(样条函数插值)
2,线 合
求,掌握插值currency1式的推导原
掌握currency1式的?式特征掌握 项currency1式的及其?方法
