跳转到第一页电工电子技术基础主编 李中发制作 李中发
2003年 7月跳转到第一页
正弦量的基本特征 及 相量表示法
KCL,KVL及 元件伏安关系的相量形式
阻抗串、并联电路的分析计算
正弦电路的有功功率和功率因数
对称三相电路的连接方式及计算
RLC串联电路的谐振条件与特征学习要点第 2章 正弦电路分析跳转到第一页第 2章 正弦电路分析
2.1 正弦量的基本概念及其相量表示法
2.2 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
2.3 正弦交流电路的一般分析方法
2.4 正弦电路的功率
2.5 电路中的谐振
2.6 三相电路跳转到第一页
2.1 正弦量的基本概念及其相量表示法随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
跳转到第一页以正弦电流为例
)s i n ( im tIi
振幅 角频率振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。
相位 初相角,简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形跳转到第一页角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数周期与频率的关系：
T
f
1
2.1.1 周期与频率跳转到第一页
2.1.2 相位、初相和相位差相位,正弦量表达式中的角度初相,t=0时的相位相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
iuiu tt )()(
相位差为：
跳转到第一页
0,u 与 i 同相。
0,u 超前 i,或 i 滞后 u 。
,u 与 i 反相。
2
,u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交跳转到第一页
2.1.3 振幅与有效值振幅,正弦量的最大值周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的时间 T内,两个电阻消耗的能量相等,则称该直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有：
周期电流的有效值为：
T dti
T
I 0 2
1
T R d tiRTI 0 22
跳转到第一页
)s i n ()( im tIti
对于正弦电流,因
I
I
dttII
m
m
T
imT
707.0
2
)(s i n
0
221
所以 正弦电流的有效值 为：
同理,正弦电压的有效值 为：
m
m UUU 7 0 7.0
2
跳转到第一页
2.1.4 正弦量的相量表示法相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
1．复数及其运算复数 A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度 a称为复数 A
的 模,模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角 θ称为复数 A的 辐角 。
O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
跳转到第一页根据以上关系式及欧拉公式复数 A的实部 a1及虚部 a2与模 a及辐角 θ的关系为：
s in1 aac o s2 aa?
2
2
2
1 aaa
1
2a rc t g
a
a O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
aaejaajaaA js i nc os21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型 4种形式。
s i nc os je j
跳转到第一页
121 ajaaA
221 bjbbB
复数的四则运算：
设两复数为：
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算：
)()( 2211 bajbaBA
(3)乘除运算：
)( 21)( 21
2
1
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ababebeaeBA jjj
跳转到第一页
2．正弦量的相量表示法将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为：
im
j
mm IeII i?
并称其为相量。
跳转到第一页
I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi imm II
)s i n ( um tUu umm UU
)s i n(2 itI
iII
)s i n(2 utU
uUU
跳转到第一页有效值相量和振幅相量的关系：
II m 2?
UU m 2?
跳转到第一页规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其相量为 。
1I? 2I?
21 II
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
I?
dt
di Ij
2.2 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
2.2.1 相量运算规则规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II
跳转到第一页
0 I?
KCL：
0 U?
KVL：
i
i 1 i 2
例：
3196.53061 jI
)30s i n(261 ti?
)60s i n(282 ti?
求 i=i1+i2
解：
9 2 8.646082 jI
2.2.2 KCL,KVL的相量形式跳转到第一页
A1.2310928.3296.9
)928.64()3196.5(
21
j
jj
III
A)1.23s i n (210 ti?
相量图,30 °23.1 °
60 °
1
I?
2
I?
I?
跳转到第一页
2.2.3 元件伏安关系的相量形式在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
跳转到第一页
1、电阻元件电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有：
RIU?
iu
IRU
R
θ u = θ i
i
+ u －
(a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
将 uUU,iII 代入，得：
iu RIU
跳转到第一页
2、电感元件电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
diLu?
IjXILjU L
将 uUU,iII 代入，得：
)90( iiu LILIjU
IXLIU L
90iu
感抗,XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
U?
+ u －
θ
u
(b) 相量图跳转到第一页
3、电容元件
CUI
90ui
IjXICjU C1
或容抗,XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
U
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
duCi?
UCjI
将 uUU,iII 代入上式，得：
)90( uui CUCUjI
跳转到第一页
2.3 正弦交流电路的一般分析方法将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。
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2.3.1 阻抗的串联与并联
1．阻抗的定义定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即：
m
m
I
UZ
I
UZ
Z
+
U?
－
无源二端网络
+
U?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路或跳转到第一页
mm IZU
IZU
或称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗：
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
1
CC
LL
R
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型将所有元件以相量形式表示：
跳转到第一页
2．阻抗的性质
zZjXRZ ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ
R
X
z a r c t g
zZR?c o s||? zZX?s in||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
m
m
I
U
I
UZ|| iuz
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性电压滞后电流，容性电压电流同相，阻性跳转到第一页
3．阻抗的串联与并联
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
1U
－
+
2U
－
21 ZZZ
21
21
ZZ
ZZZ
UZZ ZU
21
1
1
UZZ ZU
21
2
2
I
ZZ
ZI
21
2
1
IZZ ZI
21
1
2
1I
2I
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联跳转到第一页
CjXC
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i,相量U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示：
2.3.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
(a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
－
+
L
U
－
+
R
U
－
－ CU
+
R
jX
L
－ jX
C
I
跳转到第一页
jXRXXjRZZZZ )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjRUUUU )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
－
－ CU
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU
由欧姆定律：
由 KVL：
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g
跳转到第一页
LU
CU
RU
U?
I?
CU
LU
CU
U
RU
I?
LU
LU
CU
RU
U? I
C
U?
(a ) X > 0 (b ) X < 0 (c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
1
时,X > 0,0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
1
时,X < 0,0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
1
时,X = 0,0?z?,电路呈电阻性。
跳转到第一页例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36LLX?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
100 0 1.010
11
66CCX?
kΩ
4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
跳转到第一页
V025mU?
mA451
4525
025
Z
UI m
m
V13514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
)4510s i n (
6
ti ｍ A
)4510s i n (5
6
tu
R
V
)4510s i n (6
6
tu
L V
)13510s i n (
6
tu
R V
V10s i n25 6 tu?由,得电压相量为：
LU
U?
RU
I?
CU
跳转到第一页
k4.6012.108.85
)
10001.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为：
0?z?,电路呈容性。
跳转到第一页
2.3.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
(a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
LI
CI
R
UI
R LL jX
UI
C
C jX
UI
)]11(1[
CL XX
jRUI
uUU
若已知,便可求出各个电流相量。
跳转到第一页例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
5.2
104.010
11
66C CX?
510510 66L LX?
解：
V010U?
设跳转到第一页
A25 010R RUI
A2
5
010
L
L jjjX
UI
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI?
A452222422CLR jjjIIII
A)4510s i n (4 6 ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
跳转到第一页
2.4 正弦电路的功率
2.4.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
tUu
tIi
)]2c os ([c os)s i n(2s i n2 tUItUtIuip
c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT
-
+ Nu i
设
iu
，则：
瞬时功率：
平均功率（有功功率）：
1．平均功率跳转到第一页对电阻元件 R,0,UIP? 。
对电感元件 L, 90?,0?P 。
对电容元件 C, 90?,0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
c o sUIP? c o s? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均功率。
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2．无功功率
s i nUIQ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R,0,0?Q 。
对电感元件 L, 90?,UIQ? 。
对电容元件 C, 90?,UIQ 。
3．视在功率
UIS? 单位为伏安（ VA）
222 QPS
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系：
表示用电设备的容量。
跳转到第一页
1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容。
2.4.2 功率因数的提高跳转到第一页例：一台功率为 1.1kW的感应电动机,接在
220 V,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 10 A,求,(1)电动机的功率因数； (2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器,电路的功率因数为多少？
解,(1)
5.0102 2 0 1 0 0 01.1c o s UIP?
(2)在未并联电容前，电路中的电流为 。并联电容后，电动机中的电流不变，仍为,
这时电路中的电流为：
1I?
1I?
C1 III
跳转到第一页
+
U?
－ 1
I?
CI
电动机
R
(a ) 电路 ( b ) 相量图
U?
I?
L
I
I
CI
I?
C
CI
1I
844.03.32c o sc o s
3.32
5
5.566.8
a r c t ga r c t g
A560c o s1060c o s
A66.860s i n1060s i n
A5.5105.79314
C
6
C
C
I
II
II
II
CU
X
U
I
由相量图得：
跳转到第一页
2.5 电路中的谐振由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作状态称为 谐振 。
2.5.1 串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
01CL CLXX 0a r c t g CL R XX?
当 时，
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
跳转到第一页品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0
特性阻抗,CLCL
0
0
1
谐振频率,LCf?2 1o?谐振角频率,LC
1
o
电路串联谐振时的主要特征：
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时,电流具有最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相,电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
跳转到第一页
2.5.2 并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ1,LjZ C?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
1
1
)(
C1
C1
∵ RL,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
跳转到第一页谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
L
C
谐振角频率为：
LC
1
0
谐振频率为：
LC
f
2
1
0
在
RL
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，
0
，电压与电流同相，阻抗为
RC
L
Z?,阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。
跳转到第一页
2.6 三相电路由 3个 频率相同,振幅相同,相位互差
120° 的正弦电压源所构成的电源称为 三相电源 。由三相电源供电的电路称为 三相电路 。
2.6.1 三相电源三相电源由三相交流发电机产生的。在三相交流发电机中有 3个相同的绕组。 3个绕阻的首端分别用 A,B,C表示，末端分别用 X、
Y,Z表示。这 3个绕组分别称为 A相,B相、
C相，所产生的三相电压分别为：
)120s i n(2
)120s i n(2
s i n2
C
B
A
tUu
tUu
tUu
p
p
p
1 2 0
1 2 0
0
C
B
A
p
p
p
UU
UU
UU
ω t
u
u
A
u
B
u
C
O
120 °
120 °
120 ° AU
C
U
B
U
(a ) 波形图 (b) 相量图三个电压?同幅值?同频率?相位互差 120?
三个电压达最大值的先后次序叫 相序,图示相序 为 A?B?C
跳转到第一页
1．三相电源的星形连接星形连接,3个末端连接在一起引出中线，由 3个首端引出 3条火线。 CU
30 °
30 °
30 °
A
U
B
U
AB
U
CA
U
BC
U
－ BU
－
A
U
－ C
U
C
U
B
U
+
A
U
－
－
+
+
－
A
N
B
C每个 电源 的电压称为 相电压火线间电压称为 线电压 。
ACCA
CBBC
BAAB
UUU
UUU
UUU
跳转到第一页
C
U
30 °
30 °
30 °
A
U
B
U
AB
U
CA
U
BC
U
－ BU
－
A
U
－ C
U
1503
303
903
303
303
303
CCA
BBC
AAB
p
p
p
U
UU
U
UU
U
UU
由相量图可得：
可见，三个线电压幅值相同，
频率相同，相位相差 120?。
pl UU 3?
跳转到第一页
2．三相电源的三角形连接
C
U?
A
U?
+ BU
－
－
+
+
－
A
B
C
注：此种接法如一相接反，将造成严重后果。
pl UU?
三角形连接,将三相绕组的首、末端依次相连，从 3个点引出 3条火线。
BCU? CAU?
ABU?
跳转到第一页
2.6.2 对称三相电路计算如果三相负载的阻抗相等，则称为 对称三相负载 。由对称三相电源和对称三相负载组成的三相电路称为 对称三相电路 。
1．对称三相负载星形连接
CI
BI
AI
CU
BU
+
AU
－
－+
+
－
A
N
BC
Z
Z
Z
pl II?
相电流,负载中的电流线电流,火线中的电流跳转到第一页
)1 2 0(
1 2 0
)1 2 0(
1 2 0
0
C
C
B
B
A
A
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
0CBA III
zllzppp IUIUPP c o s3c o s33
中线中没有电流。
跳转到第一页
2．对称三相负载三角形连接 AI?A
B
C
Z Z
ZBI
CI
ABI
BCI
CAI
303
303
303
CABCCAC
BCABBCB
ABCAABA
IIII
IIII
IIII
)1 2 0(
1 2 0
)1 2 0(
1 2 0
0
CA
CA
BC
BC
AB
AB
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
相电流线电流
pl II 3?
A
I
BC
I
AB
I
CA
I
30 °
30 °
30 °
B
I
C
I
BC
I
AB
I
CA
I
zllzppp IUIUPP c o s3c o s33
跳转到第一页例,对称三相三线制的线电压 V 3100?lU,
每相负载阻抗为 6010Z Ω,求负载为星形及三角形两种情况下的电流和三相功率。
解,（ 1 ）负载星形连接时，相电压的有效值为：
V 1 0 0
3
l
p
U
U
设 0100
A
U
V 。线电流等于相电流，为：
A 6010
6010
1 2 01 0 0
A 1 8 010
6010
1 2 01 0 0
A 6010
6010
01 0 0
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三相总功率为：
W1 5 0 060c o s1031003c o s3
zll
IUP?
跳转到第一页
（ 2 ）当负载为三角形连接时，相电压等于线电压，
设 V 031 0 0
AB
U
。相电流为：
A 60310
6010
1 2 031 0 0
A 1 8 0310
6010
1 2 031 0 0
A 60310
6010
031 0 0
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
线电流为：
3030303
1503021030303
9030303
CAC
BCB
ABA
II
II
II
三相总功率为：
W4 5 0 060c o s3031 0 03c o s3
zll
IUP?
由此可知，负载由星形连接改为三角形连接后，相电流增加到原来的
3
倍，线电流增加到原来的 3 倍，功率增加也到原来的 3 倍。
2003年 7月跳转到第一页
正弦量的基本特征 及 相量表示法
KCL,KVL及 元件伏安关系的相量形式
阻抗串、并联电路的分析计算
正弦电路的有功功率和功率因数
对称三相电路的连接方式及计算
RLC串联电路的谐振条件与特征学习要点第 2章 正弦电路分析跳转到第一页第 2章 正弦电路分析
2.1 正弦量的基本概念及其相量表示法
2.2 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
2.3 正弦交流电路的一般分析方法
2.4 正弦电路的功率
2.5 电路中的谐振
2.6 三相电路跳转到第一页
2.1 正弦量的基本概念及其相量表示法随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
跳转到第一页以正弦电流为例
)s i n ( im tIi
振幅 角频率振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。
相位 初相角,简称 初相
i
ω tO
I m
θ i
波形跳转到第一页角频率 ω,正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：
f
T
22
周期 T：正弦量完整变化一周所需要的时间频率 f,正弦量在单位时间内变化的周数周期与频率的关系：
T
f
1
2.1.1 周期与频率跳转到第一页
2.1.2 相位、初相和相位差相位,正弦量表达式中的角度初相,t=0时的相位相位差,两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如
)s i n ( um tUu
)s i n ( im tIi
iuiu tt )()(
相位差为：
跳转到第一页
0,u 与 i 同相。
0,u 超前 i,或 i 滞后 u 。
,u 与 i 反相。
2
,u 与 i 正交。
( a ) u 与 i 同相 ( b ) u 超前 i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
u,i
ω tO
u
i
( c ) u 与 i 反相 ( d ) u 与 i 正交跳转到第一页
2.1.3 振幅与有效值振幅,正弦量的最大值周期电流有效值,让周期电流 i和直流电流 I分别通过两个阻值相等的电阻 R,如果在相同的时间 T内,两个电阻消耗的能量相等,则称该直流电流 I的值为周期电流 i的有效值 。
根据有效值的定义有：
周期电流的有效值为：
T dti
T
I 0 2
1
T R d tiRTI 0 22
跳转到第一页
)s i n ()( im tIti
对于正弦电流,因
I
I
dttII
m
m
T
imT
707.0
2
)(s i n
0
221
所以 正弦电流的有效值 为：
同理,正弦电压的有效值 为：
m
m UUU 7 0 7.0
2
跳转到第一页
2.1.4 正弦量的相量表示法相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
1．复数及其运算复数 A可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度 a称为复数 A
的 模,模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角 θ称为复数 A的 辐角 。
O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
跳转到第一页根据以上关系式及欧拉公式复数 A的实部 a1及虚部 a2与模 a及辐角 θ的关系为：
s in1 aac o s2 aa?
2
2
2
1 aaa
1
2a rc t g
a
a O a 1 + 1
a 2 A
+ j
a
θ
aaejaajaaA js i nc os21
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型可将复数 A表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型 4种形式。
s i nc os je j
跳转到第一页
121 ajaaA
221 bjbbB
复数的四则运算：
设两复数为：
(1)相等。若 a1=b1,a2=b2,则 A=B。
(2)加减运算：
)()( 2211 bajbaBA
(3)乘除运算：
)( 21)( 21
2
1
b
ae
b
a
be
ae
B
A j
j
j
)( 21)( 2121 ababebeaeBA jjj
跳转到第一页
2．正弦量的相量表示法将复数 Im∠ θi乘上因子 1∠ ωt,其模不变，
辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度 ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于
Imsin(ωt + θi ),正好是用正弦函数表示的正弦电流 i。可见复数 Im∠ θi与正弦电流
i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数
Im∠ θi来表示正弦电流 i,记为：
im
j
mm IeII i?
并称其为相量。
跳转到第一页
I m
O + 1
+ j
θ i
θ i O ω t
i
I m
( a ) 以角速度 ω 旋转的复数 ( b ) 旋转复数在虚轴上的投影
ω
正弦量 相量
)s i n ( im tIi imm II
)s i n ( um tUu umm UU
)s i n(2 itI
iII
)s i n(2 utU
uUU
跳转到第一页有效值相量和振幅相量的关系：
II m 2?
UU m 2?
跳转到第一页规则 2：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 + i2也是同频率的正弦量，其相量为 。
1I? 2I?
21 II
规则 4：若 i为角频率为 ω的正弦量，代表它的相量为,则 也是同频率的正弦量，其相量为 。
I?
dt
di Ij
2.2 KCL,KVL及元件伏安关系的相量形式
2.2.1 相量运算规则规则 1：若 i为正弦量，代表它的相量为,则 ki也是正弦量，代表它的相量为 k 。 I?I?
规则 3：若 i1与 i2为同频率的正弦量，代表它们的相量分别为 与,则 i1 = i2的充分必要条件是代表它们的相量相等，即,。
1I? 2I?
21 II
跳转到第一页
0 I?
KCL：
0 U?
KVL：
i
i 1 i 2
例：
3196.53061 jI
)30s i n(261 ti?
)60s i n(282 ti?
求 i=i1+i2
解：
9 2 8.646082 jI
2.2.2 KCL,KVL的相量形式跳转到第一页
A1.2310928.3296.9
)928.64()3196.5(
21
j
jj
III
A)1.23s i n (210 ti?
相量图,30 °23.1 °
60 °
1
I?
2
I?
I?
跳转到第一页
2.2.3 元件伏安关系的相量形式在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：
)s i n (2
)s i n (2
i
u
tIi
tUu
则代表它们的相量分别为：
i
u
II
UU
跳转到第一页
1、电阻元件电阻元件伏安关系,u=Ri
根据相量运算的规则 1和规则 3，有：
RIU?
iu
IRU
R
θ u = θ i
i
+ u －
(a ) 电阻元件 ( b ) 相量图
I? U
将 uUU,iII 代入，得：
iu RIU
跳转到第一页
2、电感元件电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
diLu?
IjXILjU L
将 uUU,iII 代入，得：
)90( iiu LILIjU
IXLIU L
90iu
感抗,XL=ωL,与频率成正比。
i L
θ
i
(a ) 电感元件
I
U?
+ u －
θ
u
(b) 相量图跳转到第一页
3、电容元件
CUI
90ui
IjXICjU C1
或容抗,XC=1/ωC,与频率成反比。
θ
u
( a ) 电容元件
I
U
θ
i
i C
+ u －
( b ) 相量图电感元件伏安关系：
根据相量运算的规则 1、规则 3和规则 4,有：dt
duCi?
UCjI
将 uUU,iII 代入上式，得：
)90( uui CUCUjI
跳转到第一页
2.3 正弦交流电路的一般分析方法将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法 。运用相量法分析正弦交流电路时，
直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。
跳转到第一页
2.3.1 阻抗的串联与并联
1．阻抗的定义定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，
并用符号 Z表示，即：
m
m
I
UZ
I
UZ
Z
+
U?
－
无源二端网络
+
U?
－
I? I?
( a ) 无源二端网络 ( b ) 等效电路或跳转到第一页
mm IZU
IZU
或称为欧姆定律的相量形式。
电阻、电感、电容的阻抗：
C
jjXZ
LjjXZ
RZ
1
CC
LL
R
RI?
+ U? －
I? j X L
+ U? －
I? jX C
+ U? －
相量模型将所有元件以相量形式表示：
跳转到第一页
2．阻抗的性质
zZjXRZ ||
电阻 电抗 阻抗模 阻抗角
22|| XRZ
R
X
z a r c t g
zZR?c o s||? zZX?s in||?
)( iu
i
u
I
U
I
U
I
UZ
m
m
I
U
I
UZ|| iuz
0?z?
0?z?
0?z?
电压超前电流，感性电压滞后电流，容性电压电流同相，阻性跳转到第一页
3．阻抗的串联与并联
Z 2
Z 1
I?+
U?
－
( a ) 两个阻抗串联
+
1U
－
+
2U
－
21 ZZZ
21
21
ZZ
ZZZ
UZZ ZU
21
1
1
UZZ ZU
21
2
2
I
ZZ
ZI
21
2
1
IZZ ZI
21
1
2
1I
2I
Z 1
I?+
U?
－
Z 2
( b ) 两个阻抗并联跳转到第一页
CjXC
的阻抗
LXL j?
的阻抗
R R的阻抗 u,i,相量U? I?
相量模型 将所有元件以相量形式表示：
2.3.2 RLC串联电路
+
u
－
+
u
L
－
+ u
R
－
－ u
C
+
R
L
C
i
(a ) R L C 串联电路 ( b ) 相量模型
+
U
－
+
L
U
－
+
R
U
－
－ CU
+
R
jX
L
－ jX
C
I
跳转到第一页
jXRXXjRZZZZ )( CLCLR
IjXU
IjXU
IRU
CC
LL
R
IZIXXjRUUUU )]([ CLCLR
+ RU? －
+
U?
－
+
LU
－
－ CU
+
R
jX L
－ jX C
I?
2CL22CL2R )()( XXRIUUUU
由欧姆定律：
由 KVL：
R
XX
R
X
iiziu
CLa r c t ga r c t g
跳转到第一页
LU
CU
RU
U?
I?
CU
LU
CU
U
RU
I?
LU
LU
CU
RU
U? I
C
U?
(a ) X > 0 (b ) X < 0 (c ) X = 0
（ 1 ）当
C
L
1
时,X > 0,0?z?,电路呈感性。
（ 2 ）当
C
L
1
时,X < 0,0?z?,电路呈容性。
（ 3 ）当
C
L
1
时,X = 0,0?z?,电路呈电阻性。
跳转到第一页例,RLC串联电路。已知 R=5kΩ,L=6mH，
C=0.001μF,U=5 sin106tV。 (1) 求电流 i和各元件上的电压，画出相量图； (2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路的性质有无改变。
2
解,(1)
610610 36LLX?
kΩ
0?z?,电路呈感性。
1
100 0 1.010
11
66CCX?
kΩ
4525)16(5)( CL jXXjRZ
kΩ
跳转到第一页
V025mU?
mA451
4525
025
Z
UI m
m
V13514511
V4564516
V4554515
CCm
LLm
Rm
jIjXU
jIjXU
IRU
m
m
m
)4510s i n (
6
ti ｍ A
)4510s i n (5
6
tu
R
V
)4510s i n (6
6
tu
L V
)13510s i n (
6
tu
R V
V10s i n25 6 tu?由,得电压相量为：
LU
U?
RU
I?
CU
跳转到第一页
k4.6012.108.85
)
10001.0102
1
106102(5
)(
65
35
j
j
XXjRZ CL
(2)当角频率变为 2× 105rad/s时，电路阻抗为：
0?z?,电路呈容性。
跳转到第一页
2.3.3 RLC并联电路
+
u
－
R
i
(a ) R L C 并联电路 ( b ) 相量模型
+
U?
－
I?
L C
i R i
L i C
R jX L － jX
C
RI
LI
CI
R
UI
R LL jX
UI
C
C jX
UI
)]11(1[
CL XX
jRUI
uUU
若已知,便可求出各个电流相量。
跳转到第一页例,RLC并联电路中。已知 R=5Ω,L=5μH，
C=0.4μF,电压有效值 U=10V,ω=106rad/s，
求总电流 i,并说明电路的性质。
5.2
104.010
11
66C CX?
510510 66L LX?
解：
V010U?
设跳转到第一页
A25 010R RUI
A2
5
010
L
L jjjX
UI
则
A45.2 010
C
C jjjX
UI?
A452222422CLR jjjIIII
A)4510s i n (4 6 ti
因为电流的相位超前电压，所以电路呈容性。
跳转到第一页
2.4 正弦电路的功率
2.4.1 二端网络的功率
)s i n (2
s i n2
tUu
tIi
)]2c os ([c os)s i n(2s i n2 tUItUtIuip
c o s)]2c o s ([ c o s11 00 UIdttUITp d tTP TT
-
+ Nu i
设
iu
，则：
瞬时功率：
平均功率（有功功率）：
1．平均功率跳转到第一页对电阻元件 R,0,UIP? 。
对电感元件 L, 90?,0?P 。
对电容元件 C, 90?,0?P 。
对无源二端网络,? = z? 。
c o sUIP? c o s? 称功率因数。
可见电阻总是消耗能量的，而电感和电容是不消耗能量的，其平均功率都为 0。平均功率就是反映电路实际消耗的功率。无源二端网络各电阻所消耗的平均功率之和，就是该电路所消耗的平均功率。
跳转到第一页
2．无功功率
s i nUIQ?
表示二端网络与外电路进行能量交换的幅度。
单位为乏（ Var）
对电阻元件 R,0,0?Q 。
对电感元件 L, 90?,UIQ? 。
对电容元件 C, 90?,UIQ 。
3．视在功率
UIS? 单位为伏安（ VA）
222 QPS
平均功率 P,无功功率 Q和视在功率 S的关系：
表示用电设备的容量。
跳转到第一页
1、提高功率因数的意义,
(1)提高发、配电设备的利用率；
(2)减少输电线路的电压降和功率损失。
2、提高功率因数的方法,
在感性负载上并联适当的电容。
2.4.2 功率因数的提高跳转到第一页例：一台功率为 1.1kW的感应电动机,接在
220 V,50 Hz的电路中,电动机需要的电流为 10 A,求,(1)电动机的功率因数； (2)若在电动机两端并联一个 79.5μF的电容器,电路的功率因数为多少？
解,(1)
5.0102 2 0 1 0 0 01.1c o s UIP?
(2)在未并联电容前，电路中的电流为 。并联电容后，电动机中的电流不变，仍为,
这时电路中的电流为：
1I?
1I?
C1 III
跳转到第一页
+
U?
－ 1
I?
CI
电动机
R
(a ) 电路 ( b ) 相量图
U?
I?
L
I
I
CI
I?
C
CI
1I
844.03.32c o sc o s
3.32
5
5.566.8
a r c t ga r c t g
A560c o s1060c o s
A66.860s i n1060s i n
A5.5105.79314
C
6
C
C
I
II
II
II
CU
X
U
I
由相量图得：
跳转到第一页
2.5 电路中的谐振由电阻、电感、电容组成的电路，在正弦电源作用下，当 电压与电流同相 时，电路呈电阻性，此时电路的工作状态称为 谐振 。
2.5.1 串联谐振 +
u
－
+
u L
－
+ u R －
－ u C +
R
L
C
i
)
1
(
)( CL
C
LjR
XXjRZ
01CL CLXX 0a r c t g CL R XX?
当 时，
电压与电流同相，电路呈电阻性，电路 谐振 。
跳转到第一页品质因数,CLRCRR LRQ 11
0
0
特性阻抗,CLCL
0
0
1
谐振频率,LCf?2 1o?谐振角频率,LC
1
o
电路串联谐振时的主要特征：
(1)阻抗 Z=R,外加电压 U一定时,电流具有最大值 Io =U/R,Io称为串联谐振电流 。
(2)电压与电流同相,电路呈现纯电阻性质 。
(3)因为 XL=XC>>R,故 UL=UC>>UR=U,即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压 。
跳转到第一页
2.5.2 并联谐振
R
L
i+
u
－
C
i 1
i C
LjRZ1,LjZ C?1?
Cj
LjR
Cj
LjR
ZZ
ZZ
Z
1
1
)(
C1
C1
∵ RL,
)
1
(
1
1
L
Cj
L
RC
Cj
LjR
C
L
Z
跳转到第一页谐振时，阻抗的虚部为零，故有,0
1
0
0
L
C
谐振角频率为：
LC
1
0
谐振频率为：
LC
f
2
1
0
在
RL
的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，
0
，电压与电流同相，阻抗为
RC
L
Z?,阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。
跳转到第一页
2.6 三相电路由 3个 频率相同,振幅相同,相位互差
120° 的正弦电压源所构成的电源称为 三相电源 。由三相电源供电的电路称为 三相电路 。
2.6.1 三相电源三相电源由三相交流发电机产生的。在三相交流发电机中有 3个相同的绕组。 3个绕阻的首端分别用 A,B,C表示，末端分别用 X、
Y,Z表示。这 3个绕组分别称为 A相,B相、
C相，所产生的三相电压分别为：
)120s i n(2
)120s i n(2
s i n2
C
B
A
tUu
tUu
tUu
p
p
p
1 2 0
1 2 0
0
C
B
A
p
p
p
UU
UU
UU
ω t
u
u
A
u
B
u
C
O
120 °
120 °
120 ° AU
C
U
B
U
(a ) 波形图 (b) 相量图三个电压?同幅值?同频率?相位互差 120?
三个电压达最大值的先后次序叫 相序,图示相序 为 A?B?C
跳转到第一页
1．三相电源的星形连接星形连接,3个末端连接在一起引出中线，由 3个首端引出 3条火线。 CU
30 °
30 °
30 °
A
U
B
U
AB
U
CA
U
BC
U
－ BU
－
A
U
－ C
U
C
U
B
U
+
A
U
－
－
+
+
－
A
N
B
C每个 电源 的电压称为 相电压火线间电压称为 线电压 。
ACCA
CBBC
BAAB
UUU
UUU
UUU
跳转到第一页
C
U
30 °
30 °
30 °
A
U
B
U
AB
U
CA
U
BC
U
－ BU
－
A
U
－ C
U
1503
303
903
303
303
303
CCA
BBC
AAB
p
p
p
U
UU
U
UU
U
UU
由相量图可得：
可见，三个线电压幅值相同，
频率相同，相位相差 120?。
pl UU 3?
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2．三相电源的三角形连接
C
U?
A
U?
+ BU
－
－
+
+
－
A
B
C
注：此种接法如一相接反，将造成严重后果。
pl UU?
三角形连接,将三相绕组的首、末端依次相连，从 3个点引出 3条火线。
BCU? CAU?
ABU?
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2.6.2 对称三相电路计算如果三相负载的阻抗相等，则称为 对称三相负载 。由对称三相电源和对称三相负载组成的三相电路称为 对称三相电路 。
1．对称三相负载星形连接
CI
BI
AI
CU
BU
+
AU
－
－+
+
－
A
N
BC
Z
Z
Z
pl II?
相电流,负载中的电流线电流,火线中的电流跳转到第一页
)1 2 0(
1 2 0
)1 2 0(
1 2 0
0
C
C
B
B
A
A
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
0CBA III
zllzppp IUIUPP c o s3c o s33
中线中没有电流。
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2．对称三相负载三角形连接 AI?A
B
C
Z Z
ZBI
CI
ABI
BCI
CAI
303
303
303
CABCCAC
BCABBCB
ABCAABA
IIII
IIII
IIII
)1 2 0(
1 2 0
)1 2 0(
1 2 0
0
CA
CA
BC
BC
AB
AB
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
z
p
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
相电流线电流
pl II 3?
A
I
BC
I
AB
I
CA
I
30 °
30 °
30 °
B
I
C
I
BC
I
AB
I
CA
I
zllzppp IUIUPP c o s3c o s33
跳转到第一页例,对称三相三线制的线电压 V 3100?lU,
每相负载阻抗为 6010Z Ω,求负载为星形及三角形两种情况下的电流和三相功率。
解,（ 1 ）负载星形连接时，相电压的有效值为：
V 1 0 0
3
l
p
U
U
设 0100
A
U
V 。线电流等于相电流，为：
A 6010
6010
1 2 01 0 0
A 1 8 010
6010
1 2 01 0 0
A 6010
6010
01 0 0
C
C
B
B
A
A
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
三相总功率为：
W1 5 0 060c o s1031003c o s3
zll
IUP?
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（ 2 ）当负载为三角形连接时，相电压等于线电压，
设 V 031 0 0
AB
U
。相电流为：
A 60310
6010
1 2 031 0 0
A 1 8 0310
6010
1 2 031 0 0
A 60310
6010
031 0 0
CA
CA
BC
BC
AB
AB
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
线电流为：
3030303
1503021030303
9030303
CAC
BCB
ABA
II
II
II
三相总功率为：
W4 5 0 060c o s3031 0 03c o s3
zll
IUP?
由此可知，负载由星形连接改为三角形连接后，相电流增加到原来的
3
倍，线电流增加到原来的 3 倍，功率增加也到原来的 3 倍。
