Chapter 1(4)
矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩教学要求：
1,掌握矩阵的初等变换 ;
2,了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质 ;
3,掌握用初等变换求逆矩阵的方法 ;
4,了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩,
矩阵的初等变换一,
矩阵的标准形二,
,初等矩阵三
,关系可逆矩阵与初等矩阵的四
,求逆矩阵的方法五
,矩阵的秩六矩阵的初等变换一,
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或
3121
2012
1201
A如
13
12 2rr rr
4320
0410
1201
23 2 rr
B
41100
0410
1201
.
0100
0010
0001
C
定义 3.
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
等价关系的性质：；反身性）（ A A? 1;,2 ABBA 则若对称性）（
C,AC,B,BA 则 3 若）传递性（
矩阵的标准形二,
.
32000
20100
21121
,
0000
1000
1210
,
300
120
101
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵的特点：
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
00000
31000
30110
40101
(2)每个台阶只有一行,
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,
.
65301
30423
11302
13210
,.1
Aex 其中化矩阵为阶梯形
Solution.
41 rrA?
13210
30423
11302
65301
13
12 32 rr rr
13210
1515520
139900
65301
42 rr
139900
1515520
13210
65301
23 2 rr
139900
139900
13210
65301
00000
139900
13210
65301
34 rr
(阶梯形矩阵 )
00000
00100
00010
00001
列变换
(标准形 )
定义 4.
000000
000000
001000
000010
000001
OO
OE
I
r
形如的矩阵，称为标准形矩阵,
定理 1,任何矩阵 A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵,
定理 2,任何矩阵 A可以用初等变换化成标准形矩阵,
定理 3,初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性,
定理 4.,EAAn可逆阶方阵
,初等矩阵三定义 5 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,
注意,(1) 初等矩阵都是方阵；
(2) 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等方阵,
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
)(,，得初等方阵两行，即中第对调 ji rrjiE?
1 对调两行或两列、
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
1),(jiE
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm )(),(
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
AjiE
m
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，
AjiEn n ),(
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?
kkiE?))((
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
1
1
1
1
))((
kAkiE
m
m
i
A
A
A
1
mnmm
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
行第 i?；行的第乘相当于以数
)( kriA
k
i?
).(
))((
kciA
k
A
kiE
i
n
列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03?k
，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以
)]([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
1
1
1
1
))(,(
k
kjiE
行第 i?
行第 j?
1))(,(?kjiE
，左乘矩阵以 AkjiE m ))(,(
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkjiE
21
21
2211
11211
))(,(
).( ji krrikjA?行上加到第行乘的第相当于把
).(
))(,(
ji
n
kccikjA
AkjiE
列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kjiAE
1
222221
111111
))(,(
定理 5 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
注意,初等矩阵还是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵,
.))(,())(,(
,))
1
(())((
,),(),(
EkjiEkjiE
E
k
iEkiE
EjiEjiE
,关系可逆矩阵与初等矩阵的四定理 6.
.阵的乘积可表示成有限个初等矩可逆矩阵 AA?
证：,可逆若 A?,EA?则即 A可经过一系列初等行列变换化成单位矩阵,
,;,11 使故存在初等矩阵 sr QQPP
,11 EQAQPP sr
,111111 QQPPA sr
,,,,11 为初等矩阵其中若 tt RRRRA
,0 1 tRRA?则
.可逆所以 A
定理 7.
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵,
证,因为 A可逆，
,,,,11 为初等矩阵其中 mm QQQQA
,111 EAQQ m则有同理,
可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成单位矩阵,
定理 8.
.
BP A QQnP
mBAnm
使得阶可逆矩阵与矩阵阶可逆存在等价与阶矩阵证：,等价与 BA
则 A可经过有限次的初等行、列变换得到 B，
,;,11 使得即存在初等矩阵 sr QQPP
,11 BQAQPP sr
,,11 sr QQQPPP令,,,BP A QQP?且可逆则
,,,BP A QQP 且可逆?
则 P,Q可表示成有限个初等矩阵的乘积，
即 A可经过有限次的初等行、列变换得到 B，
所以 A与 B等价,
,求逆矩阵的方法五
,,,,,11 为初等矩阵其中则可逆若 mm QQQQAA
,111 EAQQ m则有 1111 QQA m?且
,1111 AEQQ m?即
).,(),( 1111 AEEAQQ m?
注意,(1)
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
(2) 用初等行变换法求逆矩阵不必事先知道逆矩阵存在，可在求逆矩阵的过程中作出判断,
.,
343
122
321
2 1?
AAex 求设
Solution.
103620
012520
001321
100343
010122
001321
EA
21 rr?
23 rr?
12 2rr?
13 3rr?
111100
012520
011201
21 rr?
23 rr?
111100
563020
231001
31 2rr?
32 5rr?
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
.
111
2
5
3
2
3
23
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22r
）（ 13r
.)(,,,
520
310
002
2
1
,3 1*1
AAAAex 求已知
Solution.,41)1210()21( 3A,
2
5
10
2
3
2
1
0
001
A而
,
240
6100
001
1
A
,41* EEAAA又,)4( * EAA即
AA 4)( 1*
.
1040
620
004
.3)2()2(
23
),,,()1(
.
3
1
,3.4
*1
3112
321
AA
AAAA
AAAAA
AAex
求计算按列分块为将且阶方阵为设
Solution, 3112 23 )1( AAAA
311312 232 AAAAAA?.3
22 A
.,031 )2( 可逆AA
11*1 3
2
13)2( AAAAA 11
2
1 A
1
2
3 A,
8
81)
2
3( 13A
,
1 BA?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1?
即初等行变换
ex5,
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX,其中使求矩阵
Solution.,1 BAXA可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
2301
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
31 2rr?
32 5rr?
，
31100
32010
23001
.
31
32
23
X
）（ 22r
）（ 13r
31100
64020
23001
31 2rr?
32 5rr?
,矩阵的秩六定义,矩阵 A中不等于 0的子式的最高阶数，称为矩阵 A的秩，记为 r(A)或 rank(A).
注意：
(1) 零矩阵的秩为 0;
(2) 若 n阶方阵 A的秩为 n，则 A为满秩方阵；
否则为降秩方阵 ;
(3) 可逆方阵为满秩方阵；
(4) 若 A中所有 r+1阶子式都为 0，则高于 r+1阶的子式也必然都是 0.
结论 1,设矩阵 A中有一个 r阶子式 D?0，而 所有包含 D的
r+1阶子式全为 0，则 A中所有 r+1阶子式全为 0，
从而 r(A)=r.
结论 2,初等变换不改变矩阵的秩,
结论 3,矩阵 A的标准形是唯一的,
结论 4,).()(,,BrArBABA是同型矩阵设初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
的秩．求矩阵设 AAex,
41461
35102
16323
05023
,6
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 ASolution.
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr
05023
35102
11340
41461
42 rr
12812160
1179120
11340
41461
14
13 32 rr rr
84000
84000
11340
41461
24
23 43 rr rr
00000
84000
11340
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?Ar
34 rr
The end
矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩教学要求：
1,掌握矩阵的初等变换 ;
2,了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质 ;
3,掌握用初等变换求逆矩阵的方法 ;
4,了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩,
矩阵的初等变换一,
矩阵的标准形二,
,初等矩阵三
,关系可逆矩阵与初等矩阵的四
,求逆矩阵的方法五
,矩阵的秩六矩阵的初等变换一,
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
）；记作两行对调两行（对调 ji rrji?,,1
;02 乘以某一行的所有元素以数?k
）记作行乘（第 krki i?,
.
3
）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把,r”换成,c”)．
ji rr?
kri?
逆变换 ;ji rr?
逆变换 ;)1( krkr ii 或
ji krr? 逆变换,)( jiji krrrkr 或
3121
2012
1201
A如
13
12 2rr rr
4320
0410
1201
23 2 rr
B
41100
0410
1201
.
0100
0010
0001
C
定义 3.
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
等价关系的性质：；反身性）（ A A? 1;,2 ABBA 则若对称性）（
C,AC,B,BA 则 3 若）传递性（
矩阵的标准形二,
.
32000
20100
21121
,
0000
1000
1210
,
300
120
101
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵的特点：
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
00000
31000
30110
40101
(2)每个台阶只有一行,
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,
.
65301
30423
11302
13210
,.1
Aex 其中化矩阵为阶梯形
Solution.
41 rrA?
13210
30423
11302
65301
13
12 32 rr rr
13210
1515520
139900
65301
42 rr
139900
1515520
13210
65301
23 2 rr
139900
139900
13210
65301
00000
139900
13210
65301
34 rr
(阶梯形矩阵 )
00000
00100
00010
00001
列变换
(标准形 )
定义 4.
000000
000000
001000
000010
000001
OO
OE
I
r
形如的矩阵，称为标准形矩阵,
定理 1,任何矩阵 A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵,
定理 2,任何矩阵 A可以用初等变换化成标准形矩阵,
定理 3,初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性,
定理 4.,EAAn可逆阶方阵
,初等矩阵三定义 5 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,
注意,(1) 初等矩阵都是方阵；
(2) 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,
三种初等变换对应着三种初等方阵,
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
)(,，得初等方阵两行，即中第对调 ji rrjiE?
1 对调两行或两列、
1
1
01
1
1
10
1
1
),(
jiE
行第 i?
行第 j?
1),(jiE
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm )(),(
1
1
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1
1
10
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1
),(
AjiE
m
mnmm
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
mnmm
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jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，
AjiEn n ),(
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数
1
1
1
1
))((
kkiE
行第 i?
kkiE?))((
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
1
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1
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m
m
i
A
A
A
1
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21
21
11211
行第 i?；行的第乘相当于以数
)( kriA
k
i?
).(
))((
kciA
k
A
kiE
i
n
列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03?k
，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以
)]([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
1
1
1
1
))(,(
k
kjiE
行第 i?
行第 j?
1))(,(?kjiE
，左乘矩阵以 AkjiE m ))(,(
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkjiE
21
21
2211
11211
))(,(
).( ji krrikjA?行上加到第行乘的第相当于把
).(
))(,(
ji
n
kccikjA
AkjiE
列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kjiAE
1
222221
111111
))(,(
定理 5 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
注意,初等矩阵还是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵,
.))(,())(,(
,))
1
(())((
,),(),(
EkjiEkjiE
E
k
iEkiE
EjiEjiE
,关系可逆矩阵与初等矩阵的四定理 6.
.阵的乘积可表示成有限个初等矩可逆矩阵 AA?
证：,可逆若 A?,EA?则即 A可经过一系列初等行列变换化成单位矩阵,
,;,11 使故存在初等矩阵 sr QQPP
,11 EQAQPP sr
,111111 QQPPA sr
,,,,11 为初等矩阵其中若 tt RRRRA
,0 1 tRRA?则
.可逆所以 A
定理 7.
可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵,
证,因为 A可逆，
,,,,11 为初等矩阵其中 mm QQQQA
,111 EAQQ m则有同理,
可逆矩阵总可以经过一系列初等列变换化成单位矩阵,
定理 8.
.
BP A QQnP
mBAnm
使得阶可逆矩阵与矩阵阶可逆存在等价与阶矩阵证：,等价与 BA
则 A可经过有限次的初等行、列变换得到 B，
,;,11 使得即存在初等矩阵 sr QQPP
,11 BQAQPP sr
,,11 sr QQQPPP令,,,BP A QQP?且可逆则
,,,BP A QQP 且可逆?
则 P,Q可表示成有限个初等矩阵的乘积，
即 A可经过有限次的初等行、列变换得到 B，
所以 A与 B等价,
,求逆矩阵的方法五
,,,,,11 为初等矩阵其中则可逆若 mm QQQQAA
,111 EAQQ m则有 1111 QQA m?且
,1111 AEQQ m?即
).,(),( 1111 AEEAQQ m?
注意,(1)
,
)(2
1?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对
(2) 用初等行变换法求逆矩阵不必事先知道逆矩阵存在，可在求逆矩阵的过程中作出判断,
.,
343
122
321
2 1?
AAex 求设
Solution.
103620
012520
001321
100343
010122
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23 rr?
12 2rr?
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231001
31 2rr?
32 5rr?
31 2rr?
32 5rr?
）（ 22r
）（ 13r
.
111
2
5
3
2
3
23
1
A
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22r
）（ 13r
.)(,,,
520
310
002
2
1
,3 1*1
AAAAex 求已知
Solution.,41)1210()21( 3A,
2
5
10
2
3
2
1
0
001
A而
,
240
6100
001
1
A
,41* EEAAA又,)4( * EAA即
AA 4)( 1*
.
1040
620
004
.3)2()2(
23
),,,()1(
.
3
1
,3.4
*1
3112
321
AA
AAAA
AAAAA
AAex
求计算按列分块为将且阶方阵为设
Solution, 3112 23 )1( AAAA
311312 232 AAAAAA?.3
22 A
.,031 )2( 可逆AA
11*1 3
2
13)2( AAAAA 11
2
1 A
1
2
3 A,
8
81)
2
3( 13A
,
1 BA?矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA
)( BA
BA 1?
即初等行变换
ex5,
34
13
52
,
343
122
321
,
BA
BAXX,其中使求矩阵
Solution.,1 BAXA可逆，则若
34343
13122
52321
)( BA
122620
91520
52321
31100
91520
41201
31100
64020
2301
12 2rr?
13 3rr?
21 rr?
23 rr?
31 2rr?
32 5rr?
，
31100
32010
23001
.
31
32
23
X
）（ 22r
）（ 13r
31100
64020
23001
31 2rr?
32 5rr?
,矩阵的秩六定义,矩阵 A中不等于 0的子式的最高阶数，称为矩阵 A的秩，记为 r(A)或 rank(A).
注意：
(1) 零矩阵的秩为 0;
(2) 若 n阶方阵 A的秩为 n，则 A为满秩方阵；
否则为降秩方阵 ;
(3) 可逆方阵为满秩方阵；
(4) 若 A中所有 r+1阶子式都为 0，则高于 r+1阶的子式也必然都是 0.
结论 1,设矩阵 A中有一个 r阶子式 D?0，而 所有包含 D的
r+1阶子式全为 0，则 A中所有 r+1阶子式全为 0，
从而 r(A)=r.
结论 2,初等变换不改变矩阵的秩,
结论 3,矩阵 A的标准形是唯一的,
结论 4,).()(,,BrArBABA是同型矩阵设初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
的秩．求矩阵设 AAex,
41461
35102
16323
05023
,6
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 ASolution.
41461
35102
16323
05023
A
05023
35102
16323
41461
41 rr
05023
35102
11340
41461
42 rr
12812160
1179120
11340
41461
14
13 32 rr rr
84000
84000
11340
41461
24
23 43 rr rr
00000
84000
11340
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)(?Ar
34 rr
The end
