排列组合应用题解法综述计数问题中排列组合问题是最常见的，
由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，
而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，
并把握一些常见解题模型是必要的。
基本原理组合排列 排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：
名称内容 分类原理 分步原理定 义相同点不同点两个原理的区别与联系：
做一件事或完成一项工作的方法数直接（ 分类 ）完成 间接（ 分步骤 ）完成做一件事，完成它可以有 n类办法，
第一类办法中有 m1种不同的方法，
第二类办法中有 m2种不同的方法 …,
第 n类办法中有 mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…m n 种不同的方法做一件事，完成它可以有 n个步骤，
做第一步中有 m1种不同的方法，
做第二步中有 m2种不同的方法 ……,
做第 n步中有 mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1·m 2·m 3·…·m n 种不同的方法,
1.排列和组合的区别和联系：
名 称 排 列 组 合定义种数符号计算公式关系性质,
mnA mnC
( 1 ) ( 1 )mnA n n n m
!
( ) !
m
n
nA
nm ! 0 ! 1nnAn
!
)1()1(
m
mnnnC m
n
)!(!
!
mnm
nC m
n 10?nC
m m m
n n mA C A
mnnmn CC 11 mnmnmn CCC
从 n个不同元素中取出 m个元素,按一定的顺序 排成一列从 n个不同元素中取出 m个元素,把它并成 一组所有排列的的个数 所有组合的个数
1
1
mm
nnA nA
一、把握分类原理、分步原理是基础例 1
如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有 6个焊接点 A,B,C,D,E,F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （ B） 64种 （ C） 6种 （ D） 36种
C
D
BA
EF
分析,由加法原理可知 1 2 6
6 6 6 63C C C
由乘法原理可知 2× 2× 2× 2× 2× 2-1=63
小结,本题主要考查了二个原理、分类讨论的思想。以物理问题为背景（或其它背景如以英语单词）的排列、组合应用题，显得小巧有新意,
练习 1 在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有 10人，则可能出现的录用情况有 ____种（用数字作答）。
2 1 11 0 8 7 2520C C C解法 1:
解法 2,4 2 2
1 0 4 2 2520C C A
本题考查了乘法原理或先组后排。
高考突出考查运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作答，同学们千万要注意。
二、注意区别“恰好”与“至少”
例 2 从 6双不同颜色的手套中任取 4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）
(A) 480种（ B） 240种 （ C） 180种 （ D） 120种解：
1 2 1 16 5 2 2 240C C C C
练习 2 从 6双不同颜色的手套中任取 4只，
其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____种解：
4 4 1 41 2 6 2( ) 2 5 5C C C
三、特殊元素（或位置）优先安排例 3 将 5列车停在 5条不同的轨道上,其中 a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有 （ ）
（ A） 120种 （ B） 96种 （ C） 78种 （ D） 72种解,4 1 1 3
4 3 3 3 78A A A A
练习 3 从 7盆不同的盆花中选出 5盆摆放在主席台前，
其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 _____种不同的摆放方法（用数字作答）。
解：
1456 1800AA
782 334455 AAA
小结,1、“在”与“不在”可以相互转化。
解决某些元素在某些位置上用“定位法”，
解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解 。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”
现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例 4 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、
乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种
960种 （ B） 840种 （ C） 720种 （ D） 600种解,242
2 4 5 960AAA
另解,2 5 1
2 5 4 960A A A
小结,以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”
有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定,
练习 4 某城新建的一条道路上有 12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（ A） 种（ B） 种 （ C） 种 （ D） 种
38C 3
8A 39C 311C
解：
3
8C
五、混合问题，先“组”后“排”
例 5 对某种产品的 6件不同的正品和 4件不同的次品,
一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前 5次测试恰有 4次测到次品，且第 5
次测试是次品。故有,种可能
5 7 6441634?ACC
练习 5 某学习小组有 5个男生 3个女生，从中选 3名男生和 1名女生参加三项竞赛活动，
每项活动至少有 1人参加，则有不同参赛方法 ______种,
解：采用先组后排方法,3 1 2 3
5 3 4 3 1080C C C A
小结,本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
六、分清排列、组合、等分的算法区别例 6 (1)今有 10件不同奖品,从中选 6件分给甲一件,
乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分给三人,其中 1
人一件 1人二件 1人三件,有多少种分法?
(3) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分成三份,每份 2
件,有多少种分法?
解：（ 1） 1 2 3
1 0 9 7 12600C C C
（ 2）
1 2 3 31 0 9 7 3 75600C C C A
(3)
33
6 2 2 211 0 6 4 2( ) 3 1 5 0
AC C C C )/(
332628210 ACCC
小结,排列与组合的区别在于元素是否有序 ; m等分的组合问题是非等分情况的 ;
而元素相同时又要另行考虑,
练习 6
(1)今有 10件不同奖品,从中选 6件分成三份,二份各 1件,另一份 4件,有多少种分法?
(2) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分给甲乙丙三人,
每人二件有多少种分法?
解,(1)
(2)
6 4 1 111 0 6 2 12 3150C C C C
6 2 2 21 0 6 4 2 18900C C C C
)( 2628210 CCC
七、分类组合,隔板处理例 7 从 6个学校中选出 30名学生参加数学竞赛,每校至少有 1人,这样有几种选法?
分析,问题相当于把个 30相同球放入 6个不同盒子 (盒子不能空的 )有几种放法?这类问可用“隔板法”处理,
解,采用“隔板法” 得,
529 4095C?
小结：把 n个相同元素分成 m份每份,
至少 1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有种,
11mnC
本课回顾复习了二个计数原理和排列组合数公式,重点分析了排列组合应用题常见的几种模型,以及解决这些问题的几种典型方法。
由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，
而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，
并把握一些常见解题模型是必要的。
基本原理组合排列 排列数公式组合数公式组合数性质应用问题知识结构网络图：
名称内容 分类原理 分步原理定 义相同点不同点两个原理的区别与联系：
做一件事或完成一项工作的方法数直接（ 分类 ）完成 间接（ 分步骤 ）完成做一件事，完成它可以有 n类办法，
第一类办法中有 m1种不同的方法，
第二类办法中有 m2种不同的方法 …,
第 n类办法中有 mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…m n 种不同的方法做一件事，完成它可以有 n个步骤，
做第一步中有 m1种不同的方法，
做第二步中有 m2种不同的方法 ……,
做第 n步中有 mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1·m 2·m 3·…·m n 种不同的方法,
1.排列和组合的区别和联系：
名 称 排 列 组 合定义种数符号计算公式关系性质,
mnA mnC
( 1 ) ( 1 )mnA n n n m
!
( ) !
m
n
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nm ! 0 ! 1nnAn
!
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n 10?nC
m m m
n n mA C A
mnnmn CC 11 mnmnmn CCC
从 n个不同元素中取出 m个元素,按一定的顺序 排成一列从 n个不同元素中取出 m个元素,把它并成 一组所有排列的的个数 所有组合的个数
1
1
mm
nnA nA
一、把握分类原理、分步原理是基础例 1
如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有 6个焊接点 A,B,C,D,E,F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （ B） 64种 （ C） 6种 （ D） 36种
C
D
BA
EF
分析,由加法原理可知 1 2 6
6 6 6 63C C C
由乘法原理可知 2× 2× 2× 2× 2× 2-1=63
小结,本题主要考查了二个原理、分类讨论的思想。以物理问题为背景（或其它背景如以英语单词）的排列、组合应用题，显得小巧有新意,
练习 1 在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员二名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务人员的考生有 10人，则可能出现的录用情况有 ____种（用数字作答）。
2 1 11 0 8 7 2520C C C解法 1:
解法 2,4 2 2
1 0 4 2 2520C C A
本题考查了乘法原理或先组后排。
高考突出考查运算能力，排列、组合的选择填空题都要求以数字作答，同学们千万要注意。
二、注意区别“恰好”与“至少”
例 2 从 6双不同颜色的手套中任取 4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）
(A) 480种（ B） 240种 （ C） 180种 （ D） 120种解：
1 2 1 16 5 2 2 240C C C C
练习 2 从 6双不同颜色的手套中任取 4只，
其中至少有一双同色手套的不同取法共有 ____种解：
4 4 1 41 2 6 2( ) 2 5 5C C C
三、特殊元素（或位置）优先安排例 3 将 5列车停在 5条不同的轨道上,其中 a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有 （ ）
（ A） 120种 （ B） 96种 （ C） 78种 （ D） 72种解,4 1 1 3
4 3 3 3 78A A A A
练习 3 从 7盆不同的盆花中选出 5盆摆放在主席台前，
其中有两盆花不宜摆放在正中间，则一共有 _____种不同的摆放方法（用数字作答）。
解：
1456 1800AA
782 334455 AAA
小结,1、“在”与“不在”可以相互转化。
解决某些元素在某些位置上用“定位法”，
解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解 。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”
现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例 4 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、
乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种
960种 （ B） 840种 （ C） 720种 （ D） 600种解,242
2 4 5 960AAA
另解,2 5 1
2 5 4 960A A A
小结,以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”
有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定,
练习 4 某城新建的一条道路上有 12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（ A） 种（ B） 种 （ C） 种 （ D） 种
38C 3
8A 39C 311C
解：
3
8C
五、混合问题，先“组”后“排”
例 5 对某种产品的 6件不同的正品和 4件不同的次品,
一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前 5次测试恰有 4次测到次品，且第 5
次测试是次品。故有,种可能
5 7 6441634?ACC
练习 5 某学习小组有 5个男生 3个女生，从中选 3名男生和 1名女生参加三项竞赛活动，
每项活动至少有 1人参加，则有不同参赛方法 ______种,
解：采用先组后排方法,3 1 2 3
5 3 4 3 1080C C C A
小结,本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
六、分清排列、组合、等分的算法区别例 6 (1)今有 10件不同奖品,从中选 6件分给甲一件,
乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分给三人,其中 1
人一件 1人二件 1人三件,有多少种分法?
(3) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分成三份,每份 2
件,有多少种分法?
解：（ 1） 1 2 3
1 0 9 7 12600C C C
（ 2）
1 2 3 31 0 9 7 3 75600C C C A
(3)
33
6 2 2 211 0 6 4 2( ) 3 1 5 0
AC C C C )/(
332628210 ACCC
小结,排列与组合的区别在于元素是否有序 ; m等分的组合问题是非等分情况的 ;
而元素相同时又要另行考虑,
练习 6
(1)今有 10件不同奖品,从中选 6件分成三份,二份各 1件,另一份 4件,有多少种分法?
(2) 今有 10件不同奖品,从中选 6件分给甲乙丙三人,
每人二件有多少种分法?
解,(1)
(2)
6 4 1 111 0 6 2 12 3150C C C C
6 2 2 21 0 6 4 2 18900C C C C
)( 2628210 CCC
七、分类组合,隔板处理例 7 从 6个学校中选出 30名学生参加数学竞赛,每校至少有 1人,这样有几种选法?
分析,问题相当于把个 30相同球放入 6个不同盒子 (盒子不能空的 )有几种放法?这类问可用“隔板法”处理,
解,采用“隔板法” 得,
529 4095C?
小结：把 n个相同元素分成 m份每份,
至少 1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有种,
11mnC
本课回顾复习了二个计数原理和排列组合数公式,重点分析了排列组合应用题常见的几种模型,以及解决这些问题的几种典型方法。
