北京英才苑学科专家组 安振平 审定
2003－2004学年度下学期高中学生学科素质训练
高二数学测试题—排列组合及应用（9）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭。则每天不同午餐的搭配方法总数是 （ ）
A．22 B．56 C．210 D．420
3．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 （ ）
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
4．湖北省分别与湖南、安徽、陕西三省交界,且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法的种数是 （ ）
A．240 B．120 C．60 D．320
5．空间6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 （ ）
A．3360元 B,6720元 C．4320元 D．8640元三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为
A,12 B,72 C．60 D．40
在某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到一次，则三天都迟到的学生人数的最大可能值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A，E，B，F，C，G，D，H，O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）
A．6个 B,7个 C．8个 D．9个
10．有赤玉2个，青玉3个，白玉5个，将这10个玉装在一个袋中，从中取出4个，取出的玉同色的2个作为一组，赤色一组得5分，青色一组得3分，白色一组得1分，得分合计的不同分值是m种，则m等于 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．若集合A、A满足AA=A，则称(A,A)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A=A时，(A,A)与(A,A)为集合的同一种分拆，则集合A={a,a,a}的不同分拆种数是 （ ）
A．27 B．26 C．9 D．8
12.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则第1，2号同学都同意的候选人的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．用红、黄、蓝、白4种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同颜色．如果颜色可以反复使用，则不同的染色方法共有 种．
14．三位数中、如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则这个数为凹数，如524、746等都是凹数。那么各个数位上无重复数字的三位凹数共有_____个．
15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 （用数字作答）种不同情况．
16．在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，
且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种．
三、解答题（共计74分）
17．（12分）人排成一排照相，A．B．C三人互不相邻，D．E也不相邻，共有多少种排法？
18．（12分）有些至少是三位的自然数，除去首两位数字外，每位数字都是它前面两个数字的和，并且最后的两位数字之和至少是10，例如257，1459等等．那么这样的自然数一共有多少个？
19,（12分） 若f是集合A={a,b,c,d}到B={0,1,2}的映射，且,试问：这样的不同映射f共有多少个？
20,（12分）已知都是正数，将所有型如（i,j,k=1,2,3,4,且i,j,k互不相同）的数按从小到大的顺序组成一个数列，记该数列的各项和为S，
（1）指出这个数列共有多少项？
（2）试证：S
21．（12分）A
（１）能构成多少个从A到A的映射？
（２）能构成多少个从A到A的一一映射？
（３）能构成多少个从A到A的映射，且恰有一个元素无原象？
22．（14分）从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，
若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有个；若组成等比数列，则这样的等比数列共有个;
若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有个；
若所取三数中每两个数之间至少相隔两个自然数，则这样的数组有个．
高二数学下学期数学参考答案（9）
一、选择题
1A 2C 3C 4D 5C 6D 7C 8C 9C 10C 11A 12D
4解：D ．
5解：．
二、填空题
13．解：８４；
14．解：形如“*0*”、“*1*”、“*2*”、“*3*”、“*4*”、“*5*”、“*6*”、“*7*”的数一共有：；
15．解：
16．解：
三、解答题
17．解：A．B．C三人互不相邻的排法共有种，（4分）其中D．E相邻的有（）种，（8分）所以共有符合条件的排法-（）=11520种．（12分）
18．解,由于后面的每位数字都是它前面的两位数字的和，因此每个这样的自然数完全被它的前两位数字决定。题目的第二个条件说明，当前两位数字固定时，我们要求这样的数尽可能大，既符合题设条件的数只有一个．为保证位数至少有三位，最前面的两位数字的和应当不超过9。因此当首位数字依次为1，2，...，8，9时，第二位数字分别有9，8，...，1种可能，合计为(1+9)*9/2=45个．（12分）
19．解：4=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+1.所求的不同映射有种．（12分）
20．解：（1）这个数列共有项；（6分）
(2)S=
.（12分）
21解：（１）； （4分） （２）A； （8分） （３）．（12分）
22解：（1）设A=?，从A或B中任取两个数总可作等差数列的第一，二项，且等差中项唯一存在，因此所求的等差数列共有个．用列举法：公比是3或的等比数列有4个；公比是2或的等比数列有10个；公比是4或的等比数列有2个，共有等比数列16个．（4分）
（2）设，，则从每个集合中任取3个数，或每个集合中各取1个数，其和必是3的倍数，故所求的数组共有
个；
又设A=?，则从中取3个数且和为偶数的取法有
种，其中3个数的和不大于10的有6个。故合条件的数组共有570–6=564个．（9分）
（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个“位置”，这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有，对每种排法中的前20个球从左至右赋值1，2，…，20，则三个黑球上的数即为取出的数，因此所取的数组共有个．（14分）
2003－2004学年度下学期高中学生学科素质训练
高二数学测试题—排列组合及应用（9）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭。则每天不同午餐的搭配方法总数是 （ ）
A．22 B．56 C．210 D．420
3．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 （ ）
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
4．湖北省分别与湖南、安徽、陕西三省交界,且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法的种数是 （ ）
A．240 B．120 C．60 D．320
5．空间6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为 （ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 （ ）
A．3360元 B,6720元 C．4320元 D．8640元三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，且6可以作9用，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为
A,12 B,72 C．60 D．40
在某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到一次，则三天都迟到的学生人数的最大可能值是 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，O是正方形中心，在A，E，B，F，C，G，D，H，O这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（ ）
A．6个 B,7个 C．8个 D．9个
10．有赤玉2个，青玉3个，白玉5个，将这10个玉装在一个袋中，从中取出4个，取出的玉同色的2个作为一组，赤色一组得5分，青色一组得3分，白色一组得1分，得分合计的不同分值是m种，则m等于 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
11．若集合A、A满足AA=A，则称(A,A)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A=A时，(A,A)与(A,A)为集合的同一种分拆，则集合A={a,a,a}的不同分拆种数是 （ ）
A．27 B．26 C．9 D．8
12.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则第1，2号同学都同意的候选人的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．用红、黄、蓝、白4种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同颜色．如果颜色可以反复使用，则不同的染色方法共有 种．
14．三位数中、如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则这个数为凹数，如524、746等都是凹数。那么各个数位上无重复数字的三位凹数共有_____个．
15．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 （用数字作答）种不同情况．
16．在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，
且满足，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种．
三、解答题（共计74分）
17．（12分）人排成一排照相，A．B．C三人互不相邻，D．E也不相邻，共有多少种排法？
18．（12分）有些至少是三位的自然数，除去首两位数字外，每位数字都是它前面两个数字的和，并且最后的两位数字之和至少是10，例如257，1459等等．那么这样的自然数一共有多少个？
19,（12分） 若f是集合A={a,b,c,d}到B={0,1,2}的映射，且,试问：这样的不同映射f共有多少个？
20,（12分）已知都是正数，将所有型如（i,j,k=1,2,3,4,且i,j,k互不相同）的数按从小到大的顺序组成一个数列，记该数列的各项和为S，
（1）指出这个数列共有多少项？
（2）试证：S
21．（12分）A
（１）能构成多少个从A到A的映射？
（２）能构成多少个从A到A的一一映射？
（３）能构成多少个从A到A的映射，且恰有一个元素无原象？
22．（14分）从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，
若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有个；若组成等比数列，则这样的等比数列共有个;
若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有个；
若所取三数中每两个数之间至少相隔两个自然数，则这样的数组有个．
高二数学下学期数学参考答案（9）
一、选择题
1A 2C 3C 4D 5C 6D 7C 8C 9C 10C 11A 12D
4解：D ．
5解：．
二、填空题
13．解：８４；
14．解：形如“*0*”、“*1*”、“*2*”、“*3*”、“*4*”、“*5*”、“*6*”、“*7*”的数一共有：；
15．解：
16．解：
三、解答题
17．解：A．B．C三人互不相邻的排法共有种，（4分）其中D．E相邻的有（）种，（8分）所以共有符合条件的排法-（）=11520种．（12分）
18．解,由于后面的每位数字都是它前面的两位数字的和，因此每个这样的自然数完全被它的前两位数字决定。题目的第二个条件说明，当前两位数字固定时，我们要求这样的数尽可能大，既符合题设条件的数只有一个．为保证位数至少有三位，最前面的两位数字的和应当不超过9。因此当首位数字依次为1，2，...，8，9时，第二位数字分别有9，8，...，1种可能，合计为(1+9)*9/2=45个．（12分）
19．解：4=2+2+0+0=2+1+1+0=1+1+1+1.所求的不同映射有种．（12分）
20．解：（1）这个数列共有项；（6分）
(2)S=
.（12分）
21解：（１）； （4分） （２）A； （8分） （３）．（12分）
22解：（1）设A=?，从A或B中任取两个数总可作等差数列的第一，二项，且等差中项唯一存在，因此所求的等差数列共有个．用列举法：公比是3或的等比数列有4个；公比是2或的等比数列有10个；公比是4或的等比数列有2个，共有等比数列16个．（4分）
（2）设，，则从每个集合中任取3个数，或每个集合中各取1个数，其和必是3的倍数，故所求的数组共有
个；
又设A=?，则从中取3个数且和为偶数的取法有
种，其中3个数的和不大于10的有6个。故合条件的数组共有570–6=564个．（9分）
（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个“位置”，这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有，对每种排法中的前20个球从左至右赋值1，2，…，20，则三个黑球上的数即为取出的数，因此所取的数组共有个．（14分）
