Chapter 5(2)
二次型及其标准形教学要求：
1,掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念 ;
2,掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法,
,二次型及其矩阵表示一
,化二次型为标准形二
,二次型及其矩阵表示一
1,定义

2
1,1
2
11,1
223223
2
222
112112
2
11121
2
22
22,,,
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
xa
xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxaxxxf





的二次齐次多项式个变量含有 nxxxn,,,)1( 21?
),,,( 21 的二次型或元二次型称为一个 nxxxn?
(2) 只含有平方项的二次型称为 二次型的标准形,
222221121,,,nnn ykykykyyyf
(3) 当系数为实数时叫实二次型；
当系数为复数时叫复二次型,
2,矩阵表示
2
2211
22
2
2222112
112112
2
111
nnnnnnn
nn
nn
xaxxaxxa
xxaxaxxa
xxaxxaxaf



)(
)(
)(
2211
22221122
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax




2211
2222112
1212111
21



nnnnn
nn
nn
n
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxx
2
1
21
22212
11211
21
nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx

A x
.,为对称矩阵其中则二次型可记作 AAxxf
矩阵表示
A—— 二次型 f 的矩阵
f —— 矩阵 A的二次型一一对应

从而矩阵 A的秩也叫二次型 f 的秩,
.
350
502
021
)2(
,
4642 ( 1 )
,1
2
332
2
23121
对应的二次型写出与矩阵的矩阵及矩阵表示写出二次型

A
xxxxxxxxf
ex
Solution,4642 )1( 2332223121 xxxxxxxxf

432
311
210
A


3
2
1
321
432
311
210
x
x
x
xxxf
350
502
021
( 2) A?
.3104 23322121 xxxxxxf
类似地,
222221121,,,nnn ykykykyyyf
00
00
00
),,,( 2
1
2
1
21
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?

B y
,,,21 Byyyyyf n则
3,矩阵的合同
Axxf )()( CyACyCyx yACCy )( Byy
定理 1.
则变成经可逆线性变换若
,
Byyf
CyxAxxf

;,)1( 为对称阵且 BACCB
).()( )2( BrAr?
Proof.,)1( 为实对称阵A?
)( ACCB CA,BACC;,)2( 可逆可知可逆由 CC?,BACC又
,等价与 BA? ).()( BrAr?故定义,
,~.
,
BABA
BACC
CBAn
记为合同于则称使得若存在可逆矩阵与阶方阵设有

合同关系具有反身性，对称性，传递性,
比较,BACC 合同
BAPP 1 相似
BP A Q? 等价
,化二次型为标准形二
2222211 nn yyyACyCy kkk
就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,Cyxf?
,),,,(
2
1
2
1
21


y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC?
.
.,
,,
1
型可把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
APPAPP
PA
1,用正交变换化二次型为标准形化为标准形使正交变换总有任给二次型
fPyx
Axxxxf n
,
,),,( 1

,2222211 nn yyyf
,,,1 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf
定理 2.
Proof,Axxf )()( PyAPyPyx
yAPPy )( yAPPy
PP )( 11
.yy
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,)1( AAxxf 求出将二次型表成矩阵形式;,,,)2( 21 nA的所有特征值求出;,,,)3( 21 n征向量求出对应于特征值的特
);,,,(,,,,
,,,,,)4(
2121
21
nn
n
pppPppp
记得单位化正交化将特征向量
.
,)5(
22
11 nn yyf
fPyx

的标准形则得作正交变换
4321 22
,2
xxxxf
ex

为标准形求一正交变换化二次型
Solution,
0100
1000
0001
0010
A
得由,0)1()1( 22 AE
.1,1 4321
得代入把 OxAE )(121

1100
1100
0011
0011
)( AE

0000
0000
1100
0011

44
43
22
21
xx
xx
xx
xx
1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(1 )1,1,0,(2
单位化得,,)0,0,21,21(1p )21,21,0,0(2p
得代入把 OxAE )(143



1100
1100
0011
0011
)( AE
0000
0000
1100
0011

44
43
22
21
xx
xx
xx
xx

1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(3 )1,1,0,0(4
单位化得,,)0,0,21,21(3p )21,21,0,0(4p
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
P令于是正交变换为 x? Py,,24232221 yyyyf且
2,用配方法化二次型为标准形
,),,( 1 有三种情形对于二次型 Axxxxf n
0 )1( 11?a
),,2( 0,0 )2( 111 niaa i 但至少有一个
( 1 ) ( 2 ),
,1
,0 )3( 111
做法同个变量的二次型转化为只含?

n
aa n?
622 )2(
34 )1(
,3
323121
3221
2
1
xxxxxxf
xxxxxf
ex


准形用配方法化二次型为标
Solution,322121 34 )1( xxxxxf
3222222121 34)44( xxxxxxx
23233222221
16
9])
8
3(
4
3[4)2( xxxxxxx
23232221
16
9)
8
3(4)2( xxxxx


33
322
211
8
3
2
xy
xxy
xxy
令
33 yx
322 8
3 yyx
3211 4
32 yyyx
3
2
1
3
2
1
100
8
3
10
4
3
21
y
y
y
x
x
x
即
.1694 232221 yyyf得标准形为变换矩阵为,
100
8
3
10
4
3
21
C
622 )2( 323121 xxxxxxf


33
212
211
zx
zzx
zzx
令

3
2
1
3
2
1
100
011
011
z
z
z
x
x
x
即
32312221 8422 zzzzzzf则
233222233121 282)2(2 zzzzzzzz
23233222231 6)44(2)(2 zzzzzzz
23232231 6)2(2)(2 zzzzz


33
322
311
2
zy
zzy
zzy
令
33 yz
322 2 yyz
311 yyz
3
2
1
3
2
1
100
210
101
y
y
y
z
z
z
即

3
2
1
3
2
1
100
210
101
100
011
011
y
y
y
x
x
x

3
2
1
100
111
311
y
y
y
.622 232221 yyyf得标准形为变换矩阵为,

100
111
311
C
3,初等变换法
ACC?
,21 sPPPCC可逆得由
.),,1( 为初等矩阵其中 siP i
,12 PPPC s
ss PPAPPPP 2112
CPPEP s21




CE
A 行列列将一个二次型化为标准形，可以用 正交变换法,也可以用 拉格朗日 配方法,或者其它方法，
这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．
正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是,使用不同的方法,所得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项数必定相同,项数等于所给二次型的秩,
注意：
The end