Chapter 2
向量与向量空间小结一、内容小结
3,n维向量组及相关概念
1,向量代数?
混合积向量积数量积向量的表示法向量的线性运算向量的概念
2,空间解析几何
投影及公垂线平面直线的关系距离直线方程的转化平面及方程直线及方程
S ch i m i d t?
正交化方法向量空间向量组秩与极大无关组向量组的线性相关性一、内容小结向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
1,向量代数
(1)向量的概念定义,既有大小又有方向的量称为向量,
自由向量,相等向量,负向量、
向径,
重要概念,
零向量、向量的模,单位向量、
平行向量、
1) 加法,cba
(2)向量的线性运算
dbaa?
b?
2) 减法：
cba
dba
3) 向量与数的乘法：
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
向量的分解式：
},,{ zyx aaaa
.,,,,轴上的投影分别为向量在其中 zyxaaa zyx
kajaiaa zyx
在三个坐标轴上的分向量,kajaia zyx,,
向量的坐标表示式：
向量的坐标,zyx aaa,,
(3)向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
},,{ zzyyxx babababa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kajaia zyx )()()(
222|| zyx aaaa向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式
222c os
zyx
x
aaa
a
222co s
zyx
y
aaa
a
222c o s
zyx
z
aaa
a
)1c o sc o sc o s( 222
)c o s,c o s,c o s(0a?
(4)数量积（点积、内积）
c o s|||| baba 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
zzyyxx babababa数量积的坐标表达式
ba 0 zzyyxx bababa
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
.PrPr jj
(5)向量积（叉积、外积）
s i n|||||| bac 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b?,指向符合右手系,
向量积的坐标表达式
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ba//
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
.,面积为邻边的平行四边形的为以
)( cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
(6)混合积
.,,
,)(
积为棱的平行六面体的体向量它的绝对值表示以是一个数混合积
.0)(,, 共面
2,空间解析几何平面点法式方程一般方程三点方程截距式方程平面束方程直线一般方程参数方程两点方程对称式方程
(1) 直线及其方程
p
zz
n
yy
m
xx 000,对称式方程
)(,
0
0
0
为参数参数方程 t
ptzz
ntyy
mtxx
12
1
12
1
12
1:
zz
zz
yy
yy
xx
xx
两点方程
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA一般方程
(2) 平面及其方程
0)()()(,000 zzCyyBxxA点法式方程
0, DCzByAx一般方程
1, czbyax截距式方程
0,
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
三点方程
0)(
:
0
0
:
22221111
2222
1111
DzCyBxADzCyBxA
DzCyBxA
DzCyBxA
L
的平面束方程过直线
(3) 化空间直线的一般方程为标准方程
00:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
),,,( 0000 zyxML 上取一定点在
21s方向向量
),,(
222
111 pnm
CBA
CBA
kji
由对称式方程可得所求,
(4) 距离
:0:),,( 0000 的距离到点 DCzByAxzyxP?
.222 000
CBA
DCzByAxd
:0
0
2
1
间的距离与两平行平面
DCzByAx
DCzByAx
.222 12
CBA
DDd
:),,( 1110000 的距离到点 p zzn yym xxzyxM
01 MM
d ),,,( pnm
),,( 1111 zyxM
,,
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL两异面直线
:,
2
2
2
2
2
22 间的距离
p
zz
n
yy
m
xxL
2121Pr MMjd
21
2121 )(
MM
.
222
111
121212
222
111
pnm
pnm
kji
zyyxx
pnm
pnm
(5) 平面及直线间的位置关系平面与平面,
,0,11111 DzCyBxA?
,0,22222 DzCyBxA?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
21 ;0212121 CCBBAA
.
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
21 //
直线与直线,
,:
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL,:
2
2
2
2
2
22
p
zz
n
yy
m
xxL
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
21 LL?,0212121 ppnnmm
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
21 // LL
共面与 21 LL
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
平面与直线,
,,000 p zzn yym xxL,0, DCzByAx?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
L,pCnBmA,0 CpBnAm?//L
0,0 000 DCzByAxCpBnAmL 且?
已知?与 L,求交点,
,
0
0
0
ptzz
ntyy
mtxx
令
,0 tDCzByAx 得代入从而可得交点,
(6) 投影及公垂线问题点在直线或平面上的投影,
点关于直线或平面的对称点,
直线在平面上的投影,
两异面直线的公垂线,
,:
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL
,:
2
2
2
2
2
22
p
zz
n
yy
m
xxL
),,(21 pnm
0
111
111
pnm
pnm
zzyyxx
0
222
222
pnm
pnm
zzyyxx
3,n维向量组及相关概念
(1) 线性相关与线性无关
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
结论
1,1
,,,)1(,,,2121
个向量线性表示余至少有一个向量可由其中线性相关
m
m mm
结论
2,,,,,
,,,,,,,,
21
2121
唯一线性表示能由则线性相关而线性无关设
m
mm
结论
3,,,,,,,
,,,,
121
21
也线性相关则线性相关若
mrr
r
结论 4,一个向量线性相关,
结论 5,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 6,含有零向量的向量组线性相关,
结论
7,
,,
,,,,:,,,,2121
sr
ABA
BA sr
则组线性无关且组线性表示组能由如果和设有向量组
结论 8.
.
,,
,,,,:,,,,2121
线性相关则向量组且组线性表示组能由如果和设有向量组
A
srBA
BA sr
结论 9,等价的线性无关向量组含有相同个数的向量,
结论 10,n?k个 n维向量必线性相关,
(2) 向量组的秩与极大无关组定义
.,,,
,,,,,,)2(
,,,,)1(
,,,,
,
21
21
21
21
的一个最大无关组是则称线性相关总有线性无关如果满足个向量中是维向量组成的向量组是设
T
T
rT
nT
r
r
r
r
结论 1,最大线性无关组不唯一,
结论 2,向量组与任一个最大线性无关组等价,
结论 3,向量组的任两个最大线性无关组等价,
结论 4,一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量个数相同,
定义 向量组 T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组 T 的秩,记为 rank(T).
(3) 向量空间定义 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
(4) Schimidt正交化方法
11
1
11
2122
),(
),(?
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
……………………
1
11
11
11
1
),(
),(
),(
),(
r
rr
rrrrr?
二、题型及方法
1,向量的运算及应用
2,求空间直线方程
3,求平面方程
4,求距离
5,求投影
6,讨论向量组的线性相关与线性无关
7,求向量组的秩与极大无关组
8,将线性无关向量组正交化单位化
1,向量的运算及应用
.,,423||
),2,2,1(),6,3,2(,1
PCA P BPCPC
PBPAex
求向量平分且已知向量
Solution.,
||||
的平分线上一定在 A P B
PB
PB
PA
PA
|||| PB
PB
PA
PA
kPC从而可设
)0( )4,5,1(21 kk
,63423|| kPC 可求得再由 ).12,15,(PC
.,,
,2,2
求该向量的两倍轴正向的夹角则是它们与角轴的正方向成等轴和且与已知一向量的模为
z
yxex
Solution,可设其单位向量为 ),2c o s,c o s,( c o s
,12c o sc o sc o s 222则
,02c o s2c o s 2即
.24, 或解得得其单位向量为,),0,22,22( ).1,0,0(?或故所求向量为,),0,2,2( ).2,0,0(?或
.,0
,,.3
cacbbacba
cbaex
计算适合等式已知单位向量
Solution.,0)( 2 cba
,0)(2222 cacbbacba
0)(23 cacbba
.23 cacbba
.|||| ||,4 babaex利用向量积证明
Solution,ba 2)( ba
baba 222
c os222 baba
baba 222
2)( ba
.ba
.,2||,1||,,2,5 bababaBbaAex 且其中设?
.6,)2(
.,)1(
积为为邻边的平行四边形面与使得的值试确定使得的值试确定
BA
BA
Solution.,0,)1( BABA 则要使
)()2( babaBA ))(2(2 22 baba
42,2
)()2()2( babaBA)()(2 abba
))(2( ba ba )2(? )2(2 6?
.51 或
.))(5(,)4(
,Pr)3(),2()2)(2(),,co s ()1(:
),2,1,1(),2,2,1(),5,1,3(,6
的方向余弦求已知
j
ex
Solution,
),c os ()1(,6356?
),12,4,5(2)2( ),8,0,7(2
807
1245)2()2(
kji
),28,44,32(
,3Pr)3(
j
),5,1,3(351)4(
)7,11,8(
221
513)5(
kji
164912164
,168co s,1611co s,167co s
Solution,设向量 21 PP 的方向角为?,?,?
,3,4
,1c o sc o sc o s 222
.21c os
,21cos,22cos
.),3,0,1(,
43
,2,.7
21
2121
的坐标求的坐标为如果和分别为轴的夹角轴和它与已知设有向量
PP
yxPPPPex
.32,3 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c os x?
21PP 2
1 x
2?,2 x
0c os y?
21PP 2
0 y
2
2?,2 y
3c o s z?
21PP 2
z,2,4 zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1
.,10)7,2,1(
),3,2,1(),1,3,2(,8
求且满足垂直于已知
ex
Method1,),,,( 则有设 zyx
032 zyx
032 zyx
1072 zyx
解得 (x,y,z)即为所求,
Method2.,平行的向量为与
)1,5,7(
321
132
kji
)1,5,7(从而可设得由 10)7,2,1(
,10107107)7,2,1(
,1
).1,5,7(
2,求空间直线方程与平面方程
,)1,1,1(010,.9 的平面方程和点求过?
M
zyx
zyxLex
Solution,可设平面方程为
0)1( zyxzyx?
0)1()1()1( zyx即
,23)1,1,1(代入得将
,015 为所求 zyx
.,0
),1,1,0()1,1,1(.10 21
求其方程且垂直于和过点设平面
zyx
MMex?
Solution,),1,1,1(),2,0,1( 121 MM
)1,1,2(
201
111 211
kji
MM
由点法式得，
0)1()1()1(2 zyx
.02 zyx即也可用一般式方程来解,
,,
0
01
)1,1,1(
,0,11
求此平面方程的垂线到直线并且通过从点设一平面垂直于平面
x
zy
zex
Solution,),1,1,0(
001
110
kji
α
已知直线的方向向量为
,0)1()1()1(0
)1,1,1(
zyx
方程为与已知直线垂直的平面过
.0 zy即
).21,21,0(?从而得垂足为
Method1.,0 DCzByAx设平面方程为
,0?z由于该平面垂直于平面,0 C
,0 DByAx故平面方程为
.,)21,21,0()1,1,1( 可得所求在平面上与由
Method2.
所求平面的法向量为
),0,1,
2
1
(
2
1
2
1
1
100?
kji
n
,0)1()1(21 yx故所求平面方程为
.012 yx即
,01043
01422
02
)4,0,1(,12
平行的直线方程平面垂直且与与求过点
zyx
zyx
zyx
ex
Solution,),0,3,6(
221
121
kji
α
已知直线的方向向量为
),5,2,1(3
143
036
kji
s
所求直线的方向向量为故所求直线方程为,,5 421 1 zyx
ex 1 3 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
Method1.
先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
Method2.,312 pznymx设直线方程为由于与已知直线垂直相交得,
023 pnm
0123
303
pnm
np
nm
4
2
.4 31 12 2 zyx直线方程为
,
05432
0432
,.14
垂直相交的直线方程求过原点与已知直线
zyx
zyx
Lex
Solution,),1,1,1( 0M在已知直线上取定点为
),1,2,1(
432
321
kji
α
已知直线的方向向量为
,,pznymx设所求直线方程为
0
111
121
02
pnm
pnm
则
.,,即可解得 pnm
3,求距离与投影
,
16
7
1
6
,;
1
4
2
11
1
,.15
2
1
的方程它们的公垂线之间的距离和求两直线
L
zyx
L
zyx
Lex
Solution,),1,2,1(1 ),4,11,0(1?M
),1,6,1(2 ),0,7,6(2M
)8,0,8(
161
12121
kji
21
2121 )(
MM
d,25
1 2 8
80
)8,0,8(
161
121
4186
公垂线方程为,
0
121
808
411 zyx
0
161
808
76
zyx
.01133 07
zyx
zyx
,
042362:)5,7,3(,16
的坐标的对称点关于平面求
P
zyxPex
Solution.,)5,7,3( 垂直的直线方程为与平面过?P
3
5
6
7
2
3
zyx t?
tz
ty
tx
35
67
23
得
,74?t的方程得代入平面?
,QP 在平面上的投影点坐标从而点
).717,785,79(P?由中点公式可得
4,讨论向量组的线性相关与线性无关
,2,2,)2(;,,)1(
,,,.17
232131
133221
321
线性相关线性无关证明线性无关设
ex
Proof,0)()()( )1( 133322211 xxx设
0)()()( 323212131 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 031 xx
021 xx
032 xx
02
110
011
101
且
,,,321 只有唯一零解xxx?
,,,133221 线性无关故
0)2()2()( )2( 233212311 xxx设
0)2()()2( 313232121 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 02 21 xx
032 xx
02 31 xx
0
201
110
021
且
,,,321 有非零解xxx?
,2,2,232131 线性相关故
另解 )2()(22 233121
所以结论成立,
5,求向量组的秩与极大无关组
.)1,2,2,1(
)1,0,3,1(),2,0,4,2(
)1,1,0,0(),0,1,2,1(,18
5
43
21
的秩及一个最大无关组求
ex
Solution.,,,,54321 作为矩阵的列得将
11210
20011
23402
11201
A
11210
11210
01000
11201
00000
01000
11210
11201
,3)( 54321r a n k
,,,451431421 等最大无关组有
6,将线性无关向量组正交化单位化
ex19,用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321
正交化单位化,
Solution,正交化：
1,1,1,1 11取
1
11
2122
),(
),(?
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1?
14
3,
14
1,
14
2,03,1,2,0
14
1
2
22
0,
6
2,
6
1,
6
10,2,1,1
6
1
3
33
单位化
The end
向量与向量空间小结一、内容小结
3,n维向量组及相关概念
1,向量代数?
混合积向量积数量积向量的表示法向量的线性运算向量的概念
2,空间解析几何
投影及公垂线平面直线的关系距离直线方程的转化平面及方程直线及方程
S ch i m i d t?
正交化方法向量空间向量组秩与极大无关组向量组的线性相关性一、内容小结向量的线性运算向量的表示法向量积数量积 混合积向量的积向量概念
1,向量代数
(1)向量的概念定义,既有大小又有方向的量称为向量,
自由向量,相等向量,负向量、
向径,
重要概念,
零向量、向量的模,单位向量、
平行向量、
1) 加法,cba
(2)向量的线性运算
dbaa?
b?
2) 减法：
cba
dba
3) 向量与数的乘法：
设? 是一个数，向量 a? 与? 的乘积 a 规定为
,0)1( a 与 a? 同向,|||| aa
,0)2( 0a?
,0)3( a 与 a? 反向,|||||| aa
向量的分解式：
},,{ zyx aaaa
.,,,,轴上的投影分别为向量在其中 zyxaaa zyx
kajaiaa zyx
在三个坐标轴上的分向量,kajaia zyx,,
向量的坐标表示式：
向量的坐标,zyx aaa,,
(3)向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
},,{ zzyyxx babababa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
},,{ zzyyxx babababa
},,{ zyx aaaa
kbajbaiba zzyyxx )()()(
kajaia zyx )()()(
222|| zyx aaaa向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式
222c os
zyx
x
aaa
a
222co s
zyx
y
aaa
a
222c o s
zyx
z
aaa
a
)1c o sc o sc o s( 222
)c o s,c o s,c o s(0a?
(4)数量积（点积、内积）
c o s|||| baba 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
zzyyxx babababa数量积的坐标表达式
ba 0 zzyyxx bababa
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
.PrPr jj
(5)向量积（叉积、外积）
s i n|||||| bac 其中? 为 a? 与 b? 的夹角
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b?,指向符合右手系,
向量积的坐标表达式
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ba//
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
.,面积为邻边的平行四边形的为以
)( cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
(6)混合积
.,,
,)(
积为棱的平行六面体的体向量它的绝对值表示以是一个数混合积
.0)(,, 共面
2,空间解析几何平面点法式方程一般方程三点方程截距式方程平面束方程直线一般方程参数方程两点方程对称式方程
(1) 直线及其方程
p
zz
n
yy
m
xx 000,对称式方程
)(,
0
0
0
为参数参数方程 t
ptzz
ntyy
mtxx
12
1
12
1
12
1:
zz
zz
yy
yy
xx
xx
两点方程
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA一般方程
(2) 平面及其方程
0)()()(,000 zzCyyBxxA点法式方程
0, DCzByAx一般方程
1, czbyax截距式方程
0,
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
三点方程
0)(
:
0
0
:
22221111
2222
1111
DzCyBxADzCyBxA
DzCyBxA
DzCyBxA
L
的平面束方程过直线
(3) 化空间直线的一般方程为标准方程
00:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
),,,( 0000 zyxML 上取一定点在
21s方向向量
),,(
222
111 pnm
CBA
CBA
kji
由对称式方程可得所求,
(4) 距离
:0:),,( 0000 的距离到点 DCzByAxzyxP?
.222 000
CBA
DCzByAxd
:0
0
2
1
间的距离与两平行平面
DCzByAx
DCzByAx
.222 12
CBA
DDd
:),,( 1110000 的距离到点 p zzn yym xxzyxM
01 MM
d ),,,( pnm
),,( 1111 zyxM
,,
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL两异面直线
:,
2
2
2
2
2
22 间的距离
p
zz
n
yy
m
xxL
2121Pr MMjd
21
2121 )(
MM
.
222
111
121212
222
111
pnm
pnm
kji
zyyxx
pnm
pnm
(5) 平面及直线间的位置关系平面与平面,
,0,11111 DzCyBxA?
,0,22222 DzCyBxA?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
21 ;0212121 CCBBAA
.
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
21 //
直线与直线,
,:
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL,:
2
2
2
2
2
22
p
zz
n
yy
m
xxL
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
21 LL?,0212121 ppnnmm
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
21 // LL
共面与 21 LL
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
平面与直线,
,,000 p zzn yym xxL,0, DCzByAx?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
L,pCnBmA,0 CpBnAm?//L
0,0 000 DCzByAxCpBnAmL 且?
已知?与 L,求交点,
,
0
0
0
ptzz
ntyy
mtxx
令
,0 tDCzByAx 得代入从而可得交点,
(6) 投影及公垂线问题点在直线或平面上的投影,
点关于直线或平面的对称点,
直线在平面上的投影,
两异面直线的公垂线,
,:
1
1
1
1
1
11
p
zz
n
yy
m
xxL
,:
2
2
2
2
2
22
p
zz
n
yy
m
xxL
),,(21 pnm
0
111
111
pnm
pnm
zzyyxx
0
222
222
pnm
pnm
zzyyxx
3,n维向量组及相关概念
(1) 线性相关与线性无关
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
mm
m
m
kkk
kkk
A
使全为零的数如果存在不给定向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
结论
1,1
,,,)1(,,,2121
个向量线性表示余至少有一个向量可由其中线性相关
m
m mm
结论
2,,,,,
,,,,,,,,
21
2121
唯一线性表示能由则线性相关而线性无关设
m
mm
结论
3,,,,,,,
,,,,
121
21
也线性相关则线性相关若
mrr
r
结论 4,一个向量线性相关,
结论 5,两个向量线性相关?对应分量成比例,
结论 6,含有零向量的向量组线性相关,
结论
7,
,,
,,,,:,,,,2121
sr
ABA
BA sr
则组线性无关且组线性表示组能由如果和设有向量组
结论 8.
.
,,
,,,,:,,,,2121
线性相关则向量组且组线性表示组能由如果和设有向量组
A
srBA
BA sr
结论 9,等价的线性无关向量组含有相同个数的向量,
结论 10,n?k个 n维向量必线性相关,
(2) 向量组的秩与极大无关组定义
.,,,
,,,,,,)2(
,,,,)1(
,,,,
,
21
21
21
21
的一个最大无关组是则称线性相关总有线性无关如果满足个向量中是维向量组成的向量组是设
T
T
rT
nT
r
r
r
r
结论 1,最大线性无关组不唯一,
结论 2,向量组与任一个最大线性无关组等价,
结论 3,向量组的任两个最大线性无关组等价,
结论 4,一个向量组中,任意两个最大无关组所含向量个数相同,
定义 向量组 T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做向量组 T 的秩,记为 rank(T).
(3) 向量空间定义 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，
且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间．
n
V
V
V
V
(4) Schimidt正交化方法
11
1
11
2122
),(
),(?
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
……………………
1
11
11
11
1
),(
),(
),(
),(
r
rr
rrrrr?
二、题型及方法
1,向量的运算及应用
2,求空间直线方程
3,求平面方程
4,求距离
5,求投影
6,讨论向量组的线性相关与线性无关
7,求向量组的秩与极大无关组
8,将线性无关向量组正交化单位化
1,向量的运算及应用
.,,423||
),2,2,1(),6,3,2(,1
PCA P BPCPC
PBPAex
求向量平分且已知向量
Solution.,
||||
的平分线上一定在 A P B
PB
PB
PA
PA
|||| PB
PB
PA
PA
kPC从而可设
)0( )4,5,1(21 kk
,63423|| kPC 可求得再由 ).12,15,(PC
.,,
,2,2
求该向量的两倍轴正向的夹角则是它们与角轴的正方向成等轴和且与已知一向量的模为
z
yxex
Solution,可设其单位向量为 ),2c o s,c o s,( c o s
,12c o sc o sc o s 222则
,02c o s2c o s 2即
.24, 或解得得其单位向量为,),0,22,22( ).1,0,0(?或故所求向量为,),0,2,2( ).2,0,0(?或
.,0
,,.3
cacbbacba
cbaex
计算适合等式已知单位向量
Solution.,0)( 2 cba
,0)(2222 cacbbacba
0)(23 cacbba
.23 cacbba
.|||| ||,4 babaex利用向量积证明
Solution,ba 2)( ba
baba 222
c os222 baba
baba 222
2)( ba
.ba
.,2||,1||,,2,5 bababaBbaAex 且其中设?
.6,)2(
.,)1(
积为为邻边的平行四边形面与使得的值试确定使得的值试确定
BA
BA
Solution.,0,)1( BABA 则要使
)()2( babaBA ))(2(2 22 baba
42,2
)()2()2( babaBA)()(2 abba
))(2( ba ba )2(? )2(2 6?
.51 或
.))(5(,)4(
,Pr)3(),2()2)(2(),,co s ()1(:
),2,1,1(),2,2,1(),5,1,3(,6
的方向余弦求已知
j
ex
Solution,
),c os ()1(,6356?
),12,4,5(2)2( ),8,0,7(2
807
1245)2()2(
kji
),28,44,32(
,3Pr)3(
j
),5,1,3(351)4(
)7,11,8(
221
513)5(
kji
164912164
,168co s,1611co s,167co s
Solution,设向量 21 PP 的方向角为?,?,?
,3,4
,1c o sc o sc o s 222
.21c os
,21cos,22cos
.),3,0,1(,
43
,2,.7
21
2121
的坐标求的坐标为如果和分别为轴的夹角轴和它与已知设有向量
PP
yxPPPPex
.32,3 设 2P 的坐标为 ),,( zyx,
1c os x?
21PP 2
1 x
2?,2 x
0c os y?
21PP 2
0 y
2
2?,2 y
3c o s z?
21PP 2
z,2,4 zz
2P 的坐标为 ).2,2,2(),4,2,2(
2
1
.,10)7,2,1(
),3,2,1(),1,3,2(,8
求且满足垂直于已知
ex
Method1,),,,( 则有设 zyx
032 zyx
032 zyx
1072 zyx
解得 (x,y,z)即为所求,
Method2.,平行的向量为与
)1,5,7(
321
132
kji
)1,5,7(从而可设得由 10)7,2,1(
,10107107)7,2,1(
,1
).1,5,7(
2,求空间直线方程与平面方程
,)1,1,1(010,.9 的平面方程和点求过?
M
zyx
zyxLex
Solution,可设平面方程为
0)1( zyxzyx?
0)1()1()1( zyx即
,23)1,1,1(代入得将
,015 为所求 zyx
.,0
),1,1,0()1,1,1(.10 21
求其方程且垂直于和过点设平面
zyx
MMex?
Solution,),1,1,1(),2,0,1( 121 MM
)1,1,2(
201
111 211
kji
MM
由点法式得，
0)1()1()1(2 zyx
.02 zyx即也可用一般式方程来解,
,,
0
01
)1,1,1(
,0,11
求此平面方程的垂线到直线并且通过从点设一平面垂直于平面
x
zy
zex
Solution,),1,1,0(
001
110
kji
α
已知直线的方向向量为
,0)1()1()1(0
)1,1,1(
zyx
方程为与已知直线垂直的平面过
.0 zy即
).21,21,0(?从而得垂足为
Method1.,0 DCzByAx设平面方程为
,0?z由于该平面垂直于平面,0 C
,0 DByAx故平面方程为
.,)21,21,0()1,1,1( 可得所求在平面上与由
Method2.
所求平面的法向量为
),0,1,
2
1
(
2
1
2
1
1
100?
kji
n
,0)1()1(21 yx故所求平面方程为
.012 yx即
,01043
01422
02
)4,0,1(,12
平行的直线方程平面垂直且与与求过点
zyx
zyx
zyx
ex
Solution,),0,3,6(
221
121
kji
α
已知直线的方向向量为
),5,2,1(3
143
036
kji
s
所求直线的方向向量为故所求直线方程为,,5 421 1 zyx
ex 1 3 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
Method1.
先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
Method2.,312 pznymx设直线方程为由于与已知直线垂直相交得,
023 pnm
0123
303
pnm
np
nm
4
2
.4 31 12 2 zyx直线方程为
,
05432
0432
,.14
垂直相交的直线方程求过原点与已知直线
zyx
zyx
Lex
Solution,),1,1,1( 0M在已知直线上取定点为
),1,2,1(
432
321
kji
α
已知直线的方向向量为
,,pznymx设所求直线方程为
0
111
121
02
pnm
pnm
则
.,,即可解得 pnm
3,求距离与投影
,
16
7
1
6
,;
1
4
2
11
1
,.15
2
1
的方程它们的公垂线之间的距离和求两直线
L
zyx
L
zyx
Lex
Solution,),1,2,1(1 ),4,11,0(1?M
),1,6,1(2 ),0,7,6(2M
)8,0,8(
161
12121
kji
21
2121 )(
MM
d,25
1 2 8
80
)8,0,8(
161
121
4186
公垂线方程为,
0
121
808
411 zyx
0
161
808
76
zyx
.01133 07
zyx
zyx
,
042362:)5,7,3(,16
的坐标的对称点关于平面求
P
zyxPex
Solution.,)5,7,3( 垂直的直线方程为与平面过?P
3
5
6
7
2
3
zyx t?
tz
ty
tx
35
67
23
得
,74?t的方程得代入平面?
,QP 在平面上的投影点坐标从而点
).717,785,79(P?由中点公式可得
4,讨论向量组的线性相关与线性无关
,2,2,)2(;,,)1(
,,,.17
232131
133221
321
线性相关线性无关证明线性无关设
ex
Proof,0)()()( )1( 133322211 xxx设
0)()()( 323212131 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 031 xx
021 xx
032 xx
02
110
011
101
且
,,,321 只有唯一零解xxx?
,,,133221 线性无关故
0)2()2()( )2( 233212311 xxx设
0)2()()2( 313232121 xxxxxx即
,,,321 线性无关
则 02 21 xx
032 xx
02 31 xx
0
201
110
021
且
,,,321 有非零解xxx?
,2,2,232131 线性相关故
另解 )2()(22 233121
所以结论成立,
5,求向量组的秩与极大无关组
.)1,2,2,1(
)1,0,3,1(),2,0,4,2(
)1,1,0,0(),0,1,2,1(,18
5
43
21
的秩及一个最大无关组求
ex
Solution.,,,,54321 作为矩阵的列得将
11210
20011
23402
11201
A
11210
11210
01000
11201
00000
01000
11210
11201
,3)( 54321r a n k
,,,451431421 等最大无关组有
6,将线性无关向量组正交化单位化
ex19,用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321
正交化单位化,
Solution,正交化：
1,1,1,1 11取
1
11
2122
),(
),(?
1,1,1,11111 4114,0,1,13,1,2,0
2
22
321
11
3133
),(
),(
),(
),(?
3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1?
14
3,
14
1,
14
2,03,1,2,0
14
1
2
22
0,
6
2,
6
1,
6
10,2,1,1
6
1
3
33
单位化
The end
