第 3章 电阻电路的一般分析
3.1 电路的图
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
3.3 支路电流法
3.4 网孔电流法
3.5 回路电流法
3.6 结点电压法首 页本章重点
重点熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法结点电压法返 回
线性电路的一般分析方法
普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。
元件的电压、电流关系特性。
电路的连接关系 — KCL,KVL定律。
方法的基础
系统性：计算方法有规律可循。
下 页上 页返 回
1.网络图论
B D
A
C
D
C
B
A
哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
下 页上 页
3.1 电路的图返 回
2.电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路
8 5 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
6 4 bn
5
4
3
2
1
6
有向图下 页上 页
6
5
4
3
2
1
7
8
返 回
R4
R1 R3
R2
R6u
S
+ _
i
R5
⑴ 图的定义 (Graph) G={支路，结点 }
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
① 图中的结点和支路各自是一个整体。
② 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。
③ 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
下 页上 页结论返 回从图 G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。
(2)路径
(3)连通图 图 G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
下 页上 页返 回
(4)子图 若图 G1中所有支路和结点都是图
G中的支路和结点，则称 G1是 G
的子图。
① 树 (Tree) T是连通图的一个子图且满足下列条件：
a.连通
b.包含所有结点
c.不含闭合路径下 页上 页返 回树支,构成树的支路 连支,属于 G而不属于 T的支路
② 树支的数目是一定的连支数：
不是树
1 nb t
)1( nbbbb tl
树
① 对应一个图有很多的树下 页上 页明确返 回
② 回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通，
(2)每个结点关联 2条支路。1
2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
4
57
8
不是回路回路
2） 基本回路的数目是一定的，为连支数；
)1( nbbl l
1） 对应一个图有很多的回路；
3） 对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
下 页上 页明确返 回基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3 1
2
3
6
支路数 ＝ 树支数 ＋ 连支数
＝ 结点数 － 1＋ 基本回路数
1 lnb
结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连支下 页上 页结论返 回例
8
7
6
54
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
下 页上 页注意网孔为基本回路。
返 回
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
下 页上 页结论返 回
2.KVL的独立方程数下 页上 页
0431 uuu1
3
2
05421 uuuu
0654 uuu
0532 uuu
1 2-
6 5
4 3
21
4
3
2
1
对网孔列 KVL方程：
可以证明通过对以上三个网孔方程进行加、减运算可以得到其他回路的 KVL方程：
注意返 回
① KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
② n个结点,b条支路的电路,独立的 KCL和 KVL方程数为：
bnbn )1()1(
下 页上 页结论返 回
3.3 支路电流法对于有 n个结点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
1,支路电流法
2,独立方程的列写下 页上 页以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
① 从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写
KCL方程
② 选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程。
返 回例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。 KCL方程,
取网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
0651 uuu
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
下 页上 页
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
返 回应用欧姆定律消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
下 页上 页这一步可以省去
0132 uuu
0354 uuu
0651 uuu
回路 1
回路 2
回路 3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
1 2
3
返 回
（ 1） 支路电流法的一般步骤：
① 标定各支路电流（电压）的参考方向；
② 选定 (n–1)个结点,列写其 KCL方程；
③ 选定 b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合 KVL和支路方程列写；
④ 求解上述方程，得到 b个支路电流；
⑤ 进一步计算支路电压和进行其它分析。
下 页上 页
kkk SuiR
小结返 回
（ 2） 支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
下 页上 页例 1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
1 2
解 ① n–1=1个 KCL方程：
结点 a,–I1–I2+I3=0
② b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
7I1–11I2=70-6=64
U=?US
70V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I27? 11?
返 回
2 0 3
7110
0117
111
Δ
1 2 1 8
7116
01164
110
Δ 1
4 0 6
760
0647
101
Δ 2
A62 0 31 2 1 81I
A22 0 34 0 62I
A426213 III
W4 2 070670P W12626P
下 页上 页
70V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I27? 11?
21
返 回例 2
结点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
增补方程,I2=6A
下 页上 页设电流源电压返 回
+
U
_
a
70V
7?
b
+
–
I1 I3I27? 11?
21 6A
1
解 2
由于 I2已知，故只列写两个方程结点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路,7I1＋ 7I3=70
下 页上 页返 回
70V
7?
b
a
+
–
I1 I3I27? 11?
6A
例 3
–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
② 将控制量用未知量表示,并代入 ① 中所列的方程,消去中间变量 。
下 页上 页注意
5U
+
U
_70V
7?
b
a
+
–
I1 I3I
27? 11?
2
1 +
_
结点 a：
返 回
3.4 网孔电流法
基本思想为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个回路中有一个回路电流 。 各支路电流可用回路电流的线性组合表示,来求得电路的解 。
1.网孔电流法下 页上 页以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。
返 回独立回路数为 2。 选图示的两个独立回路,支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
下 页上 页网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以 KCL自动满足。
因此网孔电流法是对网孔回路列写 KVL方程，方程数为网孔数。
列写的方程
b
il1
il2
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 u
S2
R1 R2
R3
返 回网孔 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
网孔 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
2,方程的列写下 页上 页观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2
网孔 1中所有电阻之和，
称网孔 1的自电阻。
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
R22=R2+R3
网孔 2中所有电阻之和，称网孔 2的自电阻。
① 自电阻总为正。
R12= R21= –R2
网孔 1、网孔 2之间的互电阻。
② 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
uSl1= uS1-uS2 网孔 1中所有电压源电压的代数和。
uSl2= uS2 网孔 2中所有电压源电压的代数和。
下 页上 页注意
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
③ 当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时,取负号；反之取正号 。
下 页上 页方程的标准形式：
对于具有 l 个网孔的电路，有,
s l lllllllll
sllllll
sllllll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
2211
22222121
11212111
2222121
1212111
slll
slll
uiRiR
uiRiR
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
Rjk,互电阻
+,流过互阻的两个网孔电流方向相同；
-,流过互阻的两个网孔电流方向相反；
0,无关。
Rkk,自电阻 (总为正 )
下 页上 页
s l ll22l11l
22222121
11212111
u
lllll
sllllll
sllllll
iRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
注意返 回例 1 用网孔电流法求解电流 i
解 选网孔为独立回路：
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
0)( 35252111 iRiRRRiR
0)( 35432514 iRRRiRiR
① 无受控源的线性网络 Rjk=Rkj,
系数矩阵为对称阵。
② 当网孔电流均取顺（或逆）
时针方向时,Rjk均为负。
32 iii
下 页上 页
RS R
5
R4 R3
R1 R2
US
+
_
i
表明返 回
（ 1） 网孔电流法的一般步骤：
① 选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；
② 以网孔电流为未知量,列写其 KVL方程；
③ 求解上述方程，得到 l 个网孔电流；
⑤ 其它分析。
④ 求各支路电流；
下 页上 页小结
（ 2） 网孔电流法的特点：
仅适用于平面电路。
返 回
3.5 回路电流法
1.回路电流法下 页上 页以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。
回路电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程
)1( nb
与支路电流法相比，方程数减少 n-1个。注意返 回
2,方程的列写下 页上 页例 用回路电流法求解电流 i,RS R5
R4 R3
R1 R2
US
+
_
i
解 只让一个回路电流经过 R5支路。
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0)()( 321252111 iRRiRRRiR
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
2ii?
返 回
i1
i3
i2
下 页上 页方程的标准形式：
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,
s l lllllllll
sllllll
sllllll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
2211
22222121
11212111
Rjk:
互电阻
+,流过互阻的两个回路电流方向相同；
-,流过互阻的两个回路电流方向相反；
0,无关。
Rkk,自电阻 (总为正 )注意返 回
（ 1） 回路法的一般步骤：
① 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
② 对 l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写其 KVL方程；
③ 求解上述方程，得到 l 个回路电流；
⑤ 其它分析。
④ 求各支路电流；
下 页上 页小结
（ 2） 回路法的特点：
① 通过灵活的选取回路可以减少计算量；
② 互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。
返 回
3.理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
例
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32S iiI
方程中应包括电流源电压增补方程：
下 页上 页
ISRS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
返 回
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
S34121141S )()( UiRRiRiRRR
例
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
S2 Ii?
已知电流，实际减少了一方程下 页上 页
ISRS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
返 回
i1
i3
i2
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
下 页上 页返 回例 1
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 5)( 22111
UiRRiR 5)( 34314
受控源看作独立源列方程
33 iRU?
增补方程：
下 页上 页
5URS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
_+
+
_ U
返 回
R1
R4
R5
gU1R
3
R2
U1_
+
+
_
U1
iS
例 2 列回路电流方程 解 1 选网孔为独立回路
1
43
2_
+
_ +
U2
U3
233131 )( UiRiRR
3222 UUiR
0)( 45354313 iRiRRRiR
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
下 页上 页返 回
R1
R4
R5
gU1R
3
R2
U1_
+
+
_
U1
iS
解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：1
43
2
下 页上 页返 回例 3 求电路中电压 U，电流 I和电压源产生的功率
i1 i
4
i2
i3
A21?i
A33?i
A22?i
4436 3214 iiii
解
A26/)41226(4i
A3232I
V842 4 iU
）吸收(W84 4 iP
下 页上 页
＋
4V
3A 2?
－
+
–I
U3?
1?2A
2A
返 回
3.6 结点电压法选结点电压为未知量,则 KVL自动满足,
无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出结点电压后,便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
1.结点电压法下 页上 页以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
返 回
列写的方程 结点电压法列写的是结点上的
KCL方程，独立方程数为：
)1(?n
下 页上 页
uA-uB
uA u
B
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足注意
① 与支路电流法相比，方程数减少 b-(n-1)个。
② 任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为结点电压 (位 )，方向为从独立结点指向参考结点。
返 回
2,方程的列写
① 选定参考结点,标明其余 n-1个独立结点的电压；
1 3
2
下 页上 页
② 列 KCL方程：
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
-i3+i5=－ iS2
SR 入出 ii
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
返 回把支路电流用结点电压表示：
S2S1
2
n2n1
1
n1 ii
R
uu
R
u
0
4
n2
3
n3n2
2
n2n1
R
u
R
uu
R
uu
2
5
n3
3
n3n2
S
S i
R
uu
R
uu
下 页上 页
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
-i3+i5=-iS2
1 3
2iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
返 回整理得：
S2S1n2
2
n1
21
)1( )11( iiu
R
u
RR
01 )111(1 3
3
2n
432
n1
2
nu
R
u
RRR
u
R
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5
S2n3
53
n2
3
)11()1( RuiuRRuR S
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源下 页上 页返 回
G11=G1+G2 结 点 1的自电导
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导
G33=G3+G5 结 点 3的自电导
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导下 页上 页小结结 点的自电导等于接在该 结 点上所有支路的电导之和。
互电导为接在 结 点与 结 点之间所有支路的电导之和，总 为负值 。
返 回
iSn3=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 3的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
4 R
ui?
3
n3n2
3 R
uui
2
n2n1
2 R
uui
5
S3
5 R
uui n
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用结点电压表示：
下 页上 页返 回
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
Gii — 自电导,总为正 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 。
Gij = Gji— 互电导,结 点 i与 结 点 j之间所有支路电导之和,总为 负 。
下 页上 页结点法标准形式的方程：
注意 电路不含受控源时,系数矩阵为对称阵 。
返 回结点法的一般步骤：
(1)选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2)对 n-1个独立结点,以结点电压为未知量,列写其 KCL方程；
(3)求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5)其它分析。
(4)通过 结点电压求各支路电流；
下 页上 页总结返 回试列写电路的结点电压方程
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=GSUS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例下 页上 页
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
返 回
3,无伴电压源支路的处理
① 以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系。
下 页上 页
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US增补方程
I
看成电流源返 回
② 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
下 页上 页
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_ 3
1
2
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，先把受控源看作独立电源列方程，再将控制量用结点电压表示。
返 回
① 先 把受控源当作独立源列方程；
② 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iugu
RR
u
R
例 1
12 nR uu?
下 页上 页
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2
_
2
1
返 回
2
1 3① 设 参考点
③ 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
R
u
R
u
RRR nnn
5
33
534
2
4
1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn
例 2
22
33
Rui
uu
n
n
解
riu n?1
下 页上 页
iS1
R1 R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ －r i
i
R5 + uS _
② 把受控源当作独立源列方程；
返 回例 3 列写电路的结点电压方程
3
1 2
V4n3?u
5
415.0)
23
15.01(
n3n2n1
Uuuu
A3)2.05.0(5.0 n2n1 uu
与电流源串接的电阻不参与列方程。
增补方程：
U = Un2
下 页上 页注意
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
解返 回例 求电压 U和电流 I
解 1 应用结点法
3 12
V100n1?u
V2 1 01 1 01 0 0n2u
205.05.0 n3n2n1 uuu
V1 7 51 0 55020n3u
V1 9 5201n3 uU
A1 2 01/)90( n2 uI
解得：
下 页上 页
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1? 100V
20A
110V
＋
－
U
I
返 回解 2 应用回路法
1
2
3
A201?i
12012 ii
4/1 5 0
1 1 042
3
31
i
ii
A120)( 21 iiI
V1952011002 3 iU
解得：
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1? 100V
20A
110V
＋
－
U
I
上 页返 回
3.1 电路的图
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
3.3 支路电流法
3.4 网孔电流法
3.5 回路电流法
3.6 结点电压法首 页本章重点
重点熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法回路电流法结点电压法返 回
线性电路的一般分析方法
普遍性：对任何线性电路都适用。
复杂电路的一般分析法就是根据 KCL,KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。
元件的电压、电流关系特性。
电路的连接关系 — KCL,KVL定律。
方法的基础
系统性：计算方法有规律可循。
下 页上 页返 回
1.网络图论
B D
A
C
D
C
B
A
哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
下 页上 页
3.1 电路的图返 回
2.电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路
8 5 bn
元件的串联及并联组合作为一条支路
6 4 bn
5
4
3
2
1
6
有向图下 页上 页
6
5
4
3
2
1
7
8
返 回
R4
R1 R3
R2
R6u
S
+ _
i
R5
⑴ 图的定义 (Graph) G={支路，结点 }
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
① 图中的结点和支路各自是一个整体。
② 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。
③ 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
下 页上 页结论返 回从图 G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。
(2)路径
(3)连通图 图 G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。
下 页上 页返 回
(4)子图 若图 G1中所有支路和结点都是图
G中的支路和结点，则称 G1是 G
的子图。
① 树 (Tree) T是连通图的一个子图且满足下列条件：
a.连通
b.包含所有结点
c.不含闭合路径下 页上 页返 回树支,构成树的支路 连支,属于 G而不属于 T的支路
② 树支的数目是一定的连支数：
不是树
1 nb t
)1( nbbbb tl
树
① 对应一个图有很多的树下 页上 页明确返 回
② 回路 (Loop) L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足,(1)连通，
(2)每个结点关联 2条支路。1
2 3
4
5
6
7
8
2
5
3 1 2
4
57
8
不是回路回路
2） 基本回路的数目是一定的，为连支数；
)1( nbbl l
1） 对应一个图有很多的回路；
3） 对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
下 页上 页明确返 回基本回路 (单连支回路 )
1
2
3
4 5
6 5
1
2
3 1
2
3
6
支路数 ＝ 树支数 ＋ 连支数
＝ 结点数 － 1＋ 基本回路数
1 lnb
结点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连支下 页上 页结论返 回例
8
7
6
54
3 2
1
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
8
7
6
5
8 6
4
3
8
2
4
3
下 页上 页注意网孔为基本回路。
返 回
3.2 KCL和 KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
0641 iii
6 5
4 3
21
4
3
2
1
1
4
3
2
0543 iii
0652 iii
0321 iii
41 2 3＋ ＋ ＋ ＝ 0
n个结点的电路,独立的 KCL方程为 n-1个。
下 页上 页结论返 回
2.KVL的独立方程数下 页上 页
0431 uuu1
3
2
05421 uuuu
0654 uuu
0532 uuu
1 2-
6 5
4 3
21
4
3
2
1
对网孔列 KVL方程：
可以证明通过对以上三个网孔方程进行加、减运算可以得到其他回路的 KVL方程：
注意返 回
① KVL的独立方程数 =基本回路数 =b－ (n－ 1)
② n个结点,b条支路的电路,独立的 KCL和 KVL方程数为：
bnbn )1()1(
下 页上 页结论返 回
3.3 支路电流法对于有 n个结点,b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有 b个。只要列出 b个独立的电路方程，便可以求解这 b个变量。
1,支路电流法
2,独立方程的列写下 页上 页以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。
① 从电路的 n个结点中任意选择 n-1个结点列写
KCL方程
② 选择基本回路列写 b-(n-1)个 KVL方程。
返 回例
0621 iii1
3
2
0654 iii
0432 iii
有 6个支路电流，需列写 6个方程。 KCL方程,
取网孔为独立回路，沿顺时针方向绕行列 KVL写方程,
0132 uuu
0354 uuu
0651 uuu
回路 1
回路 2
回路 3
1 2
3
下 页上 页
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
返 回应用欧姆定律消去支路电压得：
0113322 iRiRiR
0335544 iRiRiR
SuiRiRiR 665511
下 页上 页这一步可以省去
0132 uuu
0354 uuu
0651 uuu
回路 1
回路 2
回路 3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
1 2
3
返 回
（ 1） 支路电流法的一般步骤：
① 标定各支路电流（电压）的参考方向；
② 选定 (n–1)个结点,列写其 KCL方程；
③ 选定 b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合 KVL和支路方程列写；
④ 求解上述方程，得到 b个支路电流；
⑤ 进一步计算支路电压和进行其它分析。
下 页上 页
kkk SuiR
小结返 回
（ 2） 支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和 KVL方程,所以方程列写方便,直观,但方程数较多,宜于在支路数不多的情况下使用 。
下 页上 页例 1 求各支路电流及各电压源发出的功率。
1 2
解 ① n–1=1个 KCL方程：
结点 a,–I1–I2+I3=0
② b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= 6
7I1–11I2=70-6=64
U=?US
70V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I27? 11?
返 回
2 0 3
7110
0117
111
Δ
1 2 1 8
7116
01164
110
Δ 1
4 0 6
760
0647
101
Δ 2
A62 0 31 2 1 81I
A22 0 34 0 62I
A426213 III
W4 2 070670P W12626P
下 页上 页
70V 6V
7?
b
a
+
–
+
–
I1 I3I27? 11?
21
返 回例 2
结点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个 KCL方程：
列写支路电流方程,(电路中含有理想电流源）
解 1
(2) b–( n–1)=2个 KVL方程：
11I2+7I3= U
7I1–11I2=70-U
增补方程,I2=6A
下 页上 页设电流源电压返 回
+
U
_
a
70V
7?
b
+
–
I1 I3I27? 11?
21 6A
1
解 2
由于 I2已知，故只列写两个方程结点 a,–I1+I3=6
避开电流源支路取回路,7I1＋ 7I3=70
下 页上 页返 回
70V
7?
b
a
+
–
I1 I3I27? 11?
6A
例 3
–I1–I2+I3=0
列写支路电流方程,(电路中含有受控源）
解
11I2+7I3= 5U
7I1–11I2=70-5U
增补方程,U=7I3
有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
② 将控制量用未知量表示,并代入 ① 中所列的方程,消去中间变量 。
下 页上 页注意
5U
+
U
_70V
7?
b
a
+
–
I1 I3I
27? 11?
2
1 +
_
结点 a：
返 回
3.4 网孔电流法
基本思想为减少未知量 (方程 )的个数,假想每个回路中有一个回路电流 。 各支路电流可用回路电流的线性组合表示,来求得电路的解 。
1.网孔电流法下 页上 页以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。
返 回独立回路数为 2。 选图示的两个独立回路,支路电流可表示为：
122
2311
ll
ll
iii
iiii
下 页上 页网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以 KCL自动满足。
因此网孔电流法是对网孔回路列写 KVL方程，方程数为网孔数。
列写的方程
b
il1
il2
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 u
S2
R1 R2
R3
返 回网孔 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
网孔 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
2,方程的列写下 页上 页观察可以看出如下规律：
R11=R1+R2
网孔 1中所有电阻之和，
称网孔 1的自电阻。
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
R22=R2+R3
网孔 2中所有电阻之和，称网孔 2的自电阻。
① 自电阻总为正。
R12= R21= –R2
网孔 1、网孔 2之间的互电阻。
② 当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。
uSl1= uS1-uS2 网孔 1中所有电压源电压的代数和。
uSl2= uS2 网孔 2中所有电压源电压的代数和。
下 页上 页注意
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
③ 当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时,取负号；反之取正号 。
下 页上 页方程的标准形式：
对于具有 l 个网孔的电路，有,
s l lllllllll
sllllll
sllllll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
2211
22222121
11212111
2222121
1212111
slll
slll
uiRiR
uiRiR
il1
il2
b
+
–
+
–
i1 i3i2
uS1 uS2
R1 R2
R3
返 回
Rjk,互电阻
+,流过互阻的两个网孔电流方向相同；
-,流过互阻的两个网孔电流方向相反；
0,无关。
Rkk,自电阻 (总为正 )
下 页上 页
s l ll22l11l
22222121
11212111
u
lllll
sllllll
sllllll
iRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
注意返 回例 1 用网孔电流法求解电流 i
解 选网孔为独立回路：
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
0)( 35252111 iRiRRRiR
0)( 35432514 iRRRiRiR
① 无受控源的线性网络 Rjk=Rkj,
系数矩阵为对称阵。
② 当网孔电流均取顺（或逆）
时针方向时,Rjk均为负。
32 iii
下 页上 页
RS R
5
R4 R3
R1 R2
US
+
_
i
表明返 回
（ 1） 网孔电流法的一般步骤：
① 选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；
② 以网孔电流为未知量,列写其 KVL方程；
③ 求解上述方程，得到 l 个网孔电流；
⑤ 其它分析。
④ 求各支路电流；
下 页上 页小结
（ 2） 网孔电流法的特点：
仅适用于平面电路。
返 回
3.5 回路电流法
1.回路电流法下 页上 页以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。
回路电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为：
列写的方程
)1( nb
与支路电流法相比，方程数减少 n-1个。注意返 回
2,方程的列写下 页上 页例 用回路电流法求解电流 i,RS R5
R4 R3
R1 R2
US
+
_
i
解 只让一个回路电流经过 R5支路。
SS UiRRiRiRRR 34121141 )()(
0)()( 321252111 iRRiRRRiR
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
2ii?
返 回
i1
i3
i2
下 页上 页方程的标准形式：
对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,
s l lllllllll
sllllll
sllllll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
2211
22222121
11212111
Rjk:
互电阻
+,流过互阻的两个回路电流方向相同；
-,流过互阻的两个回路电流方向相反；
0,无关。
Rkk,自电阻 (总为正 )注意返 回
（ 1） 回路法的一般步骤：
① 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
② 对 l 个独立回路,以回路电流为未知量,列写其 KVL方程；
③ 求解上述方程，得到 l 个回路电流；
⑤ 其它分析。
④ 求各支路电流；
下 页上 页小结
（ 2） 回路法的特点：
① 通过灵活的选取回路可以减少计算量；
② 互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。
返 回
3.理想电流源支路的处理
引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。
例
U
_+
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 22111 )(
UiRRiR 34314 )(
32S iiI
方程中应包括电流源电压增补方程：
下 页上 页
ISRS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
返 回
选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 IS 。
S34121141S )()( UiRRiRiRRR
例
0)()()( 34321221141 iRRRRiRRiRR
S2 Ii?
已知电流，实际减少了一方程下 页上 页
ISRS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
返 回
i1
i3
i2
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路,可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程,再将控制量用回路电流表示 。
下 页上 页返 回例 1
i1
i3
i2
SS UiRiRiRRR 3421141 )(
UiRRiR 5)( 22111
UiRRiR 5)( 34314
受控源看作独立源列方程
33 iRU?
增补方程：
下 页上 页
5URS
R4 R3
R1 R2
US
+
_
_+
+
_ U
返 回
R1
R4
R5
gU1R
3
R2
U1_
+
+
_
U1
iS
例 2 列回路电流方程 解 1 选网孔为独立回路
1
43
2_
+
_ +
U2
U3
233131 )( UiRiRR
3222 UUiR
0)( 45354313 iRiRRRiR
134535 UUiRiR
111 iRU
增补方程：
Siii 21
124 gUii
下 页上 页返 回
R1
R4
R5
gU1R
3
R2
U1_
+
+
_
U1
iS
解 2 回路 2选大回路
Sii?1
14 gUi?
134242111 )( UiRiRRRiR
0)( 4525432413 iRiRRRiRiR
)( 2111 iiRU
增补方程：1
43
2
下 页上 页返 回例 3 求电路中电压 U，电流 I和电压源产生的功率
i1 i
4
i2
i3
A21?i
A33?i
A22?i
4436 3214 iiii
解
A26/)41226(4i
A3232I
V842 4 iU
）吸收(W84 4 iP
下 页上 页
＋
4V
3A 2?
－
+
–I
U3?
1?2A
2A
返 回
3.6 结点电压法选结点电压为未知量,则 KVL自动满足,
无需列写 KVL 方程 。 各支路电流,电压可视为结点电压的线性组合,求出结点电压后,便可方便地得到各支路电压,电流 。
基本思想：
1.结点电压法下 页上 页以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。
返 回
列写的方程 结点电压法列写的是结点上的
KCL方程，独立方程数为：
)1(?n
下 页上 页
uA-uB
uA u
B
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足注意
① 与支路电流法相比，方程数减少 b-(n-1)个。
② 任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为结点电压 (位 )，方向为从独立结点指向参考结点。
返 回
2,方程的列写
① 选定参考结点,标明其余 n-1个独立结点的电压；
1 3
2
下 页上 页
② 列 KCL方程：
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
-i3+i5=－ iS2
SR 入出 ii
iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
返 回把支路电流用结点电压表示：
S2S1
2
n2n1
1
n1 ii
R
uu
R
u
0
4
n2
3
n3n2
2
n2n1
R
u
R
uu
R
uu
2
5
n3
3
n3n2
S
S i
R
uu
R
uu
下 页上 页
i1+i2=iS1+iS2
-i2+i4+i3=0
-i3+i5=-iS2
1 3
2iS1
uS
iS2
R1
i1
i2 i3
i4 i5
R2
R5
R3
R4 +
_
返 回整理得：
S2S1n2
2
n1
21
)1( )11( iiu
R
u
RR
01 )111(1 3
3
2n
432
n1
2
nu
R
u
RRR
u
R
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5 上式简记为：
G11un1+G12un2 ＋ G13un3 = iSn1
5
S2n3
53
n2
3
)11()1( RuiuRRuR S
G21un1+G22un2 ＋ G23un3 = iSn2
G31un1+G32un2 ＋ G33un3 = iSn3
标准形式的结点电压方程等效电流源下 页上 页返 回
G11=G1+G2 结 点 1的自电导
G22=G2+G3+G4 结 点 2的自电导
G12= G21 =-G2 结 点 1与 结 点 2之间的互电导
G33=G3+G5 结 点 3的自电导
G23= G32 =-G3 结 点 2与 结 点 3之间的互电导下 页上 页小结结 点的自电导等于接在该 结 点上所有支路的电导之和。
互电导为接在 结 点与 结 点之间所有支路的电导之和，总 为负值 。
返 回
iSn3=-iS2＋ uS/R5 流入 结 点 3的电流源电流的代数和 。
iSn1=iS1+iS2 流入结点 1的电流源电流的代数和 。
流入结点取正号，流出取负号。
1
n1
1 R
ui?
4
n2
4 R
ui?
3
n3n2
3 R
uui
2
n2n1
2 R
uui
5
S3
5 R
uui n
由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压,各支路电流可用结点电压表示：
下 页上 页返 回
G11un1+G12un2+…+ G1,n-1un,n-1=iSn1
G21un1+G22un2+…+ G2,n-1un,n-1=iSn2
Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+ Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1
Gii — 自电导,总为正 。
iSni — 流入结点 i的所有电流源电流的代数和 。
Gij = Gji— 互电导,结 点 i与 结 点 j之间所有支路电导之和,总为 负 。
下 页上 页结点法标准形式的方程：
注意 电路不含受控源时,系数矩阵为对称阵 。
返 回结点法的一般步骤：
(1)选定参考结点，标定 n-1个独立结点；
(2)对 n-1个独立结点,以结点电压为未知量,列写其 KCL方程；
(3)求解上述方程，得到 n-1个结点电压；
(5)其它分析。
(4)通过 结点电压求各支路电流；
下 页上 页总结返 回试列写电路的结点电压方程
(G1+G2+GS)U1-G1U2－ GsU3=GSUS
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
－ GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－ USGS
例下 页上 页
Us
G3
G1
G4 G5
G2
+
_
GS
3
1
2
返 回
3,无伴电压源支路的处理
① 以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系。
下 页上 页
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_
3
1
2
(G1+G2)U1-G1U2 =I
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =－ I
U1-U3 = US增补方程
I
看成电流源返 回
② 选择合适的参考点
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
下 页上 页
Us G3
G1
G4 G5
G2+
_ 3
1
2
4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，先把受控源看作独立电源列方程，再将控制量用结点电压表示。
返 回
① 先 把受控源当作独立源列方程；
② 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程
S12
1
1
21
1)11( iu
RuRR nn
1m2
31
1
1
2
)11(1 SRnn iugu
RR
u
R
例 1
12 nR uu?
下 页上 页
iS1
R1 R3
R2
gmuR2+ uR2
_
2
1
返 回
2
1 3① 设 参考点
③ 用结点电压表示控制量。
列写电路的结点电压方程
3S13
4
1
1
2
421
11)111( guiu
R
u
R
u
RRR nnn
5
33
534
2
4
1
5
)111(11 RuguuRRRuRuR Snnn
例 2
22
33
Rui
uu
n
n
解
riu n?1
下 页上 页
iS1
R1 R4
R3
gu3
+ u3 _
R2
+ －r i
i
R5 + uS _
② 把受控源当作独立源列方程；
返 回例 3 列写电路的结点电压方程
3
1 2
V4n3?u
5
415.0)
23
15.01(
n3n2n1
Uuuu
A3)2.05.0(5.0 n2n1 uu
与电流源串接的电阻不参与列方程。
增补方程：
U = Un2
下 页上 页注意
1V
＋
＋
＋
＋
－
－
－
－
2?3?
2?
1?
5?
3?
4V
U
4U
3A
解返 回例 求电压 U和电流 I
解 1 应用结点法
3 12
V100n1?u
V2 1 01 1 01 0 0n2u
205.05.0 n3n2n1 uuu
V1 7 51 0 55020n3u
V1 9 5201n3 uU
A1 2 01/)90( n2 uI
解得：
下 页上 页
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1? 100V
20A
110V
＋
－
U
I
返 回解 2 应用回路法
1
2
3
A201?i
12012 ii
4/1 5 0
1 1 042
3
31
i
ii
A120)( 21 iiI
V1952011002 3 iU
解得：
90V
＋
＋
＋
－
－
－
2?
1?
2?
1? 100V
20A
110V
＋
－
U
I
上 页返 回
