Chapter 3(1)
n维向量组及其线性相关性教学要求：
1,理解 n维向量的概念 ;
2,理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论 ;
3,了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩 ;
4,了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系,
,向量组与矩阵一
,向量组的线性相关性二
,向量组间的关系三
,向量组的最大无关组四
,向量组的秩与矩阵的秩五
,向量组与矩阵一
1,n维向量及其表示法
.,,,21 维向量所组成的有序数组称为个数 naaan n?
),,,( 21 nT aaaa
na
a
a
a
2
1
维向量写成一行，称为 行向量,也就是行矩阵，通常用 等表示，如, TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,也就是列矩阵，通常用 等表示，如,,,,ba
n
注意,
(1) 行向量和列向量总被看作是 两个不同的向量 ;
(2) 行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则 进行运算 ;
(3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时,
都当作 列向量,
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
a2 aj an
2,矩阵用行 (列 )向量组表示维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
21
21
22221
11211
T1
T2
Ti
Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
mn
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
T
B
2
1
),,,(
21 mA
,向量组的线性相关性二
1,线性组合考察方程组
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nmnmnn
mm
mm
2211
22222121
11212111
看成向量有
2
1
2211
2222121
1212111
b
b
b
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmnmnn
mm
mm
2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
nnm
m
m
m
nn
xxx
即
1?
2?
m?
mmxxx2211 得
,,,,,,,,2121 线性表示可由称存在若 mmxxx
定义 1:
mmkkk 2211
，使得，，一组数如果存在和向量对于给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,:
21
21
,,,21 的线性组合是则称 m
,,,,21 线性表示可由或 m
,,21 叫做线性组合的系数，,mkkk?
,,,,
,,
21
21
线性表出不能由则称，，如果不存在这样的
m
mkkk
),,,(,1 21 都能由维向量证明任一 naaanex
)1,,0,0(
)0,,1,0(
)0,,0,1(
2
1
n?
基本单位向量组线性表示,且表示方式唯一,
Solution,2211 nnkkk设
1
0
0
0
1
0
0
0
1
21
2
1
n
n
kkk
a
a
a
即
2
1
nk
k
k
,,,2211 nn akakak
,2211 nnaaa
结论 1,任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示,
其表出系数依次为该向量的各个分量,
结论 2,零向量可由任一向量组线性表示,
结论 3,向量组中任一向量可由该向量组线性表示,
结论 4,若?可由向量组? 的部分向量 线性表示,则?可由向量组? 线性 表示,
2,线性相关与线性无关定义 2:
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
注意：
.0
,0,,,( 1)
2211
11
成立才有时则只有当线性无关若
nn
nn
kkk
kk
.,( 2) 性无关就是线性相关不是线对于任一向量组定理 1,
.1
,,,)1(,,,2121
个向量线性表示余至少有一个向量可由其中线性相关
m
m mm
证：,)1(,,,21 线性相关若 mm
,0,0 22111 mmkkkk不妨设
,
1
2
1
21 mm
k
k
k
k则
,221 mm设
,0 221 mm则
,0,,,1 2 不全为且 m
.,,,21 线性相关故 m
结论 1,一个向量线性相关,
结论 2,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 3,含有零向量的向量组线性相关,
ex2,证明 n个 n维基本单位向量是线性无关的,
Proof.,0 2211 nnxxx设,0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
21?
nxxx即
,0 21 为唯一零解解得 nxxx?
,2,2,)2(;,,)1(
,,,.3
232131
133221
321
线性相关线性无关证明线性无关设
ex
Proof,0)()()( )1( 133322211 xxx设
0)()()( 323212131 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 031 xx
021 xx
032 xx
,,,321 只有唯一零解xxx?
,,,133221 线性无关故
0)2()2()( )2( 233212311 xxx设
0)2()()2( 313232121 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 02 21 xx
032 xx
02 31 xx
,,,321 有非零解xxx?
,2,2,232131 线性相关故
另解 )2()(22 233121
所以结论成立,
,向量组间的关系三定义 3.
,
,,,,
,,,:
21
21
线性表示可由向量组称向量组线性表示，则向量组组中的每个向量都能由如果及维向量组设有两个
BA
BA
B
An
s
r
.
向量组等价这两个能相互线性表示，则称与向量组若向量组 BA
向量组 A与 B等价具有反身性，对称性和传递性,
定理 2,
,
,,
,,,,:,,,,2121
sr
ABA
BA sr
则组线性无关且组线性表示组能由如果和设有向量组
证明从略,
结论 1.
.
,,
,,,,:,,,,2121
线性相关则向量组且组线性表示组能由如果和设有向量组
A
srBA
BA sr
结论 2,等价的线性无关向量组含有相同个数的向量,
结论 3,n?k个 n维向量必线性相关,
,组向量组的最大无关四考察向量组
)1,1,1,1(1
)0,0,1,1(2
)1,1,0,0(3
)0,1,1,0(4;,,,4321 都线性无关单个向量;,,,,,423114433221 线性无关两个向量
,321 线性相关三个向量;,,432431421 线性无关而
.,0 4321 线性相关四个向量有
定义 4.
.,,,
,,,,,,)2(
,,,,)1(
,,,,
,
21
21
21
21
的一个最大无关组是则称线性相关总有线性无关如果满足个向量中是维向量组成的向量组是设
T
T
rT
nT
r
r
r
r
结论 1,最大线性无关组不唯一,
结论 2,向量组与任一个最大线性无关组等价,
结论 3,向量组的任两个最大线性无关组等价,
结论 4,一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量的个数相同,
,向量组的秩与矩阵的秩五定义 5,向量组 T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组 T 的秩,记为 rank(T).
如果向量组 T 只含零向量,规定 rank(T),
注意,(1) rank(T)是唯一的,
(2) 等价的向量组有相同的秩,
定理 3,
.),,,(
,,,:
21
21
的秩矩阵的秩等于向量组
m
m
A
T
证明从略,
求向量组的秩与最大无关组的方法,
将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵,用初等行变换求出其阶梯形矩阵,矩阵的秩即为向量组的秩,
由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组,则在原矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组,
.)1,2,2,1(
)1,0,3,1(),2,0,4,2(
)1,1,0,0(),0,1,2,1(,4
5
43
21
的秩及一个最大无关组求
ex
Solution.,,,,54321 作为矩阵的列得将
11210
20011
23402
11201
A
11210
11210
01000
11201
00000
01000
11210
11201
,3)( 54321r a n k
,,,451431421 等最大无关组有
.),m ax(
.,,,,,:,
,,:,,,:.5
21321
3112
111
rrrrr
rCr
BrAex
ts
ts
证明的秩为向量组的秩为向量组的秩为设向量组
Proof.,,,,,:
111 riisA 的最大无关组为设
,,,,,,211 riitB 的最大无关组为
,,,,,,,,,3111 riitsC 的最大无关组为
,,,,,,,,211131 线性表示可由 rrr iiiiii
,213 rrr故
,,,,,3111 线性表示可由又 rr iiii 31 rr?故
,,,,,3121 线性表示可由 rr iiii 32 rr?故
).,m a x ( 213 rrr?从而
.),m a x ( 21321 rrrrr
,,,,,
),,,,,(),,(,6
11
111
的最大无关组的最大无关组也是证明已知
mt
mttt r an kr an kex
Proof,),,(),,( 11 rr a n kr a n k mt设
,),,(,,11 的一个最大无关组是设 tii r
,,,,),,,( 11 线性相关则有 riikmk
事实上，
,),,(,,11 的一个最大无关组是不妨设 mr
,,,,,,11 线性表示可由则 riik r
,1 rr又
,,,,1 线性相关riik
,),,(,,11 的最大无关组也是从而 mii r
定理 2,
.,,,,
,,,,,,,,
21
2121
唯一线性表示能由则线性相关而线性无关设
m
mm
证：,,,,,21 线性相关 m
使得的数故存在不全为 121,,,,0?mm kkkk?
,2211 mm设
,012211 mmm kkkk?
,01mk必有
,
1
2
1
21
1
1 m
m
m
mm k
k
k
k
k
k
从而
,2211 mm
,0)()()( 222111 mmm从而
.,,,2211 mm
定理 3,
,,,,,,,
,,,,
121
21
也线性相关则线性相关若
mrr
r
证：,,,,21 线性相关r
使得的数故存在不全为 rkkk,,,0 21?
,02211 rrkkk
,000 12211 mrrrkkk从而
,0 0,,0,,,,21 不全为其中 rkkk
结论 1,一个向量线性相关,
结论 2,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 3,含有零向量的向量组线性相关,
定理 5.
即所构成维向量组由矩阵设
,,,2,1 ),,,( 21 niaaa
nAnm
iniii
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,)(
,,,21
mAr
m
是线性相关的充要条件则向量组
证明从略,
结论,
,)(
)(,,,21
方阵满秩为降秩的充要条件是方阵线性无关线性相关维向量个
A
nn n
定理 6.
,),,,(
)(,,,
21
21
mr an k
nmnm
m
m
线性无关维向量个
Proof.,,,,21 线性无关m
即为最大无关组,
,),,,( 21 mr a n k m
,),,,( 21 mr a n k m
,,,,21 线性无关则 m
3,如何求向量组的秩与最大无关组?
定义 6,矩阵 A的行向量组的秩,称为 A的行秩 ;
矩阵 A的列向量组的秩,称为 A的列秩,
结论,A的行秩?A的列秩?A的秩,
定理 7.
.,,,
,,,,
),,,,(
),,,(
21
21
21
21
线性无关个列向量中对应的无关的充要条件是它们线性个列向量中是行变换得到矩阵经有限次初等设矩阵
r
r
iii
iii
m
m
rB
rA
B
A
Proof.,BPAP?使存在可逆阵?,iiP
使得的数不全为若 rkkk,,,0 21
021 21 ririi kkk
0
1
1
r
ii
k
k
r
即
,0
1
1
r
ii
k
k
P
r
0
1
1
r
ii
k
k
PP
r
0
1
1
r
ii
k
k
r
0 11 riri kk即以上各步可逆,且相关与无关为逆否命题,故结论成立,
n维向量组及其线性相关性教学要求：
1,理解 n维向量的概念 ;
2,理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论 ;
3,了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩 ;
4,了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系,
,向量组与矩阵一
,向量组的线性相关性二
,向量组间的关系三
,向量组的最大无关组四
,向量组的秩与矩阵的秩五
,向量组与矩阵一
1,n维向量及其表示法
.,,,21 维向量所组成的有序数组称为个数 naaan n?
),,,( 21 nT aaaa
na
a
a
a
2
1
维向量写成一行，称为 行向量,也就是行矩阵，通常用 等表示，如, TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,也就是列矩阵，通常用 等表示，如,,,,ba
n
注意,
(1) 行向量和列向量总被看作是 两个不同的向量 ;
(2) 行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则 进行运算 ;
(3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时,
都当作 列向量,
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)(
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
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2,矩阵用行 (列 )向量组表示维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,
aaa
aaa
aaa
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A
mnmm
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n
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21
21
22221
11211
T1
T2
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Tm
向量组,,…,称为矩阵 A的行向量组．T1?T2?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵,
矩阵构成一个组维列向量所组成的向量个
mn
nm m
,,,,21
矩阵构成一个的向量组维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
,,,
21
T
m
T
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B
2
1
),,,(
21 mA
,向量组的线性相关性二
1,线性组合考察方程组
bxaxaxa
bxaxaxa
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nmnmnn
mm
mm
2211
22222121
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看成向量有
2
1
2211
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b
b
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xaxaxa
xaxaxa
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a
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m
m
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,,,,,,,,2121 线性表示可由称存在若 mmxxx
定义 1:
mmkkk 2211
，使得，，一组数如果存在和向量对于给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,:
21
21
,,,21 的线性组合是则称 m
,,,,21 线性表示可由或 m
,,21 叫做线性组合的系数，,mkkk?
,,,,
,,
21
21
线性表出不能由则称，，如果不存在这样的
m
mkkk
),,,(,1 21 都能由维向量证明任一 naaanex
)1,,0,0(
)0,,1,0(
)0,,0,1(
2
1
n?
基本单位向量组线性表示,且表示方式唯一,
Solution,2211 nnkkk设
1
0
0
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21
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即
2
1
nk
k
k
,,,2211 nn akakak
,2211 nnaaa
结论 1,任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示,
其表出系数依次为该向量的各个分量,
结论 2,零向量可由任一向量组线性表示,
结论 3,向量组中任一向量可由该向量组线性表示,
结论 4,若?可由向量组? 的部分向量 线性表示,则?可由向量组? 线性 表示,
2,线性相关与线性无关定义 2:
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
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A
使全为零的数如果存在不给定向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
注意：
.0
,0,,,( 1)
2211
11
成立才有时则只有当线性无关若
nn
nn
kkk
kk
.,( 2) 性无关就是线性相关不是线对于任一向量组定理 1,
.1
,,,)1(,,,2121
个向量线性表示余至少有一个向量可由其中线性相关
m
m mm
证：,)1(,,,21 线性相关若 mm
,0,0 22111 mmkkkk不妨设
,
1
2
1
21 mm
k
k
k
k则
,221 mm设
,0 221 mm则
,0,,,1 2 不全为且 m
.,,,21 线性相关故 m
结论 1,一个向量线性相关,
结论 2,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 3,含有零向量的向量组线性相关,
ex2,证明 n个 n维基本单位向量是线性无关的,
Proof.,0 2211 nnxxx设,0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
21?
nxxx即
,0 21 为唯一零解解得 nxxx?
,2,2,)2(;,,)1(
,,,.3
232131
133221
321
线性相关线性无关证明线性无关设
ex
Proof,0)()()( )1( 133322211 xxx设
0)()()( 323212131 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 031 xx
021 xx
032 xx
,,,321 只有唯一零解xxx?
,,,133221 线性无关故
0)2()2()( )2( 233212311 xxx设
0)2()()2( 313232121 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 02 21 xx
032 xx
02 31 xx
,,,321 有非零解xxx?
,2,2,232131 线性相关故
另解 )2()(22 233121
所以结论成立,
,向量组间的关系三定义 3.
,
,,,,
,,,:
21
21
线性表示可由向量组称向量组线性表示，则向量组组中的每个向量都能由如果及维向量组设有两个
BA
BA
B
An
s
r
.
向量组等价这两个能相互线性表示，则称与向量组若向量组 BA
向量组 A与 B等价具有反身性，对称性和传递性,
定理 2,
,
,,
,,,,:,,,,2121
sr
ABA
BA sr
则组线性无关且组线性表示组能由如果和设有向量组
证明从略,
结论 1.
.
,,
,,,,:,,,,2121
线性相关则向量组且组线性表示组能由如果和设有向量组
A
srBA
BA sr
结论 2,等价的线性无关向量组含有相同个数的向量,
结论 3,n?k个 n维向量必线性相关,
,组向量组的最大无关四考察向量组
)1,1,1,1(1
)0,0,1,1(2
)1,1,0,0(3
)0,1,1,0(4;,,,4321 都线性无关单个向量;,,,,,423114433221 线性无关两个向量
,321 线性相关三个向量;,,432431421 线性无关而
.,0 4321 线性相关四个向量有
定义 4.
.,,,
,,,,,,)2(
,,,,)1(
,,,,
,
21
21
21
21
的一个最大无关组是则称线性相关总有线性无关如果满足个向量中是维向量组成的向量组是设
T
T
rT
nT
r
r
r
r
结论 1,最大线性无关组不唯一,
结论 2,向量组与任一个最大线性无关组等价,
结论 3,向量组的任两个最大线性无关组等价,
结论 4,一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量的个数相同,
,向量组的秩与矩阵的秩五定义 5,向量组 T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组 T 的秩,记为 rank(T).
如果向量组 T 只含零向量,规定 rank(T),
注意,(1) rank(T)是唯一的,
(2) 等价的向量组有相同的秩,
定理 3,
.),,,(
,,,:
21
21
的秩矩阵的秩等于向量组
m
m
A
T
证明从略,
求向量组的秩与最大无关组的方法,
将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵,用初等行变换求出其阶梯形矩阵,矩阵的秩即为向量组的秩,
由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组,则在原矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组,
.)1,2,2,1(
)1,0,3,1(),2,0,4,2(
)1,1,0,0(),0,1,2,1(,4
5
43
21
的秩及一个最大无关组求
ex
Solution.,,,,54321 作为矩阵的列得将
11210
20011
23402
11201
A
11210
11210
01000
11201
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,,,451431421 等最大无关组有
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.,,,,,:,
,,:,,,:.5
21321
3112
111
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证明的秩为向量组的秩为向量组的秩为设向量组
Proof.,,,,,:
111 riisA 的最大无关组为设
,,,,,,211 riitB 的最大无关组为
,,,,,,,,,3111 riitsC 的最大无关组为
,,,,,,,,211131 线性表示可由 rrr iiiiii
,213 rrr故
,,,,,3111 线性表示可由又 rr iiii 31 rr?故
,,,,,3121 线性表示可由 rr iiii 32 rr?故
).,m a x ( 213 rrr?从而
.),m a x ( 21321 rrrrr
,,,,,
),,,,,(),,(,6
11
111
的最大无关组的最大无关组也是证明已知
mt
mttt r an kr an kex
Proof,),,(),,( 11 rr a n kr a n k mt设
,),,(,,11 的一个最大无关组是设 tii r
,,,,),,,( 11 线性相关则有 riikmk
事实上，
,),,(,,11 的一个最大无关组是不妨设 mr
,,,,,,11 线性表示可由则 riik r
,1 rr又
,,,,1 线性相关riik
,),,(,,11 的最大无关组也是从而 mii r
定理 2,
.,,,,
,,,,,,,,
21
2121
唯一线性表示能由则线性相关而线性无关设
m
mm
证：,,,,,21 线性相关 m
使得的数故存在不全为 121,,,,0?mm kkkk?
,2211 mm设
,012211 mmm kkkk?
,01mk必有
,
1
2
1
21
1
1 m
m
m
mm k
k
k
k
k
k
从而
,2211 mm
,0)()()( 222111 mmm从而
.,,,2211 mm
定理 3,
,,,,,,,
,,,,
121
21
也线性相关则线性相关若
mrr
r
证：,,,,21 线性相关r
使得的数故存在不全为 rkkk,,,0 21?
,02211 rrkkk
,000 12211 mrrrkkk从而
,0 0,,0,,,,21 不全为其中 rkkk
结论 1,一个向量线性相关,
结论 2,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 3,含有零向量的向量组线性相关,
定理 5.
即所构成维向量组由矩阵设
,,,2,1 ),,,( 21 niaaa
nAnm
iniii
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,)(
,,,21
mAr
m
是线性相关的充要条件则向量组
证明从略,
结论,
,)(
)(,,,21
方阵满秩为降秩的充要条件是方阵线性无关线性相关维向量个
A
nn n
定理 6.
,),,,(
)(,,,
21
21
mr an k
nmnm
m
m
线性无关维向量个
Proof.,,,,21 线性无关m
即为最大无关组,
,),,,( 21 mr a n k m
,),,,( 21 mr a n k m
,,,,21 线性无关则 m
3,如何求向量组的秩与最大无关组?
定义 6,矩阵 A的行向量组的秩,称为 A的行秩 ;
矩阵 A的列向量组的秩,称为 A的列秩,
结论,A的行秩?A的列秩?A的秩,
定理 7.
.,,,
,,,,
),,,,(
),,,(
21
21
21
21
线性无关个列向量中对应的无关的充要条件是它们线性个列向量中是行变换得到矩阵经有限次初等设矩阵
r
r
iii
iii
m
m
rB
rA
B
A
Proof.,BPAP?使存在可逆阵?,iiP
使得的数不全为若 rkkk,,,0 21
021 21 ririi kkk
0
1
1
r
ii
k
k
r
即
,0
1
1
r
ii
k
k
P
r
0
1
1
r
ii
k
k
PP
r
0
1
1
r
ii
k
k
r
0 11 riri kk即以上各步可逆,且相关与无关为逆否命题,故结论成立,
