第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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<<电磁场与电磁波 >> （ 第四版 ）
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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1,矢量分析
2,电磁场的基本规律
3,静态电磁场及其边值问题的解
4,时变电磁场
5,均匀平面波在无界空间中的传播
6,均匀平面波的反射和透射
7,导行电磁波
8,电磁辐射教学内容安排根据纸质主教材，本教案也分八章第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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学习的目的、方法及其要求
掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律
掌握宏观电磁波的传播规律
了解电磁波的辐射原理
掌握静态场问题的基本求解方法
训练分析问题、归纳问题的科学方法
培养用数学方法解决实际问题的能力
独立完成作业第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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本章内容
1.1 矢量代数
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
1.3 标量场的梯度
1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流与旋度
1.6 无旋场与无散场
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1.8 亥姆霍兹定理第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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1,标量和矢量矢量的大小或模,AA
矢量的单位矢量,
标量,一个只用大小描述的物理量。
A
A
A
ea
A
ae
,（ 现 在 文 献 中 用 来 表 示 单 位矢 量 ）
矢量的代数表示,AeAeA
AA
1.1 矢量代数矢量,一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜体加黑字母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示,一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意,单位矢量不一定是常矢量。
A?
矢量的几何表示常矢量,大小和方向均不变的矢量。
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x x y y z z
x y z
A e A e A e A
A x A y A z A
也 可 以 表 示 为
c o s x
c o s c o s
xx
yz
A A A A
A A A A
,表 示 在 方 向 的 投 影,是 一 个 标 量
，
)c o sc o sc o s( zyx eeeAA
矢量用坐标分量表示
c os c os c os
c os c os c os
c os c os c os A
x y z
A
A x y z
e e e e
a x y z
或其 中,,分 别 表 示 矢 量与,,轴 正 向 间 的 夹 角 余 弦,称 为矢 量 的 方 向 余 弦 。
z
Ax
A
Ay
Az
x
y
O
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（ 1）矢量的加减法有两种方法计算，一种是用三角形法则计算两矢量的加减,一般用于常矢量的计算，
如图所示。
加法。以一个矢量的终点为起点画出另外一个矢量，新矢量的终点即为加法结果。
2,矢量的代数运算 A? B?B?
BAA?B? BA
减法。以减矢量的终点为起点，被减矢量的终点为终点的矢量即为减法结果。
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)()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA
矢量的加减符合交换律和结合律另一种是代数计算：在直角坐标系中两矢量的加法和减法，对应分量相加减：
结合律 ( ) ( )A B C A B C
A B B A交换律第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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（ 2）标量乘矢量
（ 3）矢量的标积（点积）
zzyyxx kAekAekAeAk
x x y y z zA B A B A B A B
数 学 计 算,对 应 分 量 相 乘 的 和
A B B A —— 矢量的标积符合交换律
1 zzyyxx eeeeee
0 xzzyyx eeeeee
A?
B? q
矢量 与 的夹角A? B?
A BA B 0 BA//A B AB
定义：
c o s ABA B A B q
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（ 4）矢量的矢积（叉积）
ABs i nnA B e A B q
)()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
eee
BA
ABBA
q
sinAB q
BA
B?
A?
矢量 与 的叉积A? B?
用坐标分量表示为写成行列式形式为不满足交换律不满足结合律第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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0,0,0
,,
x x y y z z
x y z y z x z x y
e e e e e e
e e e e e e e e e
BA ABBA若,则
BA// 0 BA若,则第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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叉积：
1 2 3 ( 1 2 1 5 ) ( 6 1 2 ) ( 5 8 )
4 5 6
( 3 ) 6 ( 3 )
x y z
x y z
x y z
e e e
A B e e e
e e e
解
( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) 5 7 9x y z x y zA B e e e e e e
点积,( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) 3 2AB
1 2 3,4 5 6x y z x y zA e e e B e e e例：求的和、点积 与 叉积,
和：
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（ 5）矢量的混合运算
CBCACBA )(
CBCACBA )(
)()()( BACACBCBA
CBABCACBA )()()(
—— 分配律
—— 分配律
—— 标量三重积
—— 矢量三重积第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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y z x yxz
x y z
y z x yxz
B B B BBBA e e e
C C C CCC
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
A A A B B B B B B
B B B A A A C C C B C A
C C C C C C A A A
y z x yxz
x y z
y z x yxz
B B B BBBA A A
C C C CCC
证,
x y z
x y z
x y z
e e e
A B C A B B B
C C C
)()()( BACACBCBA
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CBABCACBA )()()(
()
x y z
x x y y z z x y z
x y z
y z x yxz
x y z
y z x yxz
x y z
x y z
x y z
x y z
y z x yzx
y z x yzx
y z x yzx
y z x yzx
e e e
A B C e A e A e A B B B
C C C
B B B BBB
A e e e
C C C CCC
e e e A A A
A A A e e e
B B B BBB B B B B
BB
C C C CCC C C C C
CC
证：
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x y z
x y z
y z x yzx
y z x yzx
A A A
A B C e e e
B B B BBB
C C C CCC
x y y z x y y zz x z x
y z x z x y x y z
x y y z x y y zz x z x
B B B B B B B BB B B Be e A e e A e e A
C C C C C C C CC C C C
y x z y x y y zz x x z
y z x z x y x y z
y x z y x y y zz x x z
B B B B B B B BB B B Be e A e e A e e A
C C C C C C C CC C C C
yx z
x y z
yx z
BBBB BB B A BA A A
CCCC CC C A C
y y z z x z z x x y x x y y z
x y z
y y z z x z z x x y x x y y z
e B e B B e B e B B e B e B BA A A
e C e C C e C e C C e C e C C
CBABCACBA
有：三重矢量积第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。
1.2 三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中,三种常用的正交曲线坐标系为,直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 。 用来求解规则形状的电磁问题。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系 ；三条正交曲线称为 坐标轴 ；描述坐标轴的量称为 坐标变量 。
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描绘物理状态空间分布的标量函数 和矢量函数,在时间一定的情况下，它们是唯一的，
其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换,和 的大小与方向保持不变。
()r?
()Fr
()r? ()Fr
( ) (,,) (,,) (,,)F r F x y z F z F r q
x y zx,y,z,e,e,e在正交坐标系：直角坐标
z,,z,e,e,e柱面坐标
r θr,θ,,e,e,e球面坐标第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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1,直角坐标系
zeyexer zyx位置矢量面元矢量线元矢量
zeyexel zyx dddd
d d d d dx x y z xS e l l e y z
yxelleS zyxzz ddddd
体积元 zyxV dddd?
zxelleS yzxyy ddddd
坐标变量 zyx,,
坐标单位矢量
zyx eee,,
点 P(x0,y0,z0)
0yy? （平面）
o
x
y
z
0xx? （平面）
0zz? （平面 ）
P
直角坐标系
xe?
ze?
ye?
x
y
z
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
o
dz
d y
dx
zyeS xx ddd
yxeS zz ddd
zxeS yy ddd
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 21
(,,)
,,,
M x y z M x oy
Pz
M
设 为 空 间 内 一 点,并 设 点 在 面 上的 投 影 的 极 坐 标 为,则 这 样 的 三 个 数就 叫 点 的 柱 面 坐 标,
2。柱面坐标系
0,
,20
. z
x
y
z
o
),,( zyxM
(,)P
规定：
简单地说，柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
,,ze e e
坐标单位矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 22
c os,
sin,
,
x
y
zz
为常数
x
y
z
o
z
),,( zyxM
(,)P
x
y
z
o
柱面坐标与直角坐标的关系为
为 常 数为常数z
如图，三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平 面．
22
,
a r c ta n,
,
xy
y
x
zz
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 23
单位矢量变换
x
y
z
o
),,( zyxM
(,)P
e
ze?
e?
s in c o sye e e
c o s s inxe e e
c o ss in yx eee
c o s s inxye e e
zz ee
理解,联 系力的分解与合成第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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写成矩阵形式
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
x
y
zz
ee
ee
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
x
y
zz
ee
ee
转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义,A A A A I
（ *表示共轭转置，实数矩阵只需要转置）
上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵，
转换矩阵第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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矢量的变换若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下 x、
y,z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式
s i n c o syyA A e A A
c o s s inx x z z xA A e A e A e A e e A A
zzAA?
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写成矩阵形式
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
x
y
zz
AA
AA
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
x
y
zz
AA
AA
柱坐标系下的两个矢量当 φ值不相等时不能直接相加，要转换到直角坐标系后再相加，为什么？
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ddddd
ddddd
ddddd
zzz
z
z
elleS
zelleS
zelleS
zeeel z dddd
线元矢量
zV dddd体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
zeer z
位置矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 28
3.球面坐标系
(,,)
M x y z M
r r O M
O M z
zx
O P P M x oy
rM
q?
q?
设 为 空 间 内 一 点,则 点 可 用 三 个 有 次序 的 数,,来 确 定,其 中 为 原 点 与 点 间的 距 离,为 有 向 线 段 与 轴 正 向 所 夹 的 角,
为 从 正 轴 来 看 自 轴 按 逆 时 针 方 向 转 到 有 向 线 段的 角,这 里 为 点 在 面 上 的 投 影,这样 的 三 个 数,,就 叫 做 点 的 球 面 坐 标,
0,r
.20
,0?q
规定：
Px y
z
o
),,( zyxM
r
q
z
y
xA
,,re e eq?坐标单位矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 29
r 为 常 数为常数q
为常数?
如图，三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
sin c o s,
sin sin,
c o s,
xr
yr
zr
q?
q?
q
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
r
q
z
y
xA
x
y
z
o
rq
2 2 2
22
,
a r c ta n,
a r c ta n
r x y z
xy
z
y
x
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 30
单位矢量变换
s in c o s s in s in c o sr x y ze e e eq? q? q
c o s c o s c o s s in s inx y ze e e eq q? q? q
c o ss in yx eee
s in c o s c o s c o s s inxre e e eq?q? q
s in s in c o s s in c o syre e e eq?q? q
c o s s i nzre e e qqq
x
y
z
o
r
qe?
re
e?
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写成矩阵形式
s i n c o s s i n s i n c o s
c o s c o s c o s s i n s i n
s i n c o s 0
rx
y
z
ee
ee
q
q? q? q
q? q? q
s in c o s c o s c o s s in
s in s in c o s s in c o s
c o s s in 0
xr
y
z
ee
e e
q
q? q
q? q
qq
转换矩阵都是正交矩阵：上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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矢量的变换
s in c o s c o s c o s s in
x x r r x
r
A A e A e A e A e e
A A A
q q
q?q? q
s in s in c o s s in c o s
y y r r y
r
A A e A e A e A e e
A A A
q q
q?q? q
c o s s in
z z r r z
r
A A e A e A e A e e
AA
q q
qqq
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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写成矩阵形式
s in c o s c o s c o s s in
s in s in c o s s in c o s
c o s s in 0
xr
y
z
AA
A A
q
q? q
q? q
qq
si n c os si n si n c os
c os c os c os si n si n
si n c os 0
rx
y
z
AA
AA
q
q? q? q
q? q? q
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qq?q dds i nddd 2relleS rrr
q?qq dds i nddd rrelleS zr
q?q ddddd rrelleS r
rer r位置矢量
qq?q ds i nddd rererel r线元矢量
qq ddds i nd 2 rrV?体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 35
10、拉梅系数的使用
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1
i
iii
z
r
x y z
Hi
qqq
l H dq l H dq l H dq
H H H
H H H
v l l l H H H dq dq dq
S e l
q?
q
积
222
1 2 3
1 2 3
12
拉 梅 系 数,1,2,3
坐 标 曲 线 的 弧 微 分,d d d
圆 柱 坐 标 系 拉 梅 系 数,1,,1
球 坐 标 系 的 拉 梅 系 数,1,r,rsin
体 元,d d d d
坐 标 曲 面 面 元,d d
1 2 3 2 3
2 2 1 3 1 3
3 3 1 2 1 2
l e H H dq dq
S e l l e H H dq dq
S e l l e H H dq dq
l l l l
3
2 1 3
3 1 2
2 2 2
1 2 3
d
d d d
d d d
曲 线 弧 微 分,d d + d + d
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4,坐标单位矢量之间的关系
xe? ye? ze?
e?
e?
ze?
cos?sin 0
cos?sin? 0
0 0 1
直角坐标 与圆柱坐标系
ee? ze?
re?
qe?
e?
qsin 0 qcos
qsin?qcos 0
0 01
圆柱坐标 与球坐标系直角坐标 与球坐标系
ze?
re?
qe?
e?
q cossin qcos
qsinq sinc os?
0
xe? ye?
q sinsin
q sincos
cos?sin?
o? x
y
单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系
xe?
ye?
e
e?
o
q
z
单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系
q
q
ze?
e?
re?
qe?
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1.3 标量场的梯度
如果物理量是标量，称该场为 标量场 。
例如,温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为 矢量场 。
例如,流速场,重力场,电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为 静态场,反之为 时变场 。
时变标量场和矢量场可分别表示为：,),,,( tzyxu ),,,( tzyxF?
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个 场 。 场是物理量数值的无穷集合从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
标量场和矢量场
、),,( zyxu ),,( zyxF?静态标量场和矢量场可分别表示为：
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1,标量场的等值面等值面,标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
Czyxu?),,(等值面方程,
常数 C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
标量场的等值面充满场所在的整个空间；
标量场用等值面来描述
标量场的等值面互不相交。（如果相交则交点处的函数值无法确定）
等值面的特点,
意义,形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
标量场的等值线 (面 )
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 39
讨论函数 z = f (x,y)在一点 P
沿某一方向的变化率问题．
2、方向导数的定义
.),(),(lim 0 yxfyyxxflf
定义的方向导数．沿方向限为函数在点的极限存在，则称这极时，如果此比趋于沿着比值，当之两点间的距离与函数的增量
l
P
PlP
yxPP
yxfyyxxf
22
)()(
),(),(
记为方向导数
o
y
x
l
P
x?
y
P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 40
0
0
0
0
(,) (,)
l im
l im
l im
l im c os c os
c os c os
f f x x y y f x y
l
ff
xy
xy
f x f y
xy
ff
xy
ff
xy
o
y
x
l
P
x?
y
P
全微分
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础
41
对于三元函数 ),,( zyxfu?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义为
,),,(),,(lim 0 zyxfzzyyxxflf
三元函数方向导数的定义
（ 其中 222 )()()( zyx ）
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.
c o s,c o s,c o s
f f x f y f z
l x y z
x y z
设方向 L 的方向角为,,,
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意义,方向导数表示场沿某方向的空间变化率 。
0
0
00
() c o s c o s c o s| l i m l i m
M ll
u M u Mu u u u u
l l l x y z
概念,
l0ul —— u(M)沿 方向增加；
l0ul —— u(M)沿 方向减小；
l0u
l
—— u(M)沿 方向无变化。
M0 lMΔl
方向导数的概念l特点,方向导数既与点 M0有关，也与方向有关 。
—— 的方向余弦。l式中, c o sc o sc o s,、
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两个相邻很近的等值面，由于十
0Muu?
00 MMuu1
l? 2l? 3l?
1l? 2l? 3l?和的长度不同，必然导致方向导数的不同。
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44
3,标量场的梯度 （ 或 ）gradu u?
概念,标量场 u在点 M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 u
变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作 gradu，
其中 取得最大值的方向
m a x|l
uue
l
l
ue
l
m a x u|
u
l
— — 的 最 大 变 化 率梯度的计算式,
x y zu u ugra d u e e ex y z
引入哈密顿算子，
x y ze e ex y z
即可缩写为
g r a d u u
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45
梯度的表达式,
z
ueueueu
z?
1圆柱坐标系
qq?q?
u
re
u
rer
ueu
r s i n
11球坐标系
z
ue
y
ue
x
ueu
zyx?
直角坐标系
1 2 3
1 1 2 2 3 3
e e e
H q H q H q
用 拉 梅 系 数 表 示 梯 度,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 46
o
y
x
l
P
x?
y
P
c o s c o s c o s
c o s c o s c o s
x y z
f f f f
l x y z
f e e e
fl
梯度与方向导数的关系第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）
的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
梯度的性质,
00m a x 3l i m l i mll
uuu
ll
0013l i m l i m c osc osll
uu u
ll qq
十
0Muu00 MMuu1l?2l?3l?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
梯度运算的基本公式,
uufuf
uvvuuv
vuvu
uCCu
C
)()(
)(
)(
)(
0
标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或等值面的切平面）
0,- - -
l
ul
n
对 于 等 位 面 上 的 位 移 矢 量 始 终 有故 梯 度 垂 直 于 等 位 面与 等 位 面 的 法 向 矢 量 一 致 。
十
0Muu00 MMuu1l?2l?3l?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
49
解 (1)由梯度计算公式，可求得 P点的梯度为
PzyxP zyxzeyexe )])([(
22
zyxzyx eeeeyexe
22)22(
)1,1,1(
例 1.3.1 设一标量函数? ( x,y,z ) = x2＋ y2－ z 描述了空间标量场 。 试求：
(1) 该函数? 在点 P(1,1,1) 处的梯度,以及表示该梯度方向的单位矢量 。
(2) 求该函数?沿单位矢量方向的方向导数,并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较,得出相应结论 。
ooo 60c o s45c o s60c o s zyxl eeee
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
50
表征其方向的单位矢量
2 2 2
( 1,1,1 )
22 22 1
3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
x y z
l x y zP
P
e x e y e
e e e e
xy
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知,沿 el 方向的方向导数为对于给定的 P 点，上述方向导数在该点取值为
( 1,1,1 )
1 2 212
2 2P xyl
)212 221()22( zyxzyxl eeeeyexeel
2
12 yx
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
而该点的梯度值为
2 2 2
( 1,1,1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy
显然,梯度 描述了 P点处标量函数? 的最大变化率,
即最大的方向导数,故 恒成立 。
P
P
Pl
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
52
例 1.3.2已知,
x y zR e x x e y y e z z R R
证明
31( 1 ) ( 2 ) ( 3 )RRR f R f RR R R
解：
2 2 2
2 2 2
( 1 )
x y z
x y z
R x x y y z z
R R R
R e e e
x y z
e x x e y y e z z R
R
x x y y z z
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
53
2 2 2
3 3
2 2 2
11
( 2)
1 1 1 1
x y z
x y z
R
x x y y z z
e e e
R x R y R z R
e x x e y y e z z R
R
x x y y z z
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
54
2 2 2
( 3 )
x y z
x y z
x y z
f R f R f R
f R e e e
x y z
df R df R df RR R R
e e e
dR x dR y dR z
df R df R R
R
dR dR R
df R
f R R
dR
e x x e y y e z zdf R
dR
x x y y z z
df R R
dR R
f R f R
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
55
1.4 矢量场的通量与散度
1,矢量线导出,标量场是场中各点的标量值的集合，因此有等位面可以直观地表示；而矢量场是场中各点的矢量值的集合，
矢量包含两方面，数值量和方向，相比来说方向量更为重要。因此，用一些有向曲线来表示矢量场。
意义,形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。
概念,矢量线又称为力线或流线，它们是一些带方向的曲线。
场的大小（强弱）用该点附近矢量线的疏密来表示，即该处垂直于矢量线的单位面积上通过的矢量线数正比于此处场矢量的大小；而线上每点处的切线方向即为该点处矢量场的方向。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
56
),,(
d
),,(
d
),,(
d
zyxF
z
zyxF
y
zyxF
x
zyx
矢量线方程,
矢量线
O
M F
r
dl
表示矢量在空间分布的有向线段。 力线上任意点切线方向必然与矢量方向相同。
特点,由于在场域中的某点矢量场有确定的大小和方向，因此所有矢量线互不相交。（但在产生矢量场的源处，多根矢量线在该处发出或汇聚矢量线相交的情况除外）
0F d l
x x y y z z x y zF e F e F e F d l e d x e d y e d z而因此：
0
x y z
x y z
e e e
F d l F F F
d x d y d z
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57
同理，在圆柱坐标系中，若
zzF e F e F e F
d d d
z
z
F F F
圆柱坐标系中的力线方程为球坐标系中的力线方程为在球坐标系中，若
rrF e F e F e Fq q
d d r s i n d
r
rr
F F Fq?
q q
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58
2,矢量场的通量问题,如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。
通量 简单理解：通过一个面的矢量线数量
nd d dSSF S F e S
通量的概念：矢量对开曲面的通量为
nddS e S?
其中,—— 面积元矢量；
ne
—— 面积元的法向单位矢量；
dSnddF e S —— 穿过面积元 的通量。
ds是曲面 S上的面元,如果曲面 S是开表面，则 en为右手螺旋方向。如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是
),,( zyxF?
S?d
ne
面积元矢量
SS SeFSF dd n
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
59
0
通过闭合曲面有净的矢量线穿出
0
有净的矢量线进入
0
进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从 宏观上 建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。
通量的物理意义有正源 有负源 无源第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
60
3,矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
称为矢量场的 散度 。
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元所围的体积之比的极限。
F
V
SzyxF
zyxF S
V?
d),,(lim),,(
0
通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。
散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
61
当分子部分不为 0时，如果两个源都用相同的闭合曲面取包含，
则起决定性作用的将为分子部分，正如我们前面所说，通量表示的是通过闭合曲面的电力线数目，数目越多，散度越大；数目越少，散度越小；数目的多少又反映了源的强弱，因此散度通常反映的是源的性质。
源的性质包括,a)有没有源； b)正源还是负元； c)源的强度第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
圆柱坐标系
)(s i n1)( s i ns i n1)(1 22?q?qqqq FrFrFrrrF r
z
FFFF z
)(?
球坐标系
z
F
y
F
x
FF zyx
直角坐标系散度的表达式,
散度的有关公式,
0 ( )
( ) ( )
()
()
C C C
k F k F k
f F f F F f
F G F G
为 常 矢 量为 常 数
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1A H H A H H A H H A
H H H q q q
1 2 3散 度,
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
63
直角坐标系下散度表达式的推导
0 0 0
0 0 0 0 0 0
,,
(,,),,22 xxx
x y z
FxxF x y z F x y z
x
0 0 0
0 0 0 0 0 0
,,
(,,),,22 xxx
x y z
FxxF x y z F x y z
x
0 0 0 0 0 0[ (,,) (,,) ]22
x
xx
FxxF x y z F x y z y z x y z
x
由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为不失一般性，令包围 P点的微体积?V 为一直平行六面体，如图所示。则
o
x
y
在直角坐标系中计算
z
z?
x?y?
P
F
2 3 440 0 0 0 0 01 1 1 1,..1 ! 2! 3 ! 4!y x x y x y x x y x x y x x y x x
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
64
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点
P 穿出该六面体的净通量为
z
F
y
F
x
F
V
SF
F zyxS
V?
d
lim
0
zyxzFzyxyFzyxxFSF zyx
S
d
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
65
4,散度定理
VS VFSF dd
体积的剖分
V
S1 S2
en2 en1
S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，
在电磁理论中有着广泛的应用。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 66
11i
nn
ii
SS
ii
F d S F d S F d F d
将 上 面 所 有 体 积 相 加,并 注 意 到 相 邻 面 的 流 出 刚 好 是另 一 面 的 流 入,最 后 成 为 体 积 的 表 面 即,
( ) ( )
s
F r d S r
F?
1
2
d,
,.,,,,,,,ndd
证 明,将 闭 合 面 包 围 的 体 积 切 分 为 一 系 列 的 小 体 积对 每 个 小 体 积 根 据 散 度 的 定 义 式
S1 S2
( ) ( ) 1,,
i
is F r d S r F d i n
s
F d F d S
高斯散度定理：
均有：
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67
1.5 矢量场的环流与旋度
1,矢量场的环流与旋涡源例如：流速场。
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
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68
先来看简单的二维场的例子第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
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70
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
71
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无旋场,又称为 保守场 。
C lzyxF d),,(?
环流的概念矢量场对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C
的线积分，即
如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场,能够激发有旋矢量场的源称为 旋涡源 。电流是磁场的旋涡源。
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72
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。
S? C
M
F?
n
2,矢量场的旋度 （ ）F
（ 1）环流面密度
CS lFSF d1limr o t 0n
称为 矢量场在 点 M 处沿方向 的 环流面密度 。n?
特点,其值 与 点 M 处的方向 有关。n?
过点 M 作一微小曲面?S,它的边界曲线记为 C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0 时，极限n?
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73
而推导 的示意图如图所示 。rot
xF
o y
z
y
C
M
z
x
1
2
3
4
计算 的示意图rot
xF
直角坐标系中,,的表达式rot
xF rotyF rotzF
41321 ddddd llllC lFlFlFlFlF
)Δ()Δ(ΔΔ 4321 zFyFzFyF zyzy
2
Δ Δ,,( )
22
z
z z z
M
FyyF F x y z F M
y
3
Δ Δ,,( )
22
y
y y y
M
FzzF F x y z F M
z
1
Δ Δ,,( )
22
y
y y y
M
FzzF F x y z F M
z
4
Δ Δ,,( )
22
z
z z z
M
FyyF F x y z F M
y
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
74
于是同理可得故得概念,矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为 M 点的环流面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义,旋涡源密度矢量。
性质,
（ 2）矢量场的旋度
zyzFyFlF yz
C
)(d
z
F
y
F
S
lF
F yzC
Sx?
d
limr o t
0
m a xnn ]r o t[ FeF
FeF nnr o t
x
F
z
FF zx
y?
r o t
y
F
x
FF xy
z?
r o t
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
75
y
F
x
Fe
x
F
z
Fe
z
F
y
FeF xy
z
zx
y
yz
x
旋度的计算公式,
z
z
FFF
z
eee
F
1
q
q
q
q
q
q
FrrFF
r
erere
r
F
r
r
s i n
s i n
s i n
1
2?
直角坐标系圆柱坐标系 球坐标系
zyx
zyx
FFF
zyx
eee
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
76
旋度的有关公式,
矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零
FfFfFf )(
0 C?
GFGF )(
GFFGGF )(
0)( F?
0)( u
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
e H e H e H
A
H H H q q q
H A H A H A
旋 度,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 77
任意矢量旋度的散度恒为零
0?
zyxzyx
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
AAA
zyx
eee
z
e
y
e
x
eA
由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场 B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即,
AAr ot
BBd i v
B
0
则：
如果：
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 78
梯度的旋度恒为零
0)()( uug r a dr o t
0
)(
u
zyx
zyx
eee
z
u
y
u
x
u
zyx
eee
z
u
e
y
u
e
x
u
eu
zyxzyx
zyx
证明：
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
79
SC SFlF dd
3,斯托克斯定理斯托克斯 定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
图 1,5,5 曲面的 划 分
C
S
n
曲面的 剖分方向相反大小相等结果抵消从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 80
斯托克斯定理
1,矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。
CSA d l r o t A d S即,
定义写为：
都可运用旋度显然对于任意小面元小面元切分成一系列意表面我们可将曲线所张的任
ii SS
S
SC
n
i
i
n
n
i
C
n
SdAr otldA
SdAr otldA
i
即：
故：
11
limlim
iC niSdAr o tldA,,1
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 81
梯度场的特性梯度场是一种位场、势场0)( U
无旋、散度源。则：设有,0; FUF
任意为固定点u视的积分的环路及P如图分析包含
1
21
12
2;),,(
)()(
0
2
1
2
1
2
1
122 221211
122211
uCdluzyxu
PuPudl
dl
du
dlu
dludludlu
dSudludludlu
CP
p
p
p
p
p
p
PCP PCPPCP
SPCPPCP
C
P 2
C 1 C 2
P 1
F i g 1,6,1
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82
4,散度和旋度的区别
0,0FF 0,0FF
0,0FF 0,0FF
无源区域 发散源漩涡源发散源＋
漩涡源第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
1,矢量场的源散度源,是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，
源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；
旋度源,是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于
（或正比于）矢量场在该点的旋度。
1.6 无旋场与无散场第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
84
2,矢量场按源的分类
（ 1）无旋场
0dC lF性质,,线积分与路径无关，是保守场。
仅有散度源而无旋度源的矢量场,0 F?
无旋场 可以用标量场的梯度表示为例如：静电场
0EE?
uF
( ) 0Fu
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85
（ 2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场,即性质,
0dS SF
0 F?
无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场
AB 0B?
AF
0)( AF
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86
（ 3） 无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外）
0F
（ 4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r
无旋场部分 无散场部分
( ) 0u
Fu
02 u
0F
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87
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1,拉普拉斯运算
标量拉普拉斯运算 2u?
概念,
2?
—— 拉普拉斯算符
222
2
2 2 2
uuuu
x y z
直角坐标系计算公式,
22
2
2 2 2
11() u u uu
z
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i n
u u uur
r r r r rqq q q q?
圆柱坐标系球坐标系
uu 2)(
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88
矢量拉普拉斯运算 2F?
概念,
2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F
即
22() iiFF
注意,对于非直角分量，
22() iiFF
直角坐标系中：
如：
22()FF
(,,)i x y z?
)()(2 FFF
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89
2,格林定理根据散度定理
n
VS
F d V F e d S
令设?及?为 任意两个标量场，在区域 V 中具有连续的二阶偏导数。
则有
F
VS
d V d S
由于 2
ne n
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90
2
( ) d dVS VS n
将两个标量函数位置对调，有以上两式称为 标量第一格林定理 。
S
V
,?
ne?
2
( ) dVS V d Sn
式中 S为包围 V 的闭合曲面,为标量场 Ψ 在 S 表面的外法线 方向上的偏导数。
n
ne?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
91
基于上式还可获得下式：
上式称为 标量第二格林定理 。
格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系 。
因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题 。
此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，
如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。
格林定理广泛地用于电磁理论。
SV SnnV 22 d)(d)(
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92
我们对矢量场的散度和旋度的意义进行一下归纳和总结：
1.8 亥姆霍兹定理
⑴ 矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度是一个矢量函数。
⑵散度表示场中某点的通量体密度，它是通量源强度的量度；
旋度表示场中某点的最大环量面密度，它是漩涡源强度的量度。
⑶散度取决于场矢量的各个分量沿各自方向上的变化率；旋度由场矢量的各个分量在与之正交方向上的变化率来决定。
散度表示矢量场在各点处的通量源，旋度表示矢量场在各点处的旋涡源。场是由源激发的，通量源和旋涡源的确定意味着场就确定了。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
93
亥姆霍兹定理,
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为
)()()( rArurF
亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
94
一个无界空间的无旋场有
1
1
0
()
F
F u r
但该场又必须有散度源，因此必有
1
2
1
0
( 1 )
F
Fu
一个无界空间的无散场有
2
2
0F
FA
但该场又必须有旋，因此必有
2
2
2
0
( 2)
F
FA
AA
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
95
⑴ 为标量函数 u的泊松方程。
对⑵取 A的散度为零即得 A的矢量泊松方程对真空中既有散度又有旋度的矢量场 F
令
12
12
F F F
F F F F
因 而因此可得
2
2
uF
A A F
当给定 时可得到上两个方程的解 u,A进而得到矢量的解 FFF
)()()( rArurF
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
96
亥姆霍兹定理告诉我们：
⑴无界空间中的矢量场由它的散度和旋度唯一的确定
⑵矢量场的散度和旋度决定了矢量场的基本性质将矢量场的散度和旋度所满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形式将矢量场的通量和环流所满足的关系式称为矢量场基本方程的积分形式矢量场的基本性质就是由矢量场的基本方程来表示的。
对于有限空间区域的矢量场，则是由它的散度、旋度和边界条件（即有限区域的边界面上的场分布）唯一的确定。其中边界条件反应了边界上的源对于区域内场的作用。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 97
第 1章 矢量分析小结
1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，
它们都是空间坐标的连续函数。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 98
2.标量场 中，梯度的定义为其中 为 变化最快的方向上的单位矢量。
ru?
zueyuexueulunrug r a d zyx
n?
n?
nl
u
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 99
3.矢量场 在闭合面 s的通量定义为
,它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为
)(rA
s sdrA )(
z
A
y
A
x
ArSdrAAAd i v zyxs
)()(
lim
0
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 100
4.矢量场 在闭合路径 C的环流定义为,它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为
)(rA
c ldA
zyx
zyx
zzyyxx
AAA
zyx
eee
Ar o teAr o teAr o teA
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 101
1,5.矢量分析中重要的恒等式有
2.
.0)(0
uA
SdAldASdAdA
scs?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 102
6.算符 矢量算符 在直角坐标内，
所以 是个矢量，而 是个标量,是个矢量。因而矢量算符 符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，
再作微分运算。
7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。
A
,zeyexe zyx
u? A
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 103
散度（柱坐标）
11 zA AAA z
1
1
11
00
11
z z z
z
z
z
A e e e e A e A e A
z
A e A e A A
e A e A e
z
AA A
e e A e e
z
A
A
A A A AAA
z
11
z
z
z
A A
A
z
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 104
散度（球坐标）
22 s i n1 1 1s i n s i nr AAA r Ar r r r?qqq q q
11
sin
1
1
sin
r r r
r r r
rr
rr
rr
A e e e e A e A e A
r r r
eAeAA e A
e A e A e A e
rr
eAeAeA
e A e A e A e
r
q? q q
qq
q q q
qq
q q
q q?
q q q q q q
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 105
1
0
sin c os
1
sin
sin c os
c os1 1 1 1
sin sin
rr
r r r
r
rr
r
r
rr
r
AAAA
e e A e e A e e
rr
AA
e A e e A e
e
Ar
e e A e
AAAA
AA
r r r r r r
A
q
q q q q?
q
q q
q
qq
q q q
qq
q
qq
q
q q q?
c os2 1 1
sin sin
r
AAA
A
r r r r r
qq
q
q q q?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 106
2
2
2
2
2 s in c o s
1
s in s in
s in1 1 1
s in s in
r
r
r
AA
r r A A
A
r
r r r
rA AA
r r r r
q
q
q
qq
q
q q?
q
q q q?
1
<<电磁场与电磁波 >> （ 第四版 ）
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
2
1,矢量分析
2,电磁场的基本规律
3,静态电磁场及其边值问题的解
4,时变电磁场
5,均匀平面波在无界空间中的传播
6,均匀平面波的反射和透射
7,导行电磁波
8,电磁辐射教学内容安排根据纸质主教材，本教案也分八章第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
3
学习的目的、方法及其要求
掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律
掌握宏观电磁波的传播规律
了解电磁波的辐射原理
掌握静态场问题的基本求解方法
训练分析问题、归纳问题的科学方法
培养用数学方法解决实际问题的能力
独立完成作业第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
本章内容
1.1 矢量代数
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
1.3 标量场的梯度
1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流与旋度
1.6 无旋场与无散场
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1.8 亥姆霍兹定理第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
6
1,标量和矢量矢量的大小或模,AA
矢量的单位矢量,
标量,一个只用大小描述的物理量。
A
A
A
ea
A
ae
,（ 现 在 文 献 中 用 来 表 示 单 位矢 量 ）
矢量的代数表示,AeAeA
AA
1.1 矢量代数矢量,一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜体加黑字母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示,一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意,单位矢量不一定是常矢量。
A?
矢量的几何表示常矢量,大小和方向均不变的矢量。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
7
x x y y z z
x y z
A e A e A e A
A x A y A z A
也 可 以 表 示 为
c o s x
c o s c o s
xx
yz
A A A A
A A A A
,表 示 在 方 向 的 投 影,是 一 个 标 量
，
)c o sc o sc o s( zyx eeeAA
矢量用坐标分量表示
c os c os c os
c os c os c os
c os c os c os A
x y z
A
A x y z
e e e e
a x y z
或其 中,,分 别 表 示 矢 量与,,轴 正 向 间 的 夹 角 余 弦,称 为矢 量 的 方 向 余 弦 。
z
Ax
A
Ay
Az
x
y
O
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
8
（ 1）矢量的加减法有两种方法计算，一种是用三角形法则计算两矢量的加减,一般用于常矢量的计算，
如图所示。
加法。以一个矢量的终点为起点画出另外一个矢量，新矢量的终点即为加法结果。
2,矢量的代数运算 A? B?B?
BAA?B? BA
减法。以减矢量的终点为起点，被减矢量的终点为终点的矢量即为减法结果。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
9
)()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA
矢量的加减符合交换律和结合律另一种是代数计算：在直角坐标系中两矢量的加法和减法，对应分量相加减：
结合律 ( ) ( )A B C A B C
A B B A交换律第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
10
（ 2）标量乘矢量
（ 3）矢量的标积（点积）
zzyyxx kAekAekAeAk
x x y y z zA B A B A B A B
数 学 计 算,对 应 分 量 相 乘 的 和
A B B A —— 矢量的标积符合交换律
1 zzyyxx eeeeee
0 xzzyyx eeeeee
A?
B? q
矢量 与 的夹角A? B?
A BA B 0 BA//A B AB
定义：
c o s ABA B A B q
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
11
（ 4）矢量的矢积（叉积）
ABs i nnA B e A B q
)()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
eee
BA
ABBA
q
sinAB q
BA
B?
A?
矢量 与 的叉积A? B?
用坐标分量表示为写成行列式形式为不满足交换律不满足结合律第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
12
0,0,0
,,
x x y y z z
x y z y z x z x y
e e e e e e
e e e e e e e e e
BA ABBA若,则
BA// 0 BA若,则第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
13
叉积：
1 2 3 ( 1 2 1 5 ) ( 6 1 2 ) ( 5 8 )
4 5 6
( 3 ) 6 ( 3 )
x y z
x y z
x y z
e e e
A B e e e
e e e
解
( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) 5 7 9x y z x y zA B e e e e e e
点积,( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) 3 2AB
1 2 3,4 5 6x y z x y zA e e e B e e e例：求的和、点积 与 叉积,
和：
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
14
（ 5）矢量的混合运算
CBCACBA )(
CBCACBA )(
)()()( BACACBCBA
CBABCACBA )()()(
—— 分配律
—— 分配律
—— 标量三重积
—— 矢量三重积第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
15
y z x yxz
x y z
y z x yxz
B B B BBBA e e e
C C C CCC
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
A A A B B B B B B
B B B A A A C C C B C A
C C C C C C A A A
y z x yxz
x y z
y z x yxz
B B B BBBA A A
C C C CCC
证,
x y z
x y z
x y z
e e e
A B C A B B B
C C C
)()()( BACACBCBA
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
16
CBABCACBA )()()(
()
x y z
x x y y z z x y z
x y z
y z x yxz
x y z
y z x yxz
x y z
x y z
x y z
x y z
y z x yzx
y z x yzx
y z x yzx
y z x yzx
e e e
A B C e A e A e A B B B
C C C
B B B BBB
A e e e
C C C CCC
e e e A A A
A A A e e e
B B B BBB B B B B
BB
C C C CCC C C C C
CC
证：
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
17
x y z
x y z
y z x yzx
y z x yzx
A A A
A B C e e e
B B B BBB
C C C CCC
x y y z x y y zz x z x
y z x z x y x y z
x y y z x y y zz x z x
B B B B B B B BB B B Be e A e e A e e A
C C C C C C C CC C C C
y x z y x y y zz x x z
y z x z x y x y z
y x z y x y y zz x x z
B B B B B B B BB B B Be e A e e A e e A
C C C C C C C CC C C C
yx z
x y z
yx z
BBBB BB B A BA A A
CCCC CC C A C
y y z z x z z x x y x x y y z
x y z
y y z z x z z x x y x x y y z
e B e B B e B e B B e B e B BA A A
e C e C C e C e C C e C e C C
CBABCACBA
有：三重矢量积第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
18
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。
1.2 三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中,三种常用的正交曲线坐标系为,直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 。 用来求解规则形状的电磁问题。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系 ；三条正交曲线称为 坐标轴 ；描述坐标轴的量称为 坐标变量 。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
19
描绘物理状态空间分布的标量函数 和矢量函数,在时间一定的情况下，它们是唯一的，
其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标系的变换,和 的大小与方向保持不变。
()r?
()Fr
()r? ()Fr
( ) (,,) (,,) (,,)F r F x y z F z F r q
x y zx,y,z,e,e,e在正交坐标系：直角坐标
z,,z,e,e,e柱面坐标
r θr,θ,,e,e,e球面坐标第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
20
1,直角坐标系
zeyexer zyx位置矢量面元矢量线元矢量
zeyexel zyx dddd
d d d d dx x y z xS e l l e y z
yxelleS zyxzz ddddd
体积元 zyxV dddd?
zxelleS yzxyy ddddd
坐标变量 zyx,,
坐标单位矢量
zyx eee,,
点 P(x0,y0,z0)
0yy? （平面）
o
x
y
z
0xx? （平面）
0zz? （平面 ）
P
直角坐标系
xe?
ze?
ye?
x
y
z
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
o
dz
d y
dx
zyeS xx ddd
yxeS zz ddd
zxeS yy ddd
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 21
(,,)
,,,
M x y z M x oy
Pz
M
设 为 空 间 内 一 点,并 设 点 在 面 上的 投 影 的 极 坐 标 为,则 这 样 的 三 个 数就 叫 点 的 柱 面 坐 标,
2。柱面坐标系
0,
,20
. z
x
y
z
o
),,( zyxM
(,)P
规定：
简单地说，柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
,,ze e e
坐标单位矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 22
c os,
sin,
,
x
y
zz
为常数
x
y
z
o
z
),,( zyxM
(,)P
x
y
z
o
柱面坐标与直角坐标的关系为
为 常 数为常数z
如图，三坐标面分别为圆柱面；
半平面；
平 面．
22
,
a r c ta n,
,
xy
y
x
zz
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 23
单位矢量变换
x
y
z
o
),,( zyxM
(,)P
e
ze?
e?
s in c o sye e e
c o s s inxe e e
c o ss in yx eee
c o s s inxye e e
zz ee
理解,联 系力的分解与合成第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
24
写成矩阵形式
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
x
y
zz
ee
ee
c os sin 0
sin c os 0
0 0 1
x
y
zz
ee
ee
转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义,A A A A I
（ *表示共轭转置，实数矩阵只需要转置）
上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵，
转换矩阵第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
25
矢量的变换若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下 x、
y,z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式
s i n c o syyA A e A A
c o s s inx x z z xA A e A e A e A e e A A
zzAA?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
26
写成矩阵形式
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
x
y
zz
AA
AA
c os si n 0
si n c os 0
0 0 1
x
y
zz
AA
AA
柱坐标系下的两个矢量当 φ值不相等时不能直接相加，要转换到直角坐标系后再相加，为什么？
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
27
ddddd
ddddd
ddddd
zzz
z
z
elleS
zelleS
zelleS
zeeel z dddd
线元矢量
zV dddd体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
zeer z
位置矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 28
3.球面坐标系
(,,)
M x y z M
r r O M
O M z
zx
O P P M x oy
rM
q?
q?
设 为 空 间 内 一 点,则 点 可 用 三 个 有 次序 的 数,,来 确 定,其 中 为 原 点 与 点 间的 距 离,为 有 向 线 段 与 轴 正 向 所 夹 的 角,
为 从 正 轴 来 看 自 轴 按 逆 时 针 方 向 转 到 有 向 线 段的 角,这 里 为 点 在 面 上 的 投 影,这样 的 三 个 数,,就 叫 做 点 的 球 面 坐 标,
0,r
.20
,0?q
规定：
Px y
z
o
),,( zyxM
r
q
z
y
xA
,,re e eq?坐标单位矢量
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 29
r 为 常 数为常数q
为常数?
如图，三坐标面分别为圆锥面；
球 面；
半平面．
sin c o s,
sin sin,
c o s,
xr
yr
zr
q?
q?
q
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
r
q
z
y
xA
x
y
z
o
rq
2 2 2
22
,
a r c ta n,
a r c ta n
r x y z
xy
z
y
x
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 30
单位矢量变换
s in c o s s in s in c o sr x y ze e e eq? q? q
c o s c o s c o s s in s inx y ze e e eq q? q? q
c o ss in yx eee
s in c o s c o s c o s s inxre e e eq?q? q
s in s in c o s s in c o syre e e eq?q? q
c o s s i nzre e e qqq
x
y
z
o
r
qe?
re
e?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
31
写成矩阵形式
s i n c o s s i n s i n c o s
c o s c o s c o s s i n s i n
s i n c o s 0
rx
y
z
ee
ee
q
q? q? q
q? q? q
s in c o s c o s c o s s in
s in s in c o s s in c o s
c o s s in 0
xr
y
z
ee
e e
q
q? q
q? q
转换矩阵都是正交矩阵：上式两边同时右乘转换矩阵的转置矩阵第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
32
矢量的变换
s in c o s c o s c o s s in
x x r r x
r
A A e A e A e A e e
A A A
q q
q?q? q
s in s in c o s s in c o s
y y r r y
r
A A e A e A e A e e
A A A
q q
q?q? q
c o s s in
z z r r z
r
A A e A e A e A e e
AA
q q
qqq
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
33
写成矩阵形式
s in c o s c o s c o s s in
s in s in c o s s in c o s
c o s s in 0
xr
y
z
AA
A A
q
q? q
q? q
si n c os si n si n c os
c os c os c os si n si n
si n c os 0
rx
y
z
AA
AA
q
q? q? q
q? q? q
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
34
qq?q dds i nddd 2relleS rrr
q?qq dds i nddd rrelleS zr
q?q ddddd rrelleS r
rer r位置矢量
qq?q ds i nddd rererel r线元矢量
qq ddds i nd 2 rrV?体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 35
10、拉梅系数的使用
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1
i
iii
z
r
x y z
Hi
qqq
l H dq l H dq l H dq
H H H
H H H
v l l l H H H dq dq dq
S e l
q?
q
积
222
1 2 3
1 2 3
12
拉 梅 系 数,1,2,3
坐 标 曲 线 的 弧 微 分,d d d
圆 柱 坐 标 系 拉 梅 系 数,1,,1
球 坐 标 系 的 拉 梅 系 数,1,r,rsin
体 元,d d d d
坐 标 曲 面 面 元,d d
1 2 3 2 3
2 2 1 3 1 3
3 3 1 2 1 2
l e H H dq dq
S e l l e H H dq dq
S e l l e H H dq dq
l l l l
3
2 1 3
3 1 2
2 2 2
1 2 3
d
d d d
d d d
曲 线 弧 微 分,d d + d + d
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
36
4,坐标单位矢量之间的关系
xe? ye? ze?
e?
e?
ze?
cos?sin 0
cos?sin? 0
0 0 1
直角坐标 与圆柱坐标系
ee? ze?
re?
qe?
e?
qsin 0 qcos
qsin?qcos 0
0 01
圆柱坐标 与球坐标系直角坐标 与球坐标系
ze?
re?
qe?
e?
q cossin qcos
qsinq sinc os?
0
xe? ye?
q sinsin
q sincos
cos?sin?
o? x
y
单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系
xe?
ye?
e
e?
o
q
z
单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系
q
q
ze?
e?
re?
qe?
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
37
1.3 标量场的梯度
如果物理量是标量，称该场为 标量场 。
例如,温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为 矢量场 。
例如,流速场,重力场,电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为 静态场,反之为 时变场 。
时变标量场和矢量场可分别表示为：,),,,( tzyxu ),,,( tzyxF?
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个 场 。 场是物理量数值的无穷集合从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
标量场和矢量场
、),,( zyxu ),,( zyxF?静态标量场和矢量场可分别表示为：
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
38
1,标量场的等值面等值面,标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
Czyxu?),,(等值面方程,
常数 C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
标量场的等值面充满场所在的整个空间；
标量场用等值面来描述
标量场的等值面互不相交。（如果相交则交点处的函数值无法确定）
等值面的特点,
意义,形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
标量场的等值线 (面 )
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 39
讨论函数 z = f (x,y)在一点 P
沿某一方向的变化率问题．
2、方向导数的定义
.),(),(lim 0 yxfyyxxflf
定义的方向导数．沿方向限为函数在点的极限存在，则称这极时，如果此比趋于沿着比值，当之两点间的距离与函数的增量
l
P
PlP
yxPP
yxfyyxxf
22
)()(
),(),(
记为方向导数
o
y
x
l
P
x?
y
P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 40
0
0
0
0
(,) (,)
l im
l im
l im
l im c os c os
c os c os
f f x x y y f x y
l
ff
xy
xy
f x f y
xy
ff
xy
ff
xy
o
y
x
l
P
x?
y
P
全微分
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础
41
对于三元函数 ),,( zyxfu?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义为
,),,(),,(lim 0 zyxfzzyyxxflf
三元函数方向导数的定义
（ 其中 222 )()()( zyx ）
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.
c o s,c o s,c o s
f f x f y f z
l x y z
x y z
设方向 L 的方向角为,,,
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
42
意义,方向导数表示场沿某方向的空间变化率 。
0
0
00
() c o s c o s c o s| l i m l i m
M ll
u M u Mu u u u u
l l l x y z
概念,
l0ul —— u(M)沿 方向增加；
l0ul —— u(M)沿 方向减小；
l0u
l
—— u(M)沿 方向无变化。
M0 lMΔl
方向导数的概念l特点,方向导数既与点 M0有关，也与方向有关 。
—— 的方向余弦。l式中, c o sc o sc o s,、
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
两个相邻很近的等值面，由于十
0Muu?
00 MMuu1
l? 2l? 3l?
1l? 2l? 3l?和的长度不同，必然导致方向导数的不同。
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
44
3,标量场的梯度 （ 或 ）gradu u?
概念,标量场 u在点 M处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 u
变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作 gradu，
其中 取得最大值的方向
m a x|l
uue
l
l
ue
l
m a x u|
u
l
— — 的 最 大 变 化 率梯度的计算式,
x y zu u ugra d u e e ex y z
引入哈密顿算子，
x y ze e ex y z
即可缩写为
g r a d u u
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45
梯度的表达式,
z
ueueueu
z?
1圆柱坐标系
qq?q?
u
re
u
rer
ueu
r s i n
11球坐标系
z
ue
y
ue
x
ueu
zyx?
直角坐标系
1 2 3
1 1 2 2 3 3
e e e
H q H q H q
用 拉 梅 系 数 表 示 梯 度,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 46
o
y
x
l
P
x?
y
P
c o s c o s c o s
c o s c o s c o s
x y z
f f f f
l x y z
f e e e
fl
梯度与方向导数的关系第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）
的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
梯度的性质,
00m a x 3l i m l i mll
uuu
ll
0013l i m l i m c osc osll
uu u
ll qq
十
0Muu00 MMuu1l?2l?3l?
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48
梯度运算的基本公式,
uufuf
uvvuuv
vuvu
uCCu
C
)()(
)(
)(
)(
0
标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或等值面的切平面）
0,- - -
l
ul
n
对 于 等 位 面 上 的 位 移 矢 量 始 终 有故 梯 度 垂 直 于 等 位 面与 等 位 面 的 法 向 矢 量 一 致 。
十
0Muu00 MMuu1l?2l?3l?
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49
解 (1)由梯度计算公式，可求得 P点的梯度为
PzyxP zyxzeyexe )])([(
22
zyxzyx eeeeyexe
22)22(
)1,1,1(
例 1.3.1 设一标量函数? ( x,y,z ) = x2＋ y2－ z 描述了空间标量场 。 试求：
(1) 该函数? 在点 P(1,1,1) 处的梯度,以及表示该梯度方向的单位矢量 。
(2) 求该函数?沿单位矢量方向的方向导数,并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较,得出相应结论 。
ooo 60c o s45c o s60c o s zyxl eeee
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50
表征其方向的单位矢量
2 2 2
( 1,1,1 )
22 22 1
3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 )
x y z
l x y zP
P
e x e y e
e e e e
xy
(2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知,沿 el 方向的方向导数为对于给定的 P 点，上述方向导数在该点取值为
( 1,1,1 )
1 2 212
2 2P xyl
)212 221()22( zyxzyxl eeeeyexeel
2
12 yx
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51
而该点的梯度值为
2 2 2
( 1,1,1 )
( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy
显然,梯度 描述了 P点处标量函数? 的最大变化率,
即最大的方向导数,故 恒成立 。
P
P
Pl
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52
例 1.3.2已知,
x y zR e x x e y y e z z R R
证明
31( 1 ) ( 2 ) ( 3 )RRR f R f RR R R
解：
2 2 2
2 2 2
( 1 )
x y z
x y z
R x x y y z z
R R R
R e e e
x y z
e x x e y y e z z R
R
x x y y z z
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53
2 2 2
3 3
2 2 2
11
( 2)
1 1 1 1
x y z
x y z
R
x x y y z z
e e e
R x R y R z R
e x x e y y e z z R
R
x x y y z z
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54
2 2 2
( 3 )
x y z
x y z
x y z
f R f R f R
f R e e e
x y z
df R df R df RR R R
e e e
dR x dR y dR z
df R df R R
R
dR dR R
df R
f R R
dR
e x x e y y e z zdf R
dR
x x y y z z
df R R
dR R
f R f R
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55
1.4 矢量场的通量与散度
1,矢量线导出,标量场是场中各点的标量值的集合，因此有等位面可以直观地表示；而矢量场是场中各点的矢量值的集合，
矢量包含两方面，数值量和方向，相比来说方向量更为重要。因此，用一些有向曲线来表示矢量场。
意义,形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。
概念,矢量线又称为力线或流线，它们是一些带方向的曲线。
场的大小（强弱）用该点附近矢量线的疏密来表示，即该处垂直于矢量线的单位面积上通过的矢量线数正比于此处场矢量的大小；而线上每点处的切线方向即为该点处矢量场的方向。
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56
),,(
d
),,(
d
),,(
d
zyxF
z
zyxF
y
zyxF
x
zyx
矢量线方程,
矢量线
O
M F
r
dl
表示矢量在空间分布的有向线段。 力线上任意点切线方向必然与矢量方向相同。
特点,由于在场域中的某点矢量场有确定的大小和方向，因此所有矢量线互不相交。（但在产生矢量场的源处，多根矢量线在该处发出或汇聚矢量线相交的情况除外）
0F d l
x x y y z z x y zF e F e F e F d l e d x e d y e d z而因此：
0
x y z
x y z
e e e
F d l F F F
d x d y d z
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57
同理，在圆柱坐标系中，若
zzF e F e F e F
d d d
z
z
F F F
圆柱坐标系中的力线方程为球坐标系中的力线方程为在球坐标系中，若
rrF e F e F e Fq q
d d r s i n d
r
rr
F F Fq?
q q
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58
2,矢量场的通量问题,如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。
通量 简单理解：通过一个面的矢量线数量
nd d dSSF S F e S
通量的概念：矢量对开曲面的通量为
nddS e S?
其中,—— 面积元矢量；
ne
—— 面积元的法向单位矢量；
dSnddF e S —— 穿过面积元 的通量。
ds是曲面 S上的面元,如果曲面 S是开表面，则 en为右手螺旋方向。如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是
),,( zyxF?
S?d
ne
面积元矢量
SS SeFSF dd n
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59
0
通过闭合曲面有净的矢量线穿出
0
有净的矢量线进入
0
进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从 宏观上 建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。
通量的物理意义有正源 有负源 无源第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
60
3,矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
称为矢量场的 散度 。
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元所围的体积之比的极限。
F
V
SzyxF
zyxF S
V?
d),,(lim),,(
0
通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。
散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。
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61
当分子部分不为 0时，如果两个源都用相同的闭合曲面取包含，
则起决定性作用的将为分子部分，正如我们前面所说，通量表示的是通过闭合曲面的电力线数目，数目越多，散度越大；数目越少，散度越小；数目的多少又反映了源的强弱，因此散度通常反映的是源的性质。
源的性质包括,a)有没有源； b)正源还是负元； c)源的强度第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
圆柱坐标系
)(s i n1)( s i ns i n1)(1 22?q?qqqq FrFrFrrrF r
z
FFFF z
)(?
球坐标系
z
F
y
F
x
FF zyx
直角坐标系散度的表达式,
散度的有关公式,
0 ( )
( ) ( )
()
()
C C C
k F k F k
f F f F F f
F G F G
为 常 矢 量为 常 数
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
1A H H A H H A H H A
H H H q q q
1 2 3散 度,
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63
直角坐标系下散度表达式的推导
0 0 0
0 0 0 0 0 0
,,
(,,),,22 xxx
x y z
FxxF x y z F x y z
x
0 0 0
0 0 0 0 0 0
,,
(,,),,22 xxx
x y z
FxxF x y z F x y z
x
0 0 0 0 0 0[ (,,) (,,) ]22
x
xx
FxxF x y z F x y z y z x y z
x
由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为不失一般性，令包围 P点的微体积?V 为一直平行六面体，如图所示。则
o
x
y
在直角坐标系中计算
z
z?
x?y?
P
F
2 3 440 0 0 0 0 01 1 1 1,..1 ! 2! 3 ! 4!y x x y x y x x y x x y x x y x x
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
64
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点
P 穿出该六面体的净通量为
z
F
y
F
x
F
V
SF
F zyxS
V?
d
lim
0
zyxzFzyxyFzyxxFSF zyx
S
d
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65
4,散度定理
VS VFSF dd
体积的剖分
V
S1 S2
en2 en1
S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，
在电磁理论中有着广泛的应用。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 66
11i
nn
ii
SS
ii
F d S F d S F d F d
将 上 面 所 有 体 积 相 加,并 注 意 到 相 邻 面 的 流 出 刚 好 是另 一 面 的 流 入,最 后 成 为 体 积 的 表 面 即,
( ) ( )
s
F r d S r
F?
1
2
d,
,.,,,,,,,ndd
证 明,将 闭 合 面 包 围 的 体 积 切 分 为 一 系 列 的 小 体 积对 每 个 小 体 积 根 据 散 度 的 定 义 式
S1 S2
( ) ( ) 1,,
i
is F r d S r F d i n
s
F d F d S
高斯散度定理：
均有：
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67
1.5 矢量场的环流与旋度
1,矢量场的环流与旋涡源例如：流速场。
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
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68
先来看简单的二维场的例子第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
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70
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
71
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无旋场,又称为 保守场 。
C lzyxF d),,(?
环流的概念矢量场对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C
的线积分，即
如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场,能够激发有旋矢量场的源称为 旋涡源 。电流是磁场的旋涡源。
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72
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。
S? C
M
F?
n
2,矢量场的旋度 （ ）F
（ 1）环流面密度
CS lFSF d1limr o t 0n
称为 矢量场在 点 M 处沿方向 的 环流面密度 。n?
特点,其值 与 点 M 处的方向 有关。n?
过点 M 作一微小曲面?S,它的边界曲线记为 C，曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0 时，极限n?
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73
而推导 的示意图如图所示 。rot
xF
o y
z
y
C
M
z
x
1
2
3
4
计算 的示意图rot
xF
直角坐标系中,,的表达式rot
xF rotyF rotzF
41321 ddddd llllC lFlFlFlFlF
)Δ()Δ(ΔΔ 4321 zFyFzFyF zyzy
2
Δ Δ,,( )
22
z
z z z
M
FyyF F x y z F M
y
3
Δ Δ,,( )
22
y
y y y
M
FzzF F x y z F M
z
1
Δ Δ,,( )
22
y
y y y
M
FzzF F x y z F M
z
4
Δ Δ,,( )
22
z
z z z
M
FyyF F x y z F M
y
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74
于是同理可得故得概念,矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为 M 点的环流面密度最大值，其方向为取得环流密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义,旋涡源密度矢量。
性质,
（ 2）矢量场的旋度
zyzFyFlF yz
C
)(d
z
F
y
F
S
lF
F yzC
Sx?
d
limr o t
0
m a xnn ]r o t[ FeF
FeF nnr o t
x
F
z
FF zx
y?
r o t
y
F
x
FF xy
z?
r o t
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
75
y
F
x
Fe
x
F
z
Fe
z
F
y
FeF xy
z
zx
y
yz
x
旋度的计算公式,
z
z
FFF
z
eee
F
1
q
q
q
q
q
q
FrrFF
r
erere
r
F
r
r
s i n
s i n
s i n
1
2?
直角坐标系圆柱坐标系 球坐标系
zyx
zyx
FFF
zyx
eee
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76
旋度的有关公式,
矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零
FfFfFf )(
0 C?
GFGF )(
GFFGGF )(
0)( F?
0)( u
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
e H e H e H
A
H H H q q q
H A H A H A
旋 度,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 77
任意矢量旋度的散度恒为零
0?
zyxzyx
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
AAA
zyx
eee
z
e
y
e
x
eA
由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场 B，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即,
AAr ot
BBd i v
B
0
则：
如果：
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 78
梯度的旋度恒为零
0)()( uug r a dr o t
0
)(
u
zyx
zyx
eee
z
u
y
u
x
u
zyx
eee
z
u
e
y
u
e
x
u
eu
zyxzyx
zyx
证明：
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79
SC SFlF dd
3,斯托克斯定理斯托克斯 定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
图 1,5,5 曲面的 划 分
C
S
n
曲面的 剖分方向相反大小相等结果抵消从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 80
斯托克斯定理
1,矢量对闭合回路的线积分等于该回路所张成的任意表面对该矢量旋度的面积分。
CSA d l r o t A d S即,
定义写为：
都可运用旋度显然对于任意小面元小面元切分成一系列意表面我们可将曲线所张的任
ii SS
S
SC
n
i
i
n
n
i
C
n
SdAr otldA
SdAr otldA
i
即：
故：
11
limlim
iC niSdAr o tldA,,1
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 81
梯度场的特性梯度场是一种位场、势场0)( U
无旋、散度源。则：设有,0; FUF
任意为固定点u视的积分的环路及P如图分析包含
1
21
12
2;),,(
)()(
0
2
1
2
1
2
1
122 221211
122211
uCdluzyxu
PuPudl
dl
du
dlu
dludludlu
dSudludludlu
CP
p
p
p
p
p
p
PCP PCPPCP
SPCPPCP
C
P 2
C 1 C 2
P 1
F i g 1,6,1
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4,散度和旋度的区别
0,0FF 0,0FF
0,0FF 0,0FF
无源区域 发散源漩涡源发散源＋
漩涡源第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
1,矢量场的源散度源,是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，
源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；
旋度源,是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于
（或正比于）矢量场在该点的旋度。
1.6 无旋场与无散场第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
84
2,矢量场按源的分类
（ 1）无旋场
0dC lF性质,,线积分与路径无关，是保守场。
仅有散度源而无旋度源的矢量场,0 F?
无旋场 可以用标量场的梯度表示为例如：静电场
0EE?
uF
( ) 0Fu
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85
（ 2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场,即性质,
0dS SF
0 F?
无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场
AB 0B?
AF
0)( AF
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86
（ 3） 无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外）
0F
（ 4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r
无旋场部分 无散场部分
( ) 0u
Fu
02 u
0F
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1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1,拉普拉斯运算
标量拉普拉斯运算 2u?
概念,
2?
—— 拉普拉斯算符
222
2
2 2 2
uuuu
x y z
直角坐标系计算公式,
22
2
2 2 2
11() u u uu
z
2
22
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( s i n )
s i n s i n
u u uur
r r r r rqq q q q?
圆柱坐标系球坐标系
uu 2)(
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矢量拉普拉斯运算 2F?
概念,
2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F
即
22() iiFF
注意,对于非直角分量，
22() iiFF
直角坐标系中：
如：
22()FF
(,,)i x y z?
)()(2 FFF
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2,格林定理根据散度定理
n
VS
F d V F e d S
令设?及?为 任意两个标量场，在区域 V 中具有连续的二阶偏导数。
则有
F
VS
d V d S
由于 2
ne n
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90
2
( ) d dVS VS n
将两个标量函数位置对调，有以上两式称为 标量第一格林定理 。
S
V
,?
ne?
2
( ) dVS V d Sn
式中 S为包围 V 的闭合曲面,为标量场 Ψ 在 S 表面的外法线 方向上的偏导数。
n
ne?
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91
基于上式还可获得下式：
上式称为 标量第二格林定理 。
格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系 。
因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题 。
此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，
如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。
格林定理广泛地用于电磁理论。
SV SnnV 22 d)(d)(
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92
我们对矢量场的散度和旋度的意义进行一下归纳和总结：
1.8 亥姆霍兹定理
⑴ 矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度是一个矢量函数。
⑵散度表示场中某点的通量体密度，它是通量源强度的量度；
旋度表示场中某点的最大环量面密度，它是漩涡源强度的量度。
⑶散度取决于场矢量的各个分量沿各自方向上的变化率；旋度由场矢量的各个分量在与之正交方向上的变化率来决定。
散度表示矢量场在各点处的通量源，旋度表示矢量场在各点处的旋涡源。场是由源激发的，通量源和旋涡源的确定意味着场就确定了。
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亥姆霍兹定理,
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为
)()()( rArurF
亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。
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一个无界空间的无旋场有
1
1
0
()
F
F u r
但该场又必须有散度源，因此必有
1
2
1
0
( 1 )
F
Fu
一个无界空间的无散场有
2
2
0F
FA
但该场又必须有旋，因此必有
2
2
2
0
( 2)
F
FA
AA
第 1章 矢量分析电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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⑴ 为标量函数 u的泊松方程。
对⑵取 A的散度为零即得 A的矢量泊松方程对真空中既有散度又有旋度的矢量场 F
令
12
12
F F F
F F F F
因 而因此可得
2
2
uF
A A F
当给定 时可得到上两个方程的解 u,A进而得到矢量的解 FFF
)()()( rArurF
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亥姆霍兹定理告诉我们：
⑴无界空间中的矢量场由它的散度和旋度唯一的确定
⑵矢量场的散度和旋度决定了矢量场的基本性质将矢量场的散度和旋度所满足的关系式称为矢量场基本方程的微分形式将矢量场的通量和环流所满足的关系式称为矢量场基本方程的积分形式矢量场的基本性质就是由矢量场的基本方程来表示的。
对于有限空间区域的矢量场，则是由它的散度、旋度和边界条件（即有限区域的边界面上的场分布）唯一的确定。其中边界条件反应了边界上的源对于区域内场的作用。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 97
第 1章 矢量分析小结
1.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的矢量场，这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，
它们都是空间坐标的连续函数。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 98
2.标量场 中，梯度的定义为其中 为 变化最快的方向上的单位矢量。
ru?
zueyuexueulunrug r a d zyx
n?
n?
nl
u
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 99
3.矢量场 在闭合面 s的通量定义为
,它是一个标量；矢量场的散度也是一个标量，定义为
)(rA
s sdrA )(
z
A
y
A
x
ArSdrAAAd i v zyxs
)()(
lim
0
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 100
4.矢量场 在闭合路径 C的环流定义为,它是一个标量；矢量场的旋度是一个矢量，它定义为
)(rA
c ldA
zyx
zyx
zzyyxx
AAA
zyx
eee
Ar o teAr o teAr o teA
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 101
1,5.矢量分析中重要的恒等式有
2.
.0)(0
uA
SdAldASdAdA
scs?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 102
6.算符 矢量算符 在直角坐标内，
所以 是个矢量，而 是个标量,是个矢量。因而矢量算符 符合矢量标积、矢积的乘法规则，在计算时，先按矢量乘法规则展开，
再作微分运算。
7.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从研究它的散度和旋度开始着手，散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程。
A
,zeyexe zyx
u? A
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 103
散度（柱坐标）
11 zA AAA z
1
1
11
00
11
z z z
z
z
z
A e e e e A e A e A
z
A e A e A A
e A e A e
z
AA A
e e A e e
z
A
A
A A A AAA
z
11
z
z
z
A A
A
z
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 104
散度（球坐标）
22 s i n1 1 1s i n s i nr AAA r Ar r r r?qqq q q
11
sin
1
1
sin
r r r
r r r
rr
rr
rr
A e e e e A e A e A
r r r
eAeAA e A
e A e A e A e
rr
eAeAeA
e A e A e A e
r
q? q q
q q q
q q
q q?
q q q q q q
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 105
1
0
sin c os
1
sin
sin c os
c os1 1 1 1
sin sin
rr
r r r
r
rr
r
r
rr
r
AAAA
e e A e e A e e
rr
AA
e A e e A e
e
Ar
e e A e
AAAA
AA
r r r r r r
A
q
q q q q?
q
q q
q
q q q
q
q
q q q?
c os2 1 1
sin sin
r
AAA
A
r r r r r
q
q q q?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 106
2
2
2
2
2 s in c o s
1
s in s in
s in1 1 1
s in s in
r
r
r
AA
r r A A
A
r
r r r
rA AA
r r r r
q
q
q
q
q q?
q
q q q?
