第一学期第九次课第二章 §5 n阶方阵
2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵定义（数域上的阶方阵） 数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。
定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域上形如
的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有
；
。
形如
的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有
；
。
矩阵
被称为n阶单位矩阵，记作，有
；
。
我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵
。
定义 初等矩阵我们把形如
其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如
其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如
其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。
定义 对称矩阵、反对称矩阵设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。
若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。
定义 上三角、下三角矩阵数域K上形如
的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如
的n阶方阵被称为下三角矩阵。
对于n阶上（下）三角矩阵，同样有若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。
命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；
证明 我们分别考察三种初等矩阵对于
，
有
，
等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，
，
等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；
对于
，
有
等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，
等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；
对于
，
有
，
等价于初等行变换中互换i，j两行，而
等价于初等列变换中互换i，j两列。
于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。
定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。
证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵
和，
使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得
，
由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。
充分性 若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。
推论 设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）.
证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，，由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。
2.5.1 n阶方阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵，初等矩阵，对称、反对称、上三角、下三角矩阵定义（数域上的阶方阵） 数域上的矩阵成为上的阶方阵，上全体阶方阵所成的集合记作。
定义（阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵） 数域上形如
的方阵被称为n阶对角矩阵，与其他矩阵相乘，有
；
。
形如
的方阵被称为n阶数量矩阵，与其他矩阵相乘，有
；
。
矩阵
被称为n阶单位矩阵，记作，有
；
。
我们记第i行第j列为1，其余位置全为零的n阶方阵
。
定义 初等矩阵我们把形如
其中对角线上除了第i个元素为k以外，全为1，其他位置全为0的矩阵和形如
其中对角线上的元素全为1，第i行j列位置上为k，其余位置都为0的矩阵和形如
其中对角线上的元素除了第i和第j个元素为零外，都为1，第i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上为1，其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵，分别用，，来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。
定义 对称矩阵、反对称矩阵设为数域K上的n阶方阵，若，称A为对称矩阵；若，则称为反对称矩阵。
若为数域上的阶对称（反对称）矩阵，则仍为K上的n阶对称（反对称）矩阵，其中。
定义 上三角、下三角矩阵数域K上形如
的n阶方阵被称为上三角矩阵；形如
的n阶方阵被称为下三角矩阵。
对于n阶上（下）三角矩阵，同样有若为数域K上的n阶上（下）三角矩阵，则仍为K上的n阶上（下）三角矩阵，其中。
命题 矩阵的初等行（列）变换等价于左（右）乘初等矩阵；
证明 我们分别考察三种初等矩阵对于
，
有
，
等价于初等行变换中将第i行乘以一个非零数，
，
等价于初等列变换中将第i列乘以一个非零数；
对于
，
有
等价于初等行变换中将第j行加上第i行的k倍，
等价于初等列变换中将第j列加上第i列的k倍；
对于
，
有
，
等价于初等行变换中互换i，j两行，而
等价于初等列变换中互换i，j两列。
于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。
定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。
证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵（记为A）化为对角形，由初等变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵
和，
使得，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A，于是，存在n阶初等矩阵和，使得
，
由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质，可以知道，必要性证毕。
充分性 若可以表示成为初等矩阵的乘积，则，表示可由阶单位阵经过次初等变换得到，于是满秩。证毕。
推论 设是满秩矩阵，对于任意矩阵，有rr，rr（只要乘法有意义）.
证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积，于是存在初等矩阵，使得，于是，，由初等矩阵于初等变换的等价关系，相当于对B做r次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，所以rr；同理，rr。证毕。
