概率与统计解答题精选某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.
解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3.
（1）第3次才接通电话可表示为于是所求概率为
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+于是所求概率为
P（A1+）=P(A1)+P()+P()=
一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P=
（2）易知 ∴
（理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，
当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；
当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12
所以， ……9分
Eξ=6×（元）
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元 ……………………12分某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9
P（B）=0.8，P（C）=0.85 …………………………2分
（Ⅰ）
=[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）]
=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分
（Ⅱ）P（）
= P（
=
=[1－P（A）]·P（B）·P（C）+P（A）·[1－P（B）]·P（C）+P（A）·P（B）·[1－P（C）]
=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）
=0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
解：（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
（11分）
答：（I）线路信息畅通的概率是,（II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）
三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1、T2、T3正常工作”分别为事件A1、A2、A3，则
（Ⅰ）不发生故障的事件为（A2+A3）A1.（2分）
∴不发生故障的概率为
（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为（A1+A2）·A3
∴不发生故障概率为
图2不发生故障事件为（A1+A3）·A2，同理不发生故障概率为P3=P2>P1（12分）
说明：漏掉图1或图2中之一扣1分要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率,
解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05,P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
（理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）
则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
(理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以( 表示公司每年的收益额，则(是一个随机变量，其分布列为：
(
x
x－a
P
1－p
p
6分
因此，公司每年收益的期望值为E( ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap． 8分
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E( ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，
故可得x＝(0.1＋p)a． 10分
即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a． 12分有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2．
（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
解：(1)这批食品不能出厂的概率是,P＝1－0.85－×0.84×0.2≈0.263． 4分
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
P1＝×0.2×0.83×0.8 8分
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
P2＝×0.2×0.83×0.2 10分
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝×0.2×0.83＝0.4096． 12分高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛,比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法.……………………………………………………2分
所以，高三（1）班出场阵容共有（种）………………………5分
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分
所以，连胜两盘的概率为………………………………10分袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解,（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则
∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为…………6分
（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
P（C）=至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
其概率为………………12分一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是.
（I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
（II）求这名学生在途中遇到红灯数的期望与方差.
解：（I）…………………………………………4分
（II）依题意~……………………………………………………7分
……………………………………………………………9分
……………………………………………………12分一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P=
（2）易知 ∴
（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.
解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3.
（1）第3次才接通电话可表示为于是所求概率为
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+于是所求概率为
P（A1+）=P(A1)+P()+P()=
一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P=
（2）易知 ∴
（理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，
当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；
当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12
所以， ……9分
Eξ=6×（元）
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元 ……………………12分某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9
P（B）=0.8，P（C）=0.85 …………………………2分
（Ⅰ）
=[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）]
=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分
（Ⅱ）P（）
= P（
=
=[1－P（A）]·P（B）·P（C）+P（A）·[1－P（B）]·P（C）+P（A）·P（B）·[1－P（C）]
=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）
=0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
解：（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
（11分）
答：（I）线路信息畅通的概率是,（II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）
三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1、T2、T3正常工作”分别为事件A1、A2、A3，则
（Ⅰ）不发生故障的事件为（A2+A3）A1.（2分）
∴不发生故障的概率为
（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为（A1+A2）·A3
∴不发生故障概率为
图2不发生故障事件为（A1+A3）·A2，同理不发生故障概率为P3=P2>P1（12分）
说明：漏掉图1或图2中之一扣1分要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率,
解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”.
则P（A）=0.05,P(B)=0.1,
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
（理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）
则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
(理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以( 表示公司每年的收益额，则(是一个随机变量，其分布列为：
(
x
x－a
P
1－p
p
6分
因此，公司每年收益的期望值为E( ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap． 8分
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E( ＝0.1a，即x－ap＝0.1a，
故可得x＝(0.1＋p)a． 10分
即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a． 12分有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2．
（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
解：(1)这批食品不能出厂的概率是,P＝1－0.85－×0.84×0.2≈0.263． 4分
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
P1＝×0.2×0.83×0.8 8分
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
P2＝×0.2×0.83×0.2 10分
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝×0.2×0.83＝0.4096． 12分高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛,比赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.
已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法.……………………………………………………2分
所以，高三（1）班出场阵容共有（种）………………………5分
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分
所以，连胜两盘的概率为………………………………10分袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解,（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则
∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为…………6分
（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
P（C）=至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
其概率为………………12分一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是.
（I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
（II）求这名学生在途中遇到红灯数的期望与方差.
解：（I）…………………………………………4分
（II）依题意~……………………………………………………7分
……………………………………………………………9分
……………………………………………………12分一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以
P=
（2）易知 ∴
