第 11章 电路的频率响应网络函数11.1
RLC串联电路的谐振11.2
RLC串联电路的频率响应11.3
RLC并联谐振电路11.4
波特图11.5
滤波器简介11.6
本章重点首 页
重点
1,网络函数
2,串、并联谐振的概念；
返 回
11.1 网络函数当电路中激励源的频率变化时,电路中的感抗,
容抗将跟随频率变化,从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化 。 因此,分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要 。
下 页上 页频率特性电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，
称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。
1,网络函数 H（ jω） 的定义返 回在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）
与网络输入之比，称为该响应的网络函数。
)j(
)j()j( d e f
E
RH
2,网络函数 H(jω)的物理意义
驱动点函数 线性网络
)j(?I?
)j(?U?
下 页上 页返 回
)j(
)j()j(
I
UH
策动点阻抗策动点导纳激励是电流源，响应是电压激励是电压源，响应是电流
)j(
)j()j(
U
IH
线性网络
)j(?I?
)j(?U?
转移函数 (传递函数 )
)j(1?U?
线性网络 )j(2?U?
)j(1?I? )j(2?I?
下 页上 页返 回转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比激励是电压源 激励是电流源
)j(1?U?
线性网络 )j(2?U?
)j(1?I? )j(2?I?
)j(
)j()j(
1
2
I
UH
)j(
)j()j(
1
2
U
IH
)j(
)j()j(
1
2
U
UH
)j(
)j()j(
1
2
I
IH
下 页上 页返 回注意
H(j?)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位臵有关，与输入、
输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。
H(j?) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：
模与频率的关系 |~)(j| H幅频特性幅角与频率的关系 ~)(j相频特性
网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。
下 页上 页返 回例 求图示电路的网络函数
2S/IU S/LUU
和
L
,U
SU?
2?
jω
+
_
+ _
jω
2?
2I?1
I?
2I?
解 列网孔方程解电流
2I?
1 2 S( 2 j ) 2I I U
0)j4(2 21 II
S
2 2
2
4 ( j ) j 6
UI
2S 2
2/
4 j 6IU
S 2
j2/
4 j 6LUU
转移导纳转移电压比下 页上 页返 回
① 以网络函数中 jω的最高次方的次数定义网络函数的阶数。
)j()j()j( EHR
注意
② 由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有
)j(
)j()j(
E
RH
下 页上 页返 回
11.2 RLC串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象 。 谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用,研究电路中的谐振现象有重要实际意义 。
含 R,L,C的一端口电路,在特定条件下出现端口电压,电流同相位的现象时,称电路发生了谐振 。
1,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
RZ
I
U
发生谐振下 页上 页返 回
LC
ω 10?
XR
XXR
ωC
ωLRZ CL
j
)(j)1(j
2.串联谐振的条件谐振角频率谐振频率
LCf π2
1
0?
。 时，电路发生谐振当 1 0
0
0 CLωX
谐振条件仅与电路参数有关
I
R j? L+
_
C?j
1
U
下 页上 页返 回串联电路实现谐振的方式：
(1) L C 不变，改变?
(2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
0由电路参数决定，一个 R L C串联电路只有一个对应的?0,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。
3,RLC串联电路谐振时的特点阻抗的频率特性
)(|)(|)1(j ωωZCLRZ
下 页上 页返 回
R
X
R
XX
R
ωCωLω CL 111 tgtg
1
tg) (
222222 )()1(|)(| XRXXR
CLRωZ CL
幅频特性相频特性
X(? )
|Z(? )| X
L(? )
XC(? )
R
0?
Z (? )
o
Z(jω)频响曲线
(? )
0?o
–?/2
/2
下 页上 页返 回
Z(jω)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：
容性区 感性区电阻性
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
)j(ZR
)j(Zlim 0
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
R? )j( Z 0?
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
)j(ZR
)j(Zlim 0
,).1( 同相与 IU谐振时入端阻抗为 纯电阻，即 Z=R，阻抗值 |Z|最小。
电流 I 和电阻电压 UR达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
下 页上 页返 回相当于短路。LCUU CL,0
(2) LC上 的电压大小相等,相位相反,串联总电压为零,也称电压谐振,即
UU R,上电源电压全部加在电阻
LU
CU
RU
I0
0
X
UU CL
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
I R
j? L+
_ C?j 1
U
下 页上 页返 回
UQ
R
ULILU
L
j j j
00
UQ
R
UL
C
IU
C?
j jj 0
0
QUUU CL
RC
L
RR
LQ 1 0
特性阻抗品质因数当?＝?0L=1/(?0C )>>R 时,Q>>1
UL= UC =QU >>U
(3) 谐振时出现过电压下 页上 页返 回例 某收音机输入回路 L=0.3mH,R=10?，为收到中央电台 560kHz信号，求,(1)调谐电容 C值；
(2) 如输入电压为 1.5?V,求谐振电流和此时的电容电压。
Aμ 15.010 5.1 )2( 0 RUI
pF269) 2( 1 )1( 2 LfC?解
Vμ 5.1Vμ 5.1580 CC XIU
UR LQUUo 0Cr
+
_
L
C
R
u
下 页上 页返 回
(4) 谐振时的功率
P=UIcos?＝ UI＝ RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
0s i n CL QQUIQ?
2
00
2
0
0
2
00
1,LII
Cω
QLIωQ CL
电源不向电路输送无功 。 电感中的无功与电容中的无功大小相等,互相补偿,彼此进行能量交换 。
+
_ P
Q
L C
R
注意下 页上 页返 回
(5) 谐振时的能量关系
tLICuw CC 022m2 c o s2121
tICLtCIu C 0mo0
0
m c o s)90s i n (
tLILiw L 022m2 s i n2121
tUu 0m s in设 tItRUi 0m0m s i ns i n则电场能量磁场能量
① 电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。 L,C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。
表明下 页上 页返 回
② 总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。
222
m
2
m 2
1
2
1 UCQCULIwww
CCL总电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的
π2
π2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q?
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量,Q越大,
总能量就越大,维持振荡所消耗的能量愈小,振荡程度越剧烈 。 则振荡电路的,品质,愈好 。 一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高 Q值 。
下 页上 页返 回例 一接收器的电路参数为,U=10V
=5?103 rad/s,调 C使电路中的电流最大,Imax=200mA,测得电容电压为 600V,求 R,L,C
及 Q。
解
5010200
10
3
0I
UR
6010600 UUQQUU CC
mH60
105
6050
3
0
RQL μF67.61C
2
0
L?
+
_
L
C
R
u
V
下 页上 页返 回
11.3 RLC串联电路的频率响应研究物理量与频率关系的图形（谐振曲线）
可以加深对谐振现象的认识。
① 的频率响应 )j()j()j( SR UUH
)
1
(j)j(
)j(
)j(
S
R
C
LR
R
U
U
H
为比较不同谐振回路，令
ηωωω
0
下 页上 页返 回
S
( j ) 1
( j )
11( j )
j ( ) 1 j ( )
R
R
U R
H
U R L Q
C
1( j ) a r c ta n [ ( ) ]Q
| ( j ) | c o s ( j )RH 幅频特性相频特性
Q=10
Q=1
Q=0.5
1
)j1(
)j(
S
R
U
ηU
o?'?
下 页上 页返 回在谐振点响应出现峰值,当? 偏离?0时,输出下降 。 即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应,对谐振信号最突出 (响应最大 ),而对远离谐振频率的信号具有抑制能力 。 这种对不同输入信号的选择能力称为,选择性,。
① 谐振电路具有选择性表明
② 谐振电路的选择性与 Q成正比
Q越大,谐振曲线越陡 。 电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力,所以选择性好 。 因此 Q是反映谐振电路性质的一个重要指标 。
下 页上 页返 回
③ 谐振电路的有效工作频段半功率点 声学研究表明，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。
,
12
0
2
2
0
1
1
ωω
ω
ω
η
ω
ω
η
1?2?1
0.707
707.02/1)j(RH)j1(
)j(
S
R
U
ηU
Q=10
Q=1
Q=0.5
o?
半功率点 下 页上 页返 回
12 ωω?
通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。
通频带可以证明,.
Δ
1 0
12
0
12?
ωω
ω
ηη
Q
HdB= 20log10[UR（ j?） /US（ j1） ]
20lg0.707 = –3 dB
定义：
3分贝频率下 页上 页返 回例 1 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,
U1=U2=U3=10?V,
当电容调至 C=150pF时谐振
0=5.5?106rad/s,f0=820 kHz
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
L
820 640 1026
X
-1290 –1660 -1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
UR0=10 UR1=0.304 UR2=0.346UR=UR/|Z|
ωC
1
+
_
+
_
+
L
C
Ru1
u2
u3_
下 页上 页返 回
UR0=10 UR1=0.304 UR2=0.346UR=UR/|Z| (?A)
%04.3
0R
1R?
U
U
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
820640 1200
UR(f )
f (kHz)o
%46.3
0R
2R?
U
U
下 页上 页返 回例 2 一信号源与 R,L,C电路串联，要求 f0=104Hz，
△ f=100Hz,R=15?,请设计一个线性电路。
解
1 0 0
1 0 0
10 400
f
fωQ
mH8.39
10π2
151 0 0
4
0
RQL
pF6 3 6 01C 2
0
L?
+
_ L
C
Ru
10?
下 页上 页返 回
② 以 UL(? )与 UC(? )为输出的 H(ω)频率特性
22
C
)1(
11
)(
)(
)(
CLRC
ZCU
ωU
H C
22
L
)1(||)(
)()(
CLR
L
Z
L
U
ωUH L
2
2
2
2
L
)11(
1
)(
η
Q
η
Q
H
2222C )1(
)(
ηQη
QH?
下 页上 页返 回
1)( C1CH0C1
)707.0(
4
1
1
)(
2
C2C
QQ
Q
Q
H?
0d )(d 0d )(d CL HHHL(? )与 HC(? )的极值点：令
2C2 2
11
Q
C3? 0)( C3CH
01
C3
L1
0)( L1LH
2
C2
L2 2
111
Q
)()( C2CL2L HH?
C1
L3
1
1)( L3LH
下 页上 页返 回
1
C2?L2?o
UL/U
UC/U
1
UL/U UC/U
=?C2,UC(?)获最大值；? =?L2,UL(?)获最大值。
且 UC(?C2)=UL(?L2)。
2/1?Q当
Q越高,?L2和?C2 越靠近1,同时 峰值增高。
注意 ( j )
CH?
( j )LH?为低通函数,为高通函数；
下 页上 页返 回
1,G,C,L 并联电路
LCω
1
0?
)1(j ωLωCGY
11.4 RLC并联谐振电路谐振角频率 |Y|
0o
G谐振特点：
① 入端导纳为 纯电导，导纳值 |Y|最小,端电压达最大 。
下 页上 页
+
_
S
I
G C L?U
返 回
0?o
U(? )
IS/G CI
LI
SG II
U
LC上 的电流大小相等,相位相反,并联总电流为零,也称电流谐振,即
S
S
C IQG
ICCUI j j j
00
S
S
L IQG
ICLUI j j j/
00
IL(?0) =IC(?0) =QIS
下 页上 页
+
_
S
I
G C L?U
返 回
③ 谐振时的功率
L
UCUQQ
CL
0
2
2
0
GUUIP /2
④ 谐振时的能量
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0品质因数
0C QQ L
220 0 0 S( ) ( ) ( )LCW W W L Q I
下 页上 页返 回
2.电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：
C
L
R（ 1）谐振条件
LRCY j
1j
))((j)( 2222 LR LCLR R BG j
0)( 2
0
2
0
0 LωR
LωCω
2
0 )(
1
L
R
LCω
下 页上 页返 回
① 电路发生谐振是有条件的,在电路参数一定时，满足：
注意可以发生谐振 时,即 CLRLRLC,0)(1 2
② 一般线圈电阻 R<<?L，则等效导纳为：
LC
ω 10?
)1(j
)(
)
)(
(j
)(
2
2222
L
C
L
R
LR
LC
LR
RY
谐振角频率下 页上 页返 回等效电路
R
L
G
R
e
e
2
0 )(1C LGe
品质因数
R
L
R
CL
LR
C
G
CωQ 0230
2
0
00
)/(
线圈的品质因数（ 2）谐振特点
① 电路发生谐振时，输入阻抗很大；
RC
L
R
Lω
R
LωRRωZ 20202
00
)()(
)(
下 页上 页返 回
② 电流一定时，端电压较高
RC
LIZIU
000
③ 支路电流是总电流的 Q倍，设 R<<?L
CI
LI
0I?
U
CU
L
UII
CL 0
0
QR LRCLRCU LUIIII CL 0
0
0
00
1
)/(
/?
00 IQIII CL
下 页上 页返 回例 1 如图 R=10?的线圈其 QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个 100k?的电阻，求电路的 Q.
解
R
LQ
L
0 100
RRQL L 1 0 0 00?
等效电路
kR LR e 1 0 01010)(
62
0?
kR eq 50100//100
50
1 0 0 0
1050 3
0
L
R
Q eq
C
L
R
100k?
Re CL100k?
下 页上 页返 回例 2 如图 RS=50k?,US=100V,?0=106,Q=100，
谐振时线圈获取最大功率，求 L,C,R及谐振时 I0,U和 P。
解
1000 R LQ L?
kRR LR Se 50)(
2
0?
LC
1
0
Fμ 002.0
mH5.0
5
C
L
R
mA110502 1002 30
S
S
R
UI
V502 SUU
W05.00 UIP
C
L
R50k?
－
＋
－
＋
uS
i0
u
下 页上 页返 回
11.5 波特图对电路和系统的频率特性进行分析时，为了直观地观察频率特性随频率变化的趋势和特征，工程上常采用对数坐标来作频响曲线，这种用对数坐标描绘的频率响应图就称为频响波特图。
改写网络函数为画出网络函数的波特图。例 2 0 0 j
( j ) ( j + 2 ) ( j + 1 0 )H
解下 页上 页返 回
11
1 0 j( j )
( 1 + j 2 ) ( 1 + j 1 0 )
1 0 j 90 t a n ( 2) t a n ( 10)
1 + j 2 1 j 1 0
H
200 j( j )
( j +2)(j +10)H
因此对数模（单位分贝）
dB 2 0 l g 1 0 2 0 l g j 2 0 l g 1 j 2 0 l g 1 j2 1 0H
0
0,1 0,2 1 2 10 20 100 200
20
H
dB
/dB
20lg10
20lg j? - 20lg 1+ j? /2 - 20lg j
/101+
- 20
(a) 幅频波特图幅频波特图 下 页上 页返 回相位（单位度）
119 0 ta n ta n
2 1 0
(b)
0,1 0,2 1 2 10 20 100 200
90
。
- 90
。
0
。
90
。
- tan
- 1
2
- tan
- 1
10
相频波特图
相频波特图下 页上 页返 回
11.6 滤波器简介
滤波器工程上根据输出端口对信号频率范围的要求，设计专门的网络，臵于输入 — 输出端口之间，使输出端口所需要的频率分量能够顺利通过，而抑制或削弱不需要的频率分量，这种具有选频功能的中间网络，工程上称为滤波器。
有源 滤波器下 页上 页利用有源元件运算放大器构成的滤波器称为有源滤波器 。
返 回
滤波电路的传递函数定义滤波电路
Ui Uo
)(
)()(
i
o
U
UH?
滤波电路分类
① 按所处理信号分 模拟和数字滤波器
② 按所用元件分 无源和有源滤波器
③ 按滤波特性分高通滤波器（ HPF）
低通滤波器（ LPF）
带通滤波器（ BPF）
带阻滤波器（ BEF） 全通滤波器（ APF）
下 页上 页返 回
01
低通)(?H
01
高通)(?H
01
带通
)(?H
2 0
1
带阻
)(?H
2
下 页上 页返 回
iu ouC
L
iu C
L
ouC
L
iu
C
L
ouC
L
低通滤波器的单元电路
L型 T型
π型下 页上 页返 回高通滤波器的单元电路
π型
iu ouL
C
L型 T型
iu
C
L
ou
C
L
iu
C
L
ou
C
L
下 页上 页返 回带通滤波器
iu
1C
1L
ou
2C
2L
下 页上 页返 回
)c o s ( tuu mi
高通传递函数，设：
C
C
Ci u
uRCuRiu
dt
d
1)(
)s i n (
2?
RC
tuuu m
oC
1)(
1)(
2
i
o
RCU
UH
iu ouC
R
iu o
uC R
例 1 一阶 RC无源低通滤波器低通下 页上 页返 回
u＋ = u－ ＝ uC
i-=i+=0
i1= if
i2 uudt
duCR
C
C
dt
duC
R
uui C C
2
i
2?
解得：
1
)90c o s (
2
2
0
CR
tuu
C
设,tu c o s
i
f
o
R
uu
R
u
1
u
R
Ru f
o )1(
1
有源滤波器
+
_uo
_
+
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
C
ui
i1
if
i2
例 2
下 页上 页返 回
1
)90c o s ()1(
2
2
0
1?
CR
t
R
Ru f
o
0
2
1
CR当
)1(
1R
Ru f
om
2
)1(
2
1
1
0
omf
om
u
R
Ru
幅频特性omu
o?
2
omu
截至频率
o
下 页上 页
w=0
当 0
返 回例 3 激励 u1(t),包含两个频率?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有?1频率电压。 如何实现？
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
+
_u1(t) u2(t)
设计下列滤波电路实现：解下 页上 页返 回
21
2
1
CLω?
)(
1
321
1 CCLω
并联谐振，开路串联谐振，短路
1 信号短路直接加到负载上。
该电路?2 >?1,滤去高频，得到低频。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
滤波器利用谐振电路的频率特性，只允许谐振频率邻域内的信号通过注意上 页返 回
RLC串联电路的谐振11.2
RLC串联电路的频率响应11.3
RLC并联谐振电路11.4
波特图11.5
滤波器简介11.6
本章重点首 页
重点
1,网络函数
2,串、并联谐振的概念；
返 回
11.1 网络函数当电路中激励源的频率变化时,电路中的感抗,
容抗将跟随频率变化,从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化 。 因此,分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要 。
下 页上 页频率特性电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，
称为电路和系统的频率特性，又称频率响应。
1,网络函数 H（ jω） 的定义返 回在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源作用时，网络中某一处的响应（电压或电流）
与网络输入之比，称为该响应的网络函数。
)j(
)j()j( d e f
E
RH
2,网络函数 H(jω)的物理意义
驱动点函数 线性网络
)j(?I?
)j(?U?
下 页上 页返 回
)j(
)j()j(
I
UH
策动点阻抗策动点导纳激励是电流源，响应是电压激励是电压源，响应是电流
)j(
)j()j(
U
IH
线性网络
)j(?I?
)j(?U?
转移函数 (传递函数 )
)j(1?U?
线性网络 )j(2?U?
)j(1?I? )j(2?I?
下 页上 页返 回转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比激励是电压源 激励是电流源
)j(1?U?
线性网络 )j(2?U?
)j(1?I? )j(2?I?
)j(
)j()j(
1
2
I
UH
)j(
)j()j(
1
2
U
IH
)j(
)j()j(
1
2
U
UH
)j(
)j()j(
1
2
I
IH
下 页上 页返 回注意
H(j?)与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的类型以及端口对的相互位臵有关，与输入、
输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。
H(j?) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：
模与频率的关系 |~)(j| H幅频特性幅角与频率的关系 ~)(j相频特性
网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。
下 页上 页返 回例 求图示电路的网络函数
2S/IU S/LUU
和
L
,U
SU?
2?
jω
+
_
+ _
jω
2?
2I?1
I?
2I?
解 列网孔方程解电流
2I?
1 2 S( 2 j ) 2I I U
0)j4(2 21 II
S
2 2
2
4 ( j ) j 6
UI
2S 2
2/
4 j 6IU
S 2
j2/
4 j 6LUU
转移导纳转移电压比下 页上 页返 回
① 以网络函数中 jω的最高次方的次数定义网络函数的阶数。
)j()j()j( EHR
注意
② 由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应，即有
)j(
)j()j(
E
RH
下 页上 页返 回
11.2 RLC串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下产生的一种特殊物理现象 。 谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用,研究电路中的谐振现象有重要实际意义 。
含 R,L,C的一端口电路,在特定条件下出现端口电压,电流同相位的现象时,称电路发生了谐振 。
1,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
RZ
I
U
发生谐振下 页上 页返 回
LC
ω 10?
XR
XXR
ωC
ωLRZ CL
j
)(j)1(j
2.串联谐振的条件谐振角频率谐振频率
LCf π2
1
0?
。 时，电路发生谐振当 1 0
0
0 CLωX
谐振条件仅与电路参数有关
I
R j? L+
_
C?j
1
U
下 页上 页返 回串联电路实现谐振的方式：
(1) L C 不变，改变?
(2)电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
0由电路参数决定，一个 R L C串联电路只有一个对应的?0,当外加电源频率等于谐振频率时，电路发生谐振。
3,RLC串联电路谐振时的特点阻抗的频率特性
)(|)(|)1(j ωωZCLRZ
下 页上 页返 回
R
X
R
XX
R
ωCωLω CL 111 tgtg
1
tg) (
222222 )()1(|)(| XRXXR
CLRωZ CL
幅频特性相频特性
X(? )
|Z(? )| X
L(? )
XC(? )
R
0?
Z (? )
o
Z(jω)频响曲线
(? )
0?o
–?/2
/2
下 页上 页返 回
Z(jω)频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：
容性区 感性区电阻性
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
)j(ZR
)j(Zlim 0
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
R? )j( Z 0?
0 ω
0)(j
0)j(
ω
X
)j(ZR
)j(Zlim 0
,).1( 同相与 IU谐振时入端阻抗为 纯电阻，即 Z=R，阻抗值 |Z|最小。
电流 I 和电阻电压 UR达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
下 页上 页返 回相当于短路。LCUU CL,0
(2) LC上 的电压大小相等,相位相反,串联总电压为零,也称电压谐振,即
UU R,上电源电压全部加在电阻
LU
CU
RU
I0
0
X
UU CL
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
I R
j? L+
_ C?j 1
U
下 页上 页返 回
UQ
R
ULILU
L
j j j
00
UQ
R
UL
C
IU
C?
j jj 0
0
QUUU CL
RC
L
RR
LQ 1 0
特性阻抗品质因数当?＝?0L=1/(?0C )>>R 时,Q>>1
UL= UC =QU >>U
(3) 谐振时出现过电压下 页上 页返 回例 某收音机输入回路 L=0.3mH,R=10?，为收到中央电台 560kHz信号，求,(1)调谐电容 C值；
(2) 如输入电压为 1.5?V,求谐振电流和此时的电容电压。
Aμ 15.010 5.1 )2( 0 RUI
pF269) 2( 1 )1( 2 LfC?解
Vμ 5.1Vμ 5.1580 CC XIU
UR LQUUo 0Cr
+
_
L
C
R
u
下 页上 页返 回
(4) 谐振时的功率
P=UIcos?＝ UI＝ RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
0s i n CL QQUIQ?
2
00
2
0
0
2
00
1,LII
Cω
QLIωQ CL
电源不向电路输送无功 。 电感中的无功与电容中的无功大小相等,互相补偿,彼此进行能量交换 。
+
_ P
Q
L C
R
注意下 页上 页返 回
(5) 谐振时的能量关系
tLICuw CC 022m2 c o s2121
tICLtCIu C 0mo0
0
m c o s)90s i n (
tLILiw L 022m2 s i n2121
tUu 0m s in设 tItRUi 0m0m s i ns i n则电场能量磁场能量
① 电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。 L,C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的交换，而不与电源进行能量交换。
表明下 页上 页返 回
② 总能量是不随时间变化的常量，且等于最大值。
222
m
2
m 2
1
2
1 UCQCULIwww
CCL总电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
耗的能量谐振时一周期内电路消总储能谐振时电路中电磁场的
π2
π2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q?
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量,Q越大,
总能量就越大,维持振荡所消耗的能量愈小,振荡程度越剧烈 。 则振荡电路的,品质,愈好 。 一般在要求发生谐振的回路中希望尽可能提高 Q值 。
下 页上 页返 回例 一接收器的电路参数为,U=10V
=5?103 rad/s,调 C使电路中的电流最大,Imax=200mA,测得电容电压为 600V,求 R,L,C
及 Q。
解
5010200
10
3
0I
UR
6010600 UUQQUU CC
mH60
105
6050
3
0
RQL μF67.61C
2
0
L?
+
_
L
C
R
u
V
下 页上 页返 回
11.3 RLC串联电路的频率响应研究物理量与频率关系的图形（谐振曲线）
可以加深对谐振现象的认识。
① 的频率响应 )j()j()j( SR UUH
)
1
(j)j(
)j(
)j(
S
R
C
LR
R
U
U
H
为比较不同谐振回路，令
ηωωω
0
下 页上 页返 回
S
( j ) 1
( j )
11( j )
j ( ) 1 j ( )
R
R
U R
H
U R L Q
C
1( j ) a r c ta n [ ( ) ]Q
| ( j ) | c o s ( j )RH 幅频特性相频特性
Q=10
Q=1
Q=0.5
1
)j1(
)j(
S
R
U
ηU
o?'?
下 页上 页返 回在谐振点响应出现峰值,当? 偏离?0时,输出下降 。 即串联谐振电路对不同频率信号有不同的响应,对谐振信号最突出 (响应最大 ),而对远离谐振频率的信号具有抑制能力 。 这种对不同输入信号的选择能力称为,选择性,。
① 谐振电路具有选择性表明
② 谐振电路的选择性与 Q成正比
Q越大,谐振曲线越陡 。 电路对非谐振频率的信号具有强的抑制能力,所以选择性好 。 因此 Q是反映谐振电路性质的一个重要指标 。
下 页上 页返 回
③ 谐振电路的有效工作频段半功率点 声学研究表明，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出。
,
12
0
2
2
0
1
1
ωω
ω
ω
η
ω
ω
η
1?2?1
0.707
707.02/1)j(RH)j1(
)j(
S
R
U
ηU
Q=10
Q=1
Q=0.5
o?
半功率点 下 页上 页返 回
12 ωω?
通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。是比较和设计谐振电路的指标。
通频带可以证明,.
Δ
1 0
12
0
12?
ωω
ω
ηη
Q
HdB= 20log10[UR（ j?） /US（ j1） ]
20lg0.707 = –3 dB
定义：
3分贝频率下 页上 页返 回例 1 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,
U1=U2=U3=10?V,
当电容调至 C=150pF时谐振
0=5.5?106rad/s,f0=820 kHz
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
L
820 640 1026
X
-1290 –1660 -1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
UR0=10 UR1=0.304 UR2=0.346UR=UR/|Z|
ωC
1
+
_
+
_
+
L
C
Ru1
u2
u3_
下 页上 页返 回
UR0=10 UR1=0.304 UR2=0.346UR=UR/|Z| (?A)
%04.3
0R
1R?
U
U
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
820640 1200
UR(f )
f (kHz)o
%46.3
0R
2R?
U
U
下 页上 页返 回例 2 一信号源与 R,L,C电路串联，要求 f0=104Hz，
△ f=100Hz,R=15?,请设计一个线性电路。
解
1 0 0
1 0 0
10 400
f
fωQ
mH8.39
10π2
151 0 0
4
0
RQL
pF6 3 6 01C 2
0
L?
+
_ L
C
Ru
10?
下 页上 页返 回
② 以 UL(? )与 UC(? )为输出的 H(ω)频率特性
22
C
)1(
11
)(
)(
)(
CLRC
ZCU
ωU
H C
22
L
)1(||)(
)()(
CLR
L
Z
L
U
ωUH L
2
2
2
2
L
)11(
1
)(
η
Q
η
Q
H
2222C )1(
)(
ηQη
QH?
下 页上 页返 回
1)( C1CH0C1
)707.0(
4
1
1
)(
2
C2C
Q
Q
H?
0d )(d 0d )(d CL HHHL(? )与 HC(? )的极值点：令
2C2 2
11
Q
C3? 0)( C3CH
01
C3
L1
0)( L1LH
2
C2
L2 2
111
Q
)()( C2CL2L HH?
C1
L3
1
1)( L3LH
下 页上 页返 回
1
C2?L2?o
UL/U
UC/U
1
UL/U UC/U
=?C2,UC(?)获最大值；? =?L2,UL(?)获最大值。
且 UC(?C2)=UL(?L2)。
2/1?Q当
Q越高,?L2和?C2 越靠近1,同时 峰值增高。
注意 ( j )
CH?
( j )LH?为低通函数,为高通函数；
下 页上 页返 回
1,G,C,L 并联电路
LCω
1
0?
)1(j ωLωCGY
11.4 RLC并联谐振电路谐振角频率 |Y|
0o
G谐振特点：
① 入端导纳为 纯电导，导纳值 |Y|最小,端电压达最大 。
下 页上 页
+
_
S
I
G C L?U
返 回
0?o
U(? )
IS/G CI
LI
SG II
U
LC上 的电流大小相等,相位相反,并联总电流为零,也称电流谐振,即
S
S
C IQG
ICCUI j j j
00
S
S
L IQG
ICLUI j j j/
00
IL(?0) =IC(?0) =QIS
下 页上 页
+
_
S
I
G C L?U
返 回
③ 谐振时的功率
L
UCUQQ
CL
0
2
2
0
GUUIP /2
④ 谐振时的能量
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0品质因数
0C QQ L
220 0 0 S( ) ( ) ( )LCW W W L Q I
下 页上 页返 回
2.电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：
C
L
R（ 1）谐振条件
LRCY j
1j
))((j)( 2222 LR LCLR R BG j
0)( 2
0
2
0
0 LωR
LωCω
2
0 )(
1
L
R
LCω
下 页上 页返 回
① 电路发生谐振是有条件的,在电路参数一定时，满足：
注意可以发生谐振 时,即 CLRLRLC,0)(1 2
② 一般线圈电阻 R<<?L，则等效导纳为：
LC
ω 10?
)1(j
)(
)
)(
(j
)(
2
2222
L
C
L
R
LR
LC
LR
RY
谐振角频率下 页上 页返 回等效电路
R
L
G
R
e
e
2
0 )(1C LGe
品质因数
R
L
R
CL
LR
C
G
CωQ 0230
2
0
00
)/(
线圈的品质因数（ 2）谐振特点
① 电路发生谐振时，输入阻抗很大；
RC
L
R
Lω
R
LωRRωZ 20202
00
)()(
)(
下 页上 页返 回
② 电流一定时，端电压较高
RC
LIZIU
000
③ 支路电流是总电流的 Q倍，设 R<<?L
CI
LI
0I?
U
CU
L
UII
CL 0
0
QR LRCLRCU LUIIII CL 0
0
0
00
1
)/(
/?
00 IQIII CL
下 页上 页返 回例 1 如图 R=10?的线圈其 QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个 100k?的电阻，求电路的 Q.
解
R
LQ
L
0 100
RRQL L 1 0 0 00?
等效电路
kR LR e 1 0 01010)(
62
0?
kR eq 50100//100
50
1 0 0 0
1050 3
0
L
R
Q eq
C
L
R
100k?
Re CL100k?
下 页上 页返 回例 2 如图 RS=50k?,US=100V,?0=106,Q=100，
谐振时线圈获取最大功率，求 L,C,R及谐振时 I0,U和 P。
解
1000 R LQ L?
kRR LR Se 50)(
2
0?
LC
1
0
Fμ 002.0
mH5.0
5
C
L
R
mA110502 1002 30
S
S
R
UI
V502 SUU
W05.00 UIP
C
L
R50k?
－
＋
－
＋
uS
i0
u
下 页上 页返 回
11.5 波特图对电路和系统的频率特性进行分析时，为了直观地观察频率特性随频率变化的趋势和特征，工程上常采用对数坐标来作频响曲线，这种用对数坐标描绘的频率响应图就称为频响波特图。
改写网络函数为画出网络函数的波特图。例 2 0 0 j
( j ) ( j + 2 ) ( j + 1 0 )H
解下 页上 页返 回
11
1 0 j( j )
( 1 + j 2 ) ( 1 + j 1 0 )
1 0 j 90 t a n ( 2) t a n ( 10)
1 + j 2 1 j 1 0
H
200 j( j )
( j +2)(j +10)H
因此对数模（单位分贝）
dB 2 0 l g 1 0 2 0 l g j 2 0 l g 1 j 2 0 l g 1 j2 1 0H
0
0,1 0,2 1 2 10 20 100 200
20
H
dB
/dB
20lg10
20lg j? - 20lg 1+ j? /2 - 20lg j
/101+
- 20
(a) 幅频波特图幅频波特图 下 页上 页返 回相位（单位度）
119 0 ta n ta n
2 1 0
(b)
0,1 0,2 1 2 10 20 100 200
90
。
- 90
。
0
。
90
。
- tan
- 1
2
- tan
- 1
10
相频波特图
相频波特图下 页上 页返 回
11.6 滤波器简介
滤波器工程上根据输出端口对信号频率范围的要求，设计专门的网络，臵于输入 — 输出端口之间，使输出端口所需要的频率分量能够顺利通过，而抑制或削弱不需要的频率分量，这种具有选频功能的中间网络，工程上称为滤波器。
有源 滤波器下 页上 页利用有源元件运算放大器构成的滤波器称为有源滤波器 。
返 回
滤波电路的传递函数定义滤波电路
Ui Uo
)(
)()(
i
o
U
UH?
滤波电路分类
① 按所处理信号分 模拟和数字滤波器
② 按所用元件分 无源和有源滤波器
③ 按滤波特性分高通滤波器（ HPF）
低通滤波器（ LPF）
带通滤波器（ BPF）
带阻滤波器（ BEF） 全通滤波器（ APF）
下 页上 页返 回
01
低通)(?H
01
高通)(?H
01
带通
)(?H
2 0
1
带阻
)(?H
2
下 页上 页返 回
iu ouC
L
iu C
L
ouC
L
iu
C
L
ouC
L
低通滤波器的单元电路
L型 T型
π型下 页上 页返 回高通滤波器的单元电路
π型
iu ouL
C
L型 T型
iu
C
L
ou
C
L
iu
C
L
ou
C
L
下 页上 页返 回带通滤波器
iu
1C
1L
ou
2C
2L
下 页上 页返 回
)c o s ( tuu mi
高通传递函数，设：
C
C
Ci u
uRCuRiu
dt
d
1)(
)s i n (
2?
RC
tuuu m
oC
1)(
1)(
2
i
o
RCU
UH
iu ouC
R
iu o
uC R
例 1 一阶 RC无源低通滤波器低通下 页上 页返 回
u＋ = u－ ＝ uC
i-=i+=0
i1= if
i2 uudt
duCR
C
C
dt
duC
R
uui C C
2
i
2?
解得：
1
)90c o s (
2
2
0
CR
tuu
C
设,tu c o s
i
f
o
R
uu
R
u
1
u
R
Ru f
o )1(
1
有源滤波器
+
_uo
_
+
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
C
ui
i1
if
i2
例 2
下 页上 页返 回
1
)90c o s ()1(
2
2
0
1?
CR
t
R
Ru f
o
0
2
1
CR当
)1(
1R
Ru f
om
2
)1(
2
1
1
0
omf
om
u
R
Ru
幅频特性omu
o?
2
omu
截至频率
o
下 页上 页
w=0
当 0
返 回例 3 激励 u1(t),包含两个频率?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有?1频率电压。 如何实现？
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
+
_u1(t) u2(t)
设计下列滤波电路实现：解下 页上 页返 回
21
2
1
CLω?
)(
1
321
1 CCLω
并联谐振，开路串联谐振，短路
1 信号短路直接加到负载上。
该电路?2 >?1,滤去高频，得到低频。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
滤波器利用谐振电路的频率特性，只允许谐振频率邻域内的信号通过注意上 页返 回
