Chapter 1(3)
逆阵与分块矩阵教学要求：
1,了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件 ;
2,理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆 ;
3,了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则,
逆阵的引入一,
,逆阵的定义二
,逆阵的性质三
,例题分析四
,分块矩阵的讨论五逆阵的引入一,
nnnnnn
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
2211
22221212
12121111
设有线性变换
,
1
2221
1111
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
A
记,
2
1
nx
x
x
X
,
2
1
ny
y
y
Y
( *)AXY?则
.,,,,,0 332211 AAxAAxAAxAAxA nn时当;
,,,),,2,1( 21
代换而成列元素被中第为其中 nj yyyjAnjA
,,2,1,,21 列展开得按把 nAAA n
nnnnnn
nn
nn
ybybybx
ybybybx
ybybybx
2211
22221212
12121111
nnnin
ni
ni
bbb
bbb
bbb
B
1
2221
1111
( **)BYX?则
(**)称为 (*)的逆变换,
,)( YABA B YAXY
,)( XBABAXBYX
,BAEAB从而可知
,,,1,11 abbabaab 则若正如数一样
.,1 称其为逆矩阵记 AB
逆阵的定义二,
1,定义
,
,;
,,
1 BA
ABA
EBAABBnnA
记为的逆矩阵是阵是可逆矩阵或非奇异矩则称使得阶方阵若存在阶方阵为设
2,几点说明
(1) A,B必须是方阵 ;
(2) 若 A的逆矩阵存在,则必唯一 ;
,,21 的逆矩阵是设 ABB
,,2211 EABABEABAB则
)( 2111 ABBEBB而,)( 2221 BEBBAB;.,)3( 11 EAAAA 从而则记为的逆矩阵存在若;1,1 )4( 11 AAAA
(5) A与 B是互逆的,
3,伴随矩阵
,的代数余子式中的行列式是矩阵设 ijij aAAA,
21
22212
12111
*
的伴随矩阵称为矩阵 A
AAA
AAA
AAA
A
nnnn
n
n
注意：
*AA
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
A
A
A
00
00
00
EA? EAAA?*同理
EAAAAA **)1(
ac
bd
dc
ba *)2(
,逆阵的性质三定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,111 EAAAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0?A若 EAAAAA,EAAAAAA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得 A可逆,且注意,.为非奇异矩阵可逆 AA?
定理 2,
.,
,,,,,
11 ABBA
BAEABnBA
且都可逆则若阶方阵是设
,1 EBA?,0,0 BA故且可逆因而 ;,BA
EAA 11 )(1 ABA BAA )( 1 EB?,B?
证明
11 EBB 1)( BAB )( 1 BBA AE?,A?
定理 3,则可逆阶方阵设,,BAn
.)(,)5(;
1
)(,0 )4(;)()( )3(; )2(;)(,)1(
111
11
11
11
111
ABABAB
AA
AA
AA
AAA
且可逆时且可逆
证明,,1 EAAA可逆?
,01)1( 11 EAAAA故,01A从而
.)(,111 AAA 且可逆
,1)2( 1AA?,
1 11 A
AA
,)3( 1 EAA,)(,)( 11 EAAEAA 即
.)()( 11 AA
,)4( 1 EAA,
1
EAA
.)(
11
AA
,,0)5( 可逆ABBAAB
1111 ABBAABAB且 1 AEA,1 EAA
,111 ABAB
111)(, BABA注
,例题分析四解题常用公式：
.)4(;
1
)3(;,,)2(;0)1(
**
*1
11
EAAAAA
A
A
A
ABBAEAB
AA
则若可逆矩阵
ex1 求方阵 的逆矩阵,?
343
122
321
A
Solution.
343
122
321
A?
,02,1 存在 A
,234 1211A,333 1212A
同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
,
222
563
462
A得故
A
AA
11
222
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2
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111
25323
231
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
,2
CBAex 设
.CAXBX?使满足求矩阵
Solution.,02
343
122
321
A?
,0135 12B
.,11 都存在 BA
,
111
25323
231
1
A且
,25 131?
B
CA X B? 又由 1111 CBAAXBBA,11 CBAX
11 CBAX于是
25
13
13
02
31
111
25323
231E
25
13
20
20
11
.
410
410
12
注意,;,1 CAXCAX 则若
.,1 CBXCXB 则若
.,)2(
,)1.(3
1*
11
n
kk
AAA
PPAPPAex
证明是可逆方阵若证明设
Solution,)())()(()1( 1111 PPPPPPPPA k?
1111 )()()( PPPPPPPP?
1 PP k
,0 )2(?AA 可逆可知由
,* EAAA?又,* EAAA?
,* nAAA?
.1* nAA
,22 OEAA由
EEAA 2得
,0 A
EEAA 2
12 EAA
.,2,
:,22
并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵
EAA
OEAAA
ex4
.可逆故 A
1?A
.211 EAA
Solution.
OEAA 22又由
OEEAEA 432
EEAEA 3412
.EA 可逆故 2?
EAEA 3412 1且,43 AE
12 EA
,13412 EAEA
.,22,2,.5 123 BEAABEAnAex 求且阶方阵为设
Solution.,23 EA
322 222 AAAEAAB
))(2( EAEAA
1111 )2()( AEAEAB
,23 EA?又,)21( 2 EAA 21 21 AA
,3 EEA又,))(( 2 EEAAEA
EAAEA 21)(
,10)2( 33 EEA又
,10)42)(2( 2 EEAAEA
)42(101)2( 21 EAAEA
2221
2
1)42(
10
1)( AEAAEAAB
).43(101 2 EAA
.)()(.6 1111111 ABAAABAex 证明
Solution,])()[( 111111 ABAAABA?
1111111111 )()( ABABAABABAE
1111111111 ])()([ ABAABABBBAE
1111111 ]))([( ABAABBBAE
1111111 ]))([( ABABABBAE
11 BABAE E?
.)()( 1111111 ABAAABA
.,,.7 2 OAOAAex 则且是实对称矩阵如果
Solution.,AA
),,2,1;,,2,1( njniaa jiij即
AAA2?
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
11211
21
22212
11211
),,2,1( 22 22 1
2
niaaac
A
iniiij
中对角线上某元素为
,2 OA,0 ijc
),,2,1;,,2,1( 0 njnia ij从而,OA
五,分块矩阵的行列式;,,,,BADBADBC OAD
则为方阵且设①;,,
,)1(,,,,
阶方阵为其中则为方阵且设
nmBA
BADBAD
CB
AO
D mn
②
r
r
r
AAAA
AAAA
AO
A
OA
A
21
21
2
1
,,,,,,
则为方阵且设
③
六,分块矩阵的逆矩阵则有可逆设,,,,,,21 sAAABA?
推导：
2221
12111,
XX
XXD
BC
OAD 令记
,
2221
12111
r
k
EO
OE
XX
XX
BC
OADD则
111
11
BCAB
OA
BC
OA
①
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EBXCX
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OAX
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2212
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12
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,比较得
1
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n
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Solution,?
Oa
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OA
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n
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0000
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1
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2
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.,
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AAex 求设
Solution.
,20 211?
A记,2
2?A,21
11
3
A
,
3
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AOO
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A则
,
10
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,212 112A
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11000
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00
2
1
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1
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00011
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o,B求
ABABAA 61
ABAEA 61 EBEA 61
,6 11 EAB
Solution.
:,满足关系设三阶矩阵 BAex12.
1
100
010
001
700
040
002
6
1
600
030
001
6
6100
0310
001
6,
100
020
006
116 EAB
The end
逆阵与分块矩阵教学要求：
1,了解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件 ;
2,理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆 ;
3,了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则,
逆阵的引入一,
,逆阵的定义二
,逆阵的性质三
,例题分析四
,分块矩阵的讨论五逆阵的引入一,
nnnnnn
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
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2211
22221212
12121111
设有线性变换
,
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.,,,,,0 332211 AAxAAxAAxAAxA nn时当;
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代换而成列元素被中第为其中 nj yyyjAnjA
,,2,1,,21 列展开得按把 nAAA n
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ybybybx
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B
1
2221
1111
( **)BYX?则
(**)称为 (*)的逆变换,
,)( YABA B YAXY
,)( XBABAXBYX
,BAEAB从而可知
,,,1,11 abbabaab 则若正如数一样
.,1 称其为逆矩阵记 AB
逆阵的定义二,
1,定义
,
,;
,,
1 BA
ABA
EBAABBnnA
记为的逆矩阵是阵是可逆矩阵或非奇异矩则称使得阶方阵若存在阶方阵为设
2,几点说明
(1) A,B必须是方阵 ;
(2) 若 A的逆矩阵存在,则必唯一 ;
,,21 的逆矩阵是设 ABB
,,2211 EABABEABAB则
)( 2111 ABBEBB而,)( 2221 BEBBAB;.,)3( 11 EAAAA 从而则记为的逆矩阵存在若;1,1 )4( 11 AAAA
(5) A与 B是互逆的,
3,伴随矩阵
,的代数余子式中的行列式是矩阵设 ijij aAAA,
21
22212
12111
*
的伴随矩阵称为矩阵 A
AAA
AAA
AAA
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n
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注意：
*AA
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,逆阵的性质三定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA 11 使即有
,111 EAAAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA?
,0?A若 EAAAAA,EAAAAAA
.1 AAA
按逆矩阵的定义得 A可逆,且注意,.为非奇异矩阵可逆 AA?
定理 2,
.,
,,,,,
11 ABBA
BAEABnBA
且都可逆则若阶方阵是设
,1 EBA?,0,0 BA故且可逆因而 ;,BA
EAA 11 )(1 ABA BAA )( 1 EB?,B?
证明
11 EBB 1)( BAB )( 1 BBA AE?,A?
定理 3,则可逆阶方阵设,,BAn
.)(,)5(;
1
)(,0 )4(;)()( )3(; )2(;)(,)1(
111
11
11
11
111
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AA
AA
AA
AAA
且可逆时且可逆
证明,,1 EAAA可逆?
,01)1( 11 EAAAA故,01A从而
.)(,111 AAA 且可逆
,1)2( 1AA?,
1 11 A
AA
,)3( 1 EAA,)(,)( 11 EAAEAA 即
.)()( 11 AA
,)4( 1 EAA,
1
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.)(
11
AA
,,0)5( 可逆ABBAAB
1111 ABBAABAB且 1 AEA,1 EAA
,111 ABAB
111)(, BABA注
,例题分析四解题常用公式：
.)4(;
1
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A
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343
122
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343
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,02,1 存在 A
,234 1211A,333 1212A
同理可得,2,6,6,2 23222113 AAAA
,2,5,4 333231 AAA
,
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,
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.,11 都存在 BA
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11 CBAX于是
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证明是可逆方阵若证明设
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1111 )()()( PPPPPPPP?
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,0 )2(?AA 可逆可知由
,* EAAA?又,* EAAA?
,* nAAA?
.1* nAA
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,0 A
EEAA 2
12 EAA
.,2,
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并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵
EAA
OEAAA
ex4
.可逆故 A
1?A
.211 EAA
Solution.
OEAA 22又由
OEEAEA 432
EEAEA 3412
.EA 可逆故 2?
EAEA 3412 1且,43 AE
12 EA
,13412 EAEA
.,22,2,.5 123 BEAABEAnAex 求且阶方阵为设
Solution.,23 EA
322 222 AAAEAAB
))(2( EAEAA
1111 )2()( AEAEAB
,23 EA?又,)21( 2 EAA 21 21 AA
,3 EEA又,))(( 2 EEAAEA
EAAEA 21)(
,10)2( 33 EEA又
,10)42)(2( 2 EEAAEA
)42(101)2( 21 EAAEA
2221
2
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10
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).43(101 2 EAA
.)()(.6 1111111 ABAAABAex 证明
Solution,])()[( 111111 ABAAABA?
1111111111 )()( ABABAABABAE
1111111111 ])()([ ABAABABBBAE
1111111 ]))([( ABAABBBAE
1111111 ]))([( ABABABBAE
11 BABAE E?
.)()( 1111111 ABAAABA
.,,.7 2 OAOAAex 则且是实对称矩阵如果
Solution.,AA
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中对角线上某元素为
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),,2,1;,,2,1( 0 njnia ij从而,OA
五,分块矩阵的行列式;,,,,BADBADBC OAD
则为方阵且设①;,,
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则为方阵且设
③
六,分块矩阵的逆矩阵则有可逆设,,,,,,21 sAAABA?
推导：
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XX
XXD
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,
2221
12111
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41
21
,61 ABAABAA 且
o
o,B求
ABABAA 61
ABAEA 61 EBEA 61
,6 11 EAB
Solution.
:,满足关系设三阶矩阵 BAex12.
1
100
010
001
700
040
002
6
1
600
030
001
6
6100
0310
001
6,
100
020
006
116 EAB
The end
