Chapter 3(2)
线性方程组的求解教学要求：
1,掌握用初等行变换求齐次线性方程组通解的方法 ;
2,掌握用初等行变换求非齐次线性方程组通解的方法 ;
3,正确讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、
无解的情况,
,的步骤求解一 OAx?
,的步骤求解二 bAX?
一,求 Ax?O的通解的步骤
(1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
,,)( )2( 方程组只有零解时当 nAr an k?
)3(,)( 转到时当 nAr an k?
(3) 列出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系 ;
,)5( 2211 rnrnkkkx写出通解
ex1,求解下列方程组
0493
033
0262
023
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Solution.
1493
3131
1262
1231
A?
1000
1200
4360
1231
行
rank(A)=4,所以原方程组只有零解,
ex2,求解下列方程组
03345
0622
0323
07332
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Solution.
13345
62210
31123
73321
A?
36121260
62210
248840
73321
00000
00000
62210
73321
00000
00000
62210
51101
,52)(Ar a n k? 所以原方程组有非零解,
同解方程组为
5432
5431
622
5
xxxx
xxxx
法 1.
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
取,
0
1
0
1
0
0
,21
2
1
x
x得,
2
1
6
5
,
0
0
1
2
1
1
,
0
1
0
2
1
2
,
1
0
0
6
5
3
).,,(
,
321
332211
为任意常数所求通解为
kkk
kkkx
法 2.
由简化后的方程组得
55
44
33
5432
5431
622
5
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
3
x
0
1
0
2
1
4
x
1
0
0
6
5
5
x
1
0
0
6
5
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
321
kkk
.332211 kkk
),,( 321 Rkkk?
ex3,设有方程组
0)5(42
04)5(2
022)2(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
当?为何值时,齐次线性方程组有非零解？
有非零解时,求出通解及基础解系,
Solution.
542
452
222
A?
222
452
542
2
)1)(6(
)1(20
110
542
2
)1)(10(
00
110
542
)10)(1(00
110
542
,
,101
,0)10)(1(
方程组有非零解时或即时当
,1 )1( 时当
000
000
442
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
000
110
542
A
000
110
102
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方法 2：
542
452
222
A
542
110
222
542
110
222
)1(
142
210
022
)1(
)1011)(1( 2 )10()1( 2;0,101,0 解方程组有非时或即当A
,1 )1( 时当
442
442
221
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
542
452
228
A
000
110
542
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
我们已经知道,对于 Ax?O 总有解,
,,)( 有零解时 OAxnAr
.,)( 有通解时 OAxnAr
对增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵,有三种情形,
nnn
n
n
dc
dcc
dccc
bA
00
0
),(
2222
111211
,)()( nBrAr
方程组有唯一解,
0000
000
00
00
0
),(
1,1
2222
111211
r
rnr
n
n
d
dc
dcc
dccc
bA
),()( BrAr?方程组无解,
00000
00000
00
00
0
),(
22222
1111211
rrnrr
nr
nr
dcc
dccc
dcccc
bA
,)()( nBrAr方程组有无穷多解,
,的步骤求解二 bAX?
(1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
(2) 判断,),,()( bArAr?方程组无解,
,),()( nbArAr方程组有唯一解,
,),()( nbArAr方程组有无穷多解,
(3) 写出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 令自由未知数全为 0得一个特解 *,?
并求出 Ax?O的基础解系,
(5) 写出通解,11 rnrnkkx
ex4,解线性方程组
337 7
1 3
3
4342
431
321
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
33707
10113
31101
43412
),( bA
00000
61000
80210
31101
00000
61000
80210
30101
同解方程组为
31 3 xx
32 28 xx
64?x
33 xx?
4
3
2
1
x
x
x
x
6
0
8
3
0
1
2
1
3x
)(
0
1
2
1
6
0
8
3
Rkk?
ex5,设
2
321
321
321
2
2
22
xxx
xxx
xxx
问?为何值时有解?
并求通解,
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
2211
121
2112
),(
bA
)1)(2(000
)1(330
211 2
,21 时或,32),()( bArAr
.方程组有解
0000
3
)1(
110
211
),(
2
bA
0000
3
)1(
110
3
)12(
101
同解方程组为
31
3
)12(
xx
32 3
)1( xx
33 xx?
3
2
1
x
x
x
)(
1
1
1
0
3
)1(
3
)12(
Rkk?
ex6,已知
24321
43121
4321
4321
12105
3153
363
132
kxxxx
xxkxx
xxxx
xxxx
.
,21
求通解并有无穷多解解有唯一方程组无解各为何值时和问 kk
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
2
1
121051
31513
31631
13211
),(
k
k
bA
191260
06640
22420
13211
2
1
k
k
53000
42200
11210
13211
2
1
k
k
,4),()(,21 bArArk 时当 故方程组有唯一解,
,21 时当?k
53000
42000
11210
13211
),(
2k
bA
10000
21000
11210
13211
2k
,4)(3)(,12 BrArk 时当 故方程组无解,
,43)()(,12 BrArk 时当 故方程组有无穷多解,
00000
21000
11210
13211
),( bA
00000
21000
11210
04001
00000
21000
30210
80001
同解方程组为
81x
32 23 xx
24?x
33 xx
4
3
2
1
x
x
x
x
)(
0
1
2
0
2
0
3
8
Rkk?
综上所述,
.,1,2;,1,2;,2
21
21
1
方程组有无穷多解时当方程组无解时当方程组有唯一解时当
kk
kk
k
ex7,已知线性方程组
23345
622
0323
54321
5432
54321
54321
xxxxx
bxxxx
xxxxx
axxxxx
(1) a,b为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出对应齐次方程组的一个基础解系,
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解,
Solution.
213345
62210
031123
11111
),( )1(
b
a
bA
a
ab
a
a
2200000
300000
362210
11111
,31,022 03 时即当
b
a
a
ab
,2),()( bArAr
方程组有解,
,3,1 )2( 时当 ba
000000
000000
362210
111111
),( bA
000000
000000
362210
251101
同解方程组为
55
44
33
5432
5431
6223
52
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
0
0
0
3
2
0
0
1
2
1
1
k
0
1
0
2
1
2
k
1
0
0
6
5
3
k
,
0
0
1
2
1
1
基础解系为,
0
1
0
2
1
2
,
1
0
0
6
5
3
,
0
0
0
3
2
* )3(
设
.* 332211 kkkx则通解为
),,( 321 Rkkk?
ex8,设有三维列向量
,
0
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
2
321
,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
,
321
321
321
线性表示不能由且表示式不唯一线性表示可由且表示式唯一线性表示可由取何值时问
Solution,得线性方程组设 332211 xxx
2
321
321
321
)1(
)1(
0)1(
xxx
xxx
xxx
2111
111
0111
B
0111
111
111 2
)1()2(0
0
111
2
2
2
)12()3(00
0
111
2
2
2
,3)()(,30 BrAr时且当 方程组有唯一解,
.,,,321 且表示式唯一线性表示可由从而
,0时当
0000
0000
0111
B
,31)()( BrAr 方程组有无穷多解,
.,,,321 且表示式不唯一线性表示可由从而
,3时当
6000
4110
9211
B
,3)(2)( BrAr 方程组无解,
.,,321 线性表示不能由从而
,
,,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
),,3,1(),3,2,1(),1,1,1(,9
21
3321
321
321
321
的线性组合和表为将线性相关时当向量组线性相关向量组为何值时问线性无关向量组为何值时问设
t
t
tex
Solution,得方程组设 0 332211 xxx
03
032
0
321
321
321
txxx
xxx
xxx
t
A
31
321
111
120
210
111
t?
500
210
111
t
,3)(,5)1( Art 时当
,0,321 xxx方程组有唯一零解
,,,321 线性无关此时向量组
,32)(,5)2( Art 时当
,方程组有有非零解,,,321 线性相关此时向量组
,5)3( 时当?t
000
210
111
A
000
210
101
同解方程组为?
33
32
31
2
xx
xx
xx
1
2
1
3
2
1
k
x
x
x
.1,2,11 321 xxxk 得取
,2 213
ex10,设线性方程组
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
的系数矩阵的秩等于矩阵
01
1
1111
n
nnnn
n
bb
baa
baa
的秩,试证该方程组有解,
Proof,),( ijaA?设 ),,( bAB?则?
0b
bAC
)()()( CrBrAr从而
)()( CrAr?又由已知条件知
),()( BrAr 故原方程组有解,
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
,1,3,11
bAx
ArmAex
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
Solution.,1)(,3 ArmA 矩阵是?
,
213
的解向量个线性无关的基础解系中含有 OAx
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
211
2
3
1
312
.的基础解系中的解向量为 OAx?
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk The end
线性方程组的求解教学要求：
1,掌握用初等行变换求齐次线性方程组通解的方法 ;
2,掌握用初等行变换求非齐次线性方程组通解的方法 ;
3,正确讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、
无解的情况,
,的步骤求解一 OAx?
,的步骤求解二 bAX?
一,求 Ax?O的通解的步骤
(1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
,,)( )2( 方程组只有零解时当 nAr an k?
)3(,)( 转到时当 nAr an k?
(3) 列出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系 ;
,)5( 2211 rnrnkkkx写出通解
ex1,求解下列方程组
0493
033
0262
023
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Solution.
1493
3131
1262
1231
A?
1000
1200
4360
1231
行
rank(A)=4,所以原方程组只有零解,
ex2,求解下列方程组
03345
0622
0323
07332
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Solution.
13345
62210
31123
73321
A?
36121260
62210
248840
73321
00000
00000
62210
73321
00000
00000
62210
51101
,52)(Ar a n k? 所以原方程组有非零解,
同解方程组为
5432
5431
622
5
xxxx
xxxx
法 1.
,
0
0
1
5
4
3
x
x
x
取,
0
1
0
1
0
0
,21
2
1
x
x得,
2
1
6
5
,
0
0
1
2
1
1
,
0
1
0
2
1
2
,
1
0
0
6
5
3
).,,(
,
321
332211
为任意常数所求通解为
kkk
kkkx
法 2.
由简化后的方程组得
55
44
33
5432
5431
622
5
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
3
x
0
1
0
2
1
4
x
1
0
0
6
5
5
x
1
0
0
6
5
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
321
kkk
.332211 kkk
),,( 321 Rkkk?
ex3,设有方程组
0)5(42
04)5(2
022)2(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
当?为何值时,齐次线性方程组有非零解？
有非零解时,求出通解及基础解系,
Solution.
542
452
222
A?
222
452
542
2
)1)(6(
)1(20
110
542
2
)1)(10(
00
110
542
)10)(1(00
110
542
,
,101
,0)10)(1(
方程组有非零解时或即时当
,1 )1( 时当
000
000
442
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
000
110
542
A
000
110
102
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方法 2：
542
452
222
A
542
110
222
542
110
222
)1(
142
210
022
)1(
)1011)(1( 2 )10()1( 2;0,101,0 解方程组有非时或即当A
,1 )1( 时当
442
442
221
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
542
452
228
A
000
110
542
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
我们已经知道,对于 Ax?O 总有解,
,,)( 有零解时 OAxnAr
.,)( 有通解时 OAxnAr
对增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵,有三种情形,
nnn
n
n
dc
dcc
dccc
bA
00
0
),(
2222
111211
,)()( nBrAr
方程组有唯一解,
0000
000
00
00
0
),(
1,1
2222
111211
r
rnr
n
n
d
dc
dcc
dccc
bA
),()( BrAr?方程组无解,
00000
00000
00
00
0
),(
22222
1111211
rrnrr
nr
nr
dcc
dccc
dcccc
bA
,)()( nBrAr方程组有无穷多解,
,的步骤求解二 bAX?
(1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
(2) 判断,),,()( bArAr?方程组无解,
,),()( nbArAr方程组有唯一解,
,),()( nbArAr方程组有无穷多解,
(3) 写出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 令自由未知数全为 0得一个特解 *,?
并求出 Ax?O的基础解系,
(5) 写出通解,11 rnrnkkx
ex4,解线性方程组
337 7
1 3
3
4342
431
321
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
33707
10113
31101
43412
),( bA
00000
61000
80210
31101
00000
61000
80210
30101
同解方程组为
31 3 xx
32 28 xx
64?x
33 xx?
4
3
2
1
x
x
x
x
6
0
8
3
0
1
2
1
3x
)(
0
1
2
1
6
0
8
3
Rkk?
ex5,设
2
321
321
321
2
2
22
xxx
xxx
xxx
问?为何值时有解?
并求通解,
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
2211
121
2112
),(
bA
)1)(2(000
)1(330
211 2
,21 时或,32),()( bArAr
.方程组有解
0000
3
)1(
110
211
),(
2
bA
0000
3
)1(
110
3
)12(
101
同解方程组为
31
3
)12(
xx
32 3
)1( xx
33 xx?
3
2
1
x
x
x
)(
1
1
1
0
3
)1(
3
)12(
Rkk?
ex6,已知
24321
43121
4321
4321
12105
3153
363
132
kxxxx
xxkxx
xxxx
xxxx
.
,21
求通解并有无穷多解解有唯一方程组无解各为何值时和问 kk
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
2
1
121051
31513
31631
13211
),(
k
k
bA
191260
06640
22420
13211
2
1
k
k
53000
42200
11210
13211
2
1
k
k
,4),()(,21 bArArk 时当 故方程组有唯一解,
,21 时当?k
53000
42000
11210
13211
),(
2k
bA
10000
21000
11210
13211
2k
,4)(3)(,12 BrArk 时当 故方程组无解,
,43)()(,12 BrArk 时当 故方程组有无穷多解,
00000
21000
11210
13211
),( bA
00000
21000
11210
04001
00000
21000
30210
80001
同解方程组为
81x
32 23 xx
24?x
33 xx
4
3
2
1
x
x
x
x
)(
0
1
2
0
2
0
3
8
Rkk?
综上所述,
.,1,2;,1,2;,2
21
21
1
方程组有无穷多解时当方程组无解时当方程组有唯一解时当
kk
kk
k
ex7,已知线性方程组
23345
622
0323
54321
5432
54321
54321
xxxxx
bxxxx
xxxxx
axxxxx
(1) a,b为何值时,方程组有解?
(2) 方程组有解时,求出对应齐次方程组的一个基础解系,
(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解,
Solution.
213345
62210
031123
11111
),( )1(
b
a
bA
a
ab
a
a
2200000
300000
362210
11111
,31,022 03 时即当
b
a
a
ab
,2),()( bArAr
方程组有解,
,3,1 )2( 时当 ba
000000
000000
362210
111111
),( bA
000000
000000
362210
251101
同解方程组为
55
44
33
5432
5431
6223
52
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
0
0
0
3
2
0
0
1
2
1
1
k
0
1
0
2
1
2
k
1
0
0
6
5
3
k
,
0
0
1
2
1
1
基础解系为,
0
1
0
2
1
2
,
1
0
0
6
5
3
,
0
0
0
3
2
* )3(
设
.* 332211 kkkx则通解为
),,( 321 Rkkk?
ex8,设有三维列向量
,
0
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
2
321
,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
,
321
321
321
线性表示不能由且表示式不唯一线性表示可由且表示式唯一线性表示可由取何值时问
Solution,得线性方程组设 332211 xxx
2
321
321
321
)1(
)1(
0)1(
xxx
xxx
xxx
2111
111
0111
B
0111
111
111 2
)1()2(0
0
111
2
2
2
)12()3(00
0
111
2
2
2
,3)()(,30 BrAr时且当 方程组有唯一解,
.,,,321 且表示式唯一线性表示可由从而
,0时当
0000
0000
0111
B
,31)()( BrAr 方程组有无穷多解,
.,,,321 且表示式不唯一线性表示可由从而
,3时当
6000
4110
9211
B
,3)(2)( BrAr 方程组无解,
.,,321 线性表示不能由从而
,
,,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
),,3,1(),3,2,1(),1,1,1(,9
21
3321
321
321
321
的线性组合和表为将线性相关时当向量组线性相关向量组为何值时问线性无关向量组为何值时问设
t
t
tex
Solution,得方程组设 0 332211 xxx
03
032
0
321
321
321
txxx
xxx
xxx
t
A
31
321
111
120
210
111
t?
500
210
111
t
,3)(,5)1( Art 时当
,0,321 xxx方程组有唯一零解
,,,321 线性无关此时向量组
,32)(,5)2( Art 时当
,方程组有有非零解,,,321 线性相关此时向量组
,5)3( 时当?t
000
210
111
A
000
210
101
同解方程组为?
33
32
31
2
xx
xx
xx
1
2
1
3
2
1
k
x
x
x
.1,2,11 321 xxxk 得取
,2 213
ex10,设线性方程组
nnnnn
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
的系数矩阵的秩等于矩阵
01
1
1111
n
nnnn
n
bb
baa
baa
的秩,试证该方程组有解,
Proof,),( ijaA?设 ),,( bAB?则?
0b
bAC
)()()( CrBrAr从而
)()( CrAr?又由已知条件知
),()( BrAr 故原方程组有解,
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
,1,3,11
bAx
ArmAex
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
Solution.,1)(,3 ArmA 矩阵是?
,
213
的解向量个线性无关的基础解系中含有 OAx
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
211
2
3
1
312
.的基础解系中的解向量为 OAx?
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk The end
