Chapter 3(1)
线性方程组的解的结构教学要求：
1,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件 ;
2,理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念 ;
3,理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念,
,线性方程组的相容性一
,结构齐次线性方程组的解的二
,的结构非齐次线性方程组的解三
,解系的求法齐次线性方程组的基础四
,线性方程组的相容性一形如
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的方程组,称为 n个未知数 m个方程的线性方程组,
.,为方程组的常数项为方程组的系数其中 kij ba
.,0;,0
则方程组为非齐次的若则方程组为齐次的若
k
k
b
b
mnm
n
aa
aa
A
1
111
记系数矩阵
mmnm
n
baa
baa
B
1
1111
增广矩阵
mb
b
b?
1
常数项向量
nx
x
x?
1
解向量 是列向量
.,,,21 的各列构成的列向量为 An
方程组的矩阵形式,bAx?
方程组的向量形式,bxxx nn2211
若方程组有解，则称方程组相容；
若方程组无解，则称方程组不相容；
若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组；
若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组,
,结构齐次线性方程组的解的二
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
方程组的矩阵形式,OAx?
方程组的向量形式,Oxxx nn2211
1,齐次线性方程组总有零解,)0,,0,0(x
所以齐次线性方程组总是相容的,
2,齐次线性方程组 Ax?O有非零解的条件
,2211 可得结论由方程的向量形式 Oxxx nn
定理 1.,)( nAr an kOAx 有非零解推论,,)( nAr an kOAx 只有零解
)0,(?AA 则为方阵若
3,齐次线性方程组 Ax?O解的结构
,
,),,(,),,( )1(
21
1211
的解仍是则的解是若
OAx
OAxllkk nn
,
,,),,( )2( 1
的解仍是则的解是若
OAx
ROAxkk n
注意,
(1) 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,0?Ax
(2)若 Ax?O有非零解,则有无穷多个解,这无穷多个解作为向量必线性相关,从而一定有最大无关组,即为 解空间的基,这里又称为 基础解系,Ax?O的通解为这基础解系的线性组合,
如果解系的基础称为齐次线性方程组
,
,,,21 OAxt
(3) 基础解系的定义的通解可表示为那么的一组基础解系为齐次线性方程组如果
OAx
OAxt
,,
,,,( 4) 21
ttkkkx2211
.,,,21 是任意常数其中 tkkk?; 0,,,21 的解的一组线性无关是?Axt①
.,,,0 21 线性表出的任一解都可由 tAx②
,解的结构非齐次线性方程组的三
,2211 可得结论由方程的向量形式 bxxx nn
定理 2,).,()()( bAr a n kAr a n kbAx 有解相容结论 1,).(),()( 无解不相容bAxbAr a n kAr a n k
结论 2,
).(),()( 的列数有唯一解 AnbAr a n kAr a n kbAx
结论 3,
,
0,
,
1 bAx
AbAx
nA
且方程组的解可表示为有惟一解则阶方阵是一个设克莱姆法则结论 4.,,下列四个命题等价对于 bAx?
)1( 有解bAx?
,,,)2( 21 线性表示可由 nb
),,,(),,,,( )3( 2121 等价与向量组 nn b
),,,(),,,,( )4( 2121 nn r a n kbr a n k
的解的结构bAx?
,
,1,2121
的解为对应的齐次方程组则的解都是及设
OAx
xbAxxx
Proof,
,021 bbA
.021 Axx 满足方程即
bAbA 21,
,
,,2.
的解仍是方程组则的解是的解是方程组设
bAxx
OAxxbAxx
Proof, AAA,0 bb
.的解是方程所以 bAxx
注意,
Ax?b的两个解的线性组合一般不是 Ax?b的解,
.*
,0,* 3.
xbAx
AxbAx
的通解为则的通解是的一个特解是若
.11 rnrnkkx?
其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
rnrnkk11
所以，非齐次线性方程组 Ax=b的通解为四,齐次线性方程组 Ax?O的基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
.)( nrAr an k设
mnm
n
aa
aa
A
1
111
行
0000
0000
00
0
2222
111211
rnrr
nr
nr
bb
bbb
bbbb
00
00
10
01
,1
,111
rnrr
rn
bb
bb
行
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
n
rnrr
rn
x
x
x
bb
bb
OAx
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
,,,1 个自由未知数即是 rnxx nr
,),,(
),,,(),,(
1
11
的唯一一个解就可由克莱姆法则得到一组数给定自由未知数
r
nrnr
xx
ccxx
现对 取下列 组数：nr x,,x?1? rn?
n
r
r
x
x
x
2
1
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
11
11111
分别代入
.,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
依次得?
rx
x
1
,
b
b
r
0
0
1
1
11
1
,
0
1
0
2
12
2
r
b
b
,
b
b
rn,r
rn,
rn
1
0
0
1
从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
1
,
b
b
r
2
12
,
b
b
r
1
11
,?
下面证明 是齐次线性方程组的基础解系．
rn,,,21
.,,,)1( 21 线性无关证明 rn
.,,,2)( 21 线性表示可由证明解空间的任一解都 rn
,),,,,,( 11 的任一解向量是设 OAxaaaa nrr
,,,,21 的解是由于 OAxrn
,2211 的解也是 OAxaaa rnnrr
由线性无关的定义即可证明,
0
0
1
1
11
1
r
r
b
b
a?又
0
1
0
2
12
2
r
r
b
b
a
1
0
0
,
,1
rnr
rn
n
b
b
a
n
r
r
r
a
a
a
a
a
2
1
1
,个分量对应相等的后与显然 rn
而前 r个分量都由后 n?r个分量决定,
,2211 rnnrr aaa
注意,(1) 基础解系不是唯一的 ;
,,,,)2( 21 则其通解为的基础解系是若 OAxrn
,2211 rnrnkkkx
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk
定理 3,
,
,)(;
rn
rAr an k
S
OAxn
解空间的维数为时当它的系数矩阵的秩是一个向量空间的集合的全体解所构成元齐次线性方程组
The end
定理 1,).()()( Br an kAr an kbAx 有解相容
Proof.,有解bAx
),,,,( 21 nA记 ),,,,,( 21 bB n
nnxxxb2211 则从而 A与 B可互相线性表示,即 A与 B等价,
).()( Br a n kAr a n k
),()( Br an kAr an k 设
,,,,21 的一组最大无关组为若 Ar
,,,,21 的一组最大无关组也是则 Br
,,,,21 线性表示可由 rB
rrkkkb2211 即
nrrrkkkb 00 12211从而
,0,0,,,1r11 nrr xxkxkxbAx有解即
).()()(
,,.1
BrArBAr
BA
则是两个同型矩阵设结论
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.)()(
,,,.2
nBrAr
OABsnnmBA
则矩阵和分别是设结论
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) }.(),(m i n {)(,3 BrArABr?结论 page476---50
.)()()(
,,.4
nBrArABr
snnmBA
则矩阵和分别是设结论
Proof.,)(,)(,)( 21 rABrrBrrAr设则存在可逆矩阵 P,Q,使 OO
OEP A Q r1
mrn
mr
B
B
BQ
)(
1
1
1 设
)()( 1 BP A Q QrABrr
mrn
mrr
B
B
OO
OEBP A QQ
)(
1
1
11 而
O
B mr1
,)( 1 rBr mr,)( 21 rBQr但
,2)( 1 rrB mrn 中线性无关的行数为说明在
,1)( 1 rnB mrn 中总行数为在 12 rnrr
.21 nrrr
Proof,) },(),(m i n {)( BrArABr
nsnn
s
s
n
bbb
bbb
bbb
AB
21
22221
11211
21
nmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AB
2
1
21
22221
11211
).()(,4 Ar a n kAAr a n kex T?证明
Proof.,,维列向量为矩阵为设 nxnmA?;0)(
,0)(,0
xAA
AxAAxx
T
T 即则有满足若
.0,0)()(
,0)(,0)(
AxAxAx
xAAxxAAx
T
TTT
从而推知即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 xAAAx T
).()( ARAAR T? 因此
The end
线性方程组的解的结构教学要求：
1,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件 ;
2,理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念 ;
3,理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念,
,线性方程组的相容性一
,结构齐次线性方程组的解的二
,的结构非齐次线性方程组的解三
,解系的求法齐次线性方程组的基础四
,线性方程组的相容性一形如
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11212111
的方程组,称为 n个未知数 m个方程的线性方程组,
.,为方程组的常数项为方程组的系数其中 kij ba
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方程组的向量形式,bxxx nn2211
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若方程组无解，则称方程组不相容；
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若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组,
,结构齐次线性方程组的解的二
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方程组的矩阵形式,OAx?
方程组的向量形式,Oxxx nn2211
1,齐次线性方程组总有零解,)0,,0,0(x
所以齐次线性方程组总是相容的,
2,齐次线性方程组 Ax?O有非零解的条件
,2211 可得结论由方程的向量形式 Oxxx nn
定理 1.,)( nAr an kOAx 有非零解推论,,)( nAr an kOAx 只有零解
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3,齐次线性方程组 Ax?O解的结构
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(1) 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,0?Ax
(2)若 Ax?O有非零解,则有无穷多个解,这无穷多个解作为向量必线性相关,从而一定有最大无关组,即为 解空间的基,这里又称为 基础解系,Ax?O的通解为这基础解系的线性组合,
如果解系的基础称为齐次线性方程组
,
,,,21 OAxt
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,2211 可得结论由方程的向量形式 bxxx nn
定理 2,).,()()( bAr a n kAr a n kbAx 有解相容结论 1,).(),()( 无解不相容bAxbAr a n kAr a n k
结论 2,
).(),()( 的列数有唯一解 AnbAr a n kAr a n kbAx
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,
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且方程组的解可表示为有惟一解则阶方阵是一个设克莱姆法则结论 4.,,下列四个命题等价对于 bAx?
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,
,1,2121
的解为对应的齐次方程组则的解都是及设
OAx
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,
,,2.
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注意,
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其中 为对应齐次线性方程组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特解,
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所以，非齐次线性方程组 Ax=b的通解为四,齐次线性方程组 Ax?O的基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
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,,,,21 的解是由于 OAxrn
,2211 的解也是 OAxaaa rnnrr
由线性无关的定义即可证明,
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,,,,)2( 21 则其通解为的基础解系是若 OAxrn
,2211 rnrnkkkx
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定理 3,
,
,)(;
rn
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S
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解空间的维数为时当它的系数矩阵的秩是一个向量空间的集合的全体解所构成元齐次线性方程组
The end
定理 1,).()()( Br an kAr an kbAx 有解相容
Proof.,有解bAx
),,,,( 21 nA记 ),,,,,( 21 bB n
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).()( Br a n kAr a n k
),()( Br an kAr an k 设
,,,,21 的一组最大无关组为若 Ar
,,,,21 的一组最大无关组也是则 Br
,,,,21 线性表示可由 rB
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,0,0,,,1r11 nrr xxkxkxbAx有解即
).()()(
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BrArBAr
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则是两个同型矩阵设结论
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则矩阵和分别是设结论
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则矩阵和分别是设结论
Proof.,)(,)(,)( 21 rABrrBrrAr设则存在可逆矩阵 P,Q,使 OO
OEP A Q r1
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O
B mr1
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,2)( 1 rrB mrn 中线性无关的行数为说明在
,1)( 1 rnB mrn 中总行数为在 12 rnrr
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,0)(,0
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T
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AxAxAx
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从而推知即则满足若
,0)(0 同解与综上可知方程组 xAAAx T
).()( ARAAR T? 因此
The end
