第 13章 非正弦周期电流电路非正弦周期信号13.1
周期函数分解为傅里叶级数13.2
有效值、平均值和平均功率13.3
非正弦周期电流电路的计算13.4
对称三相电路中的高次谐波13.5
首 页本章重点和信号的频谱
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为傅里叶级数返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化 )()( nTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页例 1 半波整流电路的输出信号返 回脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例 3
下 页上 页返 回交直流共存电路例 4
+V
Es
下 页上 页返 回
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
ttf
T
d )(
0
若周期函数满足狄利赫利条件：
① 周期函数极值点的数目为有限个；
② 间断点的数目为有限个；
③ 在一个周期内绝对可积，即：
可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。
下 页上 页返 回直流分量基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成傅里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
a r c t a n
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为：
下 页上 页返 回
π2
0
11
π2
0
11
0
00
)(d)s i n ()(
π
1
)(d)c o s ()(
π
1
d)(
1
ttktfb
ttktfa
ttf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
① 偶函数
0 )()( kbtftf
0 )()( katftf
② 奇函数
③ 奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
注意
－ T/2 tT/2
f (t)
o
－ T/2 tT/2
f (t)
o
t
f (t)
T/2 To
下 页上 页返 回周期函数的频谱图：
m1~kAk?
的图形幅度频谱
1111 7 5 3
Akm
o kω1
相位频谱 的图形
1~k k
下 页上 页返 回周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti
S
2
0
2
0
)(
m
2d
1d)(1
0
2/
0
mT T
mSO
ItI
TttiTI
直流分量：
谐波分量, π2
0
) (ds i n)(π1 ttktib SK
K为偶数
K为奇数
π
2
0
)c o s
1
(
π
π
0
k
Itk
k
I
m
m?
t
T/2 T
Si
mI
o
下 页上 页返 回
0s i n
1
π
2
)(dcos)(
π
2
π
0
π2
0
tk
k
I
ttktia
m
Sk
π
22
k
2
kk k
IbabA m
K （ k为奇数）
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
下 页上 页
IS0
1si 3si 5si
等效电源返 回
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n
π
2
2
tttIIi mmS
1111 7 5 3
Akm
o
矩形波的幅度 频谱
t
T/2 T
Si
mI
1111 7 5 3
kω1o
-π/2
1~k k
矩形波的相位频谱下 页上 页返 回
π20π20 0)(dc o s 0)(ds i n ttkttk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
① 正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
k整数② sin2,cos2 在一个周期内的积分为?。
π)(dc o s π)(ds i n π20 2π20 2 ttkttk
下 页上 页返 回
0)(ds i ns i n
0)(dcoscos
0)(ds i ncos
π2
0
π2
0
π2
0
ttptk
ttptk
ttptk
pk?
③ 三角函数的正交性下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若则有效值,
)(dc o s
1
)(d
1
2
0
1
0
0
2
ttkII
T
tti
T
I
T
k
kkm
T
下 页上 页返 回
)(dc o s1
2
0
1
0 ttkIITI
T
k
kkm
d)(c o s1
0
2
1
22T
kkkm IttkIT
d1
0
2
0
2
0
T ItI
T
0d)c o s (21
0 0?
T k ttkIT
0d)c o s ()c o s (21
0?
T qqmkkm ttqItkIT
qk?
下 页上 页返 回
21
2
2
0?
k
kmIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
222120 IIII
结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 d)(
1 Itti
T
I T其直流值为：
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若其平均值为：
T
av ttiTI 0 d)(
1?
正弦量的平均值为：
8 9 8.0dc o s1
0?
T mav IttITI?
下 页上 页返 回
4.非正弦周期交流电路的平均功率
T tiu
T
P
0
d1
)c o s ()(
1
0 uk
k
km tkUUtu
)c o s ()(
1
0 ik
k
km tkIIti
利用三角函数的正交性，得：
......
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
② 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路、
L 相于短路。）
① 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
③ 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
μs28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
TI
CLR
m,
、、
t
T/2 T
Si
mI
解 (1) 方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
π
2
2
t
tt
II
i mm
S
μs28.6,μA157 TI m代入已知数据：
0
下 页上 页
R
L
C uSi
返 回直流分量：
A5.7821 5 720 μII m
A 1 0 014.3 57.1221 mm II基波最大值：
μA2051 15 mm II
五次谐波最大值：
r a d / s101028.6 14.32π2 66T?角频率：
三次谐波最大值,μA3.33
3
1
13 mm II
下 页上 页返 回
μA5.780?SI
电流源 各频率的谐波分量为：
μA10s i n1 0 0 61 ti s?
μA103s i n3100 63 ti s μA105s i n5
100 6
5 ti s
（ 2） 对 各次谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
μA5.780?SI
电容断路，电感短路
mV57.1105.7820 600SRIU
下 页上 页
R u
0SI
返 回
（ b)基波作用 μA 10s i n1 0 0 6
1 ti s?
Ωk11010
Ωk1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
k Ω50)(j )j()j()( 1 RC LR XXXXR XXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
mV
2
5 0 0 050
2
10100( 6
111
）?ZIU
下 页上 页
R
L
C u1S
i
返 回
(c)三次谐波作用 μA 103s i n
3
100 6
3 ti s
0
33
33
1 19.895.374)(j
)j)(j()3(
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk3101033
k33.0
101 0 0 0103
1
3
1
36
1
126
1
L
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页
R
L
C u3S
i
返 回
(d)五次谐波作用 μA105s i n
5
1 0 0 6
5 ti s
53.893.208)5(j )j)(j()5(
55
55
1
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk5101055
k2.0
101 0 0 0105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5(
6
15s5
ZIU
下 页上 页
R
L
C u5S
i
返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (1 6 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n5 0 0 057.1
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV250001?U?
mV53.8921 6 6.45U
下 页上 页返 回
V,)4π2 0 0 0c o s (601 0 0 0c o s12030, ttu已知求电路中各表读数 (有效值 ) 。
例 2
V1
L1
C1
C2
L240mH
10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
A3
A2
V2
1
A1
a
下 页上 页返 回解
(1)u0=30V作用于电路,L1,L2短路,C1,C2开路。
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,
iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
a
i
iC1 iL2
L1
C1 C
2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
a
iC10 iL20
L1
C1 C2
L2
+ _
30?
b
c d
0
i0
下 页上 页返 回
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V01201U
0
0
c b 1
211
U
II L
A903
40j
0120j
1111
UCI
C?
V01 2 011ad UU
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
j40j40?
j10?
a+
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,80104020002
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V45602U
A45320j 4560j2
2
1
22
L
UI
L?
0122 CII
V4560
0
2c b 2
a d 2
UU
U
2I?
12CI? 22LI?
j80?
j20j20?
j20?
2U?a +
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
i=i0+ i1 + i2 =1A
所求电压、电流的瞬时值为：
iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90?) A
iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t? 45?) A
uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V
ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45?) V
A 1?I表 A1的读数,2,1 2 A 2/3?表 A2的读数：
A35.2)2/3(1 22表 A3的读数：
V90)2/1 2 0(30 22表 V1的读数：
V0.52)2/60(30 22
表 V2的读数：
下 页上 页返 回例 3 已知 u(t)是周期函数，波形如图,L=1/2?H，C=125/F,求理想变压器原边电流 i
1(t)及输出电压 u2的有效值。
24
10.5
u/V
t/ms
12
解 r a d / s10π2/π2 3 T?
) c o s (1212)( ttu
A5.18/121i
当 u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：
02?u
*
C
1i 2i +
–
2u
+
–
2,18?
Lu *
o
下 页上 页返 回作用时当 ) c o s (12 tu
Ω41012510π2 π1 63CX C?
-j4 2U?j?0012? *
1I? +
–
+
–
2,18?
*
2I?
0012?
1I?+
–
8?
j4?-j4?
+
–1
U?
110π2 110π2 33LX L?
A3j4j124j1 UI
V012 01 UU
V061 012 UnU
V2 4 3.4
2
6
2U
A)90c o s (35.1 01 ti?
下 页上 页返 回振幅相量例 4
求 Uab,i,及功率表的读数。
V)303c o s (2100c o s2220
Vc o s2220
0
2
1
ttu
tu
,已知解一次谐波作用,V0440 0
)1(abU?
A4.1896.620j60 4 4 0 0)1(I?
三次谐波作用,V30100 0
)3(abU?
A1518.160j60 301 0 0 0
0
)3(
I?
V22.4 5 11 0 04 4 0 22abU
A)153c o s (218.1)4.18c o s (296.6 00 tti
W92.1 4 5 24.18c o s96.62 2 0P
测的是 u1
的功率
I?
+
–
60?
j20?
+
–1U?
Wa
b
2U?
**
下 页上 页返 回例 5 L=0.1H,C
3＝ 1?F,C1中只有基波电流,C3中只有三次谐波电流，求 C1,C2和各支路电流。
A 3 0 0 0c o s101 0 0 0c o s205 tti s:已知解
FLC 522 109 11
C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波发生并联谐振。即：
下 页上 页
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
返 回
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
0)1(jj 1
2
2
1
CL CLC
C3中只有三次谐波电流，说明 L,C1,C2对一次谐波发生串联谐振。即：
F109 8 51C
直流作用,5A
S1 ii
下 页上 页返 回
A 1000c o s20)( S2 titi一次谐波作用：
三次谐波作用,A4823.2
310j200100
10100 0
3)3(3
I?
A1167.810j9 3010 0)3(3)3(1 III S
A)113 0 0 0c o s (67.85)( 01 tti
A)483000c o s (23.2)( 03 tti
下 页上 页
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
2iSi
1i
100?
C3
200?
Si
3i
返 回
13.5 对称三相电路中的高次谐波
)(A tuu?
BC
2( ),( )
33
TTu u t u u t
BC
2( ),( )
33
TTu u t u u t设展开成傅里叶级数 ( k 为奇数 ),则有：
A m ( ) 1c o s ( )kku U k t
B m ( ) 1
2 πc o s ( )
3kk
ku U k t
C m ( ) 1
2 πc o s ( )
3kk
ku U k t
A相
B相
C相
1,对称三相电路中的高次谐波下 页上 页返 回
① 令 k =6n+1,(n =0,1,2…),即,k =1,7,13 …
讨论各相的初相分别为：
A相
B相
C相
)( k?
2(4 π π )
3k n
2(4 π π )
3k n
正序对称三相电源
② 令 k =6n+3,即,k =3,9,15 …
下 页上 页返 回各相的初相分别为：
零序对称三相电源
③ 令 k =6n+5,即,k =5,11,17 …
A相
B相
C相
)( k?
( ( 2 1 ) 2 π )k n
( ( 2 1 ) 2 π )k n
A相
B相
C相
)( k?
2( ( 2 2 ) 2 π π )
3k n
2( ( 2 2 ) 2 π π )
3k n
各相的初相分别为：
负序对称三相电源下 页上 页返 回结论
① 三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为 3
类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。
② 在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按 3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第 12章的方法和有关结论，
2,零序组分量的响应
① 对称的三角形电源下 页上 页返 回零序组电压源是等幅同相的电源在三角形电源的回路中将产生零序环流
A ( ) B ( ) C ( ) S ( )k k k kU U U U
S ( ) S ( )
0 ( )
00
3
( ) ( )
3
kk
k
UU
I
ZZ
零 序 零 序
A B ( ) B C ( ) C A ( ) S ( ) 0 ( ) 0 0k k k k kU U U U I Z
线电压结论
② 整个系统中除电源中有零序组环流外，
其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。
① 在环流的作用下零序线电压为零电源内阻下 页上 页返 回
② 星形对称电源（无中线对称系统）
Z
Z
Z
N’
+–
A
N
+–
B
+–
C
(k)A
U
(k)B
U
(k)C
U
(k)A
I
B(k)
I
C(k)
I
N N ( ) S ( )( ) ( )kkUU零 序 零 序
S ( ) N N
A ( ) B ( ) C ( ) 0
k
kkk
UUI I I
Z
A B ( ) A ( ) B ( ) 0k k kU U U
B C ( ) C A ( ) 0kkUU
结论 除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。
下 页上 页返 回
③ 三相四线制对称系统 Z
Z
Z
N’
+–
A
N +–
B
+–
C
(k)A
U
(k)B
U
(k)C
U
(k)A
I
B(k)
I
C(k)
I
n
I
Zn
S ( )
A ( ) B ( ) C ( ) l ( )
n3
k
k k k k
U
I I I I
ZZ
A N ( ) B N ( ) C N ( ) l ( )k k k kU U U I Z
n S ( )
NN
n
3
3
kZUU
ZZ?
n ( ) l ( )3kkII
A B ( ) B C ( ) C A ( ) 0k k kU U U
结论 除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。
上 页返 回
周期函数分解为傅里叶级数13.2
有效值、平均值和平均功率13.3
非正弦周期电流电路的计算13.4
对称三相电路中的高次谐波13.5
首 页本章重点和信号的频谱
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为傅里叶级数返 回
13.1 非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化 )()( nTtftf
下 页上 页返 回例 2 示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下 页上 页例 1 半波整流电路的输出信号返 回脉冲电路中的脉冲信号
T
t
例 3
下 页上 页返 回交直流共存电路例 4
+V
Es
下 页上 页返 回
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
ttf
T
d )(
0
若周期函数满足狄利赫利条件：
① 周期函数极值点的数目为有限个；
② 间断点的数目为有限个；
③ 在一个周期内绝对可积，即：
可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。
下 页上 页返 回直流分量基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
高次谐波
)c o s ()(
1
10?
k
kkm tkAAtf
)c o s ()( 1110 tAAtf m
)2c o s ( 212 tA m
)c o s ( 1 nnm tnA
周期函数展开成傅里叶级数：
下 页上 页返 回
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k
tkbtkatkA kkkkm 111 s i nc o s )c o s (
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
a r c t a n
s i n c o s
22
00
系数之间的关系为：
下 页上 页返 回
π2
0
11
π2
0
11
0
00
)(d)s i n ()(
π
1
)(d)c o s ()(
π
1
d)(
1
ttktfb
ttktfa
ttf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
系数的计算：
下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化
① 偶函数
0 )()( kbtftf
0 )()( katftf
② 奇函数
③ 奇谐波函数
0 )2()( 22 kk baTtftf
注意
－ T/2 tT/2
f (t)
o
－ T/2 tT/2
f (t)
o
t
f (t)
T/2 To
下 页上 页返 回周期函数的频谱图：
m1~kAk?
的图形幅度频谱
1111 7 5 3
Akm
o kω1
相位频谱 的图形
1~k k
下 页上 页返 回周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
Tt
T
T
tI
ti
S
2
0
2
0
)(
m
2d
1d)(1
0
2/
0
mT T
mSO
ItI
TttiTI
直流分量：
谐波分量, π2
0
) (ds i n)(π1 ttktib SK
K为偶数
K为奇数
π
2
0
)c o s
1
(
π
π
0
k
Itk
k
I
m
m?
t
T/2 T
Si
mI
o
下 页上 页返 回
0s i n
1
π
2
)(dcos)(
π
2
π
0
π2
0
tk
k
I
ttktia
m
Sk
π
22
k
2
kk k
IbabA m
K （ k为奇数）
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
下 页上 页返 回
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波下 页上 页返 回
)5s i n513s i n31( s i nπ22 tttIIi mmS
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
下 页上 页
IS0
1si 3si 5si
等效电源返 回
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n
π
2
2
tttIIi mmS
1111 7 5 3
Akm
o
矩形波的幅度 频谱
t
T/2 T
Si
mI
1111 7 5 3
kω1o
-π/2
1~k k
矩形波的相位频谱下 页上 页返 回
π20π20 0)(dc o s 0)(ds i n ttkttk
13.3 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
① 正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
k整数② sin2,cos2 在一个周期内的积分为?。
π)(dc o s π)(ds i n π20 2π20 2 ttkttk
下 页上 页返 回
0)(ds i ns i n
0)(dcoscos
0)(ds i ncos
π2
0
π2
0
π2
0
ttptk
ttptk
ttptk
pk?
③ 三角函数的正交性下 页上 页返 回
2,非正弦周期函数的有效值
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若则有效值,
)(dc o s
1
)(d
1
2
0
1
0
0
2
ttkII
T
tti
T
I
T
k
kkm
T
下 页上 页返 回
)(dc o s1
2
0
1
0 ttkIITI
T
k
kkm
d)(c o s1
0
2
1
22T
kkkm IttkIT
d1
0
2
0
2
0
T ItI
T
0d)c o s (21
0 0?
T k ttkIT
0d)c o s ()c o s (21
0?
T qqmkkm ttqItkIT
qk?
下 页上 页返 回
21
2
2
0?
k
kmIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
222120 IIII
结论下 页上 页返 回
3,非正弦周期函数的平均值
00 d)(
1 Itti
T
I T其直流值为：
)c o s ()(
1
0 k
k
km tkIIti
若其平均值为：
T
av ttiTI 0 d)(
1?
正弦量的平均值为：
8 9 8.0dc o s1
0?
T mav IttITI?
下 页上 页返 回
4.非正弦周期交流电路的平均功率
T tiu
T
P
0
d1
)c o s ()(
1
0 uk
k
km tkUUtu
)c o s ()(
1
0 ik
k
km tkIIti
利用三角函数的正交性，得：
......
)( c o s
210
1
00
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k
下 页上 页返 回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 IUIUIUP
结论下 页上 页返 回
13.4 非正弦周期电流电路 的计算
1,计算步骤
② 对各次谐波分别应用相量法计算；（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路、
L 相于短路。）
① 利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
③ 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
下 页上 页返 回
2,计算举例例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
μs28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
TI
CLR
m,
、、
t
T/2 T
Si
mI
解 (1) 方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
π
2
2
t
tt
II
i mm
S
μs28.6,μA157 TI m代入已知数据：
0
下 页上 页
R
L
C uSi
返 回直流分量：
A5.7821 5 720 μII m
A 1 0 014.3 57.1221 mm II基波最大值：
μA2051 15 mm II
五次谐波最大值：
r a d / s101028.6 14.32π2 66T?角频率：
三次谐波最大值,μA3.33
3
1
13 mm II
下 页上 页返 回
μA5.780?SI
电流源 各频率的谐波分量为：
μA10s i n1 0 0 61 ti s?
μA103s i n3100 63 ti s μA105s i n5
100 6
5 ti s
（ 2） 对 各次谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
μA5.780?SI
电容断路，电感短路
mV57.1105.7820 600SRIU
下 页上 页
R u
0SI
返 回
（ b)基波作用 μA 10s i n1 0 0 6
1 ti s?
Ωk11010
Ωk1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
k Ω50)(j )j()j()( 1 RC LR XXXXR XXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
mV
2
5 0 0 050
2
10100( 6
111
）?ZIU
下 页上 页
R
L
C u1S
i
返 回
(c)三次谐波作用 μA 103s i n
3
100 6
3 ti s
0
33
33
1 19.895.374)(j
)j)(j()3(
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk3101033
k33.0
101 0 0 0103
1
3
1
36
1
126
1
L
C
0
6
133 19.895.3742
103.33)3(ZIU
S
mV2.89247.12 0
下 页上 页
R
L
C u3S
i
返 回
(d)五次谐波作用 μA105s i n
5
1 0 0 6
5 ti s
53.893.208)5(j )j)(j()5(
55
55
1
CL
CL
XXR
XXRZ?
Ωk5101055
k2.0
101 0 0 0105
1
5
1
36
1
126
1
L
C
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5(
6
15s5
ZIU
下 页上 页
R
L
C u5S
i
返 回
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (1 6 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n5 0 0 057.1
5310
t
t
t
uuuUu
mV57.10?U mV2.89
2
47.12
3
U?
mV250001?U?
mV53.8921 6 6.45U
下 页上 页返 回
V,)4π2 0 0 0c o s (601 0 0 0c o s12030, ttu已知求电路中各表读数 (有效值 ) 。
例 2
V1
L1
C1
C2
L240mH
10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
A3
A2
V2
1
A1
a
下 页上 页返 回解
(1)u0=30V作用于电路,L1,L2短路,C1,C2开路。
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,
iC10=0,
uad0= ucb0 = u0 =30V
a
i
iC1 iL2
L1
C1 C
2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
b
c d
a
iC10 iL20
L1
C1 C2
L2
+ _
30?
b
c d
0
i0
下 页上 页返 回
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V01201U
0
0
c b 1
211
U
II L
A903
40j
0120j
1111
UCI
C?
V01 2 011ad UU
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
j40j40?
j10?
a+
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,80104020002
6
21
3
2
3
1
CC
LL
V45602U
A45320j 4560j2
2
1
22
L
UI
L?
0122 CII
V4560
0
2c b 2
a d 2
UU
U
2I?
12CI? 22LI?
j80?
j20j20?
j20?
2U?a +
_
30?
b
c d
并联谐振下 页上 页返 回
i=i0+ i1 + i2 =1A
所求电压、电流的瞬时值为：
iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90?) A
iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t? 45?) A
uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V
ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45?) V
A 1?I表 A1的读数,2,1 2 A 2/3?表 A2的读数：
A35.2)2/3(1 22表 A3的读数：
V90)2/1 2 0(30 22表 V1的读数：
V0.52)2/60(30 22
表 V2的读数：
下 页上 页返 回例 3 已知 u(t)是周期函数，波形如图,L=1/2?H，C=125/F,求理想变压器原边电流 i
1(t)及输出电压 u2的有效值。
24
10.5
u/V
t/ms
12
解 r a d / s10π2/π2 3 T?
) c o s (1212)( ttu
A5.18/121i
当 u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：
02?u
*
C
1i 2i +
–
2u
+
–
2,18?
Lu *
o
下 页上 页返 回作用时当 ) c o s (12 tu
Ω41012510π2 π1 63CX C?
-j4 2U?j?0012? *
1I? +
–
+
–
2,18?
*
2I?
0012?
1I?+
–
8?
j4?-j4?
+
–1
U?
110π2 110π2 33LX L?
A3j4j124j1 UI
V012 01 UU
V061 012 UnU
V2 4 3.4
2
6
2U
A)90c o s (35.1 01 ti?
下 页上 页返 回振幅相量例 4
求 Uab,i,及功率表的读数。
V)303c o s (2100c o s2220
Vc o s2220
0
2
1
ttu
tu
,已知解一次谐波作用,V0440 0
)1(abU?
A4.1896.620j60 4 4 0 0)1(I?
三次谐波作用,V30100 0
)3(abU?
A1518.160j60 301 0 0 0
0
)3(
I?
V22.4 5 11 0 04 4 0 22abU
A)153c o s (218.1)4.18c o s (296.6 00 tti
W92.1 4 5 24.18c o s96.62 2 0P
测的是 u1
的功率
I?
+
–
60?
j20?
+
–1U?
Wa
b
2U?
**
下 页上 页返 回例 5 L=0.1H,C
3＝ 1?F,C1中只有基波电流,C3中只有三次谐波电流，求 C1,C2和各支路电流。
A 3 0 0 0c o s101 0 0 0c o s205 tti s:已知解
FLC 522 109 11
C1中只有基波电流，说明 L和 C2对三次谐波发生并联谐振。即：
下 页上 页
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
返 回
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
0)1(jj 1
2
2
1
CL CLC
C3中只有三次谐波电流，说明 L,C1,C2对一次谐波发生串联谐振。即：
F109 8 51C
直流作用,5A
S1 ii
下 页上 页返 回
A 1000c o s20)( S2 titi一次谐波作用：
三次谐波作用,A4823.2
310j200100
10100 0
3)3(3
I?
A1167.810j9 3010 0)3(3)3(1 III S
A)113 0 0 0c o s (67.85)( 01 tti
A)483000c o s (23.2)( 03 tti
下 页上 页
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si
2i
3i
2iSi
1i
100?
C3
200?
Si
3i
返 回
13.5 对称三相电路中的高次谐波
)(A tuu?
BC
2( ),( )
33
TTu u t u u t
BC
2( ),( )
33
TTu u t u u t设展开成傅里叶级数 ( k 为奇数 ),则有：
A m ( ) 1c o s ( )kku U k t
B m ( ) 1
2 πc o s ( )
3kk
ku U k t
C m ( ) 1
2 πc o s ( )
3kk
ku U k t
A相
B相
C相
1,对称三相电路中的高次谐波下 页上 页返 回
① 令 k =6n+1,(n =0,1,2…),即,k =1,7,13 …
讨论各相的初相分别为：
A相
B相
C相
)( k?
2(4 π π )
3k n
2(4 π π )
3k n
正序对称三相电源
② 令 k =6n+3,即,k =3,9,15 …
下 页上 页返 回各相的初相分别为：
零序对称三相电源
③ 令 k =6n+5,即,k =5,11,17 …
A相
B相
C相
)( k?
( ( 2 1 ) 2 π )k n
( ( 2 1 ) 2 π )k n
A相
B相
C相
)( k?
2( ( 2 2 ) 2 π π )
3k n
2( ( 2 2 ) 2 π π )
3k n
各相的初相分别为：
负序对称三相电源下 页上 页返 回结论
① 三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为 3
类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。
② 在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按 3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第 12章的方法和有关结论，
2,零序组分量的响应
① 对称的三角形电源下 页上 页返 回零序组电压源是等幅同相的电源在三角形电源的回路中将产生零序环流
A ( ) B ( ) C ( ) S ( )k k k kU U U U
S ( ) S ( )
0 ( )
00
3
( ) ( )
3
kk
k
UU
I
ZZ
零 序 零 序
A B ( ) B C ( ) C A ( ) S ( ) 0 ( ) 0 0k k k k kU U U U I Z
线电压结论
② 整个系统中除电源中有零序组环流外，
其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。
① 在环流的作用下零序线电压为零电源内阻下 页上 页返 回
② 星形对称电源（无中线对称系统）
Z
Z
Z
N’
+–
A
N
+–
B
+–
C
(k)A
U
(k)B
U
(k)C
U
(k)A
I
B(k)
I
C(k)
I
N N ( ) S ( )( ) ( )kkUU零 序 零 序
S ( ) N N
A ( ) B ( ) C ( ) 0
k
kkk
UUI I I
Z
A B ( ) A ( ) B ( ) 0k k kU U U
B C ( ) C A ( ) 0kkUU
结论 除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。
下 页上 页返 回
③ 三相四线制对称系统 Z
Z
Z
N’
+–
A
N +–
B
+–
C
(k)A
U
(k)B
U
(k)C
U
(k)A
I
B(k)
I
C(k)
I
n
I
Zn
S ( )
A ( ) B ( ) C ( ) l ( )
n3
k
k k k k
U
I I I I
ZZ
A N ( ) B N ( ) C N ( ) l ( )k k k kU U U I Z
n S ( )
NN
n
3
3
kZUU
ZZ?
n ( ) l ( )3kkII
A B ( ) B C ( ) C A ( ) 0k k kU U U
结论 除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。
上 页返 回
