第一学期第十一次课第二章 §6分块矩阵
2.6.1分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩
1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法设A是属于K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。于是A可用小块矩阵表示如下,
，
其中为矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为
，
其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时，设，则C有如下分块形式：
，
其中是矩阵，且
。
定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵
为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：
（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵），
，，
有
；
（2）、；
（3）、A可逆可逆，且
。
命题 分块矩阵的秩大于等于与的秩的和。
证明 记，设A为矩阵，B为矩阵,A在初等变换标准形为
，；
B在初等变换下的标准形为
，，
则对M前m行前n列做初等变换，对它的后k行后l列也做初等变换，这样可以把M化为
。
现在利用左上角的“1”经过初等列变换消去它右边位置中的非零元；再用左上角的“1”经过初等行变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作
。
则有。证毕。
容易得出，对于矩阵
，
也有同样的性质。
对于上述和，如果，则；如果，则。
命题 设、、为数域上的三个可以连乘的矩阵，则
rrr r
证明 假设A、B、C分别为、和矩阵。令
，
考虑
由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道，
2.6.2矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用——可逆矩阵的分块求逆
1、挖洞法设
，
其中A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，D为矩阵。不妨设A可逆，取
，
则
，
取
，
则
。
由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意：
（1）、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则；
（2）、两个小块矩阵相乘成不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。
2、矩阵的分块求逆设方阵
，
其中A可逆。令
，
记
，，，
若M可逆，则N可逆，于是可逆。
，
求得
。
2.6.1分块矩阵的乘法，准对角阵的乘积和秩
1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法设A是属于K上的矩阵，B是K上矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。于是A可用小块矩阵表示如下,
，
其中为矩阵。对B做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为
，
其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时，设，则C有如下分块形式：
，
其中是矩阵，且
。
定义 称数域K上的分块形式的n阶方阵
为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些性质命题 阶准对角矩阵有如下性质：
（1）、对于两个同类型的n阶准对角矩阵（其中同为阶方阵），
，，
有
；
（2）、；
（3）、A可逆可逆，且
。
命题 分块矩阵的秩大于等于与的秩的和。
证明 记，设A为矩阵，B为矩阵,A在初等变换标准形为
，；
B在初等变换下的标准形为
，，
则对M前m行前n列做初等变换，对它的后k行后l列也做初等变换，这样可以把M化为
。
现在利用左上角的“1”经过初等列变换消去它右边位置中的非零元；再用左上角的“1”经过初等行变换消去它上面处的非零元素，于是把再化作
。
则有。证毕。
容易得出，对于矩阵
，
也有同样的性质。
对于上述和，如果，则；如果，则。
命题 设、、为数域上的三个可以连乘的矩阵，则
rrr r
证明 假设A、B、C分别为、和矩阵。令
，
考虑
由可逆矩阵乘法的性质（命题 ）和命题 可以知道，
2.6.2矩阵分块技巧的运用（挖洞法）和其应用——可逆矩阵的分块求逆
1、挖洞法设
，
其中A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，D为矩阵。不妨设A可逆，取
，
则
，
取
，
则
。
由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同，所以也可以用左乘（或右乘）一个适当的分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意：
（1）、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则；
（2）、两个小块矩阵相乘成不能交换次序，要分清那个在左，那个在右。
2、矩阵的分块求逆设方阵
，
其中A可逆。令
，
记
，，，
若M可逆，则N可逆，于是可逆。
，
求得
。
