一、夫琅和费圆孔衍射
考虑一束平行光垂直照射孔面，如图1。设在孔面处的光振动为
0
it
ue
ω?
，振幅为，小孔上一面元
0
u
σd，其坐标为
(
,
)
ξ η，观察面离孔屏距离为z，上面一点P的坐标为
( )
,x y，由于观察面离孔屏距离很远,zzξ η>>>>，又考虑小角衍射，显然有下述近似关系：,zxz>> >> y
()
()
1
22
2
222
22
1
2
2
2
()() 1
2
1
xy
rzx y r
rr
xy
xy
rr
rr
ξη
ξη
ξη
ξη
ξη
+
+
′=+?+?=? +
′′
+
+
′′≈? ≈?
′′
(1)
dσ
z
y
x
w
r'
r
w'
P
ψ
o
ρ
η
ξ
图1 夫琅和费衍射的近轴条件
衍射角w很小情况下，倾斜因子近似式为( )cos 1∧ =ns和( )cos 1∧ =?nr，元面积dσ发出子波至
P点引起振动的复振幅为
0
11
d( ) [ ]d d
2
ikr ikr
iu iuee
uP
rr
0
σ σ
λλ
=?=? (2)
因为公式(1)中最后式右边第二项远小于r′，故(2)式中分母可用r′代替r。但是位相因子中，虽然
xy
r
r
ξ η+
′<<
′
，但与波长λ可比较的，因而乘上
λ
π2
=k后是不可忽略的量，所以在位相因子中必须用(1)式右边二项来代。即得,
r
()
0
d( )
ikr
ik x y r
iu e
uP e
r
ξη
λ
′
′?+
=?
′
(3)
将上式对整个孔面积分
()0
() d
ikr
ik x y r
iu e
uP e
r
ξη
σ
σ
λ
′
′?+
=?
′
∫∫
(4)
1
令
x
p
r
=
′
，
y
q
r
=
′
上式又可写成
()0
() dd
ikr
ik p q
iu e
uP e
r
ξη
σ
ξ η
λ
′
+
=?
′
∫∫
(5)
在衍射中心处，存在和0xy== 0pq= =，上式积分即得衍射中心处振幅,)0(u
00
(0)
ikr ikr
iu iu
ueed
rr
ξη σ
λλ
′
=? =?
′′
∫∫
e
′
(6)
衍射中心处光强 为 ()0I
22
22
0
22 22
(0) (0)
0
I uu
rr
σσ
λλ
== =
′′
I
及有
(7)
注意，由于我们关心的是光强的相对值，所以前面及以后的公式都以振幅绝对值平方作强度的量度。由
(7)式可得到一个重要结论：衍射中心处的光强是仅与孔阑面积的平方σ孔阑处的光强
0
I关，与孔阑形状无关。
2
欲求圆孔衍射情况，只要把(5)式中ξ、η、p和q用相应的极坐标表示，即作如下代换,
cos
sin
ξ ρ?
η ρ?
=
=
cos
cos
sin
sin
xw
pw
rr
yw
qw
rr
ψ
ψ
ψ
ψ
′
== =
′′
′
== =
′′
(8)
经积分很容易得到,
2
cos( )0
00
() dd
a
ikr ik w
iu
uP e e
r
π
ρ?ψ
ρ?ψ
λ
′
=?
′
∫∫
(9)
应用有关Bessel函数公式，并注意到为偶函数即可得,
0
()Ju
2
() cos()
1
00
2( ) 2( )
dd dd
a
ik p q ik w
Jkaw J w
ee
kaw w
π
ξη ρ?ψ 1
σ σα
ξη ρ?ψ
α
+
===
∫∫ ∫ ∫
(10)
2
() ()
(0) (0)
I PuP
Iu
=
(1)
0 1
2( ) 2( )
() (0)
ikr
iu Jw Jw
uP e u
rw
1
w
σ αα
λα α
′
=? =
′
(12)
故
2
1
2( )()
(0)
JwIP
Iw
α
α
=
(13)
图2为该函数曲线大致情形。极大极小值的位置可用上式对wx α=求一次微商为0而得到。使用有关
Bessel函数微商公式可得
2
()
() ()
2
1
12
2
2
d8
0
d
Jx
JxJx
xx x
=?
= (14)
()
1
0Jx=处对应
()
(0)
I P
I
为极小值，()
2
0Jx=处对应
()
(0)
I P
I
为极大值。查Bessel函数表可标出各明暗环对应的张角，下表中列出极大极小处x值。对应第一暗环存在,
daa
x
ka
x
w
λλ
π
λ
220.1610.0
2
11
1
==== (15)
圆孔衍射的图形是一个同心的明暗交替的环，它有个专门名称叫艾里圆。颗粒大于波长的大小均匀的颗粒群的散射图形是艾里圆。若入射波长已知，测得艾里圆某一暗环直径(如第一暗环)即可知圆孔或球形颗粒直径(如
1
220.1
w
d
λ
= )。所以艾里圆对分析球形颗粒散射很有用处。
024681012
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
[2
J
1
(
x
)/
x
]
2
x
图2 圆孔夫琅和费衍射光强分布
表1 圆孔夫琅和费衍射强度分布函数的极大值和极小值
X 0 1.220π 1.635π 2.233π 2.679π 3.238π
()[]
2
1
2 XXJ
1 0 0.0175 0 0.0042 0
极值 极大 极小 极大 极小 极大 极小
如果我们定义一个光瞳函数
(,)
0
C
G ξη
=
在光阑小孔区域内在光阑小孔区域外
(16)
0 ikr
iu
C
rλ
′
=? e
′
(17)
C表示入射在光阑原点处平行光再衍射至P点上的复振幅，熟悉傅立叶变换的读者很容易看出光瞳函数和衍射光振幅函数关系是个傅立叶变换关系，并由傅立叶变换的性质可进一步看衍射性质，此处暂不介绍。
【注】有关 Bessel 函数的公式,
3
()
()
() ()
() ()
2
cos
0
1
1
d
2
d
d
d
d
n
inv u v
n
nn
nn
i
Ju e v
uJ u uJ u
u
uJu uJ u
u
π
π
+
+
=
=
=?
∫
()
()
()
2
cos
0
0
1
0
1
d
2
d
iu v
Ju e v
Ju
uJ u u
u
π
π
=
=
∫
∫
二、巴比涅原理和多颗粒的衍射
根据基尔霍夫积分定理很容易得到有关互补屏衍射光强分布的巴比涅原理。所谓互补屏是指这样两个屏，其中一个的开孔部分正好对应另一个不透明部分，反之亦然。例如图3中O屏为开面为σ的圆孔屏，而I为在相应σ面积内开有三个小圆孔的屏，II是开有面积σ的圆孔但在σ内相应于屏I的小孔区是三个不透明的园板。则我们说对O屏讲，光屏I和II为互补屏。
图3 巴比涅原理
若光线分别通过O、I、II屏衍射至观察面上P点的振幅分别为、、，则根据基尔霍夫积分定理，显然有如下关系,
()uP
1
()uP
2
()uP
() () ()
12
uP u P u P=+ (18)
上述关系就称作巴比涅原理，又称互补屏原理。
半径相同的圆盘和圆孔相对应于无限大的孔屏(即无光屏时)是互补屏。设)、)分别代表平行光经孔屏和圆盘衍射到P点的振幅，由于无光屏时平行光经透镜会聚后成像于一点，所以除中心点(透镜焦点处)外，其余各点)均为0，所以有
1
(uP
2
(uP
(uP
() ()
() ()
() ()
12
12
22
12
0uP uP
uP uP
uP uP
+=
=?
=
(19)
说明在同一点，圆盘衍射和圆孔衍射的振幅相等，只是相差一位相π，也即除中心点外，其余各点的衍射光光强分布完全相同。又因前面已讲到，衍射图形只与物体投影面积有关，所以圆球衍射与半径相同的圆盘衍射相同，也与半径相同的圆孔衍射图形相同。
N个形状大小相同的颗粒产生的夫琅和费衍射，由于在同一方向，不同颗粒的衍射振幅相同，只是
4
有位相上差别，因而由透镜将同一方向衍射的光会聚于一点的总振幅为,
1
(,)
n
N
ik
N
n
uupqe
δ
=
=
∑
(20)
式中因子描述衍射效应，描述干涉效应。当颗粒排布无规则时，各衍射光波固定位相关系，此时
(,)upq
∑
n
ik
e
δ
Nee
N
n
qpik
N
n
ik
nnn
==
∑∑
=
+
=
2
1
)(
2
1
ηξδ
(21)
于是
2
22
1
(,)
n
N
ik
NN
n
I uupqe N
δ
=
== =
∑
I (2)
结论是：大量无规则排布的相同直径的散射颗粒的衍射图形与单个颗粒的衍射图形相同，只是光强增加散射区的粒子数倍。
三、衍射式激光粒度仪的测量原理
图4 衍射式激光粒度仪的测量原理,
散射光强分布,
2
1
2( )()
(0)
JwIP
Iw
α
α
=
(23)
其中kaα = (波数和颗粒半径之乘积)称作颗粒的无因次粒径参数，dα πλ= (d是颗粒直径)。
5
考虑一束平行光垂直照射孔面，如图1。设在孔面处的光振动为
0
it
ue
ω?
，振幅为，小孔上一面元
0
u
σd，其坐标为
(
,
)
ξ η，观察面离孔屏距离为z，上面一点P的坐标为
( )
,x y，由于观察面离孔屏距离很远,zzξ η>>>>，又考虑小角衍射，显然有下述近似关系：,zxz>> >> y
()
()
1
22
2
222
22
1
2
2
2
()() 1
2
1
xy
rzx y r
rr
xy
xy
rr
rr
ξη
ξη
ξη
ξη
ξη
+
+
′=+?+?=? +
′′
+
+
′′≈? ≈?
′′
(1)
dσ
z
y
x
w
r'
r
w'
P
ψ
o
ρ
η
ξ
图1 夫琅和费衍射的近轴条件
衍射角w很小情况下，倾斜因子近似式为( )cos 1∧ =ns和( )cos 1∧ =?nr，元面积dσ发出子波至
P点引起振动的复振幅为
0
11
d( ) [ ]d d
2
ikr ikr
iu iuee
uP
rr
0
σ σ
λλ
=?=? (2)
因为公式(1)中最后式右边第二项远小于r′，故(2)式中分母可用r′代替r。但是位相因子中，虽然
xy
r
r
ξ η+
′<<
′
，但与波长λ可比较的，因而乘上
λ
π2
=k后是不可忽略的量，所以在位相因子中必须用(1)式右边二项来代。即得,
r
()
0
d( )
ikr
ik x y r
iu e
uP e
r
ξη
λ
′
′?+
=?
′
(3)
将上式对整个孔面积分
()0
() d
ikr
ik x y r
iu e
uP e
r
ξη
σ
σ
λ
′
′?+
=?
′
∫∫
(4)
1
令
x
p
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=
′
，
y
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=
′
上式又可写成
()0
() dd
ikr
ik p q
iu e
uP e
r
ξη
σ
ξ η
λ
′
+
=?
′
∫∫
(5)
在衍射中心处，存在和0xy== 0pq= =，上式积分即得衍射中心处振幅,)0(u
00
(0)
ikr ikr
iu iu
ueed
rr
ξη σ
λλ
′
=? =?
′′
∫∫
e
′
(6)
衍射中心处光强 为 ()0I
22
22
0
22 22
(0) (0)
0
I uu
rr
σσ
λλ
== =
′′
I
及有
(7)
注意，由于我们关心的是光强的相对值，所以前面及以后的公式都以振幅绝对值平方作强度的量度。由
(7)式可得到一个重要结论：衍射中心处的光强是仅与孔阑面积的平方σ孔阑处的光强
0
I关，与孔阑形状无关。
2
欲求圆孔衍射情况，只要把(5)式中ξ、η、p和q用相应的极坐标表示，即作如下代换,
cos
sin
ξ ρ?
η ρ?
=
=
cos
cos
sin
sin
xw
pw
rr
yw
qw
rr
ψ
ψ
ψ
ψ
′
== =
′′
′
== =
′′
(8)
经积分很容易得到,
2
cos( )0
00
() dd
a
ikr ik w
iu
uP e e
r
π
ρ?ψ
ρ?ψ
λ
′
=?
′
∫∫
(9)
应用有关Bessel函数公式，并注意到为偶函数即可得,
0
()Ju
2
() cos()
1
00
2( ) 2( )
dd dd
a
ik p q ik w
Jkaw J w
ee
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π
ξη ρ?ψ 1
σ σα
ξη ρ?ψ
α
+
===
∫∫ ∫ ∫
(10)
2
() ()
(0) (0)
I PuP
Iu
=
(1)
0 1
2( ) 2( )
() (0)
ikr
iu Jw Jw
uP e u
rw
1
w
σ αα
λα α
′
=? =
′
(12)
故
2
1
2( )()
(0)
JwIP
Iw
α
α
=
(13)
图2为该函数曲线大致情形。极大极小值的位置可用上式对wx α=求一次微商为0而得到。使用有关
Bessel函数微商公式可得
2
()
() ()
2
1
12
2
2
d8
0
d
Jx
JxJx
xx x
=?
= (14)
()
1
0Jx=处对应
()
(0)
I P
I
为极小值，()
2
0Jx=处对应
()
(0)
I P
I
为极大值。查Bessel函数表可标出各明暗环对应的张角，下表中列出极大极小处x值。对应第一暗环存在,
daa
x
ka
x
w
λλ
π
λ
220.1610.0
2
11
1
==== (15)
圆孔衍射的图形是一个同心的明暗交替的环，它有个专门名称叫艾里圆。颗粒大于波长的大小均匀的颗粒群的散射图形是艾里圆。若入射波长已知，测得艾里圆某一暗环直径(如第一暗环)即可知圆孔或球形颗粒直径(如
1
220.1
w
d
λ
= )。所以艾里圆对分析球形颗粒散射很有用处。
024681012
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
[2
J
1
(
x
)/
x
]
2
x
图2 圆孔夫琅和费衍射光强分布
表1 圆孔夫琅和费衍射强度分布函数的极大值和极小值
X 0 1.220π 1.635π 2.233π 2.679π 3.238π
()[]
2
1
2 XXJ
1 0 0.0175 0 0.0042 0
极值 极大 极小 极大 极小 极大 极小
如果我们定义一个光瞳函数
(,)
0
C
G ξη
=
在光阑小孔区域内在光阑小孔区域外
(16)
0 ikr
iu
C
rλ
′
=? e
′
(17)
C表示入射在光阑原点处平行光再衍射至P点上的复振幅，熟悉傅立叶变换的读者很容易看出光瞳函数和衍射光振幅函数关系是个傅立叶变换关系，并由傅立叶变换的性质可进一步看衍射性质，此处暂不介绍。
【注】有关 Bessel 函数的公式,
3
()
()
() ()
() ()
2
cos
0
1
1
d
2
d
d
d
d
n
inv u v
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i
Ju e v
uJ u uJ u
u
uJu uJ u
u
π
π
+
+
=
=
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()
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1
d
2
d
iu v
Ju e v
Ju
uJ u u
u
π
π
=
=
∫
∫
二、巴比涅原理和多颗粒的衍射
根据基尔霍夫积分定理很容易得到有关互补屏衍射光强分布的巴比涅原理。所谓互补屏是指这样两个屏，其中一个的开孔部分正好对应另一个不透明部分，反之亦然。例如图3中O屏为开面为σ的圆孔屏，而I为在相应σ面积内开有三个小圆孔的屏，II是开有面积σ的圆孔但在σ内相应于屏I的小孔区是三个不透明的园板。则我们说对O屏讲，光屏I和II为互补屏。
图3 巴比涅原理
若光线分别通过O、I、II屏衍射至观察面上P点的振幅分别为、、，则根据基尔霍夫积分定理，显然有如下关系,
()uP
1
()uP
2
()uP
() () ()
12
uP u P u P=+ (18)
上述关系就称作巴比涅原理，又称互补屏原理。
半径相同的圆盘和圆孔相对应于无限大的孔屏(即无光屏时)是互补屏。设)、)分别代表平行光经孔屏和圆盘衍射到P点的振幅，由于无光屏时平行光经透镜会聚后成像于一点，所以除中心点(透镜焦点处)外，其余各点)均为0，所以有
1
(uP
2
(uP
(uP
() ()
() ()
() ()
12
12
22
12
0uP uP
uP uP
uP uP
+=
=?
=
(19)
说明在同一点，圆盘衍射和圆孔衍射的振幅相等，只是相差一位相π，也即除中心点外，其余各点的衍射光光强分布完全相同。又因前面已讲到，衍射图形只与物体投影面积有关，所以圆球衍射与半径相同的圆盘衍射相同，也与半径相同的圆孔衍射图形相同。
N个形状大小相同的颗粒产生的夫琅和费衍射，由于在同一方向，不同颗粒的衍射振幅相同，只是
4
有位相上差别，因而由透镜将同一方向衍射的光会聚于一点的总振幅为,
1
(,)
n
N
ik
N
n
uupqe
δ
=
=
∑
(20)
式中因子描述衍射效应，描述干涉效应。当颗粒排布无规则时，各衍射光波固定位相关系，此时
(,)upq
∑
n
ik
e
δ
Nee
N
n
qpik
N
n
ik
nnn
==
∑∑
=
+
=
2
1
)(
2
1
ηξδ
(21)
于是
2
22
1
(,)
n
N
ik
NN
n
I uupqe N
δ
=
== =
∑
I (2)
结论是：大量无规则排布的相同直径的散射颗粒的衍射图形与单个颗粒的衍射图形相同，只是光强增加散射区的粒子数倍。
三、衍射式激光粒度仪的测量原理
图4 衍射式激光粒度仪的测量原理,
散射光强分布,
2
1
2( )()
(0)
JwIP
Iw
α
α
=
(23)
其中kaα = (波数和颗粒半径之乘积)称作颗粒的无因次粒径参数，dα πλ= (d是颗粒直径)。
5
