用 Excel 求解 层次分析法（ AHP）问 题 2005-05-04
用 Excel 求解层次分析法（AHP）问题
一,层次分析法（AHP）简介
层次分析法（AHP）的由来
美国运筹学家 A.L.Saaty 于本世纪 70 年 代提出的层次分析法
（Analytical Hierar -chy Process，简称 AHP 方法)，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。 它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化,数量化的过程。 应用这种方法,决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素,在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重,为最佳方案的选择提供依据。
层次分析法（AHP）基本原理
AHP 法首先把问题层次化,按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次,构成一个多层次的分析结构模 型,分为最低层 （供决策的方案、措施等）,相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。
层次分析法（AHP）特点
分析思路清楚,可将系统分析人员的思维过程系统化,数学化和模型化；
分析时需要的定量数据不多,但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；
这种方法适用于多准则,多目标的复杂问题的决策分析,广泛用于地区经济发展方案比较,科学技术成果评比,资源规划和分析以及企业人员素质测评。
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二、层次分析法（AHP）的具体步骤
9 明确问题
在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识,弄清问题 的范围,了解问题所包含的因素，
确定出因素之间的关联关系和隶属关系。
9 递阶层次结构的建立
根据对问题分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是 系 统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特 性 组合起来，形成更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层 次 因素。
o 最高层是目标层
o 中间层是准则层
o …….,
o 最低层是方案层或措施层
9 建立两两比较的判断矩阵
判 断矩阵表示针对上一层次某单元（元素）,本层次与它有关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式,
Cs p1 p2 … … pn
p1 b11 b12 … … b1n
p2 b21 b22 … … b2n
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… … … … … …
… … … … … …
pn bn1 bn2 … … bnn
在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般 对 单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析 法 采用 1-9 标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。
标 度 定义与说明
1 两个元素对某个属性具有同样重要性
3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5 两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7 两个元素比较，一元素比另一元素重要得多
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表 示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
判断矩阵 B 具 有如下特征,
bii = 1
bji = 1/ bij
bij = bik/ bjk
(i,j,k=1,2,….n)
判断矩阵中的 bij 是根据资料数 据,专家的意见和系统分析人版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983
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员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思 维 的一致性是非常重要的,只要矩阵中的 bij 满足上述三条关系式时，
就说明判断矩阵具有完全的一致性。
判断矩阵一致性指标 C.I.(Consistency Index)
MAX
n
CI
n1
λ?
=
一致性指标 C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大,C.I.的值 越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。
一般判断矩阵的阶数 n 越大,人为造成的偏离完全一致性指标 C.I.
的值便越大；n 越小，人为造成的偏离完 全一致性指标 C.I.的值便越小。
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标
R.I.(Random Index),下表给出了 1-15阶正互反矩阵计算 1000
次得到的平均随机一致性指标 。
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.46
N 10 11 12 13 14 15
RI 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
当 n<3 时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 C,I,与同阶平均随机一致性指标 R.I,之比称为随机一致性比率 C.R.(Consistency Ratio)。
CI
CR
RI
=
当 C,R.< 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983
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性。 当 C.R,≥0.10 时,就需要调整和修正判断矩阵,使其满足
C.R.< 0.10,从而具有满意的一致性。
9 层次单排序
层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序，这就要计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法 是 和积法和方根法。
? 和积法具体计算步骤,
? 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理,其元素的一般项为
ij
ij
ij
b
b (i,j=1,2,3......n)
b
=
∑
n
iij
j1
w b (i 1,2......n)
=
==
∑
? 将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为
? 对向量 W=（ W1,W2…… Wn)t 归一化处理,
i
i n
j
j=1
w
w (i 1,2......n)
w
==
∑
W=（ W1,W2…… Wn )t
即为所求的特征向量的近似解。
? 计算判断矩阵最大特征根 λmax
n
J
max
i1
i
(BW)
nw
λ
=
=
∑
? 方根法具体计算步骤
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? 将判断矩阵的每一行元素相乘 Mij
n
ij ij
j1
M b (i 1,2.....n)
=
=∏ =
? 计算 Mi 的 n 次方根 Wi
n
ii
w m (i 1,2.....n)==
? 对向量 W=（ W1,W2…… Wn)t 归一化处理,
i
i n
j
j=1
w
w (i 1,2......n)
w
==
∑
W=（ W1,W2…… Wn )t
即为所求的特征向量的近似解。
? 计 算 判 断 矩 阵 最
大 特 征 根 λmax
9 层 次 综 合 排 序利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。
三,
担 任 领 导 工作,干部的优劣 （由六 个 属 性 来 衡 量,健 康 状 况,业 务 知 识,写作水层次分析法举例
某 单 位 拟 从 三 名 干 部 中 提 拔 一 人上级人事部门提出）,用平,口才,政策水 平,工作 作风,分别用 p1,p2,p3,p4,
p5,p6 来表示。判断矩阵如下 A。
A p1 p2 p3 p4 p5 p6
p1 1 1 1 4 1 1/2
n
J
max
i1
i
(BW)
nw
λ
=
=
∑
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p2 1 1 2 4 1 1/2
p3 1 1/2 1 5 3 1/2
p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
p5 1 1 1/3 3 1 1
p6 2 2 2 3 1 1
组 织 部 门 个 人,,乙,对每个目标的层性打分。 给 三 甲 丙健康状况 甲 乙 丙
甲 1 1/4 1/2
乙 4 1 3
丙 2 1/3 1
业 务 水 平 甲 乙 丙
甲 1 1/4 1/5
乙 4 1 1/2
丙 5 2 1
写 作 水 平 甲 乙 丙
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甲 1 3 1/5
乙 1/3 1 1
丙 5 1 1
口才 甲 乙 丙
甲 1 1/3 5
乙 3 1 7
丙 1/5 1/7 1
政策水平 甲 乙 丙
甲 1 1 7
乙 1 1 7
丙 1/7 1/7 1
工作作风 甲 乙 丙
甲 1 7 9
乙 1/7 1 5
丙 1/9 1/5 1
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分 析 图 如 下
用方根法求最大特征值和最大特征相量如下
各属性的最大特征值为
知 写作能 口才 政 策 水 工作作层 次
提提 拔拔 一一位位 干干 部部 担担 任任 领领 导导 工工 作作
健健康康
A 的 最大特征值为 6.35，特征相量为
T
2
B (0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30)=
特征值 健 康 水 业 务平 识 力 平 风
max
λ
3.05 3.02 3.02 3.56 3.00 3.21
相应特征相量为
0.65 0.47 0.17
0.24 0.57 0.460.07 0.07 0.05
3
0.14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77
B 0.63 0.33 0.22
=
状状况况业业务务水水平平写写作作水水平平口口
才才政政策策水水平平工工作作作作风风甲甲 乙乙 丙丙
w
1
w
2
w
3
w
4
w
5
w
6
总总 目目 标标
方方 案案 层层
子子目目标标用 Excel 求解 层次分析法（ AHP）问 题 2005-05-04
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于是有
在三人中选择 A担任领导
excel 求解层次分析法问题
要 很 大 的 计 算 量,采用常见的 excel 软件半 功 倍 的 效 果 。
因 素 出 发考 虑指 花 园,停 车 场 ；
对八个准则和候选房子构造判断矩阵如下,
T
323
w B B (0.40,0.34,0.26)==
四,用求 解 层 次 分 析 法 问 题 需计 算 层 次 分 析 法 简 单 方 便,可 以 收 到 事用 excel 求解层次分析 法 主 要 是 最 大 特 征 值 和 特 征 相 量 的 求 解,
下面我们以和积法为例说明如何用 excel 解 AHP 问题。
我们用的例子是,一家公司决定 购买一栋房子,经过初步调查研究,确定了三个候选房 A,B,C。 从经济,地理,建 筑 三 个
,购 买 满 意 房 子 的 决 策 判 据 有 八 个 方 面,
1) 面积
2) 交通
3) 环境
4) 房龄
5) 空 地,
6) 设备
7) 结构
8) 价格
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然后我们开始计算最大特征值和特征相量,首先计算准则层的最大特征值和相应特征相量。如图所示，输入判断矩阵
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将矩阵列规范化
其中第一、二列的输入如下，依次类推
再按行平均，求得 wi的值
其中第一、二列的输入如下，依此类推
以下求最大特征值，黄色标志即为最大特征值
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其中第一个数是将判断矩阵第一行和 wi 相应的数相乘，并将得数相加得到，依此类推，如下图。 （P RODUCT 函数的意义是将两个矩阵对应的数相乘）
黄色单元格应输入的公式为
最后进行一致性检验
对于方案层的计算也是如此，在这里不必 每次都按照这些步骤计算，
只需计算面积这一准则后,将所有数字,公式复制到另一工作表,修改相应的判断矩阵数值即可,所有的数值都会随着判断矩阵的改变而改变。
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最后需要计算总体
其中第一行是准则层的 wi，第一列是三个候选房对于面积这一准则的 wi，第二列是三个候选房对于交通这一准则的 wi，依此类推，输
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入公式计算总体排序，如图所示
最后计算总体一致性
输入公式如下,
一致性指标
平均随机一致性指标 RI
总体一致性
至此,所有计算完毕,需要说明的是,如果一致性指标大于 0.1，
就要调整判断矩阵，在这里我们只是为了 说明如何用 excel 解问题，
并没有考虑到细节问题,如上面的交通这一准则的一致性指标就大于
0.1。请读者朋友自己调整判断矩阵。
最后给大 家一句忠 告,一定 要多加练 习,这样 才能将 AHP 方 法 记牢，因为通过自己实际操作，记忆往往是很深刻的。有需要 excel
文件的请联系我。随后我将写一下用 excel 解数据包络分析（DEA）
问题，敬请关注！
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一,层次分析法（AHP）简介
层次分析法（AHP）的由来
美国运筹学家 A.L.Saaty 于本世纪 70 年 代提出的层次分析法
（Analytical Hierar -chy Process，简称 AHP 方法)，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。 它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化,数量化的过程。 应用这种方法,决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素,在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重,为最佳方案的选择提供依据。
层次分析法（AHP）基本原理
AHP 法首先把问题层次化,按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次,构成一个多层次的分析结构模 型,分为最低层 （供决策的方案、措施等）,相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。
层次分析法（AHP）特点
分析思路清楚,可将系统分析人员的思维过程系统化,数学化和模型化；
分析时需要的定量数据不多,但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；
这种方法适用于多准则,多目标的复杂问题的决策分析,广泛用于地区经济发展方案比较,科学技术成果评比,资源规划和分析以及企业人员素质测评。
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二、层次分析法（AHP）的具体步骤
9 明确问题
在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识,弄清问题 的范围,了解问题所包含的因素，
确定出因素之间的关联关系和隶属关系。
9 递阶层次结构的建立
根据对问题分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是 系 统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特 性 组合起来，形成更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层 次 因素。
o 最高层是目标层
o 中间层是准则层
o …….,
o 最低层是方案层或措施层
9 建立两两比较的判断矩阵
判 断矩阵表示针对上一层次某单元（元素）,本层次与它有关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式,
Cs p1 p2 … … pn
p1 b11 b12 … … b1n
p2 b21 b22 … … b2n
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… … … … … …
… … … … … …
pn bn1 bn2 … … bnn
在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般 对 单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析 法 采用 1-9 标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。
标 度 定义与说明
1 两个元素对某个属性具有同样重要性
3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
5 两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
7 两个元素比较，一元素比另一元素重要得多
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表 示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
判断矩阵 B 具 有如下特征,
bii = 1
bji = 1/ bij
bij = bik/ bjk
(i,j,k=1,2,….n)
判断矩阵中的 bij 是根据资料数 据,专家的意见和系统分析人版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983
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员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思 维 的一致性是非常重要的,只要矩阵中的 bij 满足上述三条关系式时，
就说明判断矩阵具有完全的一致性。
判断矩阵一致性指标 C.I.(Consistency Index)
MAX
n
CI
n1
λ?
=
一致性指标 C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大,C.I.的值 越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。
一般判断矩阵的阶数 n 越大,人为造成的偏离完全一致性指标 C.I.
的值便越大；n 越小，人为造成的偏离完 全一致性指标 C.I.的值便越小。
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标
R.I.(Random Index),下表给出了 1-15阶正互反矩阵计算 1000
次得到的平均随机一致性指标 。
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.46
N 10 11 12 13 14 15
RI 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
当 n<3 时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标 C,I,与同阶平均随机一致性指标 R.I,之比称为随机一致性比率 C.R.(Consistency Ratio)。
CI
CR
RI
=
当 C,R.< 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致版权所有——京华孤客 欢迎访问我的个人主页 http://free.6to23.com/jhgk1983
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性。 当 C.R,≥0.10 时,就需要调整和修正判断矩阵,使其满足
C.R.< 0.10,从而具有满意的一致性。
9 层次单排序
层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序，这就要计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法 是 和积法和方根法。
? 和积法具体计算步骤,
? 将判断矩阵的每一列元素作归一化处理,其元素的一般项为
ij
ij
ij
b
b (i,j=1,2,3......n)
b
=
∑
n
iij
j1
w b (i 1,2......n)
=
==
∑
? 将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为
? 对向量 W=（ W1,W2…… Wn)t 归一化处理,
i
i n
j
j=1
w
w (i 1,2......n)
w
==
∑
W=（ W1,W2…… Wn )t
即为所求的特征向量的近似解。
? 计算判断矩阵最大特征根 λmax
n
J
max
i1
i
(BW)
nw
λ
=
=
∑
? 方根法具体计算步骤
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? 将判断矩阵的每一行元素相乘 Mij
n
ij ij
j1
M b (i 1,2.....n)
=
=∏ =
? 计算 Mi 的 n 次方根 Wi
n
ii
w m (i 1,2.....n)==
? 对向量 W=（ W1,W2…… Wn)t 归一化处理,
i
i n
j
j=1
w
w (i 1,2......n)
w
==
∑
W=（ W1,W2…… Wn )t
即为所求的特征向量的近似解。
? 计 算 判 断 矩 阵 最
大 特 征 根 λmax
9 层 次 综 合 排 序利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。
三,
担 任 领 导 工作,干部的优劣 （由六 个 属 性 来 衡 量,健 康 状 况,业 务 知 识,写作水层次分析法举例
某 单 位 拟 从 三 名 干 部 中 提 拔 一 人上级人事部门提出）,用平,口才,政策水 平,工作 作风,分别用 p1,p2,p3,p4,
p5,p6 来表示。判断矩阵如下 A。
A p1 p2 p3 p4 p5 p6
p1 1 1 1 4 1 1/2
n
J
max
i1
i
(BW)
nw
λ
=
=
∑
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p2 1 1 2 4 1 1/2
p3 1 1/2 1 5 3 1/2
p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
p5 1 1 1/3 3 1 1
p6 2 2 2 3 1 1
组 织 部 门 个 人,,乙,对每个目标的层性打分。 给 三 甲 丙健康状况 甲 乙 丙
甲 1 1/4 1/2
乙 4 1 3
丙 2 1/3 1
业 务 水 平 甲 乙 丙
甲 1 1/4 1/5
乙 4 1 1/2
丙 5 2 1
写 作 水 平 甲 乙 丙
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甲 1 3 1/5
乙 1/3 1 1
丙 5 1 1
口才 甲 乙 丙
甲 1 1/3 5
乙 3 1 7
丙 1/5 1/7 1
政策水平 甲 乙 丙
甲 1 1 7
乙 1 1 7
丙 1/7 1/7 1
工作作风 甲 乙 丙
甲 1 7 9
乙 1/7 1 5
丙 1/9 1/5 1
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分 析 图 如 下
用方根法求最大特征值和最大特征相量如下
各属性的最大特征值为
知 写作能 口才 政 策 水 工作作层 次
提提 拔拔 一一位位 干干 部部 担担 任任 领领 导导 工工 作作
健健康康
A 的 最大特征值为 6.35，特征相量为
T
2
B (0.16,0.19,0.19,0.05,0.12,0.30)=
特征值 健 康 水 业 务平 识 力 平 风
max
λ
3.05 3.02 3.02 3.56 3.00 3.21
相应特征相量为
0.65 0.47 0.17
0.24 0.57 0.460.07 0.07 0.05
3
0.14 0.10 0.32 0.28 0.47 0.77
B 0.63 0.33 0.22
=
状状况况业业务务水水平平写写作作水水平平口口
才才政政策策水水平平工工作作作作风风甲甲 乙乙 丙丙
w
1
w
2
w
3
w
4
w
5
w
6
总总 目目 标标
方方 案案 层层
子子目目标标用 Excel 求解 层次分析法（ AHP）问 题 2005-05-04
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于是有
在三人中选择 A担任领导
excel 求解层次分析法问题
要 很 大 的 计 算 量,采用常见的 excel 软件半 功 倍 的 效 果 。
因 素 出 发考 虑指 花 园,停 车 场 ；
对八个准则和候选房子构造判断矩阵如下,
T
323
w B B (0.40,0.34,0.26)==
四,用求 解 层 次 分 析 法 问 题 需计 算 层 次 分 析 法 简 单 方 便,可 以 收 到 事用 excel 求解层次分析 法 主 要 是 最 大 特 征 值 和 特 征 相 量 的 求 解,
下面我们以和积法为例说明如何用 excel 解 AHP 问题。
我们用的例子是,一家公司决定 购买一栋房子,经过初步调查研究,确定了三个候选房 A,B,C。 从经济,地理,建 筑 三 个
,购 买 满 意 房 子 的 决 策 判 据 有 八 个 方 面,
1) 面积
2) 交通
3) 环境
4) 房龄
5) 空 地,
6) 设备
7) 结构
8) 价格
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然后我们开始计算最大特征值和特征相量,首先计算准则层的最大特征值和相应特征相量。如图所示，输入判断矩阵
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将矩阵列规范化
其中第一、二列的输入如下，依次类推
再按行平均，求得 wi的值
其中第一、二列的输入如下，依此类推
以下求最大特征值，黄色标志即为最大特征值
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其中第一个数是将判断矩阵第一行和 wi 相应的数相乘，并将得数相加得到，依此类推，如下图。 （P RODUCT 函数的意义是将两个矩阵对应的数相乘）
黄色单元格应输入的公式为
最后进行一致性检验
对于方案层的计算也是如此，在这里不必 每次都按照这些步骤计算，
只需计算面积这一准则后,将所有数字,公式复制到另一工作表,修改相应的判断矩阵数值即可,所有的数值都会随着判断矩阵的改变而改变。
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最后需要计算总体
其中第一行是准则层的 wi，第一列是三个候选房对于面积这一准则的 wi，第二列是三个候选房对于交通这一准则的 wi，依此类推，输
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入公式计算总体排序，如图所示
最后计算总体一致性
输入公式如下,
一致性指标
平均随机一致性指标 RI
总体一致性
至此,所有计算完毕,需要说明的是,如果一致性指标大于 0.1，
就要调整判断矩阵，在这里我们只是为了 说明如何用 excel 解问题，
并没有考虑到细节问题,如上面的交通这一准则的一致性指标就大于
0.1。请读者朋友自己调整判断矩阵。
最后给大 家一句忠 告,一定 要多加练 习,这样 才能将 AHP 方 法 记牢，因为通过自己实际操作，记忆往往是很深刻的。有需要 excel
文件的请联系我。随后我将写一下用 excel 解数据包络分析（DEA）
问题，敬请关注！
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