第一学期第六次课第二章 §2矩阵的秩
2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置定义2.1 矩阵的行秩与列秩。
一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩，它的列向量组的秩称为的列秩。
命题2.1 矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；
证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。
定义2.2 矩阵的转置把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵。
命题2.2 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。
证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。
假设的列向量为，它的一个极大线性无关部分组为，而经过初等行变换之后的列向量为，只需证明是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。
只需分别证明向量组（*）线性无关和中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程，由于线性无关，线性方程组只有零解。而方程是由经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以只有零解，于是线性无关。对于的任意一个列向量，都可被线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。
证毕。
推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；
证明 设
，
不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式
其中(**)代表一个矩阵。
若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如
的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。
定义2.3 一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。
2.2.2 矩阵的相抵定义2.4 给定数域上的矩阵和，若经过初等变换能化为，则称矩阵和相抵。
命题2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。
证明 逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。
2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。
2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置定义2.1 矩阵的行秩与列秩。
一个矩阵的行向量组的秩成为的行秩，它的列向量组的秩称为的列秩。
命题2.1 矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩；
证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。
定义2.2 矩阵的转置把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵。
命题2.2 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。
证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。
假设的列向量为，它的一个极大线性无关部分组为，而经过初等行变换之后的列向量为，只需证明是变换后列向量的一个极大线性无关部分组即可。
只需分别证明向量组（*）线性无关和中的任意一个向量都可以被（*）线性表出。构造方程，由于线性无关，线性方程组只有零解。而方程是由经过初等行变换得来的，而初等行变换是同解变换，所以只有零解，于是线性无关。对于的任意一个列向量，都可被线性表出，利用初等行变换是同解变换同样可以证明经过初等行变换后，可以被（*）线性表出。
证毕。
推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵的秩记为r；
证明 设
，
不妨考虑，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩阵化为如下形式
其中(**)代表一个矩阵。
若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如
的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。
定义2.3 一个矩阵的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作。
2.2.2 矩阵的相抵定义2.4 给定数域上的矩阵和，若经过初等变换能化为，则称矩阵和相抵。
命题2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。
证明 逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩，于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。
2.2.3用初等变换求矩阵的秩用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。
