12.3 参 数 的 点 估 计学 习 目 标理解 点估计的概念。
了解 最大似然法和估计量的评价标准。
会 用矩估计法求总体均值与方差的估计量。
例 1 某商场在决定是否接收厂家送来的一大批箱装商品时,随机地抽取若干箱进行检验,
根据这几箱的平均次品数,估计该批商品平均每箱的次品数,
例 2 某省在一次高考结束后,先要对考试成绩做一个估计,随机地抽取每科中的几包试卷进行试判,根据判卷结果估计全体考生的总分的平均值和与平均值的偏离程度进行推断,从而估计出当年的录取线,
参数估计是统计推断的基本内容之一,
参数估计有两种方法,点估计 与 区间估计,
要估计的总体参数称为 待估参数,,表示用?
假设总体分布已知,其中有一个或多个参数未知,利用来自总体的样本估计总体的未知参数值,就是参数估计,
用一个估计量估计总体参数,用这个估计量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法称为 点估计,由这种方法得到的估计值为 点估计值,
的为
，称估计构造统计量本，
个样的一是来自总体设
),,,(?
,,,
21
21
n
n
xxx
Xxxx
估计量,
.?)(?，简记为，称为观察值值得到一个估计量的对应于一个样本值相应估计值
12.3.1 矩估计法以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量的方法称为 矩估计法,
.),(
,,,
22
21
的估计量，试求个样本，的一是来自正态总体设
N
xxx n?例 3
解,,,2,1,)(,)( 2 nixDxE ii
22
222
)(
)()()(
i
iii
xE
xExExD又有
)1(
1
1
n
i
ixnx?
总体均值的估计量于是，
2
1
22?1
n
i
ixn
总体方差的估计量
)2()(1
1
2?
n
i
i xxn
)3()(
1
1
2?
n
i
i xxn?
总体标准差的估计量
)2()(
1
1
1
22
n
i
i xxn?
方差的估计量，则若以样本方差作为总体
)3()(
1
1
1
2
n
i
i xxn?
总体标准差的估计量为例 4
.
1 2 21 0 81 2 71 3 01 0 5
.
5
估计值布的数学期望与方差的试用矩估计法求总体分样本的一组观察值为个样本一的中抽取容量为设从正态总体 X
解
n
i
ixx
15
1
)1(
由估计量
)122108127130105(51
4.118?
例 4
.
1 2 21 0 81 2 71 3 01 0 5
.
5
估计值布的数学期望与方差的试用矩估计法求总体分样本的一组观察值为个样本一的中抽取容量为设从正态总体 X
解
n
i
i xx
1
22 )(
5
1
)2(
由估计量
)6.34.106.86.114.13(51 22222
84.1 0 1?
n
i
i xx
1
22 )(
15
1
)2(
或用估计量
)6.34.106.86.114.13(41 22222
30.1 2 7?
例 5
2.1)( xXE
总体均值的估计值为解总体方差的估计值为
.,
1.1,3.0,2.2,7.1,6.0,3.1
,0
0,
1
)(
、方差以及参数试估计总体的数学期望值的一组样本是总体
，
其它服从均匀分布设
X
x
xf
X
)1.09.015.06.01.0(16 1)(? 222222XD
588.0?
2/)(XE
匀分布，其均值为由于总体分布已知为均
,2 x令 的估计值为得?
4.22 x?
12.3.2 最大似然估计法例 6 设有一批产品,根据以往的经验知道它的产品率 p 可能是 0.1 或 0.3,生产这批产品的厂家认为该批产品质量很好,次品率大约为 0.1,
而收购产品的商业部门认为产品质量有问题,次品率可能为 0.3,现从这批产品中随机抽取 15 件,
发现有 5 件次品,问,生产厂家与收购部门谁的估计更可靠些?
解,),(~ pnBXX,则记次品数为
0 1 0 5.09.01.0)5( 105515 CXP
概率，后一概率明显大于前一件次品的概率为件中有则若次品率 515,1.01?p
件次品的概率为件中有则若次品率 515,3.02?p
2 0 6 1.07.03.0)5( 105515 CXP
.
3.0
靠一些次品率的估计值更为可作为因此用最大似然估计的思想,
.?一个未知参数设总体分布已知，但有
.
的估计值，记作现概率最大的值作为一个使样本观测结果出的所有可能取值中选出可以取很多值，在最大似然估计值,的为未知参数称
最大似然估计值,的是
，因此，值是次品出现的概率最大的件产品中有—使样本观察结果的可能取值为中的例
3.0
3.05
15,3.0
,1.0?6
2
2
211
p
p
p
.
);();();(
);,,,(
,,,
),;(
21
21
21
的称为函数是一组样本观察值，未知参数，
为的分布形式为设已知总体
n
n
n
xfxfxf
xxxLL
xxx
xfX
似然函数
);();();(
),;(,
21
nxfxfxfL
xfX
似然函数为密度函数为是连续型若
);();();(
),;()(
21
nxpxpxpL
xpxXPX
似然函数为是离散型若求总体未知参数的最大似然估计值就是求似 然函数的最大值,
可微关于若 ),,,;( 21 nxxxLL
0ddL则由似然方程
.的最大似然估计量即可解得?
的称为达到最大的值使L 最大似然估计值,
的称为表达式 ),,,(? 21 nxxx?最大似然估计量,
0lnd Ld或对数似然方程例 7
.,,的值用最大似然法估计未知其中布为参数的泊松分服从以已知总体
X
解
n
i i
x
exL
i
1 !
)(似然函数为
),2,1,0(
!
)( ke
k
kXP
X
k
的分布律为总体
,,,,21 为一个样本设 nxxx?
nxxL
n
i
i
n
i
i
11
)!l n (lnln两边取对数
n
n
xxx
exxx
n
)!()!)(!(
21
21
并令其为零求导对,?
01ln
1
nxd Ld
n
i
i
nxxL
n
i
i
n
i
i
11
)!l n (lnln两边取对数
n
i
ixn
1
1?
的最大似然估计量解得
x?
,,,,21 为一组样本观察值若 nxxx?
.
1?
1
的最大似然估计值为则
n
i
i
x
n
的最大似然估计量为的参数可以得到正态总体类似地
2
2
,
),(,
N
x?
n
i
i xxn
1
22 )(1
n
i
ixn
1
1
12.3.3 估计量的评价标准
1,无偏性的为参数则称满足：
的估计量若参数
,)?(
),,,(?
21
E
xxx
n
定义 12.5
无偏估计量,
例 8,均值的无偏估计量证明：样本均值为总体证
,,,,
,)(
21 nxxx
XEX
来自总体的样本为的均值设总体
)1()(
1
n
i
ixnExE
)]()()([1 21 nxExExEn
nn1
.命题得证
n
i
ixnx
1
1则样本均值为
.
)(
1
1
2
估计量不是总体方差的无偏统计量?
n
i
i xxn
.
)(
1
1
1
22
量是总体方差的无偏估计样本方差
n
i
i
xx
n
s
)(1])(1[
1
2 xD
n
nxx
nE
n
i
i
因为
)( xD?
定义 12.6
.,)()(
,,
2121
21
更有效比则称且的无偏估计都是若
DD?
2,有效性
(1) 频率是概率的最小方差无偏估计,
(2) 正态总体的样本均值和样本方差
n
i
ixnx
1
1?
n
i
i xxns
1
22 )(
1
1
分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计,
两个结论小 结
.
)()2(
)1(
.1
总体方差估计或未修正的样本方差用样本方差；值用样本均值估计总体均矩估计法：
估计方法：一、总体未知参数的点
.
.2
数的最大值造似然函数，求似然函为最大的原理，构根据样本值出现的概率最大似然法：
..2;.1 有效性无偏性
：二、估计量的评价标准课 后 练 习习 题 12
4,5,(1)
了解 最大似然法和估计量的评价标准。
会 用矩估计法求总体均值与方差的估计量。
例 1 某商场在决定是否接收厂家送来的一大批箱装商品时,随机地抽取若干箱进行检验,
根据这几箱的平均次品数,估计该批商品平均每箱的次品数,
例 2 某省在一次高考结束后,先要对考试成绩做一个估计,随机地抽取每科中的几包试卷进行试判,根据判卷结果估计全体考生的总分的平均值和与平均值的偏离程度进行推断,从而估计出当年的录取线,
参数估计是统计推断的基本内容之一,
参数估计有两种方法,点估计 与 区间估计,
要估计的总体参数称为 待估参数,,表示用?
假设总体分布已知,其中有一个或多个参数未知,利用来自总体的样本估计总体的未知参数值,就是参数估计,
用一个估计量估计总体参数,用这个估计量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法称为 点估计,由这种方法得到的估计值为 点估计值,
的为
，称估计构造统计量本，
个样的一是来自总体设
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21
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估计量,
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12.3.1 矩估计法以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量的方法称为 矩估计法,
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22
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的估计量，试求个样本，的一是来自正态总体设
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.
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30.1 2 7?
例 5
2.1)( xXE
总体均值的估计值为解总体方差的估计值为
.,
1.1,3.0,2.2,7.1,6.0,3.1
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1
)(
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，
其它服从均匀分布设
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588.0?
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匀分布，其均值为由于总体分布已知为均
,2 x令 的估计值为得?
4.22 x?
12.3.2 最大似然估计法例 6 设有一批产品,根据以往的经验知道它的产品率 p 可能是 0.1 或 0.3,生产这批产品的厂家认为该批产品质量很好,次品率大约为 0.1,
而收购产品的商业部门认为产品质量有问题,次品率可能为 0.3,现从这批产品中随机抽取 15 件,
发现有 5 件次品,问,生产厂家与收购部门谁的估计更可靠些?
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0 1 0 5.09.01.0)5( 105515 CXP
概率，后一概率明显大于前一件次品的概率为件中有则若次品率 515,1.01?p
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靠一些次品率的估计值更为可作为因此用最大似然估计的思想,
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似然函数为是离散型若求总体未知参数的最大似然估计值就是求似 然函数的最大值,
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.的最大似然估计量即可解得?
的称为达到最大的值使L 最大似然估计值,
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1,无偏性的为参数则称满足：
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定义 12.5
无偏估计量,
例 8,均值的无偏估计量证明：样本均值为总体证
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定义 12.6
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更有效比则称且的无偏估计都是若
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(1) 频率是概率的最小方差无偏估计,
(2) 正态总体的样本均值和样本方差
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分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计,
两个结论小 结
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