Chapter 4
特征值与特征向量小结一、内容小结
2,相似矩阵的定义与性质
3,矩阵可对角化的条件
1,特征值特征向量的定义与性质
4,正交矩阵的定义与性质
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质
1,特征值特征向量的定义与性质
.
,,,
,
的特征向量的对应于特征值称为非零向量的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果存在数阶方阵是设
A
xA
xAx
xnnA
定义,
(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．; 的特征多项式叫做 AAE; )( 的特征矩阵叫做 AAE
,0 的特征方程叫做 AAE
,)1( 0 的特征值是若 A AE0?则
)( 0 AEr OxAE )( 0?
,0
,n? 有非 0解,
的为则称重根的为若 00,0)2( kkAE.代数重数的称其为的个数为的基础解系中所含向量得对应于
00
00
),(
)(,
AEr a n kn
OxAE
.几何重数结论 1,方阵 A的特征值的几何重数不超过它的代数重数,
结论 2,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素,
结论 3.,的特征值相同与方阵 AA?
结论 4.
,,,,)( 21
则有的特征值为阶方阵设 nijaAn; )1( 221121 nnn aaa
,)2( 21 An
结论 5,若? 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于?的特征向量,则
,)1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
,)2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时当 AA?
.,)4( *1 的特征值是可逆时当 AAA
.)()(,)5( 的特征值是为多项式函数时当 Afff?
2,相似矩阵的定义与性质
,,
,
,,,
1
相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶方阵都是设
BAAB
BAPP
PnBA
,~ BA记为;~ )1( AA;~,~ )2( ABBA 则若;~,~,~ )3( CACBBA 则若
);)(()4( 2111211 PAPPAPPAAP
;)5( 21211122111 PAPkPAPkPAkAkP
.,21 是任意常数其中 kk;,~ )6( BABA?则若;~,~ )7( mm BABA 则若;~,~ )8( 11 BABA 则若;),(~)(,~ )9( 为多项式函数其中则若 fBfAfBA;,~ )10( 的特征值相同与则若 BABA;,,,
),,,,(~ )11(
21
21
个特征值的是则若
nA
d i agA
n
n
3,矩阵可对角化的条件定理 1.
.
)(
个线性无关的特征向量有能对角化即与对角阵相似阶方阵
nA
AAn
结论 1,若 n阶矩阵 A有 n个互不相等的特征值,
则 A与对角阵相似,
结论 2.
.重数的几何重数等于其代数的每个特征值与对角阵相似阶矩阵
iA
An
结论 3,实对称矩阵一定可对角化,
4,正交矩阵的定义与性质
,,正交矩阵为则称满足阶方阵若 AEAAAn;1 )1(A;,,)2( 也是正交矩阵则为正交矩阵 ABBA; )3( 1 AAA是正交矩阵; )4( 也是正交矩阵是正交矩阵 AA
,)(
)5(
量组向量组是正交的单位向行的列是正交矩阵方阵
A
A?
若 P为正交矩阵,则线性变换 y=Px称为正交变换,
正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间的内积及夹角,
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质
(1) 实对称矩阵的特征值为实数,
(2) 实对称矩阵的特征向量为实向量,
(3) 实对称矩阵 A对应于不同 特征值的特征向量是正交的,
(4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等,
.,
),(
,,
1
1
1
的特征值是其中使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
A
d i a gAPP
PnA
n
n
定理,
二、题型与方法
2,判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似
1,求特征值特征向量
3,实对称矩阵的对角化（ 可逆变换与正交变换 ）
利用 可逆矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求
).,,( ),,( )3( 111 nn di a gAPPP则令利用 正交矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求;,,,,,)3( 11 nn pp 单位化得正交化将
).,,( ),,( )4( 111 nn di a gAPPppP则令
1,求特征值特征向量
.
201
034
011
,1 的特征值和特征向量求矩阵
Aex
Solution,的特征多项式为A
.1,2 321的特征值为所以 A
.0)2(,21 xAE解方程组时当?
201
034
011
AE
,)2( )1( 2
001
014
013
)2( AE
33
2
1
0
0
xx
x
x
从而
.2)0( 11 的全部特征向量是对应于所以kkp
,0)(,132 xAE解方程组时当
,
000
010
001
,
1
0
0
3
3
2
1
x
x
x
x
,
1
0
0
1
p基础解系为
101
024
012
)( AE
33
32
31
2
xx
xx
xx
从而
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以kpk
,
000
210
101
,
1
2
1
2
p基础解系为
,
1
2
1
3
3
2
1
xx
x
.5,,5
,2,1,1 3,2
*23 EABAAAB
Aex
与的特征值计算设矩阵的特征值为阶矩阵已知
Solution.,22)1(1A?
,*?AA 的特征值,1,2,2即
,,2,1,1 时的特征值为当?A,8,1,1 3?的特征值为A
,4,1,1 2 的特征值为A
,12,6,4的特征值为B 2 8 8)12)(6)(4(B
,3,6,4 5 的特征值为EA
.72)3)(6)(4(5 EA
.1,1,.3 的特征值是证明已知 AAEAAex
Proof, AE? AEn )1( 0
AAAAE 而 AEA )(
AEA )( AEA )( AAE
AE
0 AE
0 AE
.1 的特征值是即 A
2,判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化
ex4,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
Solution.
AE由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
有代入将,0221 xAE
442
442
221
)2( AE
000
000
221
213)2(3 221 AEr的几何重数为
=其代数重数,
因而 A可对角化,
有代入将,073 xAE
542
452
228
)7( AE
000
110
452
1)7(3 73 AEr的几何重数为? =其代数重数,
201
335
212
)2(
AE
31
.1321的特征值为所以 A
有代入把,01 xAE
,31)(3 1 代数重数的几何重数为 AEr?
故 不能化为对角矩阵,A
101
325
213
AE
000
110
101
,
11
11
321
,5
x
xAex 设 且知 A有一特征值为 1,求 x的值及 A的其它特征值,并判断
A是否能与对角阵相似？
Solution.,0,1 AEA 有特征值?
x
xAE
111
10
320
而
)2)(12( xx
.21 2 xx 或
,
211
112
321
,2
Ax 时当
211
112
321
AE
)4)(1)(1(
.4,1,1 321特征值为
.,2 可对角化时且当 Ax?,
2
1
11
11
2
1
321
,
2
1
Ax 时当
2
1
11
11
2
1
321
AE
)52)(1(21 2
.25,1,1 321特征值为
.,21 可对角化时且当 Ax?
,
163
053
064
,6
Aex 设 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵 P,
.1 为对角阵使 APP?
Solution.
163
053
064
AE?
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
0121 得方程组的系数阵为代入将 xAE
063
063
063
)( AE
000
000
021
33
22
21 2
xx
xx
xx
得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
32
3
2
1
xx
x
x
x
,023 得方程组的系数阵为代入将 xAE
363
033
066
)2( AE
000
110
101
33
32
31
xx
xx
xx
.
1
1
1
3
.,,321 线性无关由于
,
110
101
102
,,321
P令,
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
1
1
1
3
3
2
1
x
x
x
x
得基础解系
.,
340
430
241
,7 1 0 0AAex 求设
Solution,)5)(5)(1( AE?
.5,5,1 321的特征值为A
.)1,2,1(
,)2,1,2(
,)0,0,1(
3
2
1
p
p
p可分别求得特征向量
,
120
210
121
P存在,
500
050
001
1
APP使得
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
1
P而
11 0 01 0 0 PPA
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
500
050
001
120
210
121
100
100
.
500
050
1501
1 0 0
1 0 0
1 0 0
3,实对称矩阵的对角化
,
0111
1011
1101
1110
,8
1
为对角阵使求一正交矩阵已知
APPP
Aex
Solution,)3()1( 3 AE?
3,1 4321特征值为有代入将,0)(11 xAE
1111
1111
1111
1111
AE
0000
0000
0000
1111
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
求得基础解系
,
0
0
1
1
1
,
0
1
0
1
2
,
1
0
0
1
3
正交化,,)0,0,1,1(1,)0,1,21,21(2
.)1,31,31,31(3
单位化,,)0,0,21,21(1p,)0,62,61,61(2p
.)123,121,121,121(3p
有代入将,0)(34 xAE
3111
1311
1131
1113
3 AE
0000
1100
1010
1001
44
43
42
41
xx
xx
xx
xx
求得基础解系为 )1,1,1,1(4
单位化,)21,21,21,21(4p
,
2
1
12
3
00
2
1
12
1
6
2
0
2
1
12
1
6
1
2
1
2
1
12
1
6
1
2
1
P令
.
3000
0100
0010
0001
1
APP则
4,简单证明题及其它
.,.12 * 也是正交矩阵则为正交矩阵若 AAex
Proof.,为正交矩阵A?,1,1 AAA
1* AAA又
11** )( AAAAAA
,A?
1 AAAA
1 AAAA
12 AAA
.E?
.,
,
400
00
005
124
22
421
.13
yx
yxAex
求相似与设方阵
Solution.
524
242
425
4
xAE由
524
242
909
31
x
rr
124
442
009
13
x
cc
)4(9 x,0?,4?x得
124
242
421
AE由
124
242
505
31
rr
124
242
101
)5(
324
442
001
)5(
13
cc
]8)3)(4) [ (5( )20)(5( 2
)4)(5)(5(,0?
.4,5 321得,5 y; 321 可得或由A
,332211321 可得或由 aaa
.,)2,1,2(
,)1,2,2(,)2,2,1(;1,0,13.14
3
21
321
Ap
pp
Aex
求方阵应的特征向量依次为对的特征值为阶方阵设
Solution 1.,
212
122
221
),,( 321
pppP取
,
100
000
001
1
APP则有 1
1
212
122
221
P又
636
366
663
27
1
,
212
122
221
9
1
1 PPA
212
122
221
9
1
100
000
001
212
122
221
212
122
221
202
102
201
9
1
.
066
630
603
9
1
或者
),,(),,( 332211321 ppppppA),0,( 31 pp
,
202
102
201
212
122
221
A
1
212
122
221
202
102
201
A
212
122
221
9
1
202
102
201
.
066
630
603
9
1
.,)1,1,1(
6,3,3,63.15
1 Ap
Aex
求矩阵应的特征向量为对与特征值的特征值为阶实对称矩阵设
Solution 1.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 32 pp的特征向量为故对应特征值
,
101
011
111
),,( 321
pppP取
,
300
030
006
1
APP则有,
121
211
111
3
11
P又
1 PPA
,
121
211
111
3
1
300
030
006
101
011
111
.
411
141
114
Solution 2,),,(),,( 332211321 ppppppA
.),,( 1332211 PpppA
Solution 3.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有?
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 21的特征向量为故对应特征值
:,21 正交化得将,)0,1,1(11
,)1,21,21(),( ),( 1
11
2122
:,211 单位化得将p,)31,31,31(1
,)0,21,21(2,)62,61,61(3
,
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
),,(
321
P取
,
6
2
6
1
6
1
0
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
1
PP从而
1 PPA
.
411
141
114
.56)(,
122
221
212
.16 8910 AAAAAex
设
Solution,0)1)(1)(5(
122
221
212
AE由
,1,1,5 321得
,)1,1,1( 5 11 p的特征向量为对应?
,)0,1,1( 1 22 p的特征向量为对应?
,)2,1,1( 1 33 p的特征向量为对应?
,),,,( 1321 APPpppP 使得存在可逆阵
,1 PPA则
,
100
010
005
且
3
1
6
1
6
1
3
2
6
7
6
1
3
1
3
1
3
1
1
P
8910 56)( AAAA
1819110 56 PPPPPP
18910 )56( PP
1
)1(00
0)1(0
00)5(
PP
3
1
6
1
6
1
3
2
6
7
6
1
3
1
3
1
3
1
1200
000
000
201
111
113
422
000
000
201
111
113
.
844
422
422
).()2(;,,)3,1,1()1(
,)9,3,1(
,)4,2,1(,)1,1,1(
3,2,1.17
321
3
21
321
为自然数求线性表示用将向量的特征向量依次为对应的特征值三阶矩阵
nA
Aex
n
T
T
TT
Solution.(1)
3941
1321
1111
321
1100
2010
2001
.22 321
(2),
)22( 321 nn AA 321 22 nnn AAA
332211 22 nnn
9
3
1
3
4
2
1
2
1
1
1
2 1 nn
.
322
322
322
23
12
1
nn
nn
nn
The end
特征值与特征向量小结一、内容小结
2,相似矩阵的定义与性质
3,矩阵可对角化的条件
1,特征值特征向量的定义与性质
4,正交矩阵的定义与性质
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质
1,特征值特征向量的定义与性质
.
,,,
,
的特征向量的对应于特征值称为非零向量的特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果存在数阶方阵是设
A
xA
xAx
xnnA
定义,
(1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
(2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
(3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．; 的特征多项式叫做 AAE; )( 的特征矩阵叫做 AAE
,0 的特征方程叫做 AAE
,)1( 0 的特征值是若 A AE0?则
)( 0 AEr OxAE )( 0?
,0
,n? 有非 0解,
的为则称重根的为若 00,0)2( kkAE.代数重数的称其为的个数为的基础解系中所含向量得对应于
00
00
),(
)(,
AEr a n kn
OxAE
.几何重数结论 1,方阵 A的特征值的几何重数不超过它的代数重数,
结论 2,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素,
结论 3.,的特征值相同与方阵 AA?
结论 4.
,,,,)( 21
则有的特征值为阶方阵设 nijaAn; )1( 221121 nnn aaa
,)2( 21 An
结论 5,若? 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于?的特征向量,则
,)1( 是任意常数的特征值是 kkAk?
,)2( 是正整数的特征值是 mA mm?
.,)3( 11 的特征值是可逆时当 AA?
.,)4( *1 的特征值是可逆时当 AAA
.)()(,)5( 的特征值是为多项式函数时当 Afff?
2,相似矩阵的定义与性质
,,
,
,,,
1
相似与或说矩阵的相似矩阵是则称使若有可逆矩阵阶方阵都是设
BAAB
BAPP
PnBA
,~ BA记为;~ )1( AA;~,~ )2( ABBA 则若;~,~,~ )3( CACBBA 则若
);)(()4( 2111211 PAPPAPPAAP
;)5( 21211122111 PAPkPAPkPAkAkP
.,21 是任意常数其中 kk;,~ )6( BABA?则若;~,~ )7( mm BABA 则若;~,~ )8( 11 BABA 则若;),(~)(,~ )9( 为多项式函数其中则若 fBfAfBA;,~ )10( 的特征值相同与则若 BABA;,,,
),,,,(~ )11(
21
21
个特征值的是则若
nA
d i agA
n
n
3,矩阵可对角化的条件定理 1.
.
)(
个线性无关的特征向量有能对角化即与对角阵相似阶方阵
nA
AAn
结论 1,若 n阶矩阵 A有 n个互不相等的特征值,
则 A与对角阵相似,
结论 2.
.重数的几何重数等于其代数的每个特征值与对角阵相似阶矩阵
iA
An
结论 3,实对称矩阵一定可对角化,
4,正交矩阵的定义与性质
,,正交矩阵为则称满足阶方阵若 AEAAAn;1 )1(A;,,)2( 也是正交矩阵则为正交矩阵 ABBA; )3( 1 AAA是正交矩阵; )4( 也是正交矩阵是正交矩阵 AA
,)(
)5(
量组向量组是正交的单位向行的列是正交矩阵方阵
A
A?
若 P为正交矩阵,则线性变换 y=Px称为正交变换,
正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间的内积及夹角,
5,实对称矩阵特征值特征向量的性质
(1) 实对称矩阵的特征值为实数,
(2) 实对称矩阵的特征向量为实向量,
(3) 实对称矩阵 A对应于不同 特征值的特征向量是正交的,
(4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数与几何重数相等,
.,
),(
,,
1
1
1
的特征值是其中使则必有正交矩阵阶实对称矩阵为设
A
d i a gAPP
PnA
n
n
定理,
二、题型与方法
2,判别矩阵是否可对角化，
找可逆矩阵使其与对角阵相似
1,求特征值特征向量
3,实对称矩阵的对角化（ 可逆变换与正交变换 ）
利用 可逆矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求
).,,( ),,( )3( 111 nn di a gAPPP则令利用 正交矩阵 将实对称矩阵对角化,其具体步骤 为：
;,,,0 )2( 1 ni AxAE的特征向量求出由; )1( iA?的特征值求;,,,,,)3( 11 nn pp 单位化得正交化将
).,,( ),,( )4( 111 nn di a gAPPppP则令
1,求特征值特征向量
.
201
034
011
,1 的特征值和特征向量求矩阵
Aex
Solution,的特征多项式为A
.1,2 321的特征值为所以 A
.0)2(,21 xAE解方程组时当?
201
034
011
AE
,)2( )1( 2
001
014
013
)2( AE
33
2
1
0
0
xx
x
x
从而
.2)0( 11 的全部特征向量是对应于所以kkp
,0)(,132 xAE解方程组时当
,
000
010
001
,
1
0
0
3
3
2
1
x
x
x
x
,
1
0
0
1
p基础解系为
101
024
012
)( AE
33
32
31
2
xx
xx
xx
从而
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以kpk
,
000
210
101
,
1
2
1
2
p基础解系为
,
1
2
1
3
3
2
1
xx
x
.5,,5
,2,1,1 3,2
*23 EABAAAB
Aex
与的特征值计算设矩阵的特征值为阶矩阵已知
Solution.,22)1(1A?
,*?AA 的特征值,1,2,2即
,,2,1,1 时的特征值为当?A,8,1,1 3?的特征值为A
,4,1,1 2 的特征值为A
,12,6,4的特征值为B 2 8 8)12)(6)(4(B
,3,6,4 5 的特征值为EA
.72)3)(6)(4(5 EA
.1,1,.3 的特征值是证明已知 AAEAAex
Proof, AE? AEn )1( 0
AAAAE 而 AEA )(
AEA )( AEA )( AAE
AE
0 AE
0 AE
.1 的特征值是即 A
2,判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化
ex4,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
242
422
221
)1( A
201
335
212
)2( A
Solution.
AE由)1(
72 2 0?
242
422
221
.7,2 321得
有代入将,0221 xAE
442
442
221
)2( AE
000
000
221
213)2(3 221 AEr的几何重数为
=其代数重数,
因而 A可对角化,
有代入将,073 xAE
542
452
228
)7( AE
000
110
452
1)7(3 73 AEr的几何重数为? =其代数重数,
201
335
212
)2(
AE
31
.1321的特征值为所以 A
有代入把,01 xAE
,31)(3 1 代数重数的几何重数为 AEr?
故 不能化为对角矩阵,A
101
325
213
AE
000
110
101
,
11
11
321
,5
x
xAex 设 且知 A有一特征值为 1,求 x的值及 A的其它特征值,并判断
A是否能与对角阵相似？
Solution.,0,1 AEA 有特征值?
x
xAE
111
10
320
而
)2)(12( xx
.21 2 xx 或
,
211
112
321
,2
Ax 时当
211
112
321
AE
)4)(1)(1(
.4,1,1 321特征值为
.,2 可对角化时且当 Ax?,
2
1
11
11
2
1
321
,
2
1
Ax 时当
2
1
11
11
2
1
321
AE
)52)(1(21 2
.25,1,1 321特征值为
.,21 可对角化时且当 Ax?
,
163
053
064
,6
Aex 设 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵 P,
.1 为对角阵使 APP?
Solution.
163
053
064
AE?
21 2
.2,1 321的全部特征值为所以 A
0121 得方程组的系数阵为代入将 xAE
063
063
063
)( AE
000
000
021
33
22
21 2
xx
xx
xx
得基础解系
,
0
1
2
1
,
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
32
3
2
1
xx
x
x
x
,023 得方程组的系数阵为代入将 xAE
363
033
066
)2( AE
000
110
101
33
32
31
xx
xx
xx
.
1
1
1
3
.,,321 线性无关由于
,
110
101
102
,,321
P令,
200
010
001
1
APP则有所以 可对角化,A
1
1
1
3
3
2
1
x
x
x
x
得基础解系
.,
340
430
241
,7 1 0 0AAex 求设
Solution,)5)(5)(1( AE?
.5,5,1 321的特征值为A
.)1,2,1(
,)2,1,2(
,)0,0,1(
3
2
1
p
p
p可分别求得特征向量
,
120
210
121
P存在,
500
050
001
1
APP使得
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
1
P而
11 0 01 0 0 PPA
,
5
1
5
2
0
5
7
5
1
0
301
500
050
001
120
210
121
100
100
.
500
050
1501
1 0 0
1 0 0
1 0 0
3,实对称矩阵的对角化
,
0111
1011
1101
1110
,8
1
为对角阵使求一正交矩阵已知
APPP
Aex
Solution,)3()1( 3 AE?
3,1 4321特征值为有代入将,0)(11 xAE
1111
1111
1111
1111
AE
0000
0000
0000
1111
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
求得基础解系
,
0
0
1
1
1
,
0
1
0
1
2
,
1
0
0
1
3
正交化,,)0,0,1,1(1,)0,1,21,21(2
.)1,31,31,31(3
单位化,,)0,0,21,21(1p,)0,62,61,61(2p
.)123,121,121,121(3p
有代入将,0)(34 xAE
3111
1311
1131
1113
3 AE
0000
1100
1010
1001
44
43
42
41
xx
xx
xx
xx
求得基础解系为 )1,1,1,1(4
单位化,)21,21,21,21(4p
,
2
1
12
3
00
2
1
12
1
6
2
0
2
1
12
1
6
1
2
1
2
1
12
1
6
1
2
1
P令
.
3000
0100
0010
0001
1
APP则
4,简单证明题及其它
.,.12 * 也是正交矩阵则为正交矩阵若 AAex
Proof.,为正交矩阵A?,1,1 AAA
1* AAA又
11** )( AAAAAA
,A?
1 AAAA
1 AAAA
12 AAA
.E?
.,
,
400
00
005
124
22
421
.13
yx
yxAex
求相似与设方阵
Solution.
524
242
425
4
xAE由
524
242
909
31
x
rr
124
442
009
13
x
cc
)4(9 x,0?,4?x得
124
242
421
AE由
124
242
505
31
rr
124
242
101
)5(
324
442
001
)5(
13
cc
]8)3)(4) [ (5( )20)(5( 2
)4)(5)(5(,0?
.4,5 321得,5 y; 321 可得或由A
,332211321 可得或由 aaa
.,)2,1,2(
,)1,2,2(,)2,2,1(;1,0,13.14
3
21
321
Ap
pp
Aex
求方阵应的特征向量依次为对的特征值为阶方阵设
Solution 1.,
212
122
221
),,( 321
pppP取
,
100
000
001
1
APP则有 1
1
212
122
221
P又
636
366
663
27
1
,
212
122
221
9
1
1 PPA
212
122
221
9
1
100
000
001
212
122
221
212
122
221
202
102
201
9
1
.
066
630
603
9
1
或者
),,(),,( 332211321 ppppppA),0,( 31 pp
,
202
102
201
212
122
221
A
1
212
122
221
202
102
201
A
212
122
221
9
1
202
102
201
.
066
630
603
9
1
.,)1,1,1(
6,3,3,63.15
1 Ap
Aex
求矩阵应的特征向量为对与特征值的特征值为阶实对称矩阵设
Solution 1.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 32 pp的特征向量为故对应特征值
,
101
011
111
),,( 321
pppP取
,
300
030
006
1
APP则有,
121
211
111
3
11
P又
1 PPA
,
121
211
111
3
1
300
030
006
101
011
111
.
411
141
114
Solution 2,),,(),,( 332211321 ppppppA
.),,( 1332211 PpppA
Solution 3.,),,(3 321 xxxx对应的特征向量为设特征值
,0321 xxx则有?
1
0
1
0
1
1
21 kkx
.)1,0,1(,)0,1,1( 3 21的特征向量为故对应特征值
:,21 正交化得将,)0,1,1(11
,)1,21,21(),( ),( 1
11
2122
:,211 单位化得将p,)31,31,31(1
,)0,21,21(2,)62,61,61(3
,
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
),,(
321
P取
,
6
2
6
1
6
1
0
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
1
PP从而
1 PPA
.
411
141
114
.56)(,
122
221
212
.16 8910 AAAAAex
设
Solution,0)1)(1)(5(
122
221
212
AE由
,1,1,5 321得
,)1,1,1( 5 11 p的特征向量为对应?
,)0,1,1( 1 22 p的特征向量为对应?
,)2,1,1( 1 33 p的特征向量为对应?
,),,,( 1321 APPpppP 使得存在可逆阵
,1 PPA则
,
100
010
005
且
3
1
6
1
6
1
3
2
6
7
6
1
3
1
3
1
3
1
1
P
8910 56)( AAAA
1819110 56 PPPPPP
18910 )56( PP
1
)1(00
0)1(0
00)5(
PP
3
1
6
1
6
1
3
2
6
7
6
1
3
1
3
1
3
1
1200
000
000
201
111
113
422
000
000
201
111
113
.
844
422
422
).()2(;,,)3,1,1()1(
,)9,3,1(
,)4,2,1(,)1,1,1(
3,2,1.17
321
3
21
321
为自然数求线性表示用将向量的特征向量依次为对应的特征值三阶矩阵
nA
Aex
n
T
T
TT
Solution.(1)
3941
1321
1111
321
1100
2010
2001
.22 321
(2),
)22( 321 nn AA 321 22 nnn AAA
332211 22 nnn
9
3
1
3
4
2
1
2
1
1
1
2 1 nn
.
322
322
322
23
12
1
nn
nn
nn
The end
