数值积分和数值微分
b
a
If(x)dx=
∫
由微积分学基本定理,当f(x)在[a,b]上连续时,存在原函数F(x)
由Newton-Leibnits公式
b
a
If(x)dxF(b)F(a)==?
∫
有时,用上面的方法计算定积分有困难,
1.不易求f(x)的原函数F(x)
2.f(x)的原函数表达式很复杂(计算量大)
3.f(x)用列表给出(观测所得数据表)
2
x
sinx 1
e.g.,,e
xlnx
+
∫
b
4
a
1
e.g,dx
1x
所以,讨论数值积分,即用数值方法计算定积分的近似值.
3.1 机械求积对于,若f(x)>0时,则I对应于曲边梯形的面积.
b
a
If(x)dx=
∫
当f(x)在[a,b]上连续,由积分中值定理.
∈ =?
∫
b
[a,b] f(x)dx (b a)f(
a
)
1,梯形公式
+
≈
+
≈? = +
∫
b
a
f(a) f(b)
f( )
2
f(a) f(b) (b a) (b a)
f(x)dx (b a)
2
f(a) )
22
f(b
取
2,中矩形公式
++
≈≈?
∫
b
a
ab
f( ) f( ) f(x)dx (b a
a
)f( )
2
b
2
取
I是以b-a为底,高为f( )的矩形的面积,f( )称为[a,b]上的平均高度.
3,Simpson公式
1ab
f( ) [f(a) 4f( ) f(b)]
62
+
≈+ +取
∴ ≈ + +
∫
b
a
ba 4 a+b
f(a) f( ) f(b)
2
(b a) b a
f(x)dx
66 6
b
a
(b a) a b
f(x)dx [f(a) 4f( ) f(b)]
62
+
≈++
∫
机械求积公式:
在[a,b]中有n+1个互异的节点x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
b
00 11 nn
a
f(x)dx A f(x ) A f(x ),.,A f(x ) (3.1)≈+++
∫
称上式为机械求积公式,其中x
0
~x
n
为求积节点,
A
i
(i=0,1,…,n)为求积系数(权).
注:1,求积系数A
k
仅与节点x
i
的选取有关,而不依赖于 积函数f(x)的 形式.
2,机械求积,求积分值 为求函数值,
Newton-Leibnits求原函数的困难.
3,机械求积是求定积分的近似方法.
求积公式(3.1)的,
=?∑
=
n
IAf(x)
ii
i
Rf)
0
(
n
数 度
n
b
ii
a
i0
f(x)dx Af(x)
=
≈
∑
∫
对于机械求积公式定 若上 公式对所有不 m 的 式P
m
(x),
即R
n
(P
m
)=0,而对 个m+1 式P
m+1
(x)近似,
即R
n
(P
m+1
) 0.则称机械求积公式 有m 数 度.
梯形公式 的 数 度为1.
b
a
(b a)
f(x)dx [f(a) f(b)]
2
≈+
∫
=?∑
=
n
IAf(x)
ii
i
Rf)
0
(
n
当f(x)=1,x,x
2
,…,x
m
时,求积公式,
而f(x)= x
m+1
时公式近似,
,?￠￡?￥.? §分￡
对currency1'm 式P
m
(x)=a
0
+a
1
x+ a
2
x
2
+…+ a
m
x
m
.(a
m
0)
由于求积公式 对于 f(x)=1,x,x
2
,…,x
m
时
n
b
ii
a
i0
f(x)dx Af(x)
=
≈
∑
∫
≠≠ ≠
∴= = =
∑∑ ∑
∫∫ ∫
nn n
bb b
mm
kkk k
aa a
k0 k0 k0
1dxA,xdxAx,.,xdxAx
=+++
∫∫∫∫
bbbb
m
m01 m
aaaa
P (x)dx a dx a xdx,.,a x dx
,数 度的方法求积公式对P
m
(x),
对m+1 式,公式近似 (R 0),由定?.
公式的 数 度是m
== =
=+ ++
∑∑ ∑
nn n
m
0k1kk mkk
k0 k0 k0
aAaAx.aAx
=
= + + +
∑
n
m
k0 1k mk
k0
A(a ax,.,ax )
=
=
∑
n
km k
k0
AP(x)
!求积公式的 数 度为m,
fifl 梯形公式的 数 度为1.
,梯形公式
b
a
ba
f(x)dx [f(a) f(b)]
2
≈+
∫
–f(x)=1
b
a
ba
1dx b a,[1 1] b a,
2
==?=+=?=
∫
公式对 f(x)=1,
–f(x)=x
22 22
b
a
ba ba ba
xdx,[a b],
22 2
==+==
∫
公式对 f(x)=x
–f(x)=x
2
33
b
a
ba ba
xdx,[a b]
32
== = +≠
∫
公式对 f(x)=x
2
不·
梯形公式 数 度为1.
fi Simpson公式的 数 度为3
b
a
ba ab
f(x)dx [f(a)4f( )f(b)]
62
+
≈++
∫
fi 有求积公式
1
012
1
f(x)dx A f( 1) A f(0) A f(1)
≈?+ +
∫
分?,￠ 定公式中3个?定?数A
0
,A
1
,A
2
–公式对1,x,x
2
,,
,–f(x)= 1,x,x
2
.公式,,则
012
02
02
AAA2
AA0
2
AA
3
++=
+ =
+ =
得A
0
=1/3,A
1
=4/3,A
2
=1/3
求积公式为
1
1
1
f(x)dx [f( 1) 4f(0) f(1)]
3
≈?+ +
∫
易fl,f(x)= x
3
时,求积公式?”
而f(x)= x
4
时
1
444
1
221
xdx [(1) 4 0 1]
533
≈≠=?+×+
∫
求积公式 有3 数 度,…是[-1,1]上的Simpson公式.
‰ 定系数 A
0
,A
1
,A
2
,?个公式 有 高的 数 度.
`,对于n+1给节点上的机械求积公式
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
若 其 数 度′?为n,则? 定A
k
,?ˉ出求积公式.
˙–上式对f(x)=1,x,x
2
,…,x
n
,,则
012 n
22
00 11 nn
n1 n1
nn n
00 11 nn
AAA.A ba
ba
Ax Ax,.,Ax
2
(3.4)
,..,..
ba
Ax Ax,.,Ax
n1
++
+ + + + =?
+++=
+++=
+
上面是关于A
0
,A
1
,A
2
,…,A
n
的¨￡方?,
其系数?列式为列式,其值ˇ—,
求得,
3.1.3 值 的求积公式
Problem?给定的?节点a x
0
<x
1
<x
2
<…<x
n
b
函数值 f(x
0
),f(x
1
),f(x
2
),…,f(x
n
)
ˉ:求积公式
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
,?ˉf(x)在n+1个 值节点上的Lagrange 值 式
==
≠
==
∑
Π
n n
j
nkkk
j0k0
k j
jk
xx
P (x) f(x )l (x) l (x)
xx
其中为Lagrange 值基函数
n
f(x) P (x)≈
n
bb
nkk
aa
k0
P (x)dx [ f(x )l (x)]dx
=
=
∑
∫∫
∵
(*)式为所求的求积公式.(称为 值 求积公式)
=
∫
b
kk
a
Al(x)dx
()
=
∴≈?
∫
∑
∫
n
b
k
a
k0
b
k
a
f(x)dx f(x ) l(x)dx ()
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx?≈
∫∫
n
b
kk
a
k0
f(x ) l (x)dx
=
=
∑
∫
求积系数
,值 求积公式(*)的 数 度是
1,currency1' 数 n的 式f(x),其n Lagrange 值 式
P
n
(x)= f(x)
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx∴=
∫∫
值 求积公式对f(x) 其′? 有n 数 度.
2.,′? 有n 数 度.
n
b
0k
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
求积公式对currency1' 数 n的 式
在x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
上的Lagrange 值基函数l
k
(x)为n 式.
n
b
kjkj
a
j0
l(x)dx Al(x)
=
∴=
∑
∫
而
kj kj
1 k=j
l(x)
0 k j
=δ
≠
b
kk
a
l (x)dx A∴=
∫
求积公式 是(*),为 值 的.
Th3.2 求积公式
n
b
0k
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
,?f(x)的函数表
x
i
互异,x
i
[a,b]
x x
0
x
1
x
n
y f(x
0
) f(x
1
)? f(x
n
)
b
kk
a
Al(x)dx=
∫
1,2 有:
ˉ其求积公式,有a 方法:
1,¨￡方?,求A
k
2,用 值 公式
′? 有n 数 度的§￠ 是 …是 值 的.
3.2 Newton-Cotes求积公式
面o的 值 求积公式,节点的求积公式.
对于[a,b]中的n+1个互异节点x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
ˉ 值 求积公式:
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
n 数 度.
在取x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
为[a,b]的n 分点.
即 则
=+ = = =?
kkk1
ba
x a kh (k 0,1,...,n.) h x x
n
n
b
j
k
a
j0
kj
jk
(x x )
Ad
(x x )
=
≠
=
Π∫
bb
0k1k2n
kk
aa
k1 kk1kk2 kn
(x x ) (x x )(x x ) (x x )
Al(x)dx dx
(x x ) (x x )(x x ) (x x )
==
∫∫
n
n
j0
jk
0
xath
tj
hdt
kj
()
()
=
≠
=+
=
===
Π∫
n
0
t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)
hdt
k(k1) (kk1)(kk1) (kn)
+
=
+
∫
3.2 Newton-Cotes求积公式
= +
∫
nk
n
k
0
(1)
A t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
k!(n k)!
h
nk
n
n
0 n0
nk
(1)
(b a) (t j)dt
nk!(n k)!
=
≠
=? Π?
∫
=
≠
=Π?
∫
nk
n
n
k
0 n0
nk
(1)
C(tj)dt
nk!(n k)!
其中称为Cotes系数
==
≈=
∑∑
∫
nn
b
kkk
a
k0 k0
k
f(x)dx f(x ) (b a) C f(x )(b a)C
称称为为n Newton?Cotes公式
=
=?
∑
n
kk
k0
n
(b a) C f(x )I
注,Newton?Cotes公式为 节点 值 求积公式
k
(b Ca)?"
Cotes系数
=
≠
=Π?
∫
nk
n
n
k
0 n0
nk
(1)
C(tj)dt
nk!(n k)!
注,Cotes系数不仅与函数f(x) 关 而?与积分 [a,b] 关
fi:n=1时
()
()
()
! !
1
1
1
0
0
11
Ctdt
01 2
=?=
∫
()
()
()
! !
0
1
1
1
0
11
Ct0dt
10 2
=?=
∫
fi:n=3时
() ()
() ()
()()() ()()()
! ! ! 2!
() ()
() ()
()()() ()()()
! 1! ! 0!
33
1113
Ct1t23dtCt02t3dt
00
01
033 8 1 3 8
13 1
Ct0t13dtCt0t12dt
23
23 8 33 8
====
∫∫
====
n=0,1.2,?8时,Cotes系数?本上 60
,f(x)=1.
￡?2,Cotes系数 有对称￡ 即Ck(n)=Cn-k(n),k=0,1,?,n.
￡?3,对n 7时,Ck(n) 是?数,n 8时不,
Cotes系数的￡?
￡?1,Cotes系数的和 于1 即
()
0
1
n
n
k
k
C
=
=
∑
() () 1
b
aa
n
bb
a
dx dx dxxf bapx∴===?
∫∫∫
() =
∫
而
b
n
a
pxdx
()
0
1
n
n
k
k
C
=
∴=
∑
则f(x)=Pn(x)=1.
()
0
()
0
() ()()
==
=?
∑ ∑
n
n
kk
k
n
n
k
k
ba Cf Cxba
Newton?Cotes公式
=? +=?+
1
11 1
(b a)[ f(a) f(b)] (b a)[f(a) f(b)]
22
I
2
==? +
1
1
T I (b a)[f(a) f(b)]
2
++
=? + + =? + +
2
1 2ab 1 1 ab
(b a)[ f(a) f( ) f(b)] (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
6326 6 2
I
n=1时,
即梯形公式,即
n=2时,
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
即Simpson公式
n=4时,4 Newton?Cotes公式称为Cotes公式,
==? + + + +
01234 4
1
(b a)[7f(x ) 32f(x ) 12f(x ) 32f(x ) 7f(x )]
90
CI
注,梯形公式由¨￡ 值 而得,
Simpson公式由 值 而得.
Cotes公式由4 值 而得,
≈
∫∫
∵
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx
+
ξ
= ξ∈
+
(n 1)
x
01 xn n
f(x
f()
(x x )(x x ) (x x ) )P(x) [a,b]
(n 1)!
+
∴=
ξ
=
+
∫
(n 1)
b
x
01 n
a
k0 0
n
f()
(x x )(x x ) (x x )dx
(n 1)!
x =x +kh (k=0,1,...,n) =
II
xa
R
其中为Newton-Cotes公式的
对以上积分进?变量 换x=x0+th 并 用积分定理 有定理:若函数f(x)在[a,b]上有连续的n+2 数,则Newton-Cotes
公式 为
+
+
+
+
+
=ξ∈
ξ
+
ξ
∫
∫
(n 1)
(
n2
n
0
n3
n
2
0
n)
h
t(t 1) (t n)dt n
(n 1)!
b-a
h = [a,b]
n
hn
(t )t(t 1) (t n)dt n
(
R
f()
f()
n2)! 2
是奇
其中是偶
Newton?Cotes公式的
==∴
∫
b
a
n n
[f(x) P (x)]dxRII
ξ
=?=
∫
(2)
b
x
T
a
f()
R I T (x a)(x b)dx
2!
∈
≤ ∈
∵
(2)
f(x)C[a,b]
(x a)(x b) 0 x [a,b]
若
ξ∈ =
ξ
∫
(2)
b
a
T
a,b (x a)(x b)R
()
2
dx
f
梯形公式的 (n=1)
注? 论?由 定理直接得到由定理易?:
n Newton-Cotes公式′?有n 数 度(因?公式为 值 )
而当n为偶数时,…有n+1 数 度,
积分中值定理 若f(x)在[a b]上连续 g(x)是在[a b]上保号的?积函数 则存在 (a,b) ()( ()())
bb
aa
ffxgxdx gxdxξ=
∫∫
ξ
= =? ξ∈
(2)
3
T
3
f()
(b a) O(b a) (a,b)
1
R
2
Simpson公式的
直接由定理得Simpson公式(n=2)的
ξ
=?= =? ξ
∫
5(4) 5
2
(4)
S
0
hf () h
I S (t 1)t(t 1)(t 2)dt f
90
R ()
4!
=? ξ=?
4(4 5
S
)
(b a) b a
()f()O(bR a)
180 2
分? Simpson公式是由a b 其中点c进? 值得到的其 数 度是3 为 以上 公式?ˉf(x)的3 值
式H
3
(x) 即即 如? 值问题
=+
1
c(ab)
2
f(x)的函数表
x a b c?
y f(a) f(b) f(c)?
f?(x) f?(c)
求 f(x)的Hermite 值 式H
3
(x),
H
3
(a)=f(a),H
3
(b)=f(b),H
3
(c)=f(c),H’
3
(c)=f’(c).
333
a
3
b
ba
H(x)dx [ 4 ]
6
H(a) H(c) H(b)
∴++=
∫
,
f(x)-H
3
(x)有根 a b c 二重 易?其 值
Simpson公式 数 度为3.
=?=? =?
∫∫ ∫
bb b
3
aa
3S
a
R I S f(x)dx H (x)d f(x) H (x)x[ ]dx
根据积分中值定理
(4)
2
3
f()
f(x) -H (x) (x a) (x b) (x c)
4!
η
=依赖于x,?
[a,b]η∈
Simpson公式的 的
∴=?
η
∫
(4)
b
S
a
2
(x a)(x b)(x c
f()
Rd
4
)
!
= =? ξ ∈
ξ
ξ
∫
(4)
b
24(4)
S
a
f() baba
R (x a)(x b)(x c) dx ( ) f ( ),(a,b).
4! 180 2
Cotes公式的 (n=4 数 度为5)
=?=? =?ξ ξ?ξ== ∈
76((6) 7
C
6)
82(ba)ba
I C h ( )f () [a,b]
945 945 4
f() O(,R ba)
ba
[f(a) 4f(c) f(b)]
6
=++
S=
≈+≈
∫
1
0.5
0
10.5
xdx ( ) 0.426.5 1 7767
2
≈++≈
∫
1
0.5
10.5
xdx ( 4 ) 0.4309403
6
0.5 0.75 1
,(1) 用梯形公式
(2) 用Simpson公式
(3) 用Cotes公式
≈++++≈
∫
1
0.5
567
0.5 1
888
10.5
xdx (7 32 12 32 7 ) 0.43096407
90
(4) 用n=8的Newton-Cotes公式计算
≈+++
×
++ +?
≈
∫
1
0.5
915
0.5 1
16 16
1
1
xdx 989( ) 5888( )
2 28350
928( ) 10496( ) 45
014 1 13 1
[
]
2
16 16 16 1
40
0.43096
616
4406
fi.分别用梯形公式,Simpson公式,Cotes公式和n=8的Newton-
Cotes公式计算 =
∫
1
0.5
0.430964xdx ( 406)
n较大时,果较
”
3.2.3 Newton-Cotes公式的算法数值稳定￡
数值稳定￡ 指舍入 在运算中的传播强度,
即舍入 对计算 果的影响 度.
Def 3.2 给定的算法在执? 步时产生,
相继的n步运算后的 果的 为e
n
仅由 引起,
1 如|e
n
| Cn,其中C是与n 关的?数,
则称 的增长是¨￡级的.
2 如|e
n
| K
n
,其中K>1为?数,
则称 的增长是指数级的.
注,¨￡级增长是?以控制的,?样的算法是数值稳定的,
其运算 果?靠.
指数级增长难于控制,?样的算法是数值不稳定的,
其运算 果不?靠,
#
nn
nk k
k0 k0
kk
fe(ba)C (ba f(C )) x
==
=
∑∑
=
=?
∑
n
nkk
k0
I(ba)Cf(x)
#
ε=?
kk k
ff(x)
若计算函数值f(x
k
)有舍入 k=0,1,2,?,n.
计算C
k
没有,计算 的舍入?不,
则由
k
引起的计算 果的 为
––应用应用,则
≤≤
ε= ε
k
0kn
max | |
=
=
∑
n
k
k0
C1
1 当n 7时,
n
k
k0
|(b a) C|
=
≤ε?
∑
时e
n
有界,舍入 的增长受到控制,公式是数值稳定的,
3.2.3 Newton-Cotes公式的数值稳定￡
k
C0>?
2 当n 8时,
C
k
有?有负?随n增大而增大,
=
>
∑
n
k
k0
|C | 1
时Newton-Cotes公式不能保 数值稳定￡.
n
k k
k0
(b a) C
=
ε=?
∑
n
nkk
k0
|e | (b a) |C | | |
=
≤ε
∑
n
|e | (b a)≤?ε
否!
n大,计算量大,积累越严重,
n 8时,不能保 数值稳定￡,
`采用? 的Newton-Cotes公式(T,S,C).
用T,S,C公式,￠控制其 R,How?
=
=?
∑
n
nkk
k0
I(ba)Cf(x)
+
+
+
+
+
=ξ∈
ξ
+
ξ
∫
∫
(n 1)
(
n2
n
0
n3
n
2
0
n)
h
t(t 1) (t n)dt n
(n 1)!
b-a
h = [a,b]
n
hn
(t )t(t 1) (t n)dt n
(
R
f()
f()
n2)! 2
是奇
其中是偶注:n越大,其Newton-Cotes公式In的 越,
那么是否n越大越好呢?
HW,
p.87 #3,4,6
3.3 复 求积法
"复 求积:将积分 划分 若干,在每个 上?
ˉ相应的? 求积公式,· …们加起来作为整个 的求积公式.------分段求积,￥后求和.( 积分对 有?加￡)
复 梯形公式
≈
∫
k+1
k
x
k+1 k
kk+1
x
x-
f(x)dx [f( )
x
x (x+f )]
2
[a,b] n 分,
分点x
k
=a+kh,
k=0~n
b-a
h=
n
∑
∫∫
k+1
k
n
x
x
-1
b
a
k=0
I= f(x)dx= f(x)dx
n-1
kk+1
k=0
h
I [f(x )+f(x )]
2
∴≈
∑
n-1
k
k=1
h
=[f(a)+2 f()+f ]
2
x (b)
∑
n
=T
复 Simpson公式
–n=2m m为?整数
b-a
n
h=
对每个 [x
2k-2
,x
2k
]应用Simpson公式.(k=1,2,?n)
∑
∫∫
2k
2k-2
m
x
k1
b
a x
=
I= f(x)dx= f(x)dx
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
"?ˉ复 Simpson公式时,应如何划分[a,b]?
须将[a,b]偶数 分.
≈
∫
2k
2k-2
2k 2k-2 2k-2 2k-1 2
x
x
k
1
(x -x )f(x)dx [f(x )+4f(x )+f(x )]
6
∴≈
∑
m
2k-2 2k-1 2k
k=1
4
h
I [f(x )+ f(x )+f(x )]
3
∴≈
∑∑
2k-1
mm-1
k=1 =1
n
k
2k
h
I [f(a)+4 f( )+2 f( )+f(bx )x ]=S
3
复 Cotes公式求积
∑∑
∑∑
mm
n
k=
4k-3
4
4k
1k=1
mm-
k=1 k=
k-1
1
2
k
-
4
4h
C= [7f(a)+32 f( )+12 f( )
90
+32 f( )+14 f( )+7f(b)]x x
xx
" Cotes公式 (5点公式)
401234
b-a
C=I = [7f(x )+32f(x )+12f(x )+32f(x )+7f(x )]
90
,1 对数值求积进? 分段处理是 有效的手段,
以对许 公式进复 复 处理.
2 复 求积公式仍￥是机械求积公式
"?ˉ复 Cotes公式时,如何划分[a,b]?
n=4m m为?整数
"复 Cotes公式如何?
4.复 求积公式的
ξξ
+
=? ∈
∫
3
k k+1 k k+1
h
f(x)dx- [f(x )+f(x )] f''( )h (x,x )
2
k
k
x
kk
x
1
1
2
k+1
k
x
h
kk+1
2
x
n
f(x)dx- (f(x )+f )I ](x[-T
=
=
∑
∫
1
0
n
k
ξ
=
≈
∑
∫
hf''( ) f''(x)dx=f'(b)-f'(a)
n
b
k
a
k
1
0
Tn的积分
而由定积分的定 和Newton-Leibnitz公式?得类似?得
≈
44
n
1
- h [f'''(b)-f'''(a)]=O
1
I
80
S (h- )
≈
6(5) (5 6)
n
2
- h [f (b)-f (a)]=O
945
IC (h- )
在每个 [xk,xk+1]上,梯形公式的积分 为
≈?
2
n
2
h
[f'(b)-f'(a)]=O
1
-T
2
(hI )
3
1
-hf'([])
12
=
=
∑
ξ
1
0
n
k
k
4.复 求积公式的 (续
ξ
==
∑∑
∫
k+1
k
x
h
kk+1
2
n
3
x
f(
1
[][-hf'()]
12
x)dx- (f(x )+f(I )T x-
nn
k
kk
11
00
ξ ξ =∈?
2
n
2
f"( ) O(h ),I-
b
T
-a
h=
12
(a,b)
类似?得
ξ
4 )
n
(4
b-a
=- h
18
f
0
IS (- )
ξ
()
n
66
2
=- (b-a)h
94
fI
5
C (- )
ξ
=
∴ =
∑
f''(
n
3
)
n
n
-h
1
-
2
IT
k
n
k
1
0
如果f
(x) C[a,b] 由连续函数的平均值定理如果f
4
(x) C[a,b]
如果f
6
(x) C[a,b]
5C,I
4
4Cotes
3S,I
2
2Simpson
1T,I
1
1
梯形公式
数
度符号
名称
ξ
3
3
(b-a)
I-T=- f''( )=O(b-a)
12
ξ
4(4) 5
b-a b-a
I-S=- ( ) f ( )=O(b-a)
180 2
ξ
6(6) 7
2(b-a) b-a
I-C=- ( ) f ( )=O(b-a)
945 12
数 度
+2
复 公式
2
4
n
b-
6
a
n
n
n
I-T O(h )
I-S O(h ) h=
I-C O(h )
≈
≈
≈
∑
n-1
k
k=1
n
h
=[f(a)+ x2f()+T f(b)]
2
数 度
+1
习题
ε=×
-6
1
10
2
fi:分别用3 复 求积公式计算积分
￠求 不
∫
1
0
sinx
I= dx.
x
1
0
sinx
f(x)= = costxdt
x
∫
∵
,
(k) k
k
2
max|f (x)| max|t cos(tx+ )|
π
≤≤ ≤≤
∴≤
∫
1
0
01 01xx
dt
≤≤ ≤≤ ≤≤
∴≤ ≤ ≤
() () ()
max | ( )|,max | ( )|,max | ( )|,
xxx
fx fx fx
246
01 01 01
111
357
n=?
k
(k)
k
dsinx
f(x)= ( )
xdx
k
1
k0
d
=(costx)dt
dx
∫
1
k
0
k
=tcos(tx+ )dt
2
∫
π
≤
∫
1
0
k
tdt
1
k+1
=
2
n
b-a
|I-T |=|- h f''( )| ( [0,1])
12
∈ξξ∵
<×
2
-6
h1 1
10,h=,
36 2 n
ε
=×
6
1
10
2
由由得得取n=236,
1
h=,
236
∴> ≈
×
n.
6
1
235 7
18 10
236
I T≈
1.用复 梯形公式
2.用复 Simpson公式
ξξ∈
≤×
4(4)
b-a
n
180
4-6
11
2n
|I-S |=|- h f ( )| [0,1]
h< 10,h=
1
900
∵
×
∴> ≈ n6.8
4 6
1
456 10
1
8
取 n=8 (n 7?) h=
==
≈= + + + ≈
∑∑
[sin s 0.946083in sin 31]
kk
kk
SI
43
8
881212
24 2 1 8 2 8
11
14 2 1
2
1
h max|f''(x)|
12
≤≤
≤?
01x
2
h
36
≤
sin
1
[sin]
2 236 =
=++
×
∑
236
236
235
1
12 1
k
k
k
..≈ 0 94608262
3.用复 Cotes公式
||| |,[,]
,
= ∈
≤<×
ξ
6
1
2
01
10
∵
6 (6)2(b-a)
n
945
6
2 1
6615n
I-C - hf ( )
hh=
取n=4,h=0.25
×
≈= + +× +× + ≈
4
1113243
I [7 7sin1 32 4sin 12 2sin sin ] 0.946
90 4 2 3 4
C 083004
事实上,I” 到 数点后7位的值是 I=0.9460831.
|I-T
236
|=0.48 10
-6
,|I-S
8
|=0.21 10
-6
,|I-C
4
|=0.096 10
-6
按同样 度￠求,用复 Cotes公式优于其他a 算法,
其计算量,度 高.
预先 定步长时,宜选用复 Cotes公式,其计算效率高.
n( ),∴> × ≈
1
6
6
4
6615
10 2 9
fi,若用复 梯形公式,复 Simpson公式计算,
￠ 度达到,问n各取
1
0.5
xdx
∫
×
-4
1
2
10
,3
2
1
4
|f''(x)| | x |
=?
2
T
4(4)
s
ba
Rhf'()
12
ba
Rhf(
180
(a,b)
=? η
=? η
η∈
2
1
T 24
|R | h 0.8≤ i
11
22
4(4) 4
1
180 n 2
|Rs| ( ) max|f (x)| 10,
<<×
77
22
(4)
15 2
15 15 1
16 16 2 2
|f (x)| | x | ( ) 10.7
=? ≤ = <
3
2
2
11
42 2
() 0.8
≤=<
2
0.51
24 n
()0.8=× i
n>12.91 n=13∴
4
4
10.7 10
n 37.153
16 180
×
>≈
×
n>2.469 4n=∴
用S
4
计算,其分点为
1567 1
,,,,1,h
2888 8
=
4
h1 5 7 6
S [f( ) 4f( ) 4f( ) 2f( ) f(1)]
32 8 8 8
11 5 7 6
[4421]
24 2 8 8 8
1
[0.5 10 14 3 1]
24
1
[0.70711 3.16228 3.74166 1.73205 1] 0.4310
24
= ++++
=++++
=++++
=++++≈
()
=
= = ===== = + = +
∫∫ ∫ ∫
3
2
1
2
yx
2
2
3
22
33
1
2
x
xdx d x 2 x d x 2y dy y C x C
x
∴==?=?≈? ≈
∫
33
22
1
1
2
2
1
1
2212111
3323323
xdx x [1 ( ) ] (2 0.70711) 0.4310
3.4 Romberg求积算法
Problem,计算
b
a
If(x)dx=
∫
8
10
ε<
如用用复 公式求积分复 公式求积分,则?须事先 定n=? (h=?).
=? ξ=
=
22
n
46
nn
ba
IT hf'()O(h)
12
I-S =O(h ) I C O(h )
1 h大,不
2 h,计算量大实 上,?以 计算机 选 数值积分的步长h.
即采用变步长求积公式,
而而用用用 公式 定 公式 定h,有如?,
1 f(x)高 数,计|f
(k)
(x)|的 大值较困难.
2 用?法 计的h很保,,增大 计算量.
3.4.1 变步长的梯形公式变步长的,计算 的数值积分,先 定 步长h,
按 复 公式求积,·将步长 为h/2后,用同 公式求积,复进?,直到达到 度￠求.
b
a
f(x)dx
∫
a个问题,1 如何? 达到 度￠求 ( I?,I-T=?).
2 步长 后的a 果有何关系?
1,的事后 计法.
=
2
n
ba
h,n,I-T=O(h)
n
分[a,b]
=
2
2n
hba h
,2n,I-T=O()
22n 2
分[a,b]
∴=≈
2
2n
2
n
h
O( )
IT
1
2
IT 4O(h )
∴?≈?
2n n
11
I T I T
44
∴?≈?
2n 2n n
33 1 1
IT T T
44 4 4
≈
2n n2n
1
I (TT
3
T )
定理:若,则
2n n
|T T |?<ε
2n
|I T |?<ε
因?,对给定的,计算机 选 步长如?:
Algorithm,Step1 h=b-a k=2 算T
1
T
2
Step2 while(|T
2
-T
1
| ) {k=2k 算T
k
T
1
=T
2;T
2
=T
k
}
Step3,I T
2
.
2,梯形公式的,
(1) 先将[a,b]n 分,分点x
k
=a+kh,k=0,1,?n.
ba
h
n
=
n1
nk
k1
h
T[f(a)2f(x)f(b)]
2
=
=+ +
∑
(2) 将步长,将每个 [x
k
,x
k+1
]二 分,其中点为
,k=0,1,n-1.
+
=++
1
2
1
k
2
a(kx )h
时[a,b] 分为2n个长度为 的,
h
2
+
==
=++
∑∑
n1 n1
2n k 1
k
k1
h
k0
2
2
T [f(a) 2 f(x ) 2 f(x ) f(b)]
2
公式
+
=
∴= +
∑
n1
n
k
1
k
2
0
2
n
1
Tf()x
h
22
T
注,(1) 计算T2n时,?˙在Tn的基 上,·计算n个点
x
k+0.5
(k=0,1,?n?1)处f(x)的函数值.
(2) 将 公式 入Algorthm,? 制变步长梯形算法的,
=
+
=
=× +++
∑ ∑
n1 n
k
k
1
2n 1
k
k1 0
2
h
[f(a) 2 f(x ) f(b)]
1h
222
x
fi3.4 用变步长算法计算,并￠求,
1
0
sinx
Id
x
=
∫
2
1
2
<×10
,(1)取h=1,n=1.
1
11
T [f(0) f(1)] (1 0.8414710) 0.9207355
22
=+=+ =
(2) 将步长 为,分点为,则
1
2
1
0,,1
2
=+ = + =
21
111
T T f( ) (0.9207355 0.958810) 0.9397933
2 2 22
1
(3) 将步长 为,分点为,
1
4
113
0,,,,1
424
= ×<×
22
42
1
T T 0.0047203 10 10
2
其中
=∴ ≈
4
0.944I T 5135
= × >×
22
21
1
T T 0.190578 10 10
2
而
=+ +=× + + =
42
1
2
111
T T [f( ) f( )] 0.9397933 (0.9896158 0.9088516) 0.9
2
4
1
4
3
44
5135
224
3.4.2 Romberg公式用 的事后 计法得到复 梯形公式的,
2n 2n n
1
IT (T T)
3
≈?
的 为
2n
T
2n n
1
(T T )
3
若将? 给,?以得到 的 果.
2n
T
是I的 个 好的近似值,称为 公式.
公式?以加,?以fl,
=+?
2
_
2n n
_
n
1
(T T )
3
TT
=
n 2n n
41
TT (3
3
S
3
.21)
上式有如?',复杂公式Sn?以有Tn表?.
=?≈∴
__
2n n
41
3
TT
3
TI
类似
=
4
n
IS O(h)∵
≈?
2n2n n
1
IS ( )
15
SS
￠而,?有 公式 2n n
I
1
5
SS
61
115
≈?
∴=≈
4
h
2n 2
4
n
O( )IS
1
IS 16O(h )
∴? ≈?
2n n
1
IS (I
6
S
1
)
1
16
注步长 后,是原来的
得 事后 计式
2n nn
16 1
S S C (3.22)
15 15
=?
易
Cn?由Simpson公式步长二分 后a个值的¨￡? 表?.
6
n
IC O(h)?=∵
出如?加￡ 的 公式 Romberg公式.
=?
2n nn
C C
64 1
63 63
R (3.23)
注,1 R
n
是 变步长梯形公式的 公式,其 ￡度,
2 如何用Romberg公式计算,并￠求
1
0
If(x)dx=
∫
<×
10
1
2
10
Romberg算法:将Tn 列加? Romberg 列Rn,￠而加￡,
6
2n
6
n
h
O( )
IC 1
2
IC O(h) 64
∴=≈
T
1
T
2
T
4
S
1
C
1
T
32
S
16
C
8
R
4
S
2
T
8
S
4
C
2
R
1
T
16
S
8
C
4
R
2
…… … …
if |R
2
-R
1
|< 则R
2
即为所求
else 计算R
4
,,|R
4
-R
2
|< ……
Romberg算法
(1)￥k=0 度￠求 h=b-a
1
h
T [f(a) f(b)]
2
=+
+
=+
= + =?
1
T
41
22233
2
1
h
hkk1
T f( ) S Th ah T
(2)
=+ = + + + +
=? =?
2
T
h
4
1641 1
2421 213 3 15 15
hkk1T h[f(ah)f(a3h)]
STTCSS
(3)
(4)
=
=+ = + +
=? =? =
∑
4
h1
8422
i1
16 6441 1 1
4842 411 2 13 3 15 15 63 63
(2hkk1TThf(a )
STTCSSR C
i1)h
C
(5)
=
=+ = + +?
=? =? =?
∑
k1
kk-1
k-1 k k-1 k-2 k-1 k-2 k-3 k-2 k-3
z
h1
22
22
i1
16 6441 1 1
3 3 15 15 63 63
222 2 2 2
hkk1TThf[(a(2i1)h]
STTC SSR CC
<?≈
k-3 k-4 k-3
22 2
stif
else
|R R | ε,IR,
got
op
o <5>
(6)
注:?达到currency1' 度.
fi 用变步长计算,并￠求,
==
+
∫
1
2
0
4
Idx
1x
6
1
2
<×10
,
(1)
=+=
++
1
22
h4 4
T[f( )f( )]3
2 10 11
2
3 14
2 22
10.5
T3,
+
=+× =
(2)
4
22
3.1 1 4 4
T [ ] 3.1311765
2 4 1 0.25 1 0.75
=+ + =
++
(3)
(4)
4
8
2222
3517
8888
T 14444
T[ ]
2 81() 1() 1() 1()
3.1389885
=+ +++
++++
=
41
1 33
S 3.1 3 3.1333333=×?×=
242
41
S T T 3.1415686,
33
=?=
121
16 1
C S S 3.1421177
15 15
=?=
1641 1
484 2 4133 15 5
64 1
12163 63
S T T 3.1415925,C S S 3.1415941,
R C C 3.1415858
=?= =?=
=?=
(5)
=
=+ =
+
==
=
∑
8
8
16
2
1
84
2
T
14
T [ ] 3.1409416
21
28
1( )
8
S 3.1415927,C 3.1415927,
R 3.141592639
i
i
(6)
5
21
R R 0.6839 10
= ×∵
= × <×
∴≈ =
76
42
4
1
R R 0.05 10 10
2
I R 3.141592644
∵
(7)
HW:用′ 方法求
0.8
32
0
,0.510xdx ε
= ×
∫
32 16 8
4
T 3.1414299,S 3.1415926,C 3.1415926,
R 3.141592644
===
=
6
1
10
2
> × go on (5) ∴
由微积分的?§
h0
f(a h) f(a)
f '(a) lim (*)
h
→
+?
=
而实 中,?f(x)currency1出,
1 f(x)由函数表给出 2 f(x)ˇ?复杂,不 求
以上的f(x)难于用(*)式求,?用近似的方法求函数的 数----数值微分
,'法
f(a h) f(a)
f'(a) f[a,a h]
h
+?
≈=+
f(a) f(a h)
f'(a) f[a h,a]
h
≈=?
3.6 数值微分
,'
AB的?率
“后 '
AC的?率将a式平均得:
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'(a)
2h
G(h)
中点法
BC的?率由公式,中点公式的 为,? ≈
2
G(hf'(a) O(h) )
中点公式分?
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'( ha) G( )
2h
注 1 由,步长h越,度越高.
2?步长h越 f(a+h)与f(a-h)越接近.
3 由舍入 分?,应 相近的数相 h不宜fi,
用二分步长 的事后 计法 选 步长——变步长算法
≈
2
G(hf'(a) O(h) )
根据Richardson 法fl?进 步
2
12
(),()
h
DGhDG= =
——事后 计法 |D
2
D
1
|
'2'
2
2
2
1
() ( ) () ()
h
fa D Oh fa D O?≈,?≈
'
2
'
1
() 1
4()
fa D
fa D
≈
'
2 2
1
3
1
() ()DD Dfa?≈
41
21
3
'
3
1
() Dfa GD?∴≈ =
2
41
33
1
()() ()
h
Gh GGh=?
1
4'
()() ( )fa Gh O h?≈且
16 1
15
112
15 2
(() )()
h
Gh GGh=?
64 1
63
113
63 2
(() )()
h
Gh GGh=?
fi1.用变步长中点法求e
x
在x=1处的 数值,h=0.8,度
￠求 =0.5 10
-4
.
分?,f(x) = e
x
则f?(x)= e
x
f?(1)= e
由中点公式
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'( ha) G( )
2h
'11
1
2
(1) ( )
hh
h
feee
+?
∴=≈?
2.722810.1
0.013632.736440.2
0.054912.791350.4
|G(0.5h)-G(h)|
G(h)h
0.22633.017650.8
二,值求
ˉf(x)的 Lagrange 值公式Pn(x).
,f(x)函数表:
x x
0
x
1
x
2
x
n
f(x) f(x
0
) f(x
1
) f(x
2
)? f(x
n
)
于是,ˉ如?近似求 公式 值 求 公式
f
(k)
(a) Pn
(k)
(a) 当 k=1,f?(a) Pn?(a),
(1)
()
(1)
() () () () ()
n
f
nn
n
fx Px fx Px x
ξ
+
+!
≈? =且注即 f(x)与 Pn(x)相 不大,能…们的 数相 很大
=?
x=ann
f(x) P (f'(a) P '(a) [ ]'x)
+
+
=
(n 1)
f()
x=a(n 1
ξ
)!
[w(x)]'
+ +
++
= +
(n 1) (n 1)
f(ξ)
(n 1)!
f(ξ)
nx(n 1)!
[]f'(a) P '(a) { w(x) w'(x)}'
由于 是x的?函数,上式 法 计.
若a为 值节点时,w(a)=0.
+
=
+
(n 1)
n
f()
f '(a) P '(a) w'(a)
(n 1)!
f?(a) Pn? (a),a为 值节点?用 节点 值公式.
fi.?点公式 n=2,在x
0
,x
1
=x
0
+h,x
2
=x
2
+2h进?二 值,
=++
02 0112
01 02 10 12 20 21
(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )
2012(x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )
P(x) f(x ) f(x ) f(x )
–x=x0+th 则
=+= +
11
22 0 1 222
P (x) P (x th) (t 1)(t 2)f(x ) t(t 2)f(x ) (t 1)(t 2)f(x )
对t求
将t=0,1,2 入,得
≈=?+?
≈=
≈=
+
+
0012
1
2
20
21
2
0
2
2
012
1
[ f(x ) f(x )]
1
f '(x ) [ 3f(x ) 4f(x ) f(x )]
2h
f'(x)
1
f'(x ) [f(x ) 4f(x) 3f(x )]
2h
P'(x)
P'(x)
P'(x)
2h
+?= +?
20
P '(x th) h (2t 3)f(x ) (2t 2)f(x ) (2t 1)f(x )
+= +?
1
122h
P '(x h) [(2t 3)f(x ) 4(t 1)f(x ) (2t 1)f(xt )]
分别为:
=
=?
=
∈
2
020
2
121
2
222
02
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
3
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
6
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
3
(x,x )其中
fi,?y=e
x
的函数表.
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y 12.1825 13.4637 14.8797 16.446 18.1741
‰用?点数值微分公式计算2.7处的 数值.
,h=0.2时 ≈?=
×
1
f '(2.7) (18.1741 12.1825) 14.979
20.2
=,f '(2.7) 14.87973...注分?:用中点公式
+≈= =
2121 01
1
[ f(x ) f(xf'(x ) )]P'(x) x 7
2h
2.
≈?=
×
1
f '(2.7) (16.4446 13.4637) 14.9045
20.1
h=0.1时
=? ∈
2
121 02
h
f '(x ) P '(x ) f '''( ) (x,x )
6
其中∵
''' 2,9
max | ( ) | 27fx e=<
'' ''
2
| (2.7) (2.7) | 0.045 0.1)fp h < ( =
1.机械求积公式 ≈+++
∫
b
00 11 nn
a
f(x)dx A f(x ) A f(x ),.,A f(x )
2.求积公式的 数 度
3,值 求积公式
b
kk
a
Al(x)dx=
∫
iff ′? 有n 数 度
4.Newton-Cotes求积公式 节点的 值 求积公式
=
=?
∑
n
kk
k0
n
(b a) C f(x )I
ξ
= =? ξ∈
(2)
3
T
3
f()
(b a) O(b a) (a,b)
1
R
2
==? +
1
1
T I (b a)[f(a) f(b)]
2
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
=?
S
5
O(b a)R
5.复 求积公式
∑
n-1
k
k=1
n
h
2
=[f(a)T +2 f( )+x f(b)]
≈?
2
h
n
12
2
[f'(b)-f'(a) OT ]=I (h- )
ξξ =∈?
2
b-a
12
n
fI-T,(h "( ) a,b)
6.变步长的梯形公式与Romberg算法
7,值 求 公式 中点公式
b
a
If(x)dx=
∫
由微积分学基本定理,当f(x)在[a,b]上连续时,存在原函数F(x)
由Newton-Leibnits公式
b
a
If(x)dxF(b)F(a)==?
∫
有时,用上面的方法计算定积分有困难,
1.不易求f(x)的原函数F(x)
2.f(x)的原函数表达式很复杂(计算量大)
3.f(x)用列表给出(观测所得数据表)
2
x
sinx 1
e.g.,,e
xlnx
+
∫
b
4
a
1
e.g,dx
1x
所以,讨论数值积分,即用数值方法计算定积分的近似值.
3.1 机械求积对于,若f(x)>0时,则I对应于曲边梯形的面积.
b
a
If(x)dx=
∫
当f(x)在[a,b]上连续,由积分中值定理.
∈ =?
∫
b
[a,b] f(x)dx (b a)f(
a
)
1,梯形公式
+
≈
+
≈? = +
∫
b
a
f(a) f(b)
f( )
2
f(a) f(b) (b a) (b a)
f(x)dx (b a)
2
f(a) )
22
f(b
取
2,中矩形公式
++
≈≈?
∫
b
a
ab
f( ) f( ) f(x)dx (b a
a
)f( )
2
b
2
取
I是以b-a为底,高为f( )的矩形的面积,f( )称为[a,b]上的平均高度.
3,Simpson公式
1ab
f( ) [f(a) 4f( ) f(b)]
62
+
≈+ +取
∴ ≈ + +
∫
b
a
ba 4 a+b
f(a) f( ) f(b)
2
(b a) b a
f(x)dx
66 6
b
a
(b a) a b
f(x)dx [f(a) 4f( ) f(b)]
62
+
≈++
∫
机械求积公式:
在[a,b]中有n+1个互异的节点x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
b
00 11 nn
a
f(x)dx A f(x ) A f(x ),.,A f(x ) (3.1)≈+++
∫
称上式为机械求积公式,其中x
0
~x
n
为求积节点,
A
i
(i=0,1,…,n)为求积系数(权).
注:1,求积系数A
k
仅与节点x
i
的选取有关,而不依赖于 积函数f(x)的 形式.
2,机械求积,求积分值 为求函数值,
Newton-Leibnits求原函数的困难.
3,机械求积是求定积分的近似方法.
求积公式(3.1)的,
=?∑
=
n
IAf(x)
ii
i
Rf)
0
(
n
数 度
n
b
ii
a
i0
f(x)dx Af(x)
=
≈
∑
∫
对于机械求积公式定 若上 公式对所有不 m 的 式P
m
(x),
即R
n
(P
m
)=0,而对 个m+1 式P
m+1
(x)近似,
即R
n
(P
m+1
) 0.则称机械求积公式 有m 数 度.
梯形公式 的 数 度为1.
b
a
(b a)
f(x)dx [f(a) f(b)]
2
≈+
∫
=?∑
=
n
IAf(x)
ii
i
Rf)
0
(
n
当f(x)=1,x,x
2
,…,x
m
时,求积公式,
而f(x)= x
m+1
时公式近似,
,?￠￡?￥.? §分￡
对currency1'm 式P
m
(x)=a
0
+a
1
x+ a
2
x
2
+…+ a
m
x
m
.(a
m
0)
由于求积公式 对于 f(x)=1,x,x
2
,…,x
m
时
n
b
ii
a
i0
f(x)dx Af(x)
=
≈
∑
∫
≠≠ ≠
∴= = =
∑∑ ∑
∫∫ ∫
nn n
bb b
mm
kkk k
aa a
k0 k0 k0
1dxA,xdxAx,.,xdxAx
=+++
∫∫∫∫
bbbb
m
m01 m
aaaa
P (x)dx a dx a xdx,.,a x dx
,数 度的方法求积公式对P
m
(x),
对m+1 式,公式近似 (R 0),由定?.
公式的 数 度是m
== =
=+ ++
∑∑ ∑
nn n
m
0k1kk mkk
k0 k0 k0
aAaAx.aAx
=
= + + +
∑
n
m
k0 1k mk
k0
A(a ax,.,ax )
=
=
∑
n
km k
k0
AP(x)
!求积公式的 数 度为m,
fifl 梯形公式的 数 度为1.
,梯形公式
b
a
ba
f(x)dx [f(a) f(b)]
2
≈+
∫
–f(x)=1
b
a
ba
1dx b a,[1 1] b a,
2
==?=+=?=
∫
公式对 f(x)=1,
–f(x)=x
22 22
b
a
ba ba ba
xdx,[a b],
22 2
==+==
∫
公式对 f(x)=x
–f(x)=x
2
33
b
a
ba ba
xdx,[a b]
32
== = +≠
∫
公式对 f(x)=x
2
不·
梯形公式 数 度为1.
fi Simpson公式的 数 度为3
b
a
ba ab
f(x)dx [f(a)4f( )f(b)]
62
+
≈++
∫
fi 有求积公式
1
012
1
f(x)dx A f( 1) A f(0) A f(1)
≈?+ +
∫
分?,￠ 定公式中3个?定?数A
0
,A
1
,A
2
–公式对1,x,x
2
,,
,–f(x)= 1,x,x
2
.公式,,则
012
02
02
AAA2
AA0
2
AA
3
++=
+ =
+ =
得A
0
=1/3,A
1
=4/3,A
2
=1/3
求积公式为
1
1
1
f(x)dx [f( 1) 4f(0) f(1)]
3
≈?+ +
∫
易fl,f(x)= x
3
时,求积公式?”
而f(x)= x
4
时
1
444
1
221
xdx [(1) 4 0 1]
533
≈≠=?+×+
∫
求积公式 有3 数 度,…是[-1,1]上的Simpson公式.
‰ 定系数 A
0
,A
1
,A
2
,?个公式 有 高的 数 度.
`,对于n+1给节点上的机械求积公式
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
若 其 数 度′?为n,则? 定A
k
,?ˉ出求积公式.
˙–上式对f(x)=1,x,x
2
,…,x
n
,,则
012 n
22
00 11 nn
n1 n1
nn n
00 11 nn
AAA.A ba
ba
Ax Ax,.,Ax
2
(3.4)
,..,..
ba
Ax Ax,.,Ax
n1
++
+ + + + =?
+++=
+++=
+
上面是关于A
0
,A
1
,A
2
,…,A
n
的¨￡方?,
其系数?列式为列式,其值ˇ—,
求得,
3.1.3 值 的求积公式
Problem?给定的?节点a x
0
<x
1
<x
2
<…<x
n
b
函数值 f(x
0
),f(x
1
),f(x
2
),…,f(x
n
)
ˉ:求积公式
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
,?ˉf(x)在n+1个 值节点上的Lagrange 值 式
==
≠
==
∑
Π
n n
j
nkkk
j0k0
k j
jk
xx
P (x) f(x )l (x) l (x)
xx
其中为Lagrange 值基函数
n
f(x) P (x)≈
n
bb
nkk
aa
k0
P (x)dx [ f(x )l (x)]dx
=
=
∑
∫∫
∵
(*)式为所求的求积公式.(称为 值 求积公式)
=
∫
b
kk
a
Al(x)dx
()
=
∴≈?
∫
∑
∫
n
b
k
a
k0
b
k
a
f(x)dx f(x ) l(x)dx ()
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx?≈
∫∫
n
b
kk
a
k0
f(x ) l (x)dx
=
=
∑
∫
求积系数
,值 求积公式(*)的 数 度是
1,currency1' 数 n的 式f(x),其n Lagrange 值 式
P
n
(x)= f(x)
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx∴=
∫∫
值 求积公式对f(x) 其′? 有n 数 度.
2.,′? 有n 数 度.
n
b
0k
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
求积公式对currency1' 数 n的 式
在x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
上的Lagrange 值基函数l
k
(x)为n 式.
n
b
kjkj
a
j0
l(x)dx Al(x)
=
∴=
∑
∫
而
kj kj
1 k=j
l(x)
0 k j
=δ
≠
b
kk
a
l (x)dx A∴=
∫
求积公式 是(*),为 值 的.
Th3.2 求积公式
n
b
0k
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
,?f(x)的函数表
x
i
互异,x
i
[a,b]
x x
0
x
1
x
n
y f(x
0
) f(x
1
)? f(x
n
)
b
kk
a
Al(x)dx=
∫
1,2 有:
ˉ其求积公式,有a 方法:
1,¨￡方?,求A
k
2,用 值 公式
′? 有n 数 度的§￠ 是 …是 值 的.
3.2 Newton-Cotes求积公式
面o的 值 求积公式,节点的求积公式.
对于[a,b]中的n+1个互异节点x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
ˉ 值 求积公式:
n
b
kk
a
k0
f(x)dx A f(x )
=
≈
∑
∫
n 数 度.
在取x
0
,x
1
,x
2
,…,x
n.
为[a,b]的n 分点.
即 则
=+ = = =?
kkk1
ba
x a kh (k 0,1,...,n.) h x x
n
n
b
j
k
a
j0
kj
jk
(x x )
Ad
(x x )
=
≠
=
Π∫
bb
0k1k2n
kk
aa
k1 kk1kk2 kn
(x x ) (x x )(x x ) (x x )
Al(x)dx dx
(x x ) (x x )(x x ) (x x )
==
∫∫
n
n
j0
jk
0
xath
tj
hdt
kj
()
()
=
≠
=+
=
===
Π∫
n
0
t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)
hdt
k(k1) (kk1)(kk1) (kn)
+
=
+
∫
3.2 Newton-Cotes求积公式
= +
∫
nk
n
k
0
(1)
A t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt
k!(n k)!
h
nk
n
n
0 n0
nk
(1)
(b a) (t j)dt
nk!(n k)!
=
≠
=? Π?
∫
=
≠
=Π?
∫
nk
n
n
k
0 n0
nk
(1)
C(tj)dt
nk!(n k)!
其中称为Cotes系数
==
≈=
∑∑
∫
nn
b
kkk
a
k0 k0
k
f(x)dx f(x ) (b a) C f(x )(b a)C
称称为为n Newton?Cotes公式
=
=?
∑
n
kk
k0
n
(b a) C f(x )I
注,Newton?Cotes公式为 节点 值 求积公式
k
(b Ca)?"
Cotes系数
=
≠
=Π?
∫
nk
n
n
k
0 n0
nk
(1)
C(tj)dt
nk!(n k)!
注,Cotes系数不仅与函数f(x) 关 而?与积分 [a,b] 关
fi:n=1时
()
()
()
! !
1
1
1
0
0
11
Ctdt
01 2
=?=
∫
()
()
()
! !
0
1
1
1
0
11
Ct0dt
10 2
=?=
∫
fi:n=3时
() ()
() ()
()()() ()()()
! ! ! 2!
() ()
() ()
()()() ()()()
! 1! ! 0!
33
1113
Ct1t23dtCt02t3dt
00
01
033 8 1 3 8
13 1
Ct0t13dtCt0t12dt
23
23 8 33 8
====
∫∫
====
n=0,1.2,?8时,Cotes系数?本上 60
,f(x)=1.
￡?2,Cotes系数 有对称￡ 即Ck(n)=Cn-k(n),k=0,1,?,n.
￡?3,对n 7时,Ck(n) 是?数,n 8时不,
Cotes系数的￡?
￡?1,Cotes系数的和 于1 即
()
0
1
n
n
k
k
C
=
=
∑
() () 1
b
aa
n
bb
a
dx dx dxxf bapx∴===?
∫∫∫
() =
∫
而
b
n
a
pxdx
()
0
1
n
n
k
k
C
=
∴=
∑
则f(x)=Pn(x)=1.
()
0
()
0
() ()()
==
=?
∑ ∑
n
n
kk
k
n
n
k
k
ba Cf Cxba
Newton?Cotes公式
=? +=?+
1
11 1
(b a)[ f(a) f(b)] (b a)[f(a) f(b)]
22
I
2
==? +
1
1
T I (b a)[f(a) f(b)]
2
++
=? + + =? + +
2
1 2ab 1 1 ab
(b a)[ f(a) f( ) f(b)] (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
6326 6 2
I
n=1时,
即梯形公式,即
n=2时,
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
即Simpson公式
n=4时,4 Newton?Cotes公式称为Cotes公式,
==? + + + +
01234 4
1
(b a)[7f(x ) 32f(x ) 12f(x ) 32f(x ) 7f(x )]
90
CI
注,梯形公式由¨￡ 值 而得,
Simpson公式由 值 而得.
Cotes公式由4 值 而得,
≈
∫∫
∵
bb
n
aa
f(x)dx P (x)dx
+
ξ
= ξ∈
+
(n 1)
x
01 xn n
f(x
f()
(x x )(x x ) (x x ) )P(x) [a,b]
(n 1)!
+
∴=
ξ
=
+
∫
(n 1)
b
x
01 n
a
k0 0
n
f()
(x x )(x x ) (x x )dx
(n 1)!
x =x +kh (k=0,1,...,n) =
II
xa
R
其中为Newton-Cotes公式的
对以上积分进?变量 换x=x0+th 并 用积分定理 有定理:若函数f(x)在[a,b]上有连续的n+2 数,则Newton-Cotes
公式 为
+
+
+
+
+
=ξ∈
ξ
+
ξ
∫
∫
(n 1)
(
n2
n
0
n3
n
2
0
n)
h
t(t 1) (t n)dt n
(n 1)!
b-a
h = [a,b]
n
hn
(t )t(t 1) (t n)dt n
(
R
f()
f()
n2)! 2
是奇
其中是偶
Newton?Cotes公式的
==∴
∫
b
a
n n
[f(x) P (x)]dxRII
ξ
=?=
∫
(2)
b
x
T
a
f()
R I T (x a)(x b)dx
2!
∈
≤ ∈
∵
(2)
f(x)C[a,b]
(x a)(x b) 0 x [a,b]
若
ξ∈ =
ξ
∫
(2)
b
a
T
a,b (x a)(x b)R
()
2
dx
f
梯形公式的 (n=1)
注? 论?由 定理直接得到由定理易?:
n Newton-Cotes公式′?有n 数 度(因?公式为 值 )
而当n为偶数时,…有n+1 数 度,
积分中值定理 若f(x)在[a b]上连续 g(x)是在[a b]上保号的?积函数 则存在 (a,b) ()( ()())
bb
aa
ffxgxdx gxdxξ=
∫∫
ξ
= =? ξ∈
(2)
3
T
3
f()
(b a) O(b a) (a,b)
1
R
2
Simpson公式的
直接由定理得Simpson公式(n=2)的
ξ
=?= =? ξ
∫
5(4) 5
2
(4)
S
0
hf () h
I S (t 1)t(t 1)(t 2)dt f
90
R ()
4!
=? ξ=?
4(4 5
S
)
(b a) b a
()f()O(bR a)
180 2
分? Simpson公式是由a b 其中点c进? 值得到的其 数 度是3 为 以上 公式?ˉf(x)的3 值
式H
3
(x) 即即 如? 值问题
=+
1
c(ab)
2
f(x)的函数表
x a b c?
y f(a) f(b) f(c)?
f?(x) f?(c)
求 f(x)的Hermite 值 式H
3
(x),
H
3
(a)=f(a),H
3
(b)=f(b),H
3
(c)=f(c),H’
3
(c)=f’(c).
333
a
3
b
ba
H(x)dx [ 4 ]
6
H(a) H(c) H(b)
∴++=
∫
,
f(x)-H
3
(x)有根 a b c 二重 易?其 值
Simpson公式 数 度为3.
=?=? =?
∫∫ ∫
bb b
3
aa
3S
a
R I S f(x)dx H (x)d f(x) H (x)x[ ]dx
根据积分中值定理
(4)
2
3
f()
f(x) -H (x) (x a) (x b) (x c)
4!
η
=依赖于x,?
[a,b]η∈
Simpson公式的 的
∴=?
η
∫
(4)
b
S
a
2
(x a)(x b)(x c
f()
Rd
4
)
!
= =? ξ ∈
ξ
ξ
∫
(4)
b
24(4)
S
a
f() baba
R (x a)(x b)(x c) dx ( ) f ( ),(a,b).
4! 180 2
Cotes公式的 (n=4 数 度为5)
=?=? =?ξ ξ?ξ== ∈
76((6) 7
C
6)
82(ba)ba
I C h ( )f () [a,b]
945 945 4
f() O(,R ba)
ba
[f(a) 4f(c) f(b)]
6
=++
S=
≈+≈
∫
1
0.5
0
10.5
xdx ( ) 0.426.5 1 7767
2
≈++≈
∫
1
0.5
10.5
xdx ( 4 ) 0.4309403
6
0.5 0.75 1
,(1) 用梯形公式
(2) 用Simpson公式
(3) 用Cotes公式
≈++++≈
∫
1
0.5
567
0.5 1
888
10.5
xdx (7 32 12 32 7 ) 0.43096407
90
(4) 用n=8的Newton-Cotes公式计算
≈+++
×
++ +?
≈
∫
1
0.5
915
0.5 1
16 16
1
1
xdx 989( ) 5888( )
2 28350
928( ) 10496( ) 45
014 1 13 1
[
]
2
16 16 16 1
40
0.43096
616
4406
fi.分别用梯形公式,Simpson公式,Cotes公式和n=8的Newton-
Cotes公式计算 =
∫
1
0.5
0.430964xdx ( 406)
n较大时,果较
”
3.2.3 Newton-Cotes公式的算法数值稳定￡
数值稳定￡ 指舍入 在运算中的传播强度,
即舍入 对计算 果的影响 度.
Def 3.2 给定的算法在执? 步时产生,
相继的n步运算后的 果的 为e
n
仅由 引起,
1 如|e
n
| Cn,其中C是与n 关的?数,
则称 的增长是¨￡级的.
2 如|e
n
| K
n
,其中K>1为?数,
则称 的增长是指数级的.
注,¨￡级增长是?以控制的,?样的算法是数值稳定的,
其运算 果?靠.
指数级增长难于控制,?样的算法是数值不稳定的,
其运算 果不?靠,
#
nn
nk k
k0 k0
kk
fe(ba)C (ba f(C )) x
==
=
∑∑
=
=?
∑
n
nkk
k0
I(ba)Cf(x)
#
ε=?
kk k
ff(x)
若计算函数值f(x
k
)有舍入 k=0,1,2,?,n.
计算C
k
没有,计算 的舍入?不,
则由
k
引起的计算 果的 为
––应用应用,则
≤≤
ε= ε
k
0kn
max | |
=
=
∑
n
k
k0
C1
1 当n 7时,
n
k
k0
|(b a) C|
=
≤ε?
∑
时e
n
有界,舍入 的增长受到控制,公式是数值稳定的,
3.2.3 Newton-Cotes公式的数值稳定￡
k
C0>?
2 当n 8时,
C
k
有?有负?随n增大而增大,
=
>
∑
n
k
k0
|C | 1
时Newton-Cotes公式不能保 数值稳定￡.
n
k k
k0
(b a) C
=
ε=?
∑
n
nkk
k0
|e | (b a) |C | | |
=
≤ε
∑
n
|e | (b a)≤?ε
否!
n大,计算量大,积累越严重,
n 8时,不能保 数值稳定￡,
`采用? 的Newton-Cotes公式(T,S,C).
用T,S,C公式,￠控制其 R,How?
=
=?
∑
n
nkk
k0
I(ba)Cf(x)
+
+
+
+
+
=ξ∈
ξ
+
ξ
∫
∫
(n 1)
(
n2
n
0
n3
n
2
0
n)
h
t(t 1) (t n)dt n
(n 1)!
b-a
h = [a,b]
n
hn
(t )t(t 1) (t n)dt n
(
R
f()
f()
n2)! 2
是奇
其中是偶注:n越大,其Newton-Cotes公式In的 越,
那么是否n越大越好呢?
HW,
p.87 #3,4,6
3.3 复 求积法
"复 求积:将积分 划分 若干,在每个 上?
ˉ相应的? 求积公式,· …们加起来作为整个 的求积公式.------分段求积,￥后求和.( 积分对 有?加￡)
复 梯形公式
≈
∫
k+1
k
x
k+1 k
kk+1
x
x-
f(x)dx [f( )
x
x (x+f )]
2
[a,b] n 分,
分点x
k
=a+kh,
k=0~n
b-a
h=
n
∑
∫∫
k+1
k
n
x
x
-1
b
a
k=0
I= f(x)dx= f(x)dx
n-1
kk+1
k=0
h
I [f(x )+f(x )]
2
∴≈
∑
n-1
k
k=1
h
=[f(a)+2 f()+f ]
2
x (b)
∑
n
=T
复 Simpson公式
–n=2m m为?整数
b-a
n
h=
对每个 [x
2k-2
,x
2k
]应用Simpson公式.(k=1,2,?n)
∑
∫∫
2k
2k-2
m
x
k1
b
a x
=
I= f(x)dx= f(x)dx
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
"?ˉ复 Simpson公式时,应如何划分[a,b]?
须将[a,b]偶数 分.
≈
∫
2k
2k-2
2k 2k-2 2k-2 2k-1 2
x
x
k
1
(x -x )f(x)dx [f(x )+4f(x )+f(x )]
6
∴≈
∑
m
2k-2 2k-1 2k
k=1
4
h
I [f(x )+ f(x )+f(x )]
3
∴≈
∑∑
2k-1
mm-1
k=1 =1
n
k
2k
h
I [f(a)+4 f( )+2 f( )+f(bx )x ]=S
3
复 Cotes公式求积
∑∑
∑∑
mm
n
k=
4k-3
4
4k
1k=1
mm-
k=1 k=
k-1
1
2
k
-
4
4h
C= [7f(a)+32 f( )+12 f( )
90
+32 f( )+14 f( )+7f(b)]x x
xx
" Cotes公式 (5点公式)
401234
b-a
C=I = [7f(x )+32f(x )+12f(x )+32f(x )+7f(x )]
90
,1 对数值求积进? 分段处理是 有效的手段,
以对许 公式进复 复 处理.
2 复 求积公式仍￥是机械求积公式
"?ˉ复 Cotes公式时,如何划分[a,b]?
n=4m m为?整数
"复 Cotes公式如何?
4.复 求积公式的
ξξ
+
=? ∈
∫
3
k k+1 k k+1
h
f(x)dx- [f(x )+f(x )] f''( )h (x,x )
2
k
k
x
kk
x
1
1
2
k+1
k
x
h
kk+1
2
x
n
f(x)dx- (f(x )+f )I ](x[-T
=
=
∑
∫
1
0
n
k
ξ
=
≈
∑
∫
hf''( ) f''(x)dx=f'(b)-f'(a)
n
b
k
a
k
1
0
Tn的积分
而由定积分的定 和Newton-Leibnitz公式?得类似?得
≈
44
n
1
- h [f'''(b)-f'''(a)]=O
1
I
80
S (h- )
≈
6(5) (5 6)
n
2
- h [f (b)-f (a)]=O
945
IC (h- )
在每个 [xk,xk+1]上,梯形公式的积分 为
≈?
2
n
2
h
[f'(b)-f'(a)]=O
1
-T
2
(hI )
3
1
-hf'([])
12
=
=
∑
ξ
1
0
n
k
k
4.复 求积公式的 (续
ξ
==
∑∑
∫
k+1
k
x
h
kk+1
2
n
3
x
f(
1
[][-hf'()]
12
x)dx- (f(x )+f(I )T x-
nn
k
kk
11
00
ξ ξ =∈?
2
n
2
f"( ) O(h ),I-
b
T
-a
h=
12
(a,b)
类似?得
ξ
4 )
n
(4
b-a
=- h
18
f
0
IS (- )
ξ
()
n
66
2
=- (b-a)h
94
fI
5
C (- )
ξ
=
∴ =
∑
f''(
n
3
)
n
n
-h
1
-
2
IT
k
n
k
1
0
如果f
(x) C[a,b] 由连续函数的平均值定理如果f
4
(x) C[a,b]
如果f
6
(x) C[a,b]
5C,I
4
4Cotes
3S,I
2
2Simpson
1T,I
1
1
梯形公式
数
度符号
名称
ξ
3
3
(b-a)
I-T=- f''( )=O(b-a)
12
ξ
4(4) 5
b-a b-a
I-S=- ( ) f ( )=O(b-a)
180 2
ξ
6(6) 7
2(b-a) b-a
I-C=- ( ) f ( )=O(b-a)
945 12
数 度
+2
复 公式
2
4
n
b-
6
a
n
n
n
I-T O(h )
I-S O(h ) h=
I-C O(h )
≈
≈
≈
∑
n-1
k
k=1
n
h
=[f(a)+ x2f()+T f(b)]
2
数 度
+1
习题
ε=×
-6
1
10
2
fi:分别用3 复 求积公式计算积分
￠求 不
∫
1
0
sinx
I= dx.
x
1
0
sinx
f(x)= = costxdt
x
∫
∵
,
(k) k
k
2
max|f (x)| max|t cos(tx+ )|
π
≤≤ ≤≤
∴≤
∫
1
0
01 01xx
dt
≤≤ ≤≤ ≤≤
∴≤ ≤ ≤
() () ()
max | ( )|,max | ( )|,max | ( )|,
xxx
fx fx fx
246
01 01 01
111
357
n=?
k
(k)
k
dsinx
f(x)= ( )
xdx
k
1
k0
d
=(costx)dt
dx
∫
1
k
0
k
=tcos(tx+ )dt
2
∫
π
≤
∫
1
0
k
tdt
1
k+1
=
2
n
b-a
|I-T |=|- h f''( )| ( [0,1])
12
∈ξξ∵
<×
2
-6
h1 1
10,h=,
36 2 n
ε
=×
6
1
10
2
由由得得取n=236,
1
h=,
236
∴> ≈
×
n.
6
1
235 7
18 10
236
I T≈
1.用复 梯形公式
2.用复 Simpson公式
ξξ∈
≤×
4(4)
b-a
n
180
4-6
11
2n
|I-S |=|- h f ( )| [0,1]
h< 10,h=
1
900
∵
×
∴> ≈ n6.8
4 6
1
456 10
1
8
取 n=8 (n 7?) h=
==
≈= + + + ≈
∑∑
[sin s 0.946083in sin 31]
kk
kk
SI
43
8
881212
24 2 1 8 2 8
11
14 2 1
2
1
h max|f''(x)|
12
≤≤
≤?
01x
2
h
36
≤
sin
1
[sin]
2 236 =
=++
×
∑
236
236
235
1
12 1
k
k
k
..≈ 0 94608262
3.用复 Cotes公式
||| |,[,]
,
= ∈
≤<×
ξ
6
1
2
01
10
∵
6 (6)2(b-a)
n
945
6
2 1
6615n
I-C - hf ( )
hh=
取n=4,h=0.25
×
≈= + +× +× + ≈
4
1113243
I [7 7sin1 32 4sin 12 2sin sin ] 0.946
90 4 2 3 4
C 083004
事实上,I” 到 数点后7位的值是 I=0.9460831.
|I-T
236
|=0.48 10
-6
,|I-S
8
|=0.21 10
-6
,|I-C
4
|=0.096 10
-6
按同样 度￠求,用复 Cotes公式优于其他a 算法,
其计算量,度 高.
预先 定步长时,宜选用复 Cotes公式,其计算效率高.
n( ),∴> × ≈
1
6
6
4
6615
10 2 9
fi,若用复 梯形公式,复 Simpson公式计算,
￠ 度达到,问n各取
1
0.5
xdx
∫
×
-4
1
2
10
,3
2
1
4
|f''(x)| | x |
=?
2
T
4(4)
s
ba
Rhf'()
12
ba
Rhf(
180
(a,b)
=? η
=? η
η∈
2
1
T 24
|R | h 0.8≤ i
11
22
4(4) 4
1
180 n 2
|Rs| ( ) max|f (x)| 10,
<<×
77
22
(4)
15 2
15 15 1
16 16 2 2
|f (x)| | x | ( ) 10.7
=? ≤ = <
3
2
2
11
42 2
() 0.8
≤=<
2
0.51
24 n
()0.8=× i
n>12.91 n=13∴
4
4
10.7 10
n 37.153
16 180
×
>≈
×
n>2.469 4n=∴
用S
4
计算,其分点为
1567 1
,,,,1,h
2888 8
=
4
h1 5 7 6
S [f( ) 4f( ) 4f( ) 2f( ) f(1)]
32 8 8 8
11 5 7 6
[4421]
24 2 8 8 8
1
[0.5 10 14 3 1]
24
1
[0.70711 3.16228 3.74166 1.73205 1] 0.4310
24
= ++++
=++++
=++++
=++++≈
()
=
= = ===== = + = +
∫∫ ∫ ∫
3
2
1
2
yx
2
2
3
22
33
1
2
x
xdx d x 2 x d x 2y dy y C x C
x
∴==?=?≈? ≈
∫
33
22
1
1
2
2
1
1
2212111
3323323
xdx x [1 ( ) ] (2 0.70711) 0.4310
3.4 Romberg求积算法
Problem,计算
b
a
If(x)dx=
∫
8
10
ε<
如用用复 公式求积分复 公式求积分,则?须事先 定n=? (h=?).
=? ξ=
=
22
n
46
nn
ba
IT hf'()O(h)
12
I-S =O(h ) I C O(h )
1 h大,不
2 h,计算量大实 上,?以 计算机 选 数值积分的步长h.
即采用变步长求积公式,
而而用用用 公式 定 公式 定h,有如?,
1 f(x)高 数,计|f
(k)
(x)|的 大值较困难.
2 用?法 计的h很保,,增大 计算量.
3.4.1 变步长的梯形公式变步长的,计算 的数值积分,先 定 步长h,
按 复 公式求积,·将步长 为h/2后,用同 公式求积,复进?,直到达到 度￠求.
b
a
f(x)dx
∫
a个问题,1 如何? 达到 度￠求 ( I?,I-T=?).
2 步长 后的a 果有何关系?
1,的事后 计法.
=
2
n
ba
h,n,I-T=O(h)
n
分[a,b]
=
2
2n
hba h
,2n,I-T=O()
22n 2
分[a,b]
∴=≈
2
2n
2
n
h
O( )
IT
1
2
IT 4O(h )
∴?≈?
2n n
11
I T I T
44
∴?≈?
2n 2n n
33 1 1
IT T T
44 4 4
≈
2n n2n
1
I (TT
3
T )
定理:若,则
2n n
|T T |?<ε
2n
|I T |?<ε
因?,对给定的,计算机 选 步长如?:
Algorithm,Step1 h=b-a k=2 算T
1
T
2
Step2 while(|T
2
-T
1
| ) {k=2k 算T
k
T
1
=T
2;T
2
=T
k
}
Step3,I T
2
.
2,梯形公式的,
(1) 先将[a,b]n 分,分点x
k
=a+kh,k=0,1,?n.
ba
h
n
=
n1
nk
k1
h
T[f(a)2f(x)f(b)]
2
=
=+ +
∑
(2) 将步长,将每个 [x
k
,x
k+1
]二 分,其中点为
,k=0,1,n-1.
+
=++
1
2
1
k
2
a(kx )h
时[a,b] 分为2n个长度为 的,
h
2
+
==
=++
∑∑
n1 n1
2n k 1
k
k1
h
k0
2
2
T [f(a) 2 f(x ) 2 f(x ) f(b)]
2
公式
+
=
∴= +
∑
n1
n
k
1
k
2
0
2
n
1
Tf()x
h
22
T
注,(1) 计算T2n时,?˙在Tn的基 上,·计算n个点
x
k+0.5
(k=0,1,?n?1)处f(x)的函数值.
(2) 将 公式 入Algorthm,? 制变步长梯形算法的,
=
+
=
=× +++
∑ ∑
n1 n
k
k
1
2n 1
k
k1 0
2
h
[f(a) 2 f(x ) f(b)]
1h
222
x
fi3.4 用变步长算法计算,并￠求,
1
0
sinx
Id
x
=
∫
2
1
2
<×10
,(1)取h=1,n=1.
1
11
T [f(0) f(1)] (1 0.8414710) 0.9207355
22
=+=+ =
(2) 将步长 为,分点为,则
1
2
1
0,,1
2
=+ = + =
21
111
T T f( ) (0.9207355 0.958810) 0.9397933
2 2 22
1
(3) 将步长 为,分点为,
1
4
113
0,,,,1
424
= ×<×
22
42
1
T T 0.0047203 10 10
2
其中
=∴ ≈
4
0.944I T 5135
= × >×
22
21
1
T T 0.190578 10 10
2
而
=+ +=× + + =
42
1
2
111
T T [f( ) f( )] 0.9397933 (0.9896158 0.9088516) 0.9
2
4
1
4
3
44
5135
224
3.4.2 Romberg公式用 的事后 计法得到复 梯形公式的,
2n 2n n
1
IT (T T)
3
≈?
的 为
2n
T
2n n
1
(T T )
3
若将? 给,?以得到 的 果.
2n
T
是I的 个 好的近似值,称为 公式.
公式?以加,?以fl,
=+?
2
_
2n n
_
n
1
(T T )
3
TT
=
n 2n n
41
TT (3
3
S
3
.21)
上式有如?',复杂公式Sn?以有Tn表?.
=?≈∴
__
2n n
41
3
TT
3
TI
类似
=
4
n
IS O(h)∵
≈?
2n2n n
1
IS ( )
15
SS
￠而,?有 公式 2n n
I
1
5
SS
61
115
≈?
∴=≈
4
h
2n 2
4
n
O( )IS
1
IS 16O(h )
∴? ≈?
2n n
1
IS (I
6
S
1
)
1
16
注步长 后,是原来的
得 事后 计式
2n nn
16 1
S S C (3.22)
15 15
=?
易
Cn?由Simpson公式步长二分 后a个值的¨￡? 表?.
6
n
IC O(h)?=∵
出如?加￡ 的 公式 Romberg公式.
=?
2n nn
C C
64 1
63 63
R (3.23)
注,1 R
n
是 变步长梯形公式的 公式,其 ￡度,
2 如何用Romberg公式计算,并￠求
1
0
If(x)dx=
∫
<×
10
1
2
10
Romberg算法:将Tn 列加? Romberg 列Rn,￠而加￡,
6
2n
6
n
h
O( )
IC 1
2
IC O(h) 64
∴=≈
T
1
T
2
T
4
S
1
C
1
T
32
S
16
C
8
R
4
S
2
T
8
S
4
C
2
R
1
T
16
S
8
C
4
R
2
…… … …
if |R
2
-R
1
|< 则R
2
即为所求
else 计算R
4
,,|R
4
-R
2
|< ……
Romberg算法
(1)￥k=0 度￠求 h=b-a
1
h
T [f(a) f(b)]
2
=+
+
=+
= + =?
1
T
41
22233
2
1
h
hkk1
T f( ) S Th ah T
(2)
=+ = + + + +
=? =?
2
T
h
4
1641 1
2421 213 3 15 15
hkk1T h[f(ah)f(a3h)]
STTCSS
(3)
(4)
=
=+ = + +
=? =? =
∑
4
h1
8422
i1
16 6441 1 1
4842 411 2 13 3 15 15 63 63
(2hkk1TThf(a )
STTCSSR C
i1)h
C
(5)
=
=+ = + +?
=? =? =?
∑
k1
kk-1
k-1 k k-1 k-2 k-1 k-2 k-3 k-2 k-3
z
h1
22
22
i1
16 6441 1 1
3 3 15 15 63 63
222 2 2 2
hkk1TThf[(a(2i1)h]
STTC SSR CC
<?≈
k-3 k-4 k-3
22 2
stif
else
|R R | ε,IR,
got
op
o <5>
(6)
注:?达到currency1' 度.
fi 用变步长计算,并￠求,
==
+
∫
1
2
0
4
Idx
1x
6
1
2
<×10
,
(1)
=+=
++
1
22
h4 4
T[f( )f( )]3
2 10 11
2
3 14
2 22
10.5
T3,
+
=+× =
(2)
4
22
3.1 1 4 4
T [ ] 3.1311765
2 4 1 0.25 1 0.75
=+ + =
++
(3)
(4)
4
8
2222
3517
8888
T 14444
T[ ]
2 81() 1() 1() 1()
3.1389885
=+ +++
++++
=
41
1 33
S 3.1 3 3.1333333=×?×=
242
41
S T T 3.1415686,
33
=?=
121
16 1
C S S 3.1421177
15 15
=?=
1641 1
484 2 4133 15 5
64 1
12163 63
S T T 3.1415925,C S S 3.1415941,
R C C 3.1415858
=?= =?=
=?=
(5)
=
=+ =
+
==
=
∑
8
8
16
2
1
84
2
T
14
T [ ] 3.1409416
21
28
1( )
8
S 3.1415927,C 3.1415927,
R 3.141592639
i
i
(6)
5
21
R R 0.6839 10
= ×∵
= × <×
∴≈ =
76
42
4
1
R R 0.05 10 10
2
I R 3.141592644
∵
(7)
HW:用′ 方法求
0.8
32
0
,0.510xdx ε
= ×
∫
32 16 8
4
T 3.1414299,S 3.1415926,C 3.1415926,
R 3.141592644
===
=
6
1
10
2
> × go on (5) ∴
由微积分的?§
h0
f(a h) f(a)
f '(a) lim (*)
h
→
+?
=
而实 中,?f(x)currency1出,
1 f(x)由函数表给出 2 f(x)ˇ?复杂,不 求
以上的f(x)难于用(*)式求,?用近似的方法求函数的 数----数值微分
,'法
f(a h) f(a)
f'(a) f[a,a h]
h
+?
≈=+
f(a) f(a h)
f'(a) f[a h,a]
h
≈=?
3.6 数值微分
,'
AB的?率
“后 '
AC的?率将a式平均得:
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'(a)
2h
G(h)
中点法
BC的?率由公式,中点公式的 为,? ≈
2
G(hf'(a) O(h) )
中点公式分?
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'( ha) G( )
2h
注 1 由,步长h越,度越高.
2?步长h越 f(a+h)与f(a-h)越接近.
3 由舍入 分?,应 相近的数相 h不宜fi,
用二分步长 的事后 计法 选 步长——变步长算法
≈
2
G(hf'(a) O(h) )
根据Richardson 法fl?进 步
2
12
(),()
h
DGhDG= =
——事后 计法 |D
2
D
1
|
'2'
2
2
2
1
() ( ) () ()
h
fa D Oh fa D O?≈,?≈
'
2
'
1
() 1
4()
fa D
fa D
≈
'
2 2
1
3
1
() ()DD Dfa?≈
41
21
3
'
3
1
() Dfa GD?∴≈ =
2
41
33
1
()() ()
h
Gh GGh=?
1
4'
()() ( )fa Gh O h?≈且
16 1
15
112
15 2
(() )()
h
Gh GGh=?
64 1
63
113
63 2
(() )()
h
Gh GGh=?
fi1.用变步长中点法求e
x
在x=1处的 数值,h=0.8,度
￠求 =0.5 10
-4
.
分?,f(x) = e
x
则f?(x)= e
x
f?(1)= e
由中点公式
+
≈=
f(a h) f(a h)
f'( ha) G( )
2h
'11
1
2
(1) ( )
hh
h
feee
+?
∴=≈?
2.722810.1
0.013632.736440.2
0.054912.791350.4
|G(0.5h)-G(h)|
G(h)h
0.22633.017650.8
二,值求
ˉf(x)的 Lagrange 值公式Pn(x).
,f(x)函数表:
x x
0
x
1
x
2
x
n
f(x) f(x
0
) f(x
1
) f(x
2
)? f(x
n
)
于是,ˉ如?近似求 公式 值 求 公式
f
(k)
(a) Pn
(k)
(a) 当 k=1,f?(a) Pn?(a),
(1)
()
(1)
() () () () ()
n
f
nn
n
fx Px fx Px x
ξ
+
+!
≈? =且注即 f(x)与 Pn(x)相 不大,能…们的 数相 很大
=?
x=ann
f(x) P (f'(a) P '(a) [ ]'x)
+
+
=
(n 1)
f()
x=a(n 1
ξ
)!
[w(x)]'
+ +
++
= +
(n 1) (n 1)
f(ξ)
(n 1)!
f(ξ)
nx(n 1)!
[]f'(a) P '(a) { w(x) w'(x)}'
由于 是x的?函数,上式 法 计.
若a为 值节点时,w(a)=0.
+
=
+
(n 1)
n
f()
f '(a) P '(a) w'(a)
(n 1)!
f?(a) Pn? (a),a为 值节点?用 节点 值公式.
fi.?点公式 n=2,在x
0
,x
1
=x
0
+h,x
2
=x
2
+2h进?二 值,
=++
02 0112
01 02 10 12 20 21
(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )
2012(x x )(x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )
P(x) f(x ) f(x ) f(x )
–x=x0+th 则
=+= +
11
22 0 1 222
P (x) P (x th) (t 1)(t 2)f(x ) t(t 2)f(x ) (t 1)(t 2)f(x )
对t求
将t=0,1,2 入,得
≈=?+?
≈=
≈=
+
+
0012
1
2
20
21
2
0
2
2
012
1
[ f(x ) f(x )]
1
f '(x ) [ 3f(x ) 4f(x ) f(x )]
2h
f'(x)
1
f'(x ) [f(x ) 4f(x) 3f(x )]
2h
P'(x)
P'(x)
P'(x)
2h
+?= +?
20
P '(x th) h (2t 3)f(x ) (2t 2)f(x ) (2t 1)f(x )
+= +?
1
122h
P '(x h) [(2t 3)f(x ) 4(t 1)f(x ) (2t 1)f(xt )]
分别为:
=
=?
=
∈
2
020
2
121
2
222
02
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
3
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
6
h
f '(x ) P '(x ) f '''( )
3
(x,x )其中
fi,?y=e
x
的函数表.
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y 12.1825 13.4637 14.8797 16.446 18.1741
‰用?点数值微分公式计算2.7处的 数值.
,h=0.2时 ≈?=
×
1
f '(2.7) (18.1741 12.1825) 14.979
20.2
=,f '(2.7) 14.87973...注分?:用中点公式
+≈= =
2121 01
1
[ f(x ) f(xf'(x ) )]P'(x) x 7
2h
2.
≈?=
×
1
f '(2.7) (16.4446 13.4637) 14.9045
20.1
h=0.1时
=? ∈
2
121 02
h
f '(x ) P '(x ) f '''( ) (x,x )
6
其中∵
''' 2,9
max | ( ) | 27fx e=<
'' ''
2
| (2.7) (2.7) | 0.045 0.1)fp h < ( =
1.机械求积公式 ≈+++
∫
b
00 11 nn
a
f(x)dx A f(x ) A f(x ),.,A f(x )
2.求积公式的 数 度
3,值 求积公式
b
kk
a
Al(x)dx=
∫
iff ′? 有n 数 度
4.Newton-Cotes求积公式 节点的 值 求积公式
=
=?
∑
n
kk
k0
n
(b a) C f(x )I
ξ
= =? ξ∈
(2)
3
T
3
f()
(b a) O(b a) (a,b)
1
R
2
==? +
1
1
T I (b a)[f(a) f(b)]
2
+
==? + +
2
1ab
S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)]
62
=?
S
5
O(b a)R
5.复 求积公式
∑
n-1
k
k=1
n
h
2
=[f(a)T +2 f( )+x f(b)]
≈?
2
h
n
12
2
[f'(b)-f'(a) OT ]=I (h- )
ξξ =∈?
2
b-a
12
n
fI-T,(h "( ) a,b)
6.变步长的梯形公式与Romberg算法
7,值 求 公式 中点公式
