高等数学(一)试题参考答案与评分标准
专业 本科 期末考试 日期 2004.1.9
班级 ______________ 学号 ______________ 姓名 ____________________
大 题
一
二
三
四
五
六
小 题
1
2
3
4
5
1
2
3
应得分
21分
9分
6分
6分
6分
6分
6分
7分
7分
7分
12分
7分
得 分
一、填空题（每小题3分，共21分）
1,设，则.
2,极限 ,
3,设函数,,则曲线的拐点是.
4,积分 .
5,设连续曲线的极坐标方程是，则此曲线的长度是.
6,幂级数的收敛半径.
7,广义积分 .
二、单项选择题（每小题3分，共9分）
1,设的一个原函数是，则（ A ）.
A,； B,；
C,； D,.
2,以下结论中正确的是（ D ）,
A,设积分存在，则存在，使得；
B,；
C,设有无穷级数,如果极限存在且小于，则级数一定收敛；
D,数项级数收敛.
3．设在闭区间上连续函数且单调递增，曲线上凸,令
,,,
则根据图形判断可得（ C ）.
A,； B,；
C,； D,.
三、计算题（每小题6分，共30分）
1,设，求.
解
,（6分）
2,求,
解 原式 （2分）
（3分）
（5分）
（6分）
3,设连续函数,求,
解 令，则 （1分）
（2分）
（4分）
解得 ，所以,（6分）
4．计算.
解 原式 （2分）
（4分）
（6分）
5．将函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间,
解 由
,,（3分）
得
,,（6分）
四、计算题（每小题7分，共21分）
1,已知,求.
解 当时，； （2分）
当时， （4分）
（5分）
,（6分）
（7分）
2,求幂级数的收敛区间与和函数.
解 ,，收敛半径.
当时，对应级数为，收敛；当时，对应级数为，发散,故收敛区间为,（3分）
令，则，,（5分）
因为，所以
，,
由于和函数在点连续且原级数在该点收敛，因此
，,（7分）
3,设为常数，,讨论级数的敛散性，指出在什么情况下，该级数绝对收敛、条件收敛、发散.
解 ,由
,（3分）
可见，当时，级数绝对收敛；
当时，级数为，收敛且条件收敛；
当时，级数为，发散,（7分）
五、[12分] 过原点作指数曲线的切线，求：1,切点的坐标与切线的方程；2,切线、指数曲线和轴所围平面图形的面积；3,该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积,
解 1,设切点为，则切线斜率，切线方程为,
解方程组，得 ,所以切点为，切线方程是,（4分）
2,； （8分）
3,
,（12分）
六、[7分]设函数在上连续且非负,证明：存在，使得直线将以为底边、曲线为曲边的曲边梯形的面积二等分.
证 设，则在上连续，且，表明在上单调不减,因此，在上的最大值最小值分别为
,,（4分）
即 .
显然 ,（6分）
由介值定理，存在，使得,直线平分曲边梯形的面积,（7分）
专业 本科 期末考试 日期 2004.1.9
班级 ______________ 学号 ______________ 姓名 ____________________
大 题
一
二
三
四
五
六
小 题
1
2
3
4
5
1
2
3
应得分
21分
9分
6分
6分
6分
6分
6分
7分
7分
7分
12分
7分
得 分
一、填空题（每小题3分，共21分）
1,设，则.
2,极限 ,
3,设函数,,则曲线的拐点是.
4,积分 .
5,设连续曲线的极坐标方程是，则此曲线的长度是.
6,幂级数的收敛半径.
7,广义积分 .
二、单项选择题（每小题3分，共9分）
1,设的一个原函数是，则（ A ）.
A,； B,；
C,； D,.
2,以下结论中正确的是（ D ）,
A,设积分存在，则存在，使得；
B,；
C,设有无穷级数,如果极限存在且小于，则级数一定收敛；
D,数项级数收敛.
3．设在闭区间上连续函数且单调递增，曲线上凸,令
,,,
则根据图形判断可得（ C ）.
A,； B,；
C,； D,.
三、计算题（每小题6分，共30分）
1,设，求.
解
,（6分）
2,求,
解 原式 （2分）
（3分）
（5分）
（6分）
3,设连续函数,求,
解 令，则 （1分）
（2分）
（4分）
解得 ，所以,（6分）
4．计算.
解 原式 （2分）
（4分）
（6分）
5．将函数展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间,
解 由
,,（3分）
得
,,（6分）
四、计算题（每小题7分，共21分）
1,已知,求.
解 当时，； （2分）
当时， （4分）
（5分）
,（6分）
（7分）
2,求幂级数的收敛区间与和函数.
解 ,，收敛半径.
当时，对应级数为，收敛；当时，对应级数为，发散,故收敛区间为,（3分）
令，则，,（5分）
因为，所以
，,
由于和函数在点连续且原级数在该点收敛，因此
，,（7分）
3,设为常数，,讨论级数的敛散性，指出在什么情况下，该级数绝对收敛、条件收敛、发散.
解 ,由
,（3分）
可见，当时，级数绝对收敛；
当时，级数为，收敛且条件收敛；
当时，级数为，发散,（7分）
五、[12分] 过原点作指数曲线的切线，求：1,切点的坐标与切线的方程；2,切线、指数曲线和轴所围平面图形的面积；3,该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积,
解 1,设切点为，则切线斜率，切线方程为,
解方程组，得 ,所以切点为，切线方程是,（4分）
2,； （8分）
3,
,（12分）
六、[7分]设函数在上连续且非负,证明：存在，使得直线将以为底边、曲线为曲边的曲边梯形的面积二等分.
证 设，则在上连续，且，表明在上单调不减,因此，在上的最大值最小值分别为
,,（4分）
即 .
显然 ,（6分）
由介值定理，存在，使得,直线平分曲边梯形的面积,（7分）
