Chapter 5
二次曲面与二次型小结一、内容小结
1,二次曲面与空间图形
空间立体的投影空间曲线及投影二次曲面
双曲面抛物面椭球面柱面旋转曲面球面
2,二次型及正定二次型
正定二次型及判别法二次型的标准化表示二次型及标准形与矩阵
1,曲面及其方程
0),,(,?zyxF一般方程
2202020,Rzzyyxx球面旋转曲面,
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 yyxfxoy?
0),( 22 yzxf
)(,2222 yxaz圆锥面柱面,(方程为缺项的方程 )
0),(?yxF 表母线平行于 z 轴的柱面 ;
0),(?zyG 表母线平行于 x 轴的柱面 ;
0),(?xzH 表母线平行于 y 轴的柱面,
)0,,( 1,2
2
2
2
2
2
cbaczbyax椭球面
)0( 22:
22
pqzqypx椭圆抛物面
)0( 22:
22
pqzqypx双曲抛物面单叶双曲面,
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
双叶双曲面,
12
2
2
2
2 c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
2,曲线及其投影曲线方程
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF一般方程
)(
)(
)(
:
tzz
tyy
txx
参数方程
0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线,xoy
0
0),(
x
zyR
面上的 投影曲线,yoz
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,xoz
3,二次型及标准形与矩阵表示
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
112112
2
11121
2
22
22,,,)1(
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
xa
xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxaxxxf
Axx
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
nnnnn
n
n
n
2
1
21
22212
11211
21
222221121,,,)2( nnn ykykykyyyf Byy
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n
00
00
00
),,,( 2
1
2
1
21?
,~.
,)3(
BABA
BACC
CBAn
记为合同于则称使得若存在可逆矩阵与阶方阵设有
4,正定二次型及判别法无论作怎样的可逆线性变换,由二次型 Axxf
得到的标准形中,正平方项的项数 p与负平方项的项数 q是唯一确定的,且 p?q?r(A).
定义,)0(,都有若对于实二次型 nRxAxxf;,,0 )1( 为正定矩阵为正定二次型则 AfAxx
.,,0 )2( 为负定矩阵为负定二次型则 AfAxx
判定法定理,
.0
)1(
于的所有顺序主子式全大正定实二次型
A
Axxf
,0
)2(
的特征值全大于正定实对称矩阵
A
A
0
,0
)3(
于偶数阶顺序主子式全大小于的奇数阶顺序主子式全负定实二次型
A
Axxf
二、题型及方法
1,写出旋转曲面方程，投影柱面方程，投影曲线方程
2,将二次型化为标准形（ 正交变换法 ）
3,判别二次型的正定性
（ 特征值法、顺序主子式法与定义法 ）
1,关于曲面及投影的例题
.,
3694.1 22
方程求所生成的旋转曲面的轴旋转一周及轴分别绕坐标面上的双曲线将
y
xyxx o yex
Solution,
:轴旋转绕 x 36)(94 222 zyx
:轴旋转绕 y 369)(4 222 yzx
.
0
162
.2
222
222
的柱面方程曲线轴而且通过轴及分别求母线平行于
zyx
zyx
yxex
Solution.,轴的柱面母线平行于 x 163 22 zy
:轴的柱面母线平行于 y 1623 22 zx
,
1.3 22
上的投影曲线方程面的交线在与平面求抛物面 xoyzyyxzex
Solution,
0
122
z
yyx
2,将二次型化为标准形
4321 22
,4
xxxxf
ex
为标准形求一正交变换化二次型
Solution,
0100
1000
0001
0010
A
得由,0)1()1( 22 AE
.1,1 4321
得代入把 OxAE )(121
1100
1100
0011
0011
)( AE
0000
0000
1100
0011
44
43
22
21
xx
xx
xx
xx
1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(1 )1,1,0,(2
单位化得,,)0,0,21,21(1p )21,21,0,0(2p
得代入把 OxAE )(143
1100
1100
0011
0011
)( AE
0000
0000
1100
0011
44
43
22
21
xx
xx
xx
xx
1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(3 )1,1,0,0(4
单位化得,,)0,0,21,21(3p )21,21,0,0(4p
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
P令于是正交变换为 x? Py,,24232221 yyyyf且
ex5,判别二次型的正定性：
4342
413121
2
4
2
3
2
2
2
1
3121
2
3
2
2
2
1
126
2421993)2(
22462)1(
xxxx
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxf
Solution.,
401
061
112
)1(
Af 的矩阵二次型
,021P 61
12
2?
P,011
.0383P
.是负定的f?
3,判别二次型的正定性
19631
6902
3031
1211
)2( A
,011P,0231
11
2
P
,06
902
031
211
3
P
.0244P
.是正定的f?
ex6,t 为何值时,下列二次型是正定的：
2222 222)( wzxyzxyzyxtf
Solution.
1000
011
011
011
t
t
t
Af 的矩阵二次型
01 tP
0122 tP
02333 ttP
02334 ttP
.2 t
,
,
2332,.7 222
下的标准方程新直角坐标系并求此椭圆柱面在的图形是一个椭圆柱面使方程的值确定
zyxO
aa yzzyxaex
Solution,
4,综合题
30
30
002
a
aA
30
30
002
a
aAE
)3)(3)(2( aa
特征值为,aa 3,3,2
从而有标准形方程,azayax 222 )3()3(2
,3,03 时即当 aa 362 22 yx (舍去 )
,3,03 时即当 aa 362 22 zx 为椭圆柱面
,3 a
标准方程为,
.1
)
2
1
()
2
3
( 2
2
2
2
zx
.1),,(
,,2
66255),,(
.8
321
323121
2
3
2
2
2
1321
表示何种曲面出方程并指特征值及此二次型对应矩阵的求参数的秩为已知二次型
xxxf
c
xxxxxxcxxxxxxf
ex
Solution.,3?c
,9,4,0 321
.1 为椭圆柱面?f
,
,,),0(
22)(),,(.9
2
3
2
1
3231
2
3
2
21321
该正交变换及求形经正交变换可化为标准已知
yy
xxxxxxxxxxfex
Solution.,2,0
3
2
1
3
2
1
001
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
y
y
y
x
x
x
The end
,
,,.13
2BA
BnAex
使得则存在正定矩阵阶正定矩阵是若
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,(),,( 11 Pd ia gP d ia g nn
),,(),,( 11 PP d ia gPP d ia g nn
,),,( 1 PP d ia gB n取
,,2 正定且则 BBA?
,1
,,.14
的行列式大于证明阶单位矩阵是阶正定矩阵是设
EA
nEnAex
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,( 111 PPPP d i agEA n
)1,,1( 11 PP d i a g n
,1)1()1( 1 nEA
,,.15 必为单位矩阵则阶正交正定矩阵是若 AnAex
Proof.,是正交正定矩阵A?
,,EAAAA 且
,2 EA?从而
,))(( OEAEA
,)(,正定可知正定由 EAA?
.可逆EA
,OEA故
.EA The end
判定法定理 1,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是正定矩阵即是正定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA 即的正惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全大于个特征值的 nnA
定理 2,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是负定矩阵即是负定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA?即的负惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全小于个特征值的 nnA
二次曲面与二次型小结一、内容小结
1,二次曲面与空间图形
空间立体的投影空间曲线及投影二次曲面
双曲面抛物面椭球面柱面旋转曲面球面
2,二次型及正定二次型
正定二次型及判别法二次型的标准化表示二次型及标准形与矩阵
1,曲面及其方程
0),,(,?zyxF一般方程
2202020,Rzzyyxx球面旋转曲面,
0),( 轴旋转一周得绕面上的曲线 yyxfxoy?
0),( 22 yzxf
)(,2222 yxaz圆锥面柱面,(方程为缺项的方程 )
0),(?yxF 表母线平行于 z 轴的柱面 ;
0),(?zyG 表母线平行于 x 轴的柱面 ;
0),(?xzH 表母线平行于 y 轴的柱面,
)0,,( 1,2
2
2
2
2
2
cbaczbyax椭球面
)0( 22:
22
pqzqypx椭圆抛物面
)0( 22:
22
pqzqypx双曲抛物面单叶双曲面,
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
双叶双曲面,
12
2
2
2
2 c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
2,曲线及其投影曲线方程
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF一般方程
)(
)(
)(
:
tzz
tyy
txx
参数方程
0),(?yxH
曲线关于 的 投影柱面xoy
0
0),(
z
yxH
空间曲线在 面上的 投影曲线,xoy
0
0),(
x
zyR
面上的 投影曲线,yoz
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,xoz
3,二次型及标准形与矩阵表示
2
1,1
2
11,1
223223
2
222
112112
2
11121
2
22
22,,,)1(
nnn
nnnnnnn
nn
nnn
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xxaxa
xxaxxaxa
xxaxxaxaxxxf
Axx
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
nnnnn
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n
n
2
1
21
22212
11211
21
222221121,,,)2( nnn ykykykyyyf Byy
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n
00
00
00
),,,( 2
1
2
1
21?
,~.
,)3(
BABA
BACC
CBAn
记为合同于则称使得若存在可逆矩阵与阶方阵设有
4,正定二次型及判别法无论作怎样的可逆线性变换,由二次型 Axxf
得到的标准形中,正平方项的项数 p与负平方项的项数 q是唯一确定的,且 p?q?r(A).
定义,)0(,都有若对于实二次型 nRxAxxf;,,0 )1( 为正定矩阵为正定二次型则 AfAxx
.,,0 )2( 为负定矩阵为负定二次型则 AfAxx
判定法定理,
.0
)1(
于的所有顺序主子式全大正定实二次型
A
Axxf
,0
)2(
的特征值全大于正定实对称矩阵
A
A
0
,0
)3(
于偶数阶顺序主子式全大小于的奇数阶顺序主子式全负定实二次型
A
Axxf
二、题型及方法
1,写出旋转曲面方程，投影柱面方程，投影曲线方程
2,将二次型化为标准形（ 正交变换法 ）
3,判别二次型的正定性
（ 特征值法、顺序主子式法与定义法 ）
1,关于曲面及投影的例题
.,
3694.1 22
方程求所生成的旋转曲面的轴旋转一周及轴分别绕坐标面上的双曲线将
y
xyxx o yex
Solution,
:轴旋转绕 x 36)(94 222 zyx
:轴旋转绕 y 369)(4 222 yzx
.
0
162
.2
222
222
的柱面方程曲线轴而且通过轴及分别求母线平行于
zyx
zyx
yxex
Solution.,轴的柱面母线平行于 x 163 22 zy
:轴的柱面母线平行于 y 1623 22 zx
,
1.3 22
上的投影曲线方程面的交线在与平面求抛物面 xoyzyyxzex
Solution,
0
122
z
yyx
2,将二次型化为标准形
4321 22
,4
xxxxf
ex
为标准形求一正交变换化二次型
Solution,
0100
1000
0001
0010
A
得由,0)1()1( 22 AE
.1,1 4321
得代入把 OxAE )(121
1100
1100
0011
0011
)( AE
0000
0000
1100
0011
44
43
22
21
xx
xx
xx
xx
1
1
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(1 )1,1,0,(2
单位化得,,)0,0,21,21(1p )21,21,0,0(2p
得代入把 OxAE )(143
1100
1100
0011
0011
)( AE
0000
0000
1100
0011
44
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22
21
xx
xx
xx
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1
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1
1
42
4
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xx
x
x
x
x
,)0,0,1,1(3 )1,1,0,0(4
单位化得,,)0,0,21,21(3p )21,21,0,0(4p
2
1
0
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0
2
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1
P令于是正交变换为 x? Py,,24232221 yyyyf且
ex5,判别二次型的正定性：
4342
413121
2
4
2
3
2
2
2
1
3121
2
3
2
2
2
1
126
2421993)2(
22462)1(
xxxx
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxf
Solution.,
401
061
112
)1(
Af 的矩阵二次型
,021P 61
12
2?
P,011
.0383P
.是负定的f?
3,判别二次型的正定性
19631
6902
3031
1211
)2( A
,011P,0231
11
2
P
,06
902
031
211
3
P
.0244P
.是正定的f?
ex6,t 为何值时,下列二次型是正定的：
2222 222)( wzxyzxyzyxtf
Solution.
1000
011
011
011
t
t
t
Af 的矩阵二次型
01 tP
0122 tP
02333 ttP
02334 ttP
.2 t
,
,
2332,.7 222
下的标准方程新直角坐标系并求此椭圆柱面在的图形是一个椭圆柱面使方程的值确定
zyxO
aa yzzyxaex
Solution,
4,综合题
30
30
002
a
aA
30
30
002
a
aAE
)3)(3)(2( aa
特征值为,aa 3,3,2
从而有标准形方程,azayax 222 )3()3(2
,3,03 时即当 aa 362 22 yx (舍去 )
,3,03 时即当 aa 362 22 zx 为椭圆柱面
,3 a
标准方程为,
.1
)
2
1
()
2
3
( 2
2
2
2
zx
.1),,(
,,2
66255),,(
.8
321
323121
2
3
2
2
2
1321
表示何种曲面出方程并指特征值及此二次型对应矩阵的求参数的秩为已知二次型
xxxf
c
xxxxxxcxxxxxxf
ex
Solution.,3?c
,9,4,0 321
.1 为椭圆柱面?f
,
,,),0(
22)(),,(.9
2
3
2
1
3231
2
3
2
21321
该正交变换及求形经正交变换可化为标准已知
yy
xxxxxxxxxxfex
Solution.,2,0
3
2
1
3
2
1
001
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
y
y
y
x
x
x
The end
,
,,.13
2BA
BnAex
使得则存在正定矩阵阶正定矩阵是若
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,(),,( 11 Pd ia gP d ia g nn
),,(),,( 11 PP d ia gPP d ia g nn
,),,( 1 PP d ia gB n取
,,2 正定且则 BBA?
,1
,,.14
的行列式大于证明阶单位矩阵是阶正定矩阵是设
EA
nEnAex
Proof.,是正定矩阵A?,是实对称矩阵A?
存在正交矩阵 P,使得
),,( 11 ndi agAPP,0?i?且
),,( 11 PP di agA n
),,( 111 PPPP d i agEA n
)1,,1( 11 PP d i a g n
,1)1()1( 1 nEA
,,.15 必为单位矩阵则阶正交正定矩阵是若 AnAex
Proof.,是正交正定矩阵A?
,,EAAAA 且
,2 EA?从而
,))(( OEAEA
,)(,正定可知正定由 EAA?
.可逆EA
,OEA故
.EA The end
判定法定理 1,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是正定矩阵即是正定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA 即的正惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全大于个特征值的 nnA
定理 2,设 A为 n阶实对称矩阵,则下列命题等价,
)( )1( 是负定矩阵即是负定二次型 AAxx?
~,)2( EAnA?即的负惯性指数等于
,)3( UUAU使得存在可逆矩阵
0,,)4( 1 全小于个特征值的 nnA
