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2004 ～ 2005学年第 1 学期期末考试答案 2005.1
原自然班代码 选课班代码 学号_____ __ 姓名 ___ _ __
,高等数学 （一）》课程试卷 B
（本卷考试时间 120 分钟）
大 题
一
二
三
四
五
六
总 得 分
小 题
1
2
3
4
5
1
2
3
应得分
21分
9分
6分
6分
6分
6分
6分
7分
7分
7分
12分
7分
100
得 分
一、填空题（每小题3分，共21分）
1．．
2．设，则 ,
3．设函数,,则曲线在点的切线方程是 ,
4．积分 ,
5．已知，，若，则,
6．过点，且与直线垂直的平面是 ,
7．以点为球心，且过坐标原点的球面方程是,
二、单项选择题（每小题3分，共9分）
1．设函数在上连续，，则结论（ B ）正确．
A．是在上的一个原函数； B．；
C,是在上唯一的原函数； D,.
2．以下结论中，错误的是（ D ）.
A．积分；
B．积分；
C．；
D．．
3．已知直线过点，则的值是（ B ）．
A．； B．； C．； D．．
三、计算题（每小题6分，共30分）
1．设函数由方程所确定，求．
解 方程两边分别对求导得 （4分）
解得 （6分）
2．求,
解 原式 （2分）
（4分）
+ C,（6分）
3．设是的一个原函数，求.
解 ,（2分）
（4分）
,（6分）
4．计算.
解 令，则
原式 （3分）
（5分）
（6分）
5．将直线的一般方程化为参数方程,
解 （2分）
又令，得，, 直线过点（3，2，0）,（4分）
直线方程为
写成参数形式为：,其中为参数,（6分）
四、计算题（每小题7分，共21分）
1．设为正常数，，求的值．
解 ,（3分）
（6分）
, 解得,（7分）
2．求过点，且与平面平行，又与直线垂直的直线方程,
解 ,（4分）
所求直线方程为：,（7分）
3．设有两点，，求满足条件的动点的轨迹方程，并指出该方程表示什么图形．
解 ，，
由，得
（4分）
两边平方，化简并配方得 ,（6分）
该方程表示以为球心，半径为6的球面,（7分）
五、[12分] 设当时，．已知以曲线为曲边，轴上区间为底边的曲边梯形的面积为1．试确定的值,使得该曲边梯形绕轴旋转所成旋转体的体积为最小．
解 ,（4分）
,（9分）
求导得，令，得唯一驻点.
又，所以，当时，取最小值，此时.
因此，当，时，该曲边梯形绕轴旋转所成旋转体的体积最小,（12分）
六、[7分] 设有一阶连续的导数，正常数为函数的驻点，试证：在内至少有一点，使得．
证 ,（3分）
因为正常数是的驻点，
，
，即，或,（5分）
又由已知条件，有一阶连续的导数，故由罗尔定理得，至少存在一点，使得 （7分）
