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2004 ～ 2005学年第 1 学期期末考试答案 2005.1
原自然班代码 选课班代码 学号____ ____ 姓名 ___ _ __
,高等数学 （一）》课程试卷 A
（本卷考试时间 120 分钟）
大 题
一
二
三
四
五
六
总得分
小 题
1
2
3
4
5
1
2
3
应得分
21分
9分
6分
6分
6分
6分
6分
7分
7分
7分
12分
7分
100分
得 分
一、填空题（每小题3分，共21分）
1,设，则.
2,极限,
3,积分 ,
4,已知，则.
5,过点且与直线垂直的平面是 .
6,设是的一个原函数,则,
7,平面曲线绕轴旋转一周所得曲面方程是.
二、单项选择题（每小题3分，共9分）
1,设函数在上连续，，则以下结论中错误的是（ D ）．
A．在上连续； B．在上可导且；
C．； D．是在上唯一的原函数．
2,.
A．2； B．； C．0； D．以上都不对.
3．直线与直线（ B ）.
A．重合； B．垂直相交；
C．平行不重合； D．垂直不相交.
三、计算题（每小题6分，共30分）
1,设，求.
解 ，……… ….(5分)
．…………….(6分)
2,设,求,
解 ,…………………(3分)
,……………….(4分)
,…………(6分)
3,求.
解 原式=,…………………(2分)
，
,………..(5分)
所以,原式=．………………………………(6分)
4．计算.
解 令，则，，………….(2分)
== …………………….(4分)
=
,…………(6分)
5．设，求．
解 ,………………….(2分)
,……………….(4分)
=．…………(6分)
四、计算题（每小题7分，共21分）
1,已知,求.
解 ．…………(3分)
,……………………(4分)
=
=
=,…………….(6分)
原式=,……………………………………….(7分)
2,已知动点到点的距离等于它到平面的距离的2倍，求点M的轨迹方程,
解 由题意得 …………………….(4分)
即满足 ，………………..(6分)
或 ，
点的轨迹是以为顶点的圆锥面,………………………………..(7分)
3,求直线上的投影直线的方程．
解 过的平面束为 ，
即 (*)，……………(3分)
从其中求出与垂直的平面，为此需:
整理得，，,………………………………………(5分)
代入(*)得到过且与垂直的平面：,………(6分)
所以，在上的投影直线为：,………………….(7分)
五、[12分] 设直线 与抛物线所围成的平面图形的面积为，它们与直线所围成的平面图形的面积为．
（1）计算由与所围平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积；
（2）求常数的值,使得最小，并求的最小值．
解 与的交点为,…………………(1分)
所以 =,………(4分)
(2) ，
，
.……………………………………..(8分)
记，则，解得，负值舍去，是唯一的驻点。又 ，
所以，是极小值点，也是最小值点。…………………………………(11分)
因此， ……………………(12分)
六、[7分] 设函数在上连续，在内可导，且 为常数）．求证：至少存在一点，使得．
解 因为在[0，1]上连续，由积分中值定理，在内存在使得，于是 ,………………………………..(4分)
又在上连续，内可导，且，因此，由罗尔定理，，使得 ,……………………………………………(7分)
