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2005 ～ 2006学年第 1 学期期末考试答案 2006.1
原自然班代码 选课班代码 学号____ ____ 姓名 ___ _ __
,高等数学（一）》试卷 A
（本卷考试时间 120 分钟）
大 题
一
二
三
四
五
总得分
小 题
1
2
3
4
5
1
2
应得分
24分
20分
7分
7分
7分
7分
7分
10分
5分
6分
100分
得 分
一、填空题（每小题4分，共24分）
1,极限,
2,设函数,则 .
3,设f(x) 连续且，则= .
4,设，则与同方向的单位向量.
5,过点，且与两平面都垂直的平面方程是 5 x – 3 y + 7 z – 1 = 0,
6,设质点作直线运动,t时刻的速度为,则在时间区间上该质点所走过的路程 .
二、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．设为连续函数，则（ A ）．
A．; B． ;
C．; D．.
2,函数在闭区间上的最大值是（ D ）．
A．0； B．； C．； D．.
3,设向量,则以下结论中正确的是（ C ）.
A．； B．；
C,； D．是的夹角 ).
4,积分 的值( D ).
A．等于0； B．等于1； C．等于 ； D．以上都不对
5,平面曲线绕轴旋转一周所得曲面的方程是（ C ）.
A．； B．；
C．； D．.
三、计算题（每小题7分，共35分）
1,设，求.
解 (5分)
(6分)
(7分)
2,计算,
解 (3分)
(5分)
(7分)
3,已知,求.
解 (2分)
(4分)
(6分)
(7分)
4．已知动点M (x,y,z) 到xOy平面的距离与点M到点A(1,-1,2) 的距离相等,求点M的轨迹方程,并指出是什么图形.
解 由条件得
(5分)
化简得
是抛物面,(7分)
5．设向量,,(1) 确定这两个向量是否垂直; (2) 求以这两个向量为边的平行四边形的面积.
解 (1) 因为
所以两向量不垂直. (3分)
(2) 由 (5分)
得平行四边形的面积 (7分)
四、计算题
1,[10分]过曲线上某点作一切线，使之与该曲线以及x轴所围成的平面图形的面积为．求：(1) 切点的坐标； (2) 过点的切线方程；(3) 上述图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积,
解 (1) 设切点坐标为,则 切线方程为 令y = 0 得切线的x截距 ,(2分)
面积
由以知条件得 因此切点为A(1,1),(4分)
(2) 切线方程为 (6分)
(3) (8分)
(10分)
2,[5分]将边长为a的正方形薄板铅直地浸入水中,其上底边与水面平齐,求薄板一侧所受的水压力(设水的比重为).
解 取x为积分变量,
压力元素 (2分)
(5分)
五、[6分] 设函数f (x) 在 [a,b] 上连续且f (x) > 0,试证,在 (a,b) 内存在唯一一点c,使得直线 x = c 将曲线y = f (x) 与直线 x = a,x = b以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分,
证 令 (2分)
则
由零点定理,至少存在一点,使得F(c) = 0; (4分)
又
表明F(t) 单调递增,因此函数F(x) 至多有一个零点,(5分)
综上所述,(a,b) 内存在唯一一点c,使得F(c) = 0,即
也即直线 x = c 将曲线y = f (x)与直线 x = a,x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积二等分.
(6分)
