Chapter 3
线性方程组小结一、内容小结
1,线性方程组的表示形式
2,齐次线性方程组
3,非齐次线性方程组
4,关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论
5,关于矩阵秩的几个结论二、题型及方法
1,利用初等变换求解线性方程组
2,讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、
无解的情况
3,与方程组解的结构相关的证明题
1,线性方程组表示形式
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
.,为方程组的常数项为方程组的系数其中 kij ba
.,0;,0
则方程组为非齐次的若则方程组为齐次的若
k
k
b
b
方程组的矩阵形式,bAx?
方程组的向量形式,bxxx nn2211
结论,,,下列四个命题等价对于 bAx?
)1( 有解bAx?
,,,)2( 21 线性表示可由 nb
),,,(),,,,( )3( 2121 等价与向量组 nn b
),,,(),,,,( )4( 2121 nn r a n kbr a n k
2,齐次线性方程组 Ax?O
结论 1.,)( nAr an kOAx 有非零解结论 2.,)( nAr an kOAx 只有零解
)0,(?AA 则为方阵若
.
,),,(,),,(
21
1211
的解仍是则的解是若
OAx
OAxllkk nn
.
,,),,( 1
的解仍是则的解是若
OAx
ROAxkk n
结论 3,
结论 4,
求 Ax?O的通解的步骤
(1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
,,)( )2( 方程组只有零解时当 nAr an k?
)3(,)( 转到时当 nAr an k?
(3) 列出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系 ;
,)5( 2211 rnrnkkkx写出通解
3,非齐次线性方程组 Ax?b
结论 1,).()()( Br an kAr an kbAx 有解相容结论 2,).()()( 无解不相容bAxBr an kAr an k
结论 3,
).()()( 的列数有唯一解 AnBr an kAr an kbAx
结论 4,
.
,2121
的解为对应的齐次方程组则的解都是及设
OAx
xbAxxx
结论 5,
.
,,
的解仍是方程组则的解是的解是方程组设
bAxx
OAxxbAxx
结论 6,
.*
,0,*
xbAx
AxbAx
的通解为则的通解是的一个特解是若的步骤求解 bAX?
(1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
(2) 判断,),()( BrAr?方程组无解,
,)()( nBrAr方程组有唯一解,
,)()( nBrAr方程组有无穷多解,
(3) 写出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 令自由未知数全为 0得一个特解 *,?
并求出 Ax?O的基础解系,
(5) 写出通解,11 rnrnkkx
4,关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论结论 1,如果线性方程组的系数行列式不等于 0，则方程组一定有解，且解是唯一的,
结论 2,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为 0.
结论 3,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一零解,
,0?A
结论 4,如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式,0?A
5,关于矩阵秩的几个结论
).()()(
,,.1
BrArBAr
BA
则是两个同型矩阵设结论
.)()(
,,,.2
nBrAr
OABsnnmBA
则矩阵和分别是设结论
) }.(),(m i n {)(,3 BrArABr?结论
.)()()(
,,.4
nBrArABr
snnmBA
则矩阵和分别是设结论
ex1,求解下列方程组
03345
0622
0323
07332
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Solution.
13345
62210
31123
73321
A?
36121260
62210
248840
73321
00000
00000
62210
73321
00000
00000
62210
51101
,52)(Ar a n k? 所以原方程组有非零解,
同解方程组为
55
44
33
5432
5431
622
5
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
3
x
0
1
0
2
1
4
x
1
0
0
6
5
5
x
1
0
0
6
5
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
321
kkk
.332211 kkk
),,( 321 Rkkk?
ex2,解线性方程组
337 7
1 3
3
4342
431
321
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
33707
10113
31101
43412
B
00000
61000
80210
31101
00000
61000
80210
30101
同解方程组为
31 3 xx
32 28 xx
64?x
33 xx?
4
3
2
1
x
x
x
x
6
0
8
3
0
1
2
1
3x
)(
0
1
2
1
6
0
8
3
Rkk?
ex3,设有方程组
0)5(42
04)5(2
022)2(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
当?为何值时,齐次线性方程组有非零解？
有非零解时,求出通解及基础解系,
Solution.
方法 1：
542
452
222
A?
222
452
542
2
)1)(6(
)1(20
110
542
2
)1)(10(
00
110
542
)10)(1(00
110
542
,
,101
,0)10)(1(
方程组有非零解时或即时当
,1 )1( 时当
000
000
442
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
000
110
542
A
000
110
102
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方法 2：
542
452
222
A
542
110
222
542
110
222
)1(
142
210
022
)1(
)1011)(1( 2 )10()1( 2;0,101,0 解方程组有非时或即当A
,1 )1( 时当
442
442
221
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
542
452
228
A
000
110
542
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方程组取何值时讨论,.4?ex
2
321
321
321 1
xxx
xxx
xxx
有解？在有解的情况下求出解,
Solution,方法 1:
211
11
111
B
111
11
11 2
32
2
2
1110
110
11
2
2
2
)1)(1()2)(1(00
110
11
;,21,0)2)(1( 方程组有唯一解时且即当
2
)1(
100
110
11
2
2
B
2
)1(
100
2
1
010
2
011
2
2
)1(
100
2
1
010
2
1
001
2
故唯一解为,
2
)1(
2
1
2
1
2
3
2
1
x
x
x
,2时当
3000
6330
2211
B
,3)(,2)( BrAr
故方程组无解 ;
,1时当
0000
0000
1111
B
,31)()( BrAr 故方程组有无穷多解 ;
同解方程组为
33
22
321 1
xx
xx
xxx
故通解为
.
1
0
1
0
1
1
0
0
1
21
kkx
方法 2:
,)1)(2(
11
11
11
2
A?;,12,0 方程组有唯一解时且即当A
,2时当
4211
2121
1112
B
1112
2121
4211
7330
6330
4211
13000
6330
4211
,3)(,2)( BrAr 故方程组无解 ;
,1时当
1111
1111
1111
B
0000
0000
1111
,31)()( BrAr 故方程组有无穷多解 ;
同解方程组为
33
22
321 1
xx
xx
xxx
故通解为
.
1
0
1
0
1
1
0
0
1
21
kkx
注意,唯一解的求法和方法一同样地做 !
ex5,设有三维列向量
,
0
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
2
321
,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
,
321
321
321
线性表示不能由且表示式不唯一线性表示可由且表示式唯一线性表示可由取何值时问
Solution,得线性方程组设 332211 xxx
2
321
321
321
)1(
)1(
0)1(
xxx
xxx
xxx
2111
111
0111
B
0111
111
111 2
)1()2(0
0
111
2
2
2
)12()3(00
0
111
2
2
2
,3)()(,30 BrAr时且当 方程组有唯一解,
.,,,321 且表示式唯一线性表示可由从而
,0时当
0000
0000
0111
B
,31)()( BrAr 方程组有无穷多解,
.,,,321 且表示式不唯一线性表示可由从而
,3时当
6000
4110
9211
B
,3)(2)( BrAr 方程组无解,
.,,321 线性表示不能由从而
,
,,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
),,3,1(),3,2,1(),1,1,1(,6
21
3321
321
321
321
的线性组合和表为将线性相关时当向量组线性相关向量组为何值时问线性无关向量组为何值时问设
t
t
tex
Solution,得方程组设 0 332211 xxx
03
032
0
321
321
321
txxx
xxx
xxx
t
A
31
321
111
120
210
111
t?
500
210
111
t
,3)(,5)1( Art 时当
,0,321 xxx方程组有唯一零解
,,,321 线性无关此时向量组
,32)(,5)2( Art 时当
,方程组有有非零解,,,321 线性相关此时向量组
,5)3( 时当?t
000
210
111
A
000
210
101
同解方程组为?
33
32
31
2
xx
xx
xx
1
2
1
3
2
1
k
x
x
x
.1,2,11 321 xxxk 得取
,2 213
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
,1,3,7
bAx
ArmAex
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
Solution.,1)(,3 ArmA 矩阵是?
,
213
的解向量个线性无关的基础解系中含有 OAx
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
211
2
3
1
312
.的基础解系中的解向量为 OAx?
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
02
0
0
,,.8
有非零解齐次方程组为何值时问
zyx
zyx
zyx
ex
Solution.
要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零,
121
11
11
A而
1120
110
101
)12)(1()1)(1( )1(
010 或得由 A The end
.,,
0)4(444
03)3(33
022)2(2
0)1(
.9
4321
4321
4321
4321
并求出其通解该方程组有非零解取何值时试问设有齐次线性方程组
a
xaxxx
xxaxx
xxxax
xxxxa
ex
Solution,
a
a
a
a
A
4444
3333
2222
1111
1111
3333
2222
4444
a
a
a
a
1111
3333
2222
4
1111
a
a
a
a
)
4
1)(1(10
4
3
00
2
00
4
1111
a
aaa
a
a
a
a
a
4
3
2
)
4
1)(1(1000
4
3
00
2
00
4
1111
aaa
a
a
a
a
a
a
)10(
4
000
4
3
00
2
00
4
1111
a
a
a
a
a
a
a
,0时当?a?
0000
0000
0000
1111
A
,,41)( 故方程组有非零解Ar
同解方程组为
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
所求方程组的通解为,
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
321
4
3
2
1
kkk
x
x
x
x
.,,321 为任意实数其中 kkk
,10 时当a
0000
2
15
1000
50100
2
3
111
A
0000
4
3
100
2
1
010
2
3
111
000
4
3
100
2
1
01
4
1
00
同解方程组为
44
43
42
41
4
3
2
1
4
1
xx
xx
xx
xx
所求方程组的通解为
.
4
3
2
1
4
3
2
1
k
x
x
x
x
.为任意实数其中 k
.
,
.)1,1,1,1(
,
14)4()2(3
022
0
.10
4321
4321
4321
解部程组的基础解系表示全并用对应的齐次线性方部解试求方程组的全是该方程组的一个解已知设线性方程组
T
xxxx
xxxx
xxxx
ex
Solution.,)1,1,1,1( 代入方程组得将 T
14423
02112
011
B
1124220
0021210
011
11310
0021210
011
0021210
11310
011
1212)12(200
11310
011
,21 时当
11200
11310
011
B
2
1
2
1
100
2
1
2
1
010
01001
,,43)()( 故方程组有无穷多解 BrAr
同解方程组为?
44
43
42
41
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
xx
xx
xx
.
0
2
1
2
1
0
2
1
1
2
4
3
2
1
k
x
x
x
x
,21 时当
00000
11310
01
2
1
2
1
1
B
00000
11310
2
1
2
1
101
,,42)()( 故方程组有无穷多解 BrAr
同解方程组为
44
33
432
431
13
2
1
2
1
xx
xx
xxx
xxx
.
0
2
1
2
1
0
2
0
2
1
0
1
3
1
21
4
3
2
1
kk
x
x
x
x
,
,,,,( 3 );,,,( 2 );,,( 1 )
,,
.)3,3,1(,)2,2,1(
,)3,2,1(,)0,2,1(.11
321
321
321
3
21
并求出表示式但表示式不惟一线性表示可由并求出表示式惟一线性表示可由线性表示不能由为何值时试讨论当设
ba
bab
aaex
TT
TT
ex12.( page497-8 旧教材 )
Proof,(1),02211* rnrnkkkk设左乘 A 得,0)( 2211* rnrnkkkkA
,0)()()()( 2211* rnrn AkAkAkAk
,0?kb,0 k
,02211 rnrnkkk从而
.021 rnkkkk?
.,,,,21* 线性无关故 rn
(2),0)()( *1*1* rnrnkkk设
,0)( 11*1 rnrnrn kkkkk则左乘 A 得
,0)()())(( 11*1 rnrnrn AkAkAkkk
,0)( 1 bkkk rn?
,01 rnkkk?从而
,011 rnrnkk代入得
,01 rnkk?故,01 rnkkk?从而
.,,,*1** 线性无关rn
ex13.( page82-9 )
Proof,
,
,
,
,
1
12
11
rnrn
rn
rn
.)(0 个解的是齐次线性方程组
rnAx
而且它们是线性无关的 !
,的任一解可表示为从而非齐次线性方程组 bAx?
11
122111
)(
)()(
rnrnrnrn
rnrn
k
kkx
112211 )1( rnrnrnrn kkkkk
.112211 rnrnrnrn kkkk
.)(
)(
)(
)(
),(0
,
,,,,0.14
4321
*
向量含有三个线性无关的解向量含有两个线性无关的解仅含一个非零向量不存在的基础解系应的齐次线性方程组则对的互不相等的解是非齐次线性方程组若的伴随矩阵阶矩阵设
D
C
B
A
Ax
bAx
AAnex
B
The end
线性方程组小结一、内容小结
1,线性方程组的表示形式
2,齐次线性方程组
3,非齐次线性方程组
4,关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论
5,关于矩阵秩的几个结论二、题型及方法
1,利用初等变换求解线性方程组
2,讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、
无解的情况
3,与方程组解的结构相关的证明题
1,线性方程组表示形式
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
.,为方程组的常数项为方程组的系数其中 kij ba
.,0;,0
则方程组为非齐次的若则方程组为齐次的若
k
k
b
b
方程组的矩阵形式,bAx?
方程组的向量形式,bxxx nn2211
结论,,,下列四个命题等价对于 bAx?
)1( 有解bAx?
,,,)2( 21 线性表示可由 nb
),,,(),,,,( )3( 2121 等价与向量组 nn b
),,,(),,,,( )4( 2121 nn r a n kbr a n k
2,齐次线性方程组 Ax?O
结论 1.,)( nAr an kOAx 有非零解结论 2.,)( nAr an kOAx 只有零解
)0,(?AA 则为方阵若
.
,),,(,),,(
21
1211
的解仍是则的解是若
OAx
OAxllkk nn
.
,,),,( 1
的解仍是则的解是若
OAx
ROAxkk n
结论 3,
结论 4,
求 Ax?O的通解的步骤
(1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
,,)( )2( 方程组只有零解时当 nAr an k?
)3(,)( 转到时当 nAr an k?
(3) 列出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系 ;
,)5( 2211 rnrnkkkx写出通解
3,非齐次线性方程组 Ax?b
结论 1,).()()( Br an kAr an kbAx 有解相容结论 2,).()()( 无解不相容bAxBr an kAr an k
结论 3,
).()()( 的列数有唯一解 AnBr an kAr an kbAx
结论 4,
.
,2121
的解为对应的齐次方程组则的解都是及设
OAx
xbAxxx
结论 5,
.
,,
的解仍是方程组则的解是的解是方程组设
bAxx
OAxxbAxx
结论 6,
.*
,0,*
xbAx
AxbAx
的通解为则的通解是的一个特解是若的步骤求解 bAX?
(1) 将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵 ;
(2) 判断,),()( BrAr?方程组无解,
,)()( nBrAr方程组有唯一解,
,)()( nBrAr方程组有无穷多解,
(3) 写出含有自由未知数的同解方程组 ;
(4) 令自由未知数全为 0得一个特解 *,?
并求出 Ax?O的基础解系,
(5) 写出通解,11 rnrnkkx
4,关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论结论 1,如果线性方程组的系数行列式不等于 0，则方程组一定有解，且解是唯一的,
结论 2,如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为 0.
结论 3,如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一零解,
,0?A
结论 4,如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式,0?A
5,关于矩阵秩的几个结论
).()()(
,,.1
BrArBAr
BA
则是两个同型矩阵设结论
.)()(
,,,.2
nBrAr
OABsnnmBA
则矩阵和分别是设结论
) }.(),(m i n {)(,3 BrArABr?结论
.)()()(
,,.4
nBrArABr
snnmBA
则矩阵和分别是设结论
ex1,求解下列方程组
03345
0622
0323
07332
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
Solution.
13345
62210
31123
73321
A?
36121260
62210
248840
73321
00000
00000
62210
73321
00000
00000
62210
51101
,52)(Ar a n k? 所以原方程组有非零解,
同解方程组为
55
44
33
5432
5431
622
5
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
0
0
1
2
1
3
x
0
1
0
2
1
4
x
1
0
0
6
5
5
x
1
0
0
6
5
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
321
kkk
.332211 kkk
),,( 321 Rkkk?
ex2,解线性方程组
337 7
1 3
3
4342
431
321
431
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
Solution,对方程组的增广矩阵作初等行变换,
33707
10113
31101
43412
B
00000
61000
80210
31101
00000
61000
80210
30101
同解方程组为
31 3 xx
32 28 xx
64?x
33 xx?
4
3
2
1
x
x
x
x
6
0
8
3
0
1
2
1
3x
)(
0
1
2
1
6
0
8
3
Rkk?
ex3,设有方程组
0)5(42
04)5(2
022)2(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
当?为何值时,齐次线性方程组有非零解？
有非零解时,求出通解及基础解系,
Solution.
方法 1：
542
452
222
A?
222
452
542
2
)1)(6(
)1(20
110
542
2
)1)(10(
00
110
542
)10)(1(00
110
542
,
,101
,0)10)(1(
方程组有非零解时或即时当
,1 )1( 时当
000
000
442
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
000
110
542
A
000
110
102
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方法 2：
542
452
222
A
542
110
222
542
110
222
)1(
142
210
022
)1(
)1011)(1( 2 )10()1( 2;0,101,0 解方程组有非时或即当A
,1 )1( 时当
442
442
221
A
000
000
221
同解方程组为?
33
22
321 22
xx
xx
xxx
1
0
2
0
1
2
21 kkx
,10 )2( 时当
542
452
228
A
000
110
542
000
110
01
2
1
同解方程组为?
33
32
32
1
1
xx
xx
xx
1
1
2
1
kx
2
2
1
k
方程组取何值时讨论,.4?ex
2
321
321
321 1
xxx
xxx
xxx
有解？在有解的情况下求出解,
Solution,方法 1:
211
11
111
B
111
11
11 2
32
2
2
1110
110
11
2
2
2
)1)(1()2)(1(00
110
11
;,21,0)2)(1( 方程组有唯一解时且即当
2
)1(
100
110
11
2
2
B
2
)1(
100
2
1
010
2
011
2
2
)1(
100
2
1
010
2
1
001
2
故唯一解为,
2
)1(
2
1
2
1
2
3
2
1
x
x
x
,2时当
3000
6330
2211
B
,3)(,2)( BrAr
故方程组无解 ;
,1时当
0000
0000
1111
B
,31)()( BrAr 故方程组有无穷多解 ;
同解方程组为
33
22
321 1
xx
xx
xxx
故通解为
.
1
0
1
0
1
1
0
0
1
21
kkx
方法 2:
,)1)(2(
11
11
11
2
A?;,12,0 方程组有唯一解时且即当A
,2时当
4211
2121
1112
B
1112
2121
4211
7330
6330
4211
13000
6330
4211
,3)(,2)( BrAr 故方程组无解 ;
,1时当
1111
1111
1111
B
0000
0000
1111
,31)()( BrAr 故方程组有无穷多解 ;
同解方程组为
33
22
321 1
xx
xx
xxx
故通解为
.
1
0
1
0
1
1
0
0
1
21
kkx
注意,唯一解的求法和方法一同样地做 !
ex5,设有三维列向量
,
0
,
1
1
1
,
1
1
1
,
1
1
1
2
321
,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
,
321
321
321
线性表示不能由且表示式不唯一线性表示可由且表示式唯一线性表示可由取何值时问
Solution,得线性方程组设 332211 xxx
2
321
321
321
)1(
)1(
0)1(
xxx
xxx
xxx
2111
111
0111
B
0111
111
111 2
)1()2(0
0
111
2
2
2
)12()3(00
0
111
2
2
2
,3)()(,30 BrAr时且当 方程组有唯一解,
.,,,321 且表示式唯一线性表示可由从而
,0时当
0000
0000
0111
B
,31)()( BrAr 方程组有无穷多解,
.,,,321 且表示式不唯一线性表示可由从而
,3时当
6000
4110
9211
B
,3)(2)( BrAr 方程组无解,
.,,321 线性表示不能由从而
,
,,,)3(
,,,)2(
,,,)1(
),,3,1(),3,2,1(),1,1,1(,6
21
3321
321
321
321
的线性组合和表为将线性相关时当向量组线性相关向量组为何值时问线性无关向量组为何值时问设
t
t
tex
Solution,得方程组设 0 332211 xxx
03
032
0
321
321
321
txxx
xxx
xxx
t
A
31
321
111
120
210
111
t?
500
210
111
t
,3)(,5)1( Art 时当
,0,321 xxx方程组有唯一零解
,,,321 线性无关此时向量组
,32)(,5)2( Art 时当
,方程组有有非零解,,,321 线性相关此时向量组
,5)3( 时当?t
000
210
111
A
000
210
101
同解方程组为?
33
32
31
2
xx
xx
xx
1
2
1
3
2
1
k
x
x
x
.1,2,11 321 xxxk 得取
,2 213
满足的三个解向量方程组如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
,1,3,7
bAx
ArmAex
,
3
2
1
21
,
1
1
0
32
1
0
1
13
.的通解求 bAx?
Solution.,1)(,3 ArmA 矩阵是?
,
213
的解向量个线性无关的基础解系中含有 OAx
则令,,,133221 cba
,
21
23
1
)(
2
1
1
bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
cba?
,
2
1
1
211
2
3
1
312
.的基础解系中的解向量为 OAx?
的通解为故 bAx?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
02
0
0
,,.8
有非零解齐次方程组为何值时问
zyx
zyx
zyx
ex
Solution.
要使齐次线性方程组有非零解，则要求系数行列式为零,
121
11
11
A而
1120
110
101
)12)(1()1)(1( )1(
010 或得由 A The end
.,,
0)4(444
03)3(33
022)2(2
0)1(
.9
4321
4321
4321
4321
并求出其通解该方程组有非零解取何值时试问设有齐次线性方程组
a
xaxxx
xxaxx
xxxax
xxxxa
ex
Solution,
a
a
a
a
A
4444
3333
2222
1111
1111
3333
2222
4444
a
a
a
a
1111
3333
2222
4
1111
a
a
a
a
)
4
1)(1(10
4
3
00
2
00
4
1111
a
aaa
a
a
a
a
a
4
3
2
)
4
1)(1(1000
4
3
00
2
00
4
1111
aaa
a
a
a
a
a
a
)10(
4
000
4
3
00
2
00
4
1111
a
a
a
a
a
a
a
,0时当?a?
0000
0000
0000
1111
A
,,41)( 故方程组有非零解Ar
同解方程组为
44
33
22
4321
xx
xx
xx
xxxx
所求方程组的通解为,
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
321
4
3
2
1
kkk
x
x
x
x
.,,321 为任意实数其中 kkk
,10 时当a
0000
2
15
1000
50100
2
3
111
A
0000
4
3
100
2
1
010
2
3
111
000
4
3
100
2
1
01
4
1
00
同解方程组为
44
43
42
41
4
3
2
1
4
1
xx
xx
xx
xx
所求方程组的通解为
.
4
3
2
1
4
3
2
1
k
x
x
x
x
.为任意实数其中 k
.
,
.)1,1,1,1(
,
14)4()2(3
022
0
.10
4321
4321
4321
解部程组的基础解系表示全并用对应的齐次线性方部解试求方程组的全是该方程组的一个解已知设线性方程组
T
xxxx
xxxx
xxxx
ex
Solution.,)1,1,1,1( 代入方程组得将 T
14423
02112
011
B
1124220
0021210
011
11310
0021210
011
0021210
11310
011
1212)12(200
11310
011
,21 时当
11200
11310
011
B
2
1
2
1
100
2
1
2
1
010
01001
,,43)()( 故方程组有无穷多解 BrAr
同解方程组为?
44
43
42
41
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
xx
xx
xx
.
0
2
1
2
1
0
2
1
1
2
4
3
2
1
k
x
x
x
x
,21 时当
00000
11310
01
2
1
2
1
1
B
00000
11310
2
1
2
1
101
,,42)()( 故方程组有无穷多解 BrAr
同解方程组为
44
33
432
431
13
2
1
2
1
xx
xx
xxx
xxx
.
0
2
1
2
1
0
2
0
2
1
0
1
3
1
21
4
3
2
1
kk
x
x
x
x
,
,,,,( 3 );,,,( 2 );,,( 1 )
,,
.)3,3,1(,)2,2,1(
,)3,2,1(,)0,2,1(.11
321
321
321
3
21
并求出表示式但表示式不惟一线性表示可由并求出表示式惟一线性表示可由线性表示不能由为何值时试讨论当设
ba
bab
aaex
TT
TT
ex12.( page497-8 旧教材 )
Proof,(1),02211* rnrnkkkk设左乘 A 得,0)( 2211* rnrnkkkkA
,0)()()()( 2211* rnrn AkAkAkAk
,0?kb,0 k
,02211 rnrnkkk从而
.021 rnkkkk?
.,,,,21* 线性无关故 rn
(2),0)()( *1*1* rnrnkkk设
,0)( 11*1 rnrnrn kkkkk则左乘 A 得
,0)()())(( 11*1 rnrnrn AkAkAkkk
,0)( 1 bkkk rn?
,01 rnkkk?从而
,011 rnrnkk代入得
,01 rnkk?故,01 rnkkk?从而
.,,,*1** 线性无关rn
ex13.( page82-9 )
Proof,
,
,
,
,
1
12
11
rnrn
rn
rn
.)(0 个解的是齐次线性方程组
rnAx
而且它们是线性无关的 !
,的任一解可表示为从而非齐次线性方程组 bAx?
11
122111
)(
)()(
rnrnrnrn
rnrn
k
kkx
112211 )1( rnrnrnrn kkkkk
.112211 rnrnrnrn kkkk
.)(
)(
)(
)(
),(0
,
,,,,0.14
4321
*
向量含有三个线性无关的解向量含有两个线性无关的解仅含一个非零向量不存在的基础解系应的齐次线性方程组则对的互不相等的解是非齐次线性方程组若的伴随矩阵阶矩阵设
D
C
B
A
Ax
bAx
AAnex
B
The end
