第一学期第四次课第二章 向量空间与矩阵
m维向量空间
2.1.1 向量和m维向量空间的定义及性质定义(向量)设是一个数域。中个数所组成的一个元有序数组称为一个m维向量;
 ()
称为一个m维列向量;而

称为一个m 维行向量。
我们用记集合。
定义(中的加法和数量乘法) 在中定义加法如下:两个向量相加即相同位置处的数相加,即
.
在定义数量乘法为用中的数去乘向量的各个位置,即对于某个,

定义(维向量空间) 集合和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数域上的m维向量空间。
命题(向量空间的性质) 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质(其中表示数域,表示中的向量):
加法结合律:;
加法结合律:
向量(0,0,……,0)(记为)具有性质:对于任意,有;
,令,称其为的负向量,它满足;
对于数1,有
对内任意数,,有;
对内任意数,,有;
对内任意数,有 。
2.1.2 线性组合和线性表出的定义定义(线性组合) 设 ,,则称向量为向量组的一个线性组合。
定义(线性表示) 设,。如果存在,使得
,
则称可被向量组线性表示。
2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述定义(线性相关与线性无关) 设。如果存在不全为零的,使得
,
则称线性相关,否则称为线性无关。
注意:根据这个定义,线性无关可以表述如下:若,使得,则必有。
如果
,
显然线性相关当且仅当齐次线性方程组

有非零解,线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。
命题 设,则下述两条等价:
1)线性相关;
2)某个可被其余向量线性表示。
证明 1)2),由于线性相关,故存在不全为零的个数,使得
。
不妨设某个。于是,由向量空间的性质有

2)1),如果某个可被其余向量线性表示,即存在,使得
.
由向量空间的性质有
.
于是线性相关。证毕。
推论 设,则下述两条等价:
1)线性无关;
2)任一不能被其余向量线性表示。