Chapter 5(4)
二次曲面的分类教学要求：
1.了解常用二次曲面的方程及其图形 ;
2,会用截痕法求曲面的交线,
,椭球面一
,抛物面二
,双曲面三
,锥面四
,面一般二次方程表示的曲五二次曲面与截痕法二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为 一次曲面,
讨论二次曲面形状的 截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
,椭球面一
)0,,( 12
2
2
2
2
2
cbaczbyax
1,1,1 )1( 2
2
2
2
2
2
czbyax由方程有
,,czbyax a,b,c 称为椭球面的半轴,
(2) 用坐标面截得椭球面与三个坐标面的交线：
o
z
yx
,
0
12
2
2
2

z
b
y
a
x
,
0
12
2
2
2

y
c
z
a
x
.
0
12
2
2
2

x
c
z
b
y
(3) 用平行于坐标面的截面去截椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz?
同理与平面 和 的交线也是椭圆,1xx? 1yy?

1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)()(
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
cz?|| 1
x
y
z
椭球面的几种特殊情况,
,)1( ba?若 1 2
2
2
2
2
2
czayax则方程为 旋转椭球面
,
0
1
2
2
2
2
轴旋转而成绕由曲线 z
y
c
z
a
x


旋转椭球面与椭球面的 区别,
与平面 的交线为圆,1zz? )||( 1 cz

1
2
1
2
2
2
22 )(
zz
zc
c
a
yx
,)2( cba若 2222 azyx则方程为 球面
,抛物面二
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
1,椭圆抛物面用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zxoy
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
与平面 的交线为椭圆,1zz? )0( 1?z

1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
与平面 不相交,1zz? )0( 1?z
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
0
22
y
pzx
截得抛物线与平面 的交线为抛物线,1yy?

1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点?

q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得抛物线,
x
y
z
o
0,0 qp
同理当 时可类似讨论,0,0 qp
z
x y
o
0,0 qp
)0( 2,22 ppzyxqp 则方程为若 旋转抛物面
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
2,双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 0,0 qp
图形如下：
x
y
z
o
xyz?常用
,双曲面三
1,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
czbyax

0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
(1) 坐标面截
)0( 截面?zxoy
)0( 截面?xy o z?

0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
)0( 截面?yz ox

0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
x
y
z
(2) 平行于坐标面的截面截

1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
,
zz
c
z
b
y
a
x
zz 时当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z

1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
,
yy
b
y
c
z
a
x
yy 时双曲线的 中心 都在 轴上,y
,221 by?当 x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,221 by?当 z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,221 by?当,,两相交直线czax

1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
,
xx
a
x
c
z
b
y
xx 时双曲线的 中心 都在 y轴上,
,221 ax?当 实轴与 y 轴平行,虚轴与 z 轴平行,
,221 ax?当 实轴与 z 轴平行,虚轴与 y 轴平行,
,221 ax?当,,两相交直线czby
1,2
2
2
22
cza yxba 则方程为若 旋转双曲面单叶双曲面方程还有,
12
2
2
2
2
2
czbyax 12
2
2
2
2
2
czbyax
2,双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
czbyax
双叶双曲面还有
12
2
2
2
2
2
czbyax
12
2
2
2
2
2
czbyax
x
yo
z
,锥面四
02
2
2
2
2
2
czbyax
顶点在原点,
对称轴为 z 轴的锥面,x
y
z
o
02
2
2
2
2
2
czbyax
02
2
2
2
2
2
czbyax
,一般二次方程的化简五考虑二次方程
0
222
321
231312
2
33
2
22
2
11


czbybxb
yzaxzaxyazayaxa
矩阵表示形式为
0321
332313
232212
131211

c
z
y
x
bbb
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyx
即 0 cBXAXX
PYXA?,故一定存在正交变换为对称矩阵由于使得有即,
1
1
1
z
y
x
P
z
y
x
),,( 321d i a gAPP
从而 0)( cB P YYAPPY
0),,( 321 cB P YYd i a gY
0131211213212211 czdydxdzyx
再经过配方,就能判断出原二次方程表示的曲面图形 !
.026224433
,1
222 kzyxxzzyx
ex 曲面讨论下列方程所表示的
Solution,
,
z
y
x
X可设,
302
010
203
A
,26224?B
),1)(5)(1(
302
010
203




AE?
.1,5,1 321
,11 时当



202
020
202
AE
000
010
101

33
2
31
0
xx
x
xx
,
1
0
1
1

取,
1
0
1
2
1
1

p单位化得
,52 时当

202
060
202
5 AE

000
010
101
33
2
31
0
xx
x
xx
,
1
0
1
2
取,
1
0
1
2
1
2
p单位化得
,13 时当



402
000
204
AE
000
100
001
0
0
3
22
1
x
xx
x
,
0
1
0
3
取,
0
1
0
3
p得

0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
),,( 321 pppP取正交矩阵
,,
1
1
1

z
y
x
YPYX 其中作正交变换原方程变形成,
212121 5 zyx
,0
0
2
1
2
1
100
0
2
1
2
1
26224
1
1
1

k
z
y
x
,021025
1
1
1
2
1
2
1
2
1
k
z
y
x
zyx即
,021025 111212121 kzyxzyx即配方得,5)1()1(5)1( 212121 kzyx
,
1
1
1
12
12
12



zz
yy
xx
令
.55 222222 kzyx得
,055,5
2
222
2
2 zyxk 方程成为时当 表示二次锥面 ;
,1
5
5
55
,5
2
2
2
2
2
2?
k
z
k
y
k
x
k 方程成为时当表示单叶双曲面 ;
1
5
5
55
,5
2
2
2
2
2
2?

k
z
k
y
k
x
k 方程成为时当表示双叶双曲面,
,
,
2332,.2 222
下的标准方程新直角坐标系并求此椭圆柱面在的图形是一个椭圆柱面使方程的值确定
zyxO
aa yzzyxaex


,3?aSolution,
.1
)
2
1
()
2
3
( 2
2
2
2
zx
.1),,(
,,2
66255),,(
.3
321
323121
2
3
2
2
2
1321
表示何种曲面出方程并指特征值及此二次型对应矩阵的求参数的秩为已知二次型

xxxf
c
xxxxxxcxxxxxxf
ex
Solution.,3?c
,9,4,0 321
.1 为椭圆柱面?f
.4),,(
,),,(
,422),,(.4
321
321
32
2
3
2
2
2
1321
的图形是什么曲面方程并指出化成标准形求一个正交变换将设有实二次型

xxxf
xxxf
xxxxxxxxfex
Solution,?
3
2
1
3
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
010
y
y
y
x
x
x
,4 2221 yyf
.44 2221 为椭圆柱面 yy
,
,,),0(
22)(),,(.5
2
3
2
1
3231
2
3
2
21321
该正交变换及求形经正交变换可化为标准已知




yy
xxxxxxxxxxfex
Solution.,2,0

3
2
1
3
2
1
001
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
y
y
y
x
x
x
The end