第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
1
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
2
2.1 电荷守恒定律
2.2 真空中静电场的基本规律
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.4 媒质的电磁特性
2.5 电磁感应定律和位移电流
2.6 麦克斯韦方程组
2.7 电磁场的边界条件本章讨论内容第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
3
2.1 电荷守恒定律电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类 。
电荷 电流电场 磁场
（运动）
源量为电荷 和 电流,分别用来描述产生电磁效应的两类场源 。 电荷是产生电场的源,电流是产生磁场的源 。
),( trq ),( trI
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4
本节内容
2.1.1 电荷与电荷密度
2.1.2 电流与电流密度
2.1.3 电荷守恒定律第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
电荷是物质基本属性之一。
1897年英国科学家 汤姆逊 (J.J.Thomson)在实验中发现了电子 。
1907 — 1913年间,美国科学家 密立根 (R.A.Miliken)通过油滴实验,精确测定电子电荷的量值为
e =1.602 177 33× 10-19 (单位,C )
确认了电荷的量子化概念 。 换句话说,e 是最小的电荷,而任何带电粒子所带电荷都是 e的整数倍 。
宏观分析时,电荷常是数以亿计的电子电荷 e的集合,故可不考虑其量子化的事实,而认为电荷量 q可任意连续取值 。
2.1.1 电荷与电荷密度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
6
1,电荷体密度
V
rq
V
rqr
V d
)(d
Δ
)(Δlim)(
0Δ
V Vrq d)(
单位,C/m3 (库 /米 3 )
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域 V 中的电荷体密度，则区域 V 中的总电荷 q为电荷连续分布于体积 V 内，用电荷体密度来描述其分布理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：
点电荷,体分布 电荷,面分布电荷,线分布电荷
q?
V
y
x
z
o
r
V?
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7
若电荷分布在薄层上,当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示 。
2,电荷面密度单位,C/m2 (库 /米 2)
如果已知某空间曲面 S 上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷 q 为
S s Srq d)(
S
rq
S
rqr
SS d
)(d
Δ
)(Δlim)(
0Δ
y
x
z
o
r
q?S?
S
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8
若电荷分布在细线上,当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。 线分布的电荷可用电荷线密度表示。
3,电荷线密度
l
rq
l
rqr
l
l d
)(d
Δ
)(Δ)( lim
0Δ
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷 q 为
C l lrq d)(
单位,C / m (库 /米 )
y
x
z
o
r
q?
l?
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9
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为 q 的点电荷。
点电荷的电荷密度表示
)(δ)( rrqr
4,点电荷
y
x
z
o
r?
q
将电荷区域看作是一个没有几何大小的点。
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10
2.1.2 电流与电流密度说明,电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为 恒定电流,用 I 表示。
存在可以自由移动的电荷 ;
存在电场。
单位,A （安）
电流方向,正电荷的流动方向
0l im ( ) d dti q t q t
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用 i 表示，其大小定义为：
单位时间内通过某一横截面 S的电荷量，即形成电流的条件,
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11
nn0
dl im
dS
iiJ e e
SS
电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用 电流密度矢量 来描述。J
单位,A/ m2 （安 /米 2） 。
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用 体电流,面电流 和 线电流 来描述电流的分别状态。
1,体电流流过任意曲面 S 的电流为体电流密度矢量
J
ne
S?
正电荷运动的方向
SJi S d
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12
2,面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布
SJ
面电流密度矢量
d 0
te
ne
l?
SJ
0h?
tt0
dl im
dS l
iiJ e e
ll
单位,A/m （安 /米） 。
通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为l
正电荷运动的方向
)d( n leJi l S
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 13
sinSSd I J d l J d l
J d l
显 见 有 角 度 因 素 存 在 即,
其 中 为 与 的 夹 角 。
sin sin ( )
Ss
n n n l j
dI n ldl jJ n dl J
由 于,
故 有,
SSllI n d l J J n d l
ACBBACCBA轮换法则成立：
dl任 意 表 面 线 元 表 面 电 流,
流：任意有向曲线穿过的电
I
l
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14
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律,电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。
电流连续性方程积分形式微分形式流出闭曲面 S 的电流等于体积 V 内单位时间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程
0t
恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，
既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。
dd
dd
dd
dd
SV
VS
q
J S V
tt
J V J S
tJ?
0dS SJ、0 J?
*穿出闭合面的通量 =0
有入有出，动态平衡
*恒定电流场为无散度场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
15
2.2 真空中静电场的基本规律静电场,由静止电荷产生的电场。
重要特征,对位于电场中的电荷有电场力作用。
本节内容
2.2.1 库仑定律 电场强度
2.2.2 静电场的散度与旋度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
16
1,库仑 （ Coulomb） 定律 (1785年 )
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力,
y
x
z
o
1r
1q
2r
12R
12F
2q
,满足牛顿第三定律。
2 1 1 2FF
大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
3
120
1221
2
120
21
12 π4π4 R
Rqq
R
qqeF
R
2.2.1 库仑定律 电场强度
方向沿 q1 和 q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
说明：
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17
电场力服从叠加定理
()iiR r r
真空中的 N个点电荷 （分别位于 ）
对点电荷 （位于 ）的作用力为
12 Nq q q、,,
q
12 Nr r r、,,
r
q
q1
q2
q3 q4
q5
q6q7
N
i i
ii
N
i
qqq R
RqqFF
i
1
3
01 π4?
等于各点电荷对该电荷电场力的合力。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
18
2,电场强度空间某点的电场强度定义为臵于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即
00
)(lim)(
0 q
rFrE
q
3
0π4
)( RRqrE?
根据上述定义，真空中静止点电荷 q激发的电场为
()R r r
—— 描述电场分布的基本物理量电场强度矢量 E
0q
—— 试验正电荷
y
x
z
o
r?
q
r
R
E
M
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 19
真空中电场强度的计算公式直接根据 库仑定律，有：
23
0044
R
qqE e R
RR
23
1 1 1
RR
Ree
R R R R R
'
'
00
11
(,)
44
qq
E r r
R rr
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 20
库仑定律的重要结论：
点电荷周围的电场强度
（ 1）与距离平方成反比；
（ 2）与源点的电荷量成正比 ;
（ 3）源场满足叠加原理。
n
i ii
i
n
i
iR
i
i
n
i
i
ii
RR
q
e
R
q
EE
niEq
1
2
01
2
01
1
44
),,1(
则：总场产生场即如果有源如果电荷是连续分布呢？
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
21
小体积元中的电荷产生的电场
()r
V
y
x
z
o
r?
iV
r
M
)(rS面密度为 的面分布电荷的电场强度
)(rl线密度为 的线分布电荷的电场强度体密度为 的体分布电荷产生的电场强度)(r
i i
iii
R
RVrrE
3
0π4
Δ)()(
V VR Rr d)(π4 1 3
0
S S SR RrrE d)(π4 1)( 3
0
C
l l
R
RrrE d)(
π4
1)(
3
0
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
22
3,几种典型电荷分布的电场强度
02 π
lE
2 2 3 2
0
( 0,0,) 2 ( )lz azEz az +
（无限长）
（有限长）
l?
y
x
z
o
M
a
均匀带电圆环
l?
1?
z
M
2?
均匀带电直线段均匀带电直线段的电场强度,
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
12
0
21
0
( c o s c o s )
4 π
( sin sin )
4 π
l
l
z
E
E
r
r
r
-
-
当导线变为无限长时,?1?0?,?2
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
23
5 3 3
00
1 3 ( )( ) 2 c o s s i n
4 π 4 π r
p r r p PE r e e
r r r
p ql? —— 电偶极矩
Er
+q
电偶极子
z
ol
－ q
电偶极子的场图等位线电场线电偶极子是由相距很近、带等值异号电量的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为电偶极子的电场强度：
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 24
电偶极子 是由相距非常近的正负两个点电荷组成的电荷系。
rR
q
E
11
4 0
电偶极子的电场解：电场的叠加原理，电偶极子的电场就是两个点电荷产生的场的叠加。
1、求电场
x
z
y
q?
R
r
P
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 25
2
c os1
r
l
r
1
21 2 c o s
1
l
rr
xx 1)1(泰勒展开：
x
z
y
q?
R
r
P
q
11 2 2 2( 2 c o s )R r l r l
根据余弦定理
略 去 二 阶 无 穷 小
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 26
2 3 3
0 0 0
c o s c o s s i n
4 2 4r
q l q l q l
ee
r r r?
rR
q
E
11
4 0
sinr
ee
e
r r r
球坐标系中
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 27
23
00
33
0
53
0
1 c os 1
44
1 1 1
4
31
2,4,8
4
ql p r
E
rr
p r p r
rr
pr p
r
rr
通常电偶极矩定义为：
p q l q q()常 矢 量
( 2,3 )A
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 28
23
00
33
0
53
0
1 c os 1
44
1 1 1
4
31
2,4,8
4
ql p r
E
rr
p r p r
rr
pr p
r
rr
通常电偶极矩定义为
p q l q q()常 矢 量
( 2,3 )A
ppepepezpypxp
zeyexepepeperp
p
zzyyxxzyx
zyxzzyyxx
为常矢量若第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
29
例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。
解,如图所示，环形薄圆盘的内半径为 a,外半径为 b，电荷面密度为 。 在环形薄圆盘上取面积元
,其位臵矢量为,
它所带的电量为 。
而薄圆盘轴线上的场点 的位臵矢量为,因此有
S?
d ' ' d ' d 'S re
d d ' ' d ' d 'SSqS
(0,0,)Pz
zr e z?
2 π
2 2 3 / 20
0
( ) d d4 π ( )b zS
a
e z eEr
z
P(0,0,z)
b
r R
y
z
x
均匀带电的环形薄圆盘
dS?
a
dE
2 π 2 π
00 d c o s s i n )d 0xye ( e e
故
2 2 3 / 2 2 2 1 / 2 2 2 1 / 2
00
d 1 1()
2 ( ) 2 ( ) ( )
bSS
zz a
zz
z z a z b
E r e e
由于
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 30
1,立体角
– 在半径为 R的球面上取面元,与球心构成的锥体。
– 定义锥体对球心所张的立体角,(球面度 sr),
ds
2R
ds
d
与半径 R无关
21 RdRdds?
2?d
1?d
2.2.2 静电场的散度与旋度
1.静电场散度与高斯定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 31
– 整个球面 对球心所张的立体角
– 任意曲面 对一点所张的立体角
4
4
2
2
R
R
322
c o sr d s r rd s e d sd
RR rr
与是否球面无关
re
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 32
2,立体角
– 特点,a,与半径 R无关
21
2
21
2
dd
R
RdRd
R
ds
d
点在闭合面外点在闭合面内
0
4?
与半径 R无关
21 RdRdds?
2?d
1?d
b,闭合面的立体角第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
33
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度通量与闭合面内电荷间关系，点电荷的电场穿过任意闭曲面 S的通量。
3
0
0
( ) d
4
4
S
s
s
q r r
E r S d s
rr
q
d
点在闭合面外点在闭合面内
0
4?
因此对电荷系或分部电荷
0
( ) d
S
QE r S
Q为闭合面内的总电荷
S为高斯面第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
34
曲面上的电场强度是由空间所有电荷产生的，并不是与曲面外的电荷无关，而是外部电荷在闭合曲面上产生的电场强度的通量为零。
当闭合曲面内的电荷是密度为 ρ的体分布电荷，则上式可写为
0
1( ) d
S
V
E r S d V
因为
( ) dS
V
E r S E d V
所以有
0
1
VV
E d V d V
静电场的高斯定理 （积分形式）
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
35
由体积 V的任意性有
0
E
静电场的散度 （微分形式）
VS VrSrE )d(1d)(
0
高斯定理表明,静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
静电场的散度 （微分形式） 静电场的高斯定理 （积分形式）
0
)()(
rrE
静电场的基本方程之一
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 36
a.在点电荷的电场中任取一条连接 AB两点的曲线
BA
R
R
l
r
l
RR
q
R
dRq
R
ldeq
ldE
B
A
11
4
44
0
2
0
2
0
q
A
B
BR
AR
R?
dR
ld?
0
l
ldE
dredredreld r s in
b.若曲线闭合
2,静电场旋度与环路定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 37
4,静电系统守恒定理证明
– c.微分形式
– 由斯托克斯定理
0
0
E
SdEldE
sc
q
A
B
BR
AR
R?
dR
ld?
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38
( ) 0Er
环路定理表明,静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
静电场的旋度 （微分形式） 静电场的环路定理 （积分形式）
0d)(C lrE
静电场的另一个基本方程第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
39
在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。
3,利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：
球对称分布,包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
带电球壳 多层同心球壳 均匀带电球体
a
Oρ
0
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40
无限大平面电荷,如无限大的均匀带电平面、平板等。
轴对称分布,如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱体等。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
41
例 2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为 a,电 荷密度为?0 。
解,（ 1） 球外某点的场强
0
3
00
π341d aqSES
（ 2）求球体内一点的场强
VSE VS d1d 0
0
a
r?0r
r
E
a
2
0
3
0
3 r
aE
( r ≥ a )
3
3
0
2 π
3
4
3π4
14 r
a
qEr
0
0
3?
rE? （ r < a）
由由第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
42
2.3 真空中恒定磁场的基本规律本节内容
2.3.1 安培力定律 磁感应强度
2.3.2 恒定磁场的散度与旋度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
1,安培力定律
y
x
z
o
1r
11dIl
2r
12R
1C 2C
22dIl
安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821 — 1825年之间，
设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式，称为安培力定律。
实验表明,真空中的载流回路 C1
对载流回路 C2的作用力
载流回路 C2 对载流回路 C1的作用力
2 1 1 2FF
安培力定律
2.3.1 安培力定律 磁感应强度满足牛顿第三定律
2 1 3
12
1211220
12
)d(d
π4 C C R
RlIlIF
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44
2,磁感应强度 B
电流在其周围空间中产生磁场,描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度,单位为 T（ 特斯拉 ） 。B
磁场的重要特征是对场中的电流有磁场力作用,载流回路
C1对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力 。
根据安培力定律,有其中 电流 I1在电流元处产生的磁感应强度
22dIl
22 1 )(d)dπ4(d 21223
12
12110
2212 CC C rBlIR
RlIlIF
1 3
12
12110
21
d
π4)( C R
RlIrB
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
45
任意电流回路 C 产生的磁感应强度电流元 产生的磁感应强度dIl?
体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度
y
x
z
o
r?
dIl?
r
R
C
M
CC R RlIrr rrlIrB 3030 dπ4)(dπ4)(
3
0 )(d
π4)(d rr
rrlIrB
VR RrJrB V d)(π4)( 30
SR RrJrB S S d)(π4)( 30
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
46
3,几种典型电流分布的磁感应强度
2
0
2 2 3 2(0,0,) 2 ( )z
IaB z e
az
载流直线段的磁感应强度,
载流圆环轴线上的磁感应强度：
0
12( c o s c o s )4 π
IBe
（有限长）
（无限长）0
2 π
IBe
I
1?
z
P
2?
载流直线段
I
y
x
z
o
P
a
载流圆环第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
2 2 1 / 2,( )zr r e z e a r r z a
d ( ) d ' ( )zI l r r e I a e z e a
2d ' d 'ze I a z e I a
d d 'I l e I a
r e a,而场点 P 的位臵矢量为,故得zr e z?
解,设圆环的半径为 a，流过的电流为 I。为计算方便取线电流圆环位于 xOy 平面上，则所求场点为 P (0,0,z ),如图 所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为,其位臵矢量为例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。
dIl?
y
x
z
o
P
a
载流圆环
r R
r?
2 π0
2 2 3 / 20( ) d4 π ( )
ze z e aIaBz
za
轴线上任一点 P ( 0,0,z )的磁感应强度为第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
0( 0)
2z
IBe
a
2
0
32z
IaBe
z
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点 P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。
当场点 P 远离圆环，即 z>> a 时，因,故2 2 3 / 2 3()z a z
22 π
00
2 2 3 / 2 2 2 3 / 20( ) d '4 π ( ) 2 ( )
zI a I aeaBz
z a z a
2 π 2 π
00d ( c o s s i n )d 0xye e e
由于,所以在圆环的中心点上,z= 0，磁感应强度最大，即
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 49
任意闭合面通量：
0
2
0
2
0
0
4
4
1
4
1
0
4
R
s s c
R
cs
cs
c
I dl e
B dS dS
R
I dl e dS
R
I dl
ndS
R
I dl
d
R
s
A d n A d s
0?
C
S
B
2.3.2 恒定磁场的散度和旋度
1.恒定磁场的散度与磁通连续性原理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 50
任意闭合面通量：
磁通处处连续 ---磁感应线总是闭合曲线。
0
0
0
s
B d S
Bd
B
任 意第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
磁通连续性原理 表明,恒定磁场是无散场，磁感应线是无起点和终点的闭合曲线。自然界中不存在孤立磁荷，磁单极恒定场的散度 （微分形式） 磁通连续性原理 （积分形式）
0d)(S SrB0)( rB
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 52
磁场的环流：
0
2
'
0
2
'
0
2
'
'
4
' ( )
4
'
4
R
c c c
R
cc
R
cc
I dl e
B dl dl
R
dl dl e
I
R
dl dl e
I
R
C
C’
P
dl
dl’
2,恒定磁场的旋度与安培环路定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 53
回顾,立体角在半径为 R的球面上取面元,与球心构成的锥体。
定义锥体对球心所张的立体角,
整个球面 对球心所张的立体角
(球面度 ),
任意曲面元对一点所张的立体角
ds
2R
dsd
44 2
2
R R
22
c o s
R
ds
R
esdd r
与是否球面无关
re
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 54
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 55
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
C上场点 P张立体角?(C’)
P沿 C移动 dl-->立体角增加 d?
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 56
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
等效于 p不动,c’移动 -dl,立体角的增加 d?
-dl
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
C上场点 P张立体角?(C’)
P沿 C移动 dl-->立体角增加 d?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 57
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
H d l
R?
C
C’
P
dl’
只计算 c’移动 -dl时,立体角的增量 d?
-dl
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 58
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl’
Re?
2
'
' R
c
d l d l e
d
R
-dl
'd s d l d l
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
只计算 c’移动 -dl时,立体角的增量 d?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 59
p沿回路 C走一周
2
'
'
2,5,4
R
cc
d l d l e
d
R
由 2.5.3,2.5.4知，当 C和 C’不套连时,
0 0
4c
I
B d l
P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 60
当 C和 C’套连时,起点 A-终点 B时：
0
04
c
I
B d l I
2 ( 2 ) 4
0
04
c
I
B d l I
P
A
B改写为积分式 (安培环路定理 )
再由 C的任意性
00
0
S c S
B d s B d l I J d s
BJ
(安培环路定理微分形式 )
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
61
)()( 0 rJrB ISrJlrB SC 00 d)(d)(
安培环路定理表明,恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源。
恒定磁场的旋度 （微分形式） 安培环路定理 （积分形式）
安培环路第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
解,分析场的分布，取安培环路如图，则根据对称性，有,故
12B B B
00
00
0
2
0
2
S
y
S
y
J
ex
B
J
ex
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。
3,利用安培环路定理计算磁感应强度例 2.3.2 求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁感应强度。
0S z SJ e J?
lJlBlBlB SC 0021d
C
1B 2B
O x
y
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
63
解 选用圆柱坐标系，则 ()B e B
应用安培环路定理，得
2
10 22 π
IB
a
例 2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
( 1 ) 0 a
2
2
1 22ππ
III
aa
取安培环路,交链的电流为()a
0
1 22 π
IBe
a?
a
b
c?
I
I
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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( 3 ) bc
应用安培环路定理，得
22
0
3 22
()2 π IcB
cb
( 4 ) c
( 2 ) ab
202 π BI
2 2 2 2
3 2 2 2 2
bcI I I I
c b c b
4 0I?
22
0
3 222 π
I cBe
cb?
0
2 2 π
IBe
4 0B?
a cb
02πIb?
02πIa?
O
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
65
2.4 媒质的电磁特性本节内容
2.4.1 电介质的极化 电位移矢量
2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度
2.4.3 媒质的传导特性
媒质对电磁场的响应可分为三种情况,极化,磁化 和 传导 。
描述媒质电磁特性的参数为,介电常数,磁导率 和 电导率 。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
66
2.4.1 电介质的极化 电位移矢量
1,电介质的极化现象电介质的分子分为无极分子和有极分子。
无极分子
有极分子无外加电场无极分子 有极分子有外加电场
E
在 电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，
有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。
无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
67
2,极化强度矢量 )mC( 2P?
Δ0l im
i
V
pP n p
V
极化强度矢量 是描述介质极化程度的物理量，定义为
P?
p ql? —— 分子的平均电偶极矩
P? 的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。
极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、
各向同性的电介质中,与电场强度成正比，即P
e0PE
e ( 0)
—— 电介质的电极化率
E
pnPipp
n为单位体积内的平均分子数第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
68
由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。
3,极化电荷
( 1 ) 极化电荷体密度在电介质内任意作一闭合面 S,只有电偶极矩穿过 S 表面的分子对 S 内的极化电荷有贡献。在 S上取一小面元 dS，
以 dS为底 l为斜高构成一个体积元,由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元 dS,因此 dS对极化电荷的贡献为
Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S
E
S
P?
S?d
V?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
( 2 ) 极化电荷面密度
pnS Pe
紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元的极化电荷为
dS
Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S
故得到电介质表面的极化电荷面密度为
nedS
S
P
S 所围的体积内的极化电荷 为
Pq
VSP VPSPq dd P P
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
70
4,电位移矢量 介质中的高斯定理介质的极化过程包括两个方面：
外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；
极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。
V pS VSE )d(1d
0
0pE
自由电荷和极化电荷共同激发的结果介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：
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71
PED 0? 任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和小结,静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为
0 EP
引入电位移矢量（单位,C/m2 )
p P
将极化电荷体密度表达式 代入,有
0PE
D则有
VS VSD dd其积分形式为
0
D
E
（微分形式）,（积分形式）
0d
dd
C
VS
lE
VSD
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
72
EP e0
EEED 0re0 )1(
0re0 )1(
其中 称为介质的介电常数，单位 F/m
称为介质的相对介电常数（无量纲）。
er 1
在这种情况下
* 介质有多种不同的分类方法，如：
均匀和非均匀介质
各向同性和各向异性介质
时变和时不变介质
线性和非线性介质
5,电介质的本构关系
E?极化强度 与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。
对于线性各向同性介质,和 有简单的线性关系
P?
E?P?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 73
3.4 半径为 a的球中充满密度 的体电荷，
已知电场分布为其中 A为常数，
试求电荷密度
()r?
32
54
2
r
r
e r A r r a
E a A a
e r a
r
()r?
解：利用高斯定理的微分形式，即,得
D
D
2
00 2
1 ()
rD E r Err
在 区域：ra?
2 3 2 2
002
1 ( ) ( 5 4 )r r A r r A r
rr
在 区域：ra?
54
2
0 22
1 0a A ar
r r r
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
74
2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度
1,磁介质的磁化介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场外加磁场
B
在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的 磁化 。
mp i S
无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。
mp i S
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75
m
mΔ0l im ΔV
pM np
V
B
2,磁化强度矢量 M
磁化强度 是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即
M
mM np?
单位为 A/m。 分子平均磁矩第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
76
3,磁化电流磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。
考察穿过任意围线 C 所围曲面 S 的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元 dl 相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流
Mmd d d dI n i S l n p l M l
B
C
dl
dl mp
S
穿过曲面 S 的磁化电流为
（ 1） 磁化电流体密度
MJ
SCC SMlMII ddd MM
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77
MJM
MM dSI J S
由,即得到磁化电流体密度
M t td d d dI M l M e l M l
在紧贴磁介质表面取一长度元
dl，与此交链的磁化电流为
（ 2） 磁化电流面密度
MSJ
MtSJM?
则即
MnSJ M e
的切向分量M
MSJ
ne
M?
l?d
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78
4,磁场强度 介质中安培环路定理
0M()B J J S MC SJJlB
d)(d
0?
MJJ、
分别是传导电流密度和磁化电流密度。
将极化电荷体密度表达式 代入,
有
MJM 0M()B J J
JMB
)(
0?
)(0 MHB,即外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度 B 应是所有电流源激励的结果：
MBH?
0?
定义磁场强度 为：H?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
79
)()( rJrH
SC SrJlrH
d)(d)(
0)( rB0d)(
S SrB
则得到介质中的安培环路定理为：
磁通连续性定理为小结,恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为
（积分形式）（微分形式）
0)(
)()(
rB
rJrH
0d)(
d)(d)(
S
SC
SrB
SrJlrH
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
80
HM m
HHB )1( m0
m?
其中,称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。
这种情况下
0rm0 )1(
其中 称为介质的磁导率，单位 H/m
称为介质的相对磁导率（无量纲）。
mr 1
顺磁质抗磁质铁磁质磁介质的分类
1r
5,磁介质的本构关系磁化强度 和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质,与 之间存在简单的线性关系：
M? H?
H?M?
1r
1r
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 81
磁性介质按其特性主要分为顺磁性物质、抗磁性物质和铁磁性物质
１,顺磁性物质：
2,抗磁性物质：
因此顺磁性物质与抗磁性物质均可取 μ＝ μ0，它们对磁场的影响都可以忽略。真空中
3,铁磁 BH成为非线性，而且是复杂的多值关系，铁磁性物质在外磁场中的磁化情况是通过外加磁场强度和其中磁感应强度 B的关系曲线 —— 磁滞回线来表示,μr的值很大，不再是常量，而是 H的函数而且与磁性物质的磁化过程有关。
即?为非常量,各向异性?张量图 5.8.2 磁化曲线与磁滞回线
730,1 0 1 0 1m m rMH － －在 之 间,与 同 向 略 大 于
00mr＝,＝ 1,＝
730,1 0 1 0 1m m rMH － －在 之 间,与 同 向 略 大 于
H
B
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 82
顺次性物质与抗磁性物质都是弱磁性物质，外磁场消失后，其磁化状态立刻消失。
铁磁性物质，在外加磁场作用下会发生明显磁化，具有强磁性，当外场减小到零时，铁磁物质内的磁场，非线性下降，但不会消失，有剩磁现象。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
IHCπ2d lH
磁场强度 0
2 π
I
He
磁化强度
0
0
0
2 π
0
I
a
a
eB
MH
磁感应强度
0
0
2 π
2 π
I
a
I
a
e
B
e
H? M?B?
例 2.4.1 有一磁导率为 μ，半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（ μ0 ），试求圆柱内外的,和 的分布。
解 磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定理，
得
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 84
例 5.7.1 铁介质无限长圆管中通过电流 J＝ ezJ0内外半径 a和 b，磁导率?,求磁化电流分布。
解：取柱坐标，轴线与中心重合?轴对称,则电流 z方向 ----磁场只有?分量由于可作出 H面,用安培环路定理 最简便。
x
z
yo
H?
I
r
22
1 1 0
220
1
2200
1 0 1
2
2
2
c
H dl H J b a
J
H e b a b
J
B H e b a b
a).在管外 ρ > b
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 85
a).在管中 a < r < b:
22
22
0
2
c
H d l H
Ja
220
2
220
22
2
2
J
H e a a b
J
B H e a a b
x
z
yo
H?
I
r
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 86
c).在中心区（管中 r < a）
33
3
20
00
c
H d l H
Ha
x
z
yo
I
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 87
管壁内体磁化电流
0 0 01rMB H H H H M
管壁中磁化强度的计算由
22202 2 2 0
0 0 0
1
2
BM H e H e J a
有：
2
2
0
0
1
00
1
rz
mz
z
e e e
J M e M
z
M
eJ
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 88
管壁内磁化面电流
msJ M n
2
22
20
0
0
1
2
ms
a a
m s z
bb
J M e
ba
J M e e J
b
总的磁化电流 （垂直于 z平面的）
内表面：
根据外表面：
00
1 1 0m m m s
sc
I J d S J d l I I
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
89
2.4.3 媒质的传导特性对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比，表示为
EJ
这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电导率，单位是 S/m（西 /米）。
晶格带电粒子存在可以自由移动带电粒子的介质称为 导电媒质 。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。
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90
2.5 电磁感应定律和位移电流本节内容
2.5.1 电磁感应定律
2.5.2 位移电流
电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场。
位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场。
重要结论,在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。
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91
2.5.1 电磁感应定律
1881年 法拉第发现,当穿过导体回路的磁通量发生变化时,
回路中就会出现感应电流和电动势,且感应电动势与磁通量的变化有密切关系,由此总结出了著名的法拉 第 电磁感应定律 。
负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。
in
d
d t
1,法拉第电磁感应定律的表述
in,i?
当通过导体回路所围面积的磁通量?
发生变化时,回路中产生的感应电动势的大小等于磁通量的时间变化率的负值,
方向是要阻止回路中磁通量的改变,即
in?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
92
S SB d?
设任意导体回路 C 围成的曲面为 S，
其单位法向矢量为,则穿过回路的磁通为
ne
in
d d
d S BSt
ne
B
C
S
dl?
导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场,回路中的感应电动势可表示为
inE
因而有
SC SBtlE
d
d
dd
in
C lE dinin?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
93
感应电场是由变化的磁场所激发的电场。
感应电场是有旋场。
感应电场 不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间。
对空间中的任意回路（不一定是导体回路） C,都有对感应电场的讨论,
SC SBtlE ddddin
SC SBtlE dddd
0dcC lE
若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场 应为 与之和，即 。由于,故有
E inE
in cE E E
cE
cE
推广的法拉第电磁感应定律第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
94
相应的微分形式为
(1) 回路不变，磁场随时间变化
d dd
d SS
BB S S
tt
2,引起回路中磁通变化的几种情况磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有
BE
t
SC StBlE?
dd
( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动
( 3 ) 回路在时变磁场中运动
CC lBvlE d)(din?
C SC StBlBvlE?
dd)(din?
动生电动势第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
95
（ 1）,矩形回路静止；
0 c o s ( )zB e B t
x
b
a
o
y
x
均匀磁场中的矩形环
L
v?B?
i n 0 0d [ c o s ( ) ] d s in ( )zzSS
B S e B t e S a b B t
tt
（ 3）,且矩形回路上的可滑动导体 L以匀速 运动。vev
x
)c o s (0 tBeB z
解,(1) 均匀磁场 随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故
B?
例 2.5.1 长为 a、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，
如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。
B
（ 2）,矩形回路的宽边 b = 常数，但其长边因可滑动导体 L以匀速 运动而随时间增大；
0BeB z?
xv e v?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
96
( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L
在磁场中运动产生的，故得
00s i n ( ) c o s ( )v t b B t v b B t
( 2 ) 均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产生的，故得
B
或
i n 0 0
dd d ( )
S B S b B v t b B vtt
C yzxC v b BleBevelBv 00in d)(d)(
C S StBlBv?
dd)(in?
C S zzyzx SetBetBletBeve d)]c o s ([d)]c o s ([ 00
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
97
（ 1）线圈静止时的感应电动势；
解,（ 1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
（ 2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。
ab?例 2.5.2 在时变磁场 中，放臵有一个 的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与 成 α 角，如图所示。试求：
0 s i n ( )yB e B t
ne ye
0[ s in ( ) ] dynS e B t e St?
0 c o s ( ) c o s dS B t S
0 c o s ( ) c o sB a b t
x
y
z a
b
B
时变磁场中的矩形线圈
ne
C S StBlE?
ddin?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
98
假定 时,则在时刻 t 时,与 y 轴的夹角,
故
0t? 0
ne t
方法一,利用式 计算
in
d d
d S BSt
00
d1 [ s in ( 2 ) ] c o s ( 2 )
d2 B a b t B a b tt
（ 2）线圈绕 x 轴旋转时,的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。
ne
0 n 0
dd s in ( ) d [ s in ( ) c o s ( ) ]
yS e B t e S a b B t ttt
in
d d
d S BSt
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
99
0 s i n ( ) s i nB a b t
00
22
00
0
c o s ( ) c o s s in ( ) s in
c o s ( ) s in ( )
c o s ( 2 )
in a b B t B a b t
B a b t B a b t
B a b t
上式右端第一项与 ( 1 )相同，第二项 x
y
z
a
b
B
时变磁场中的矩形线圈
ne
1
2
3
4
方法二,利用式计算。
xetBebelBv xyC d)]s i n ()2[(d)( 012 n
xetBebe xy d)]s in ()2[( 034 n
C S StBlBv?
dd)(in?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
100
在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变化？即问题,随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？
2.5.2 位移电流静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化,即
0 E tBE
这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场 。
JH
（恒定磁场）
H
（时变场）
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101
1,全电流定律而由 JH
非时变情况下,电荷分布随时间变化,由电流连续性方程有
)( DtJ
发生矛盾在时变的情况下不适用解决办法,对安培环路定理进行修正由 D?
0)( HJ
0)( tDJ
0 tJ
将 修正为：JH
t
DJH
矛盾解决?
时变电场会激发磁场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
102
全电流定律：
t
DJH
—— 微分形式
StDJlHC s?
d)(d —— 积分形式全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。
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103
d t
DJ
2,位移电流密度
电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。
注,在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。
在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。
在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。
位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。
dJ
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104
例 2.5.3 海水的电导率为 4 S/m,相对介电常数为 81,求频率为 1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解,设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故
m c o sxE e E t
d 0 r m s in ( )x
DJ e E t
t
3d m 0 r m m4,5 1 0J E E
c m m m4J E E
3dm
cm
1,1 2 5 1 0JJ
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105
m c o s ( ) ( A /m )xH e H t k z
d
m
2
m
()
c os( )
si n( ) ( A / m )
x y z x x
x
yy
y
D
J H e e e e H
t x y z
H
e e H t k z
zz
e k H t k z
m
0 0 0
m
0
11
d sin ( ) d
c o s( ) ( V /m )
y
y
DD
E t e k H t k z t
t
k
e H t k z
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。
例 2.5.4 自由空间的磁场强度为解 自由空间的传导电流密度为 0，故由式,得DH
t
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106
例 2.5.5 铜的电导率,相对介电常数 。
设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。
75,8 1 0 S / m r 1
2m c o s ( ) A / mxJ e J t
d r 0 r 0 m r 0 m[ c o s ( ) ] s in ( )xx
DEJ e E t e E t
t t t
d m r 0 mJE
而传导电流密度的振幅值为 mmJE
通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（ f = 30～ 300 GHz），从上面的关系式看出比值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。
解,铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为
12
13d m r 0 m m
7
m m m
2 1 8,8 5 4 1 0 9,5 8 1 0
5,8 1 0
JE fE f
J E E
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107
2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程。
本节内容
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
2.6.3 媒质的本构关系第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
108
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
VS VSJ dd
S V
S
C S
C S
ρ dVSD
SB
S
t
B
lE
S
t
D
JlH
d
0d
dd
d)(d
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
109
D
B
t
B
E
t
D
JH
0
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，
表明电荷产生电场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
110
2.6.3 媒质的本构关系
ED HB EJ
)(
0)(
)(
)(
E
H
H
t
E
E
t
EH
代入麦克斯韦方程组中，有
0
/
E
HE
t
H
E
t
H
E
限定形式的麦克斯韦方程
（均匀媒质）
各向同性线性媒质的本构关系为第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
111
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发 。
时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，
构成一个整体 —— 电磁场。
电场和磁场分别是电磁场的两个分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。
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112
在无源空间中，两个旋度方程分别为
t
DH
t
BE
,
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，
使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。
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113
麦克斯韦方程组时变场 静态场缓变场迅变场电磁场
(EM)
准静电场
(EQS)
准静磁场
(MQS)
静磁场
(MS)
0t 0t
0tD
0?
t
B?
小结,麦克斯韦方程适用范围,一切宏观电磁现象。
静电场
(ES)
恒定电场
(SS)
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114
cm
m
dd
[ si n ( ) ]
dd
c o s( )
u
i C C U t
tt
C U t
=
m sin ( )UtDE
d
解,( 1 ) 导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为 d的两平行板之间的电场为 E = u / d,则
m s i nu U t
例 2.6.1 正弦交流电压源 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。 (1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等； (2)求导线附近距离连接导线为 r
处的磁场强度。
C
P
r
ic
u
平行板电容器与交流电压源相接第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
115
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流,故得
cm c o s ( )i C U t
m2 π c o s ( )r H C U t
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线 C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故
dd ddSS
Di J S S
t
式中的 S0为极板的面积，而 0S C
d
为平行板电容器的电容。
则极板间的位移电流为
m c o s ( )
2 π
CUH e H e t
r
C rHlH?π2d
m
0 m cc o s ( ) c o s ( )
U t S C U t i
d
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116
例 2.6.2 在无源 的电介质 中，若已知电场强度矢量,式中的 E0为振幅,ω为角频率,k为相位常数。试确定 k与 ω 之间所满足的关系,并求出与相应的其他场矢量。
( 0 0 )J,( 0)
m c o s ( ) V / mxE e E t k z
E
解,是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定 k 与 ω 之间所满足的 关系，以及与相应的其 他 场矢量。
E
E
mmc o s ( ) s in ( )xy y yEe e E t k z e k E t k zzz
m c o s ( )
y
kEB e t k z?
对时间 t 积分，得
()x y z x xB E e e e e Et x y z
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117
BH?=
DE
2
m sin( )
x y z
y
xx
x y z
e e e
H kE
H e e t k z
x y z z
H H H
m s in ( )
x
xx
DD e e E t k z
tt
DH
t
由 22k
m c o s ( )
y
kEH e t k z?
m c o s ( )xD e E t k z
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
代入式第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
118
2.7 电磁场的边界条件
什么是电磁场的边界条件?
为什么要研究边界条件?
ne
媒质 1
媒质 2
如何讨论边界条件?
实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。
物理,由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。
数学,麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。
麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
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119
本节内容
2.7.1 边界条件一般表达式
2.7.2 两种常见的情况第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
120
S V
S
C S
C S
ρ dVSD
SB
S
t
B
lE
S
t
D
JlH
d
0d
dd
d)(d
2.7.1 边界条件一般表达式
n 1 2
n 1 2
n 1 2
n 1 2
()
( ) 0
( ) 0
()
S
S
e H H J
e E E
e B B
e D D?
ne?
媒质 1
媒质 2
分界面上的电荷面密度分界面上的电流面密度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
121
（ 1） 电磁场量的法向边界条件令 Δ h → 0，则由
ΔS 1D
2D
ne?
媒质 1
媒质 2
ΔhPS
1 2 n() SD D e S S
即
n 1 2() Se D D
在两种媒质的交界面上任取一点 P，作一个包围点 P 的扁平圆柱曲面 S，如图表示。
边界条件的推证
n 1 2( ) 0e B B 1n 2n?BB
或
1 n 2 n SDD
或同理,由
0dS SB
S V ρ d VSD d
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122
（ 2） 电磁场量的切向边界条件
12() SH H l J N l
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令 Δ h→ 0,则由
Δl 1H
2H
ne
媒质 1
媒质 2
N? Δh
故得
n 1 2() Se H H J
nl N e l
n 1 2[ ( ) ]e H H N l
1 t 2 t SH H J
或
n 1 2( ) 0e E E
同理得
1 t 2 tEE?
或
1 2 1 2 n( ) ( ) ( )H H l H H N e l
StDJlH
C S
d)(d?
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123
1.两种理想介质分界面上的边界条件
n 1 2
n 1 2
n 1 2
n 1 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
e
e
e
e
DD
BB
EE
HH
2.7.2 两种常见的情况在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即
JS＝ 0,ρS＝ 0，故的法向分量连续D?
的法向分量连续B?
的切向分量连续E?
的切向分量连续H?
ne
媒质 1
媒质 2
,的法向分量连续D B
ne
媒质 1
媒质 2
,的切向分量连续E H
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124
2,理想导体表面上的边界条件
n
n
n
n
0
0
S
S
eD
eB
eE
e H J
理想导体表面上的边界条件设媒质 2为理想导体，则 E2,D2,H2、
B2均为零，故
理想导体,电导率为无限大的导电媒质
特征,电磁场不可能进入理想导体内理想导体
D
SJH
理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量D?
理想导体表面上 的法向分量为 0B?
理想导体表面上 的切向分量为 0E?
理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量H?
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125
例 2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为,z > 0
区域的媒质参数为 。若媒质 1中的电场强度为
1 0 1 0 1 0、、
2 0 2 0 25 2 0 0、、
881 (,) [6 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) 2 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) ] V / mxE z t e t z t z
82 (,) c o s ( 1 5 1 0 5 0 ) V / mxE z t e A t z
媒质 2中的电场强度为
（ 1）试确定常数 A的值 ;（ 2）求磁场强度 和 ；
（ 3）验证 和 满足边界条件。
),(1 tzH? ),(2 tzH?
),(1 tzH? ),(2 tzH?
解,（ 1） 这是两种电介质的分界面，在分界面 z = 0处，有
881 ( 0,) [ 6 0 c o s ( 1 5 1 0 ) 2 0 c o s ( 1 5 1 0 ) ]xE t e t t
88 0 c o s ( 1 5 1 0 ) V /mxet
82 ( 0,) c o s ( 1 5 1 0 ) V /mxE t e A t
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126
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
11
1
11
x
y
EH Ee
tz
88
0
1 [ 3 0 0 sin ( 1 5 1 0 5 ) 1 0 0 sin ( 1 5 1 0 5 ) ]
ye t z t z
7 8 7 8
1
0
12(,) [ 2 1 0 c o s( 1 5 1 0 5 ) 1 0 c o s( 1 5 1 0 5 ) ] A /m
3yH z t e t z t z?
8 0 V /mA?得到将上式对时间 t 积分，得
（ 2）由,有
1
11
HE
t?
),0(),0( 21 tEtE?
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127
78
2
0
4(,) 1 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) A /m
3yH z t e t z?
7 8 7 8
1
0
78
0
12
( 0,) [ 2 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) ]
3
4
1 0 c o s( 1 5 1 0 ) A /m
3
y
y
H t e t t
et
78
2
0
4( 0,) 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) A /m
3yH t e t?
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（ z = 0）不存在面电流。
（ 3） z = 0 时
2
22
HE
t?
同样，由,得第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
128
试问关于 1区中的 和 能求得出吗？
1E
1D
解 根据边界条件，只能求得边界面
z＝ 0 处的 和 。
1D
1E
由,有 0)(
21n EEe
1 1 1 0
11
{ [ 2 5 ( 3 ) ] }
( 2 ) ( 5 ) 0
z x x y y z z x y z z
y x x y
e e E e E e E e y e x e z
e E y e E x
则得 xEyE
yx 5,2 11
V / m)3(522 zezeyeE zyx
1区
2区
x
y z
电介质与自由空间的分界面
O
105
例 2.7.2 如图所示,1区的媒质参数为,,
2区的媒质参数为 。若已知自由空间的电场强度为
2 0 2 0 2 0、、
1 0,10
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
129
又由,有
n 1 2( ) 0e D D
0]([ 0222111zzzyyxxzzyyxxz DeDeDeDeDeDee
则得
0000201 3)3( zzzzz zDD
5
3
5
3
0
0
0
1
1
01
z
z
zz
DE
最后得到
5
352)0,,(
1 zyx exeyeyxE
0001 32510)0,,( zyx exeyeyxD
xEDyED yyxx 01110111 25,10
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
130
0
πs in ( ) c o s ( ) V /m
yxE e E z t k xd
t
HE
0?
解 （ 1）由,有
0
0
π π π[ c o s( ) c o s( ) si n ( ) si n ( ) ]
x x z x x
E e z t k x e k z t k x
d d d
H? SJ?试求,（ 1） 磁场强度 ； （ 2） 导体表面的电流密度 。
例 2.7.3 在两导体平板（ z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电场强度
)(
1
1
0
0
x
E
e
z
E
e
E
t
H
y
z
y
x
z
x
y d
O
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
131
将上式对时间 t 积分，得
0
0 0
π sin ( ) ( A /m )
S z y xz
EJ e H e t k x
d
0
0
π( ) sin ( ) ( A /m )
S z y xzd
EJ e H e t k x
d
（ 2） z = 0 处导体表面的电流密度为
0
0
0
0
()
( ) d
π π
c o s( ) sin ( )
π
sin ( ) c o s( ) ( A /m )
xx
x
zx
H x,z,t
H x,z,t t
t
E
e z t k x
dd
kE
e z t k x
d
z = d 处导体表面的电流密度为
z
x
y dne
O
1
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
2
2.1 电荷守恒定律
2.2 真空中静电场的基本规律
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.4 媒质的电磁特性
2.5 电磁感应定律和位移电流
2.6 麦克斯韦方程组
2.7 电磁场的边界条件本章讨论内容第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
3
2.1 电荷守恒定律电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类 。
电荷 电流电场 磁场
（运动）
源量为电荷 和 电流,分别用来描述产生电磁效应的两类场源 。 电荷是产生电场的源,电流是产生磁场的源 。
),( trq ),( trI
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4
本节内容
2.1.1 电荷与电荷密度
2.1.2 电流与电流密度
2.1.3 电荷守恒定律第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
电荷是物质基本属性之一。
1897年英国科学家 汤姆逊 (J.J.Thomson)在实验中发现了电子 。
1907 — 1913年间,美国科学家 密立根 (R.A.Miliken)通过油滴实验,精确测定电子电荷的量值为
e =1.602 177 33× 10-19 (单位,C )
确认了电荷的量子化概念 。 换句话说,e 是最小的电荷,而任何带电粒子所带电荷都是 e的整数倍 。
宏观分析时,电荷常是数以亿计的电子电荷 e的集合,故可不考虑其量子化的事实,而认为电荷量 q可任意连续取值 。
2.1.1 电荷与电荷密度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
6
1,电荷体密度
V
rq
V
rqr
V d
)(d
Δ
)(Δlim)(
0Δ
V Vrq d)(
单位,C/m3 (库 /米 3 )
根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域 V 中的电荷体密度，则区域 V 中的总电荷 q为电荷连续分布于体积 V 内，用电荷体密度来描述其分布理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：
点电荷,体分布 电荷,面分布电荷,线分布电荷
q?
V
y
x
z
o
r
V?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
7
若电荷分布在薄层上,当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示 。
2,电荷面密度单位,C/m2 (库 /米 2)
如果已知某空间曲面 S 上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷 q 为
S s Srq d)(
S
rq
S
rqr
SS d
)(d
Δ
)(Δlim)(
0Δ
y
x
z
o
r
q?S?
S
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
8
若电荷分布在细线上,当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。 线分布的电荷可用电荷线密度表示。
3,电荷线密度
l
rq
l
rqr
l
l d
)(d
Δ
)(Δ)( lim
0Δ
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷 q 为
C l lrq d)(
单位,C / m (库 /米 )
y
x
z
o
r
q?
l?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
9
对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为 q 的点电荷。
点电荷的电荷密度表示
)(δ)( rrqr
4,点电荷
y
x
z
o
r?
q
将电荷区域看作是一个没有几何大小的点。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
10
2.1.2 电流与电流密度说明,电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为 恒定电流,用 I 表示。
存在可以自由移动的电荷 ;
存在电场。
单位,A （安）
电流方向,正电荷的流动方向
0l im ( ) d dti q t q t
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用 i 表示，其大小定义为：
单位时间内通过某一横截面 S的电荷量，即形成电流的条件,
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
11
nn0
dl im
dS
iiJ e e
SS
电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用 电流密度矢量 来描述。J
单位,A/ m2 （安 /米 2） 。
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用 体电流,面电流 和 线电流 来描述电流的分别状态。
1,体电流流过任意曲面 S 的电流为体电流密度矢量
J
ne
S?
正电荷运动的方向
SJi S d
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
12
2,面电流电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量来描述其分布
SJ
面电流密度矢量
d 0
te
ne
l?
SJ
0h?
tt0
dl im
dS l
iiJ e e
ll
单位,A/m （安 /米） 。
通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为l
正电荷运动的方向
)d( n leJi l S
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 13
sinSSd I J d l J d l
J d l
显 见 有 角 度 因 素 存 在 即,
其 中 为 与 的 夹 角 。
sin sin ( )
Ss
n n n l j
dI n ldl jJ n dl J
由 于,
故 有,
SSllI n d l J J n d l
ACBBACCBA轮换法则成立：
dl任 意 表 面 线 元 表 面 电 流,
流：任意有向曲线穿过的电
I
l
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
14
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律,电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。
电流连续性方程积分形式微分形式流出闭曲面 S 的电流等于体积 V 内单位时间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程
0t
恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，
既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。
dd
dd
dd
dd
SV
VS
q
J S V
tt
J V J S
tJ?
0dS SJ、0 J?
*穿出闭合面的通量 =0
有入有出，动态平衡
*恒定电流场为无散度场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
15
2.2 真空中静电场的基本规律静电场,由静止电荷产生的电场。
重要特征,对位于电场中的电荷有电场力作用。
本节内容
2.2.1 库仑定律 电场强度
2.2.2 静电场的散度与旋度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
16
1,库仑 （ Coulomb） 定律 (1785年 )
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力,
y
x
z
o
1r
1q
2r
12R
12F
2q
,满足牛顿第三定律。
2 1 1 2FF
大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；
3
120
1221
2
120
21
12 π4π4 R
Rqq
R
qqeF
R
2.2.1 库仑定律 电场强度
方向沿 q1 和 q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；
说明：
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
17
电场力服从叠加定理
()iiR r r
真空中的 N个点电荷 （分别位于 ）
对点电荷 （位于 ）的作用力为
12 Nq q q、,,
q
12 Nr r r、,,
r
q
q1
q2
q3 q4
q5
q6q7
N
i i
ii
N
i
qqq R
RqqFF
i
1
3
01 π4?
等于各点电荷对该电荷电场力的合力。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
18
2,电场强度空间某点的电场强度定义为臵于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即
00
)(lim)(
0 q
rFrE
q
3
0π4
)( RRqrE?
根据上述定义，真空中静止点电荷 q激发的电场为
()R r r
—— 描述电场分布的基本物理量电场强度矢量 E
0q
—— 试验正电荷
y
x
z
o
r?
q
r
R
E
M
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 19
真空中电场强度的计算公式直接根据 库仑定律，有：
23
0044
R
qqE e R
RR
23
1 1 1
RR
Ree
R R R R R
'
'
00
11
(,)
44
E r r
R rr
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 20
库仑定律的重要结论：
点电荷周围的电场强度
（ 1）与距离平方成反比；
（ 2）与源点的电荷量成正比 ;
（ 3）源场满足叠加原理。
n
i ii
i
n
i
iR
i
i
n
i
i
ii
RR
q
e
R
q
EE
niEq
1
2
01
2
01
1
44
),,1(
则：总场产生场即如果有源如果电荷是连续分布呢？
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
21
小体积元中的电荷产生的电场
()r
V
y
x
z
o
r?
iV
r
M
)(rS面密度为 的面分布电荷的电场强度
)(rl线密度为 的线分布电荷的电场强度体密度为 的体分布电荷产生的电场强度)(r
i i
iii
R
RVrrE
3
0π4
Δ)()(
V VR Rr d)(π4 1 3
0
S S SR RrrE d)(π4 1)( 3
0
C
l l
R
RrrE d)(
π4
1)(
3
0
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
22
3,几种典型电荷分布的电场强度
02 π
lE
2 2 3 2
0
( 0,0,) 2 ( )lz azEz az +
（无限长）
（有限长）
l?
y
x
z
o
M
a
均匀带电圆环
l?
1?
z
M
2?
均匀带电直线段均匀带电直线段的电场强度,
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
12
0
21
0
( c o s c o s )
4 π
( sin sin )
4 π
l
l
z
E
E
r
r
r
-
-
当导线变为无限长时,?1?0?,?2
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
23
5 3 3
00
1 3 ( )( ) 2 c o s s i n
4 π 4 π r
p r r p PE r e e
r r r
p ql? —— 电偶极矩
Er
+q
电偶极子
z
ol
－ q
电偶极子的场图等位线电场线电偶极子是由相距很近、带等值异号电量的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为电偶极子的电场强度：
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 24
电偶极子 是由相距非常近的正负两个点电荷组成的电荷系。
rR
q
E
11
4 0
电偶极子的电场解：电场的叠加原理，电偶极子的电场就是两个点电荷产生的场的叠加。
1、求电场
x
z
y
q?
R
r
P
q
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 25
2
c os1
r
l
r
1
21 2 c o s
1
l
rr
xx 1)1(泰勒展开：
x
z
y
q?
R
r
P
q
11 2 2 2( 2 c o s )R r l r l
根据余弦定理
略 去 二 阶 无 穷 小
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 26
2 3 3
0 0 0
c o s c o s s i n
4 2 4r
q l q l q l
ee
r r r?
rR
q
E
11
4 0
sinr
ee
e
r r r
球坐标系中
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 27
23
00
33
0
53
0
1 c os 1
44
1 1 1
4
31
2,4,8
4
ql p r
E
rr
p r p r
rr
pr p
r
rr
通常电偶极矩定义为：
p q l q q()常 矢 量
( 2,3 )A
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 28
23
00
33
0
53
0
1 c os 1
44
1 1 1
4
31
2,4,8
4
ql p r
E
rr
p r p r
rr
pr p
r
rr
通常电偶极矩定义为
p q l q q()常 矢 量
( 2,3 )A
ppepepezpypxp
zeyexepepeperp
p
zzyyxxzyx
zyxzzyyxx
为常矢量若第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
29
例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。
解,如图所示，环形薄圆盘的内半径为 a,外半径为 b，电荷面密度为 。 在环形薄圆盘上取面积元
,其位臵矢量为,
它所带的电量为 。
而薄圆盘轴线上的场点 的位臵矢量为,因此有
S?
d ' ' d ' d 'S re
d d ' ' d ' d 'SSqS
(0,0,)Pz
zr e z?
2 π
2 2 3 / 20
0
( ) d d4 π ( )b zS
a
e z eEr
z
P(0,0,z)
b
r R
y
z
x
均匀带电的环形薄圆盘
dS?
a
dE
2 π 2 π
00 d c o s s i n )d 0xye ( e e
故
2 2 3 / 2 2 2 1 / 2 2 2 1 / 2
00
d 1 1()
2 ( ) 2 ( ) ( )
bSS
zz a
zz
z z a z b
E r e e
由于
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 30
1,立体角
– 在半径为 R的球面上取面元,与球心构成的锥体。
– 定义锥体对球心所张的立体角,(球面度 sr),
ds
2R
ds
d
与半径 R无关
21 RdRdds?
2?d
1?d
2.2.2 静电场的散度与旋度
1.静电场散度与高斯定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 31
– 整个球面 对球心所张的立体角
– 任意曲面 对一点所张的立体角
4
4
2
2
R
R
322
c o sr d s r rd s e d sd
RR rr
与是否球面无关
re
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 32
2,立体角
– 特点,a,与半径 R无关
21
2
21
2
dd
R
RdRd
R
ds
d
点在闭合面外点在闭合面内
0
4?
与半径 R无关
21 RdRdds?
2?d
1?d
b,闭合面的立体角第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
33
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度通量与闭合面内电荷间关系，点电荷的电场穿过任意闭曲面 S的通量。
3
0
0
( ) d
4
4
S
s
s
q r r
E r S d s
rr
q
d
点在闭合面外点在闭合面内
0
4?
因此对电荷系或分部电荷
0
( ) d
S
QE r S
Q为闭合面内的总电荷
S为高斯面第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
34
曲面上的电场强度是由空间所有电荷产生的，并不是与曲面外的电荷无关，而是外部电荷在闭合曲面上产生的电场强度的通量为零。
当闭合曲面内的电荷是密度为 ρ的体分布电荷，则上式可写为
0
1( ) d
S
V
E r S d V
因为
( ) dS
V
E r S E d V
所以有
0
1
VV
E d V d V
静电场的高斯定理 （积分形式）
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
35
由体积 V的任意性有
0
E
静电场的散度 （微分形式）
VS VrSrE )d(1d)(
0
高斯定理表明,静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
静电场的散度 （微分形式） 静电场的高斯定理 （积分形式）
0
)()(
rrE
静电场的基本方程之一
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 36
a.在点电荷的电场中任取一条连接 AB两点的曲线
BA
R
R
l
r
l
RR
q
R
dRq
R
ldeq
ldE
B
A
11
4
44
0
2
0
2
0
q
A
B
BR
AR
R?
dR
ld?
0
l
ldE
dredredreld r s in
b.若曲线闭合
2,静电场旋度与环路定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 37
4,静电系统守恒定理证明
– c.微分形式
– 由斯托克斯定理
0
0
E
SdEldE
sc
q
A
B
BR
AR
R?
dR
ld?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
38
( ) 0Er
环路定理表明,静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。
静电场的旋度 （微分形式） 静电场的环路定理 （积分形式）
0d)(C lrE
静电场的另一个基本方程第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
39
在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。
3,利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：
球对称分布,包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
带电球壳 多层同心球壳 均匀带电球体
a
Oρ
0
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
40
无限大平面电荷,如无限大的均匀带电平面、平板等。
轴对称分布,如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱体等。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
41
例 2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为 a,电 荷密度为?0 。
解,（ 1） 球外某点的场强
0
3
00
π341d aqSES
（ 2）求球体内一点的场强
VSE VS d1d 0
0
a
r?0r
r
E
a
2
0
3
0
3 r
aE
( r ≥ a )
3
3
0
2 π
3
4
3π4
14 r
a
qEr
0
0
3?
rE? （ r < a）
由由第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
42
2.3 真空中恒定磁场的基本规律本节内容
2.3.1 安培力定律 磁感应强度
2.3.2 恒定磁场的散度与旋度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
1,安培力定律
y
x
z
o
1r
11dIl
2r
12R
1C 2C
22dIl
安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821 — 1825年之间，
设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式，称为安培力定律。
实验表明,真空中的载流回路 C1
对载流回路 C2的作用力
载流回路 C2 对载流回路 C1的作用力
2 1 1 2FF
安培力定律
2.3.1 安培力定律 磁感应强度满足牛顿第三定律
2 1 3
12
1211220
12
)d(d
π4 C C R
RlIlIF
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
44
2,磁感应强度 B
电流在其周围空间中产生磁场,描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度,单位为 T（ 特斯拉 ） 。B
磁场的重要特征是对场中的电流有磁场力作用,载流回路
C1对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力 。
根据安培力定律,有其中 电流 I1在电流元处产生的磁感应强度
22dIl
22 1 )(d)dπ4(d 21223
12
12110
2212 CC C rBlIR
RlIlIF
1 3
12
12110
21
d
π4)( C R
RlIrB
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
45
任意电流回路 C 产生的磁感应强度电流元 产生的磁感应强度dIl?
体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度
y
x
z
o
r?
dIl?
r
R
C
M
CC R RlIrr rrlIrB 3030 dπ4)(dπ4)(
3
0 )(d
π4)(d rr
rrlIrB
VR RrJrB V d)(π4)( 30
SR RrJrB S S d)(π4)( 30
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
46
3,几种典型电流分布的磁感应强度
2
0
2 2 3 2(0,0,) 2 ( )z
IaB z e
az
载流直线段的磁感应强度,
载流圆环轴线上的磁感应强度：
0
12( c o s c o s )4 π
IBe
（有限长）
（无限长）0
2 π
IBe
I
1?
z
P
2?
载流直线段
I
y
x
z
o
P
a
载流圆环第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
2 2 1 / 2,( )zr r e z e a r r z a
d ( ) d ' ( )zI l r r e I a e z e a
2d ' d 'ze I a z e I a
d d 'I l e I a
r e a,而场点 P 的位臵矢量为,故得zr e z?
解,设圆环的半径为 a，流过的电流为 I。为计算方便取线电流圆环位于 xOy 平面上，则所求场点为 P (0,0,z ),如图 所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为,其位臵矢量为例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。
dIl?
y
x
z
o
P
a
载流圆环
r R
r?
2 π0
2 2 3 / 20( ) d4 π ( )
ze z e aIaBz
za
轴线上任一点 P ( 0,0,z )的磁感应强度为第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
0( 0)
2z
IBe
a
2
0
32z
IaBe
z
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点 P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。
当场点 P 远离圆环，即 z>> a 时，因,故2 2 3 / 2 3()z a z
22 π
00
2 2 3 / 2 2 2 3 / 20( ) d '4 π ( ) 2 ( )
zI a I aeaBz
z a z a
2 π 2 π
00d ( c o s s i n )d 0xye e e
由于,所以在圆环的中心点上,z= 0，磁感应强度最大，即
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 49
任意闭合面通量：
0
2
0
2
0
0
4
4
1
4
1
0
4
R
s s c
R
cs
cs
c
I dl e
B dS dS
R
I dl e dS
R
I dl
ndS
R
I dl
d
R
s
A d n A d s
0?
C
S
B
2.3.2 恒定磁场的散度和旋度
1.恒定磁场的散度与磁通连续性原理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 50
任意闭合面通量：
磁通处处连续 ---磁感应线总是闭合曲线。
0
0
0
s
B d S
Bd
B
任 意第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
磁通连续性原理 表明,恒定磁场是无散场，磁感应线是无起点和终点的闭合曲线。自然界中不存在孤立磁荷，磁单极恒定场的散度 （微分形式） 磁通连续性原理 （积分形式）
0d)(S SrB0)( rB
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 52
磁场的环流：
0
2
'
0
2
'
0
2
'
'
4
' ( )
4
'
4
R
c c c
R
cc
R
cc
I dl e
B dl dl
R
dl dl e
I
R
dl dl e
I
R
C
C’
P
dl
dl’
2,恒定磁场的旋度与安培环路定理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 53
回顾,立体角在半径为 R的球面上取面元,与球心构成的锥体。
定义锥体对球心所张的立体角,
整个球面 对球心所张的立体角
(球面度 ),
任意曲面元对一点所张的立体角
ds
2R
dsd
44 2
2
R R
22
c o s
R
ds
R
esdd r
与是否球面无关
re
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 54
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 55
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
C上场点 P张立体角?(C’)
P沿 C移动 dl-->立体角增加 d?
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 56
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl
dl’
等效于 p不动,c’移动 -dl,立体角的增加 d?
-dl
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
C上场点 P张立体角?(C’)
P沿 C移动 dl-->立体角增加 d?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 57
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
H d l
R?
C
C’
P
dl’
只计算 c’移动 -dl时,立体角的增量 d?
-dl
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 58
0
2
'
'
4
R
c c c
d l d l eI
B d l
R
C
C’
P
dl’
Re?
2
'
' R
c
d l d l e
d
R
-dl
'd s d l d l
如图：分析沿任意 C的环流特性,P为 C上的一个场点,
只计算 c’移动 -dl时,立体角的增量 d?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 59
p沿回路 C走一周
2
'
'
2,5,4
R
cc
d l d l e
d
R
由 2.5.3,2.5.4知，当 C和 C’不套连时,
0 0
4c
I
B d l
P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 60
当 C和 C’套连时,起点 A-终点 B时：
0
04
c
I
B d l I
2 ( 2 ) 4
0
04
c
I
B d l I
P
A
B改写为积分式 (安培环路定理 )
再由 C的任意性
00
0
S c S
B d s B d l I J d s
BJ
(安培环路定理微分形式 )
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
61
)()( 0 rJrB ISrJlrB SC 00 d)(d)(
安培环路定理表明,恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁场的旋涡源。
恒定磁场的旋度 （微分形式） 安培环路定理 （积分形式）
安培环路第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
解,分析场的分布，取安培环路如图，则根据对称性，有,故
12B B B
00
00
0
2
0
2
S
y
S
y
J
ex
B
J
ex
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。
3,利用安培环路定理计算磁感应强度例 2.3.2 求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁感应强度。
0S z SJ e J?
lJlBlBlB SC 0021d
C
1B 2B
O x
y
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
63
解 选用圆柱坐标系，则 ()B e B
应用安培环路定理，得
2
10 22 π
IB
a
例 2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
( 1 ) 0 a
2
2
1 22ππ
III
aa
取安培环路,交链的电流为()a
0
1 22 π
IBe
a?
a
b
c?
I
I
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
64
( 3 ) bc
应用安培环路定理，得
22
0
3 22
()2 π IcB
cb
( 4 ) c
( 2 ) ab
202 π BI
2 2 2 2
3 2 2 2 2
bcI I I I
c b c b
4 0I?
22
0
3 222 π
I cBe
cb?
0
2 2 π
IBe
4 0B?
a cb
02πIb?
02πIa?
O
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
65
2.4 媒质的电磁特性本节内容
2.4.1 电介质的极化 电位移矢量
2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度
2.4.3 媒质的传导特性
媒质对电磁场的响应可分为三种情况,极化,磁化 和 传导 。
描述媒质电磁特性的参数为,介电常数,磁导率 和 电导率 。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
66
2.4.1 电介质的极化 电位移矢量
1,电介质的极化现象电介质的分子分为无极分子和有极分子。
无极分子
有极分子无外加电场无极分子 有极分子有外加电场
E
在 电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，
有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。
无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
67
2,极化强度矢量 )mC( 2P?
Δ0l im
i
V
pP n p
V
极化强度矢量 是描述介质极化程度的物理量，定义为
P?
p ql? —— 分子的平均电偶极矩
P? 的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。
极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、
各向同性的电介质中,与电场强度成正比，即P
e0PE
e ( 0)
—— 电介质的电极化率
E
pnPipp
n为单位体积内的平均分子数第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
68
由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。
3,极化电荷
( 1 ) 极化电荷体密度在电介质内任意作一闭合面 S,只有电偶极矩穿过 S 表面的分子对 S 内的极化电荷有贡献。在 S上取一小面元 dS，
以 dS为底 l为斜高构成一个体积元,由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元 dS,因此 dS对极化电荷的贡献为
Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S
E
S
P?
S?d
V?
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
( 2 ) 极化电荷面密度
pnS Pe
紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元的极化电荷为
dS
Pd d c o s d c o s dq q n l S P S P S
故得到电介质表面的极化电荷面密度为
nedS
S
P
S 所围的体积内的极化电荷 为
Pq
VSP VPSPq dd P P
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
70
4,电位移矢量 介质中的高斯定理介质的极化过程包括两个方面：
外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；
极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。
V pS VSE )d(1d
0
0pE
自由电荷和极化电荷共同激发的结果介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
71
PED 0? 任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和小结,静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为
0 EP
引入电位移矢量（单位,C/m2 )
p P
将极化电荷体密度表达式 代入,有
0PE
D则有
VS VSD dd其积分形式为
0
D
E
（微分形式）,（积分形式）
0d
dd
C
VS
lE
VSD
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
72
EP e0
EEED 0re0 )1(
0re0 )1(
其中 称为介质的介电常数，单位 F/m
称为介质的相对介电常数（无量纲）。
er 1
在这种情况下
* 介质有多种不同的分类方法，如：
均匀和非均匀介质
各向同性和各向异性介质
时变和时不变介质
线性和非线性介质
5,电介质的本构关系
E?极化强度 与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。
对于线性各向同性介质,和 有简单的线性关系
P?
E?P?
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 73
3.4 半径为 a的球中充满密度 的体电荷，
已知电场分布为其中 A为常数，
试求电荷密度
()r?
32
54
2
r
r
e r A r r a
E a A a
e r a
r
()r?
解：利用高斯定理的微分形式，即,得
D
D
2
00 2
1 ()
rD E r Err
在 区域：ra?
2 3 2 2
002
1 ( ) ( 5 4 )r r A r r A r
rr
在 区域：ra?
54
2
0 22
1 0a A ar
r r r
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
74
2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度
1,磁介质的磁化介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场外加磁场
B
在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的 磁化 。
mp i S
无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。
mp i S
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75
m
mΔ0l im ΔV
pM np
V
B
2,磁化强度矢量 M
磁化强度 是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即
M
mM np?
单位为 A/m。 分子平均磁矩第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
76
3,磁化电流磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。
考察穿过任意围线 C 所围曲面 S 的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元 dl 相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流
Mmd d d dI n i S l n p l M l
B
C
dl
dl mp
S
穿过曲面 S 的磁化电流为
（ 1） 磁化电流体密度
MJ
SCC SMlMII ddd MM
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77
MJM
MM dSI J S
由,即得到磁化电流体密度
M t td d d dI M l M e l M l
在紧贴磁介质表面取一长度元
dl，与此交链的磁化电流为
（ 2） 磁化电流面密度
MSJ
MtSJM?
则即
MnSJ M e
的切向分量M
MSJ
ne
M?
l?d
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78
4,磁场强度 介质中安培环路定理
0M()B J J S MC SJJlB
d)(d
0?
MJJ、
分别是传导电流密度和磁化电流密度。
将极化电荷体密度表达式 代入,
有
MJM 0M()B J J
JMB
)(
0?
)(0 MHB,即外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度 B 应是所有电流源激励的结果：
MBH?
0?
定义磁场强度 为：H?
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79
)()( rJrH
SC SrJlrH
d)(d)(
0)( rB0d)(
S SrB
则得到介质中的安培环路定理为：
磁通连续性定理为小结,恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为
（积分形式）（微分形式）
0)(
)()(
rB
rJrH
0d)(
d)(d)(
S
SC
SrB
SrJlrH
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
80
HM m
HHB )1( m0
m?
其中,称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。
这种情况下
0rm0 )1(
其中 称为介质的磁导率，单位 H/m
称为介质的相对磁导率（无量纲）。
mr 1
顺磁质抗磁质铁磁质磁介质的分类
1r
5,磁介质的本构关系磁化强度 和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质,与 之间存在简单的线性关系：
M? H?
H?M?
1r
1r
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 81
磁性介质按其特性主要分为顺磁性物质、抗磁性物质和铁磁性物质
１,顺磁性物质：
2,抗磁性物质：
因此顺磁性物质与抗磁性物质均可取 μ＝ μ0，它们对磁场的影响都可以忽略。真空中
3,铁磁 BH成为非线性，而且是复杂的多值关系，铁磁性物质在外磁场中的磁化情况是通过外加磁场强度和其中磁感应强度 B的关系曲线 —— 磁滞回线来表示,μr的值很大，不再是常量，而是 H的函数而且与磁性物质的磁化过程有关。
即?为非常量,各向异性?张量图 5.8.2 磁化曲线与磁滞回线
730,1 0 1 0 1m m rMH － －在 之 间,与 同 向 略 大 于
00mr＝,＝ 1,＝
730,1 0 1 0 1m m rMH － －在 之 间,与 同 向 略 大 于
H
B
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 82
顺次性物质与抗磁性物质都是弱磁性物质，外磁场消失后，其磁化状态立刻消失。
铁磁性物质，在外加磁场作用下会发生明显磁化，具有强磁性，当外场减小到零时，铁磁物质内的磁场，非线性下降，但不会消失，有剩磁现象。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
IHCπ2d lH
磁场强度 0
2 π
I
He
磁化强度
0
0
0
2 π
0
I
a
a
eB
MH
磁感应强度
0
0
2 π
2 π
I
a
I
a
e
B
e
H? M?B?
例 2.4.1 有一磁导率为 μ，半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（ μ0 ），试求圆柱内外的,和 的分布。
解 磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定理，
得
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 84
例 5.7.1 铁介质无限长圆管中通过电流 J＝ ezJ0内外半径 a和 b，磁导率?,求磁化电流分布。
解：取柱坐标，轴线与中心重合?轴对称,则电流 z方向 ----磁场只有?分量由于可作出 H面,用安培环路定理 最简便。
x
z
yo
H?
I
r
22
1 1 0
220
1
2200
1 0 1
2
2
2
c
H dl H J b a
J
H e b a b
J
B H e b a b
a).在管外 ρ > b
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 85
a).在管中 a < r < b:
22
22
0
2
c
H d l H
Ja
220
2
220
22
2
2
J
H e a a b
J
B H e a a b
x
z
yo
H?
I
r
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 86
c).在中心区（管中 r < a）
33
3
20
00
c
H d l H
Ha
x
z
yo
I
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 87
管壁内体磁化电流
0 0 01rMB H H H H M
管壁中磁化强度的计算由
22202 2 2 0
0 0 0
1
2
BM H e H e J a
有：
2
2
0
0
1
00
1
rz
mz
z
e e e
J M e M
z
M
eJ
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 88
管壁内磁化面电流
msJ M n
2
22
20
0
0
1
2
ms
a a
m s z
bb
J M e
ba
J M e e J
b
总的磁化电流 （垂直于 z平面的）
内表面：
根据外表面：
00
1 1 0m m m s
sc
I J d S J d l I I
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89
2.4.3 媒质的传导特性对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量 J 和电场强度 E 成正比，表示为
EJ
这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电导率，单位是 S/m（西 /米）。
晶格带电粒子存在可以自由移动带电粒子的介质称为 导电媒质 。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。
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90
2.5 电磁感应定律和位移电流本节内容
2.5.1 电磁感应定律
2.5.2 位移电流
电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场。
位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场。
重要结论,在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。
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91
2.5.1 电磁感应定律
1881年 法拉第发现,当穿过导体回路的磁通量发生变化时,
回路中就会出现感应电流和电动势,且感应电动势与磁通量的变化有密切关系,由此总结出了著名的法拉 第 电磁感应定律 。
负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。
in
d
d t
1,法拉第电磁感应定律的表述
in,i?
当通过导体回路所围面积的磁通量?
发生变化时,回路中产生的感应电动势的大小等于磁通量的时间变化率的负值,
方向是要阻止回路中磁通量的改变,即
in?
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92
S SB d?
设任意导体回路 C 围成的曲面为 S，
其单位法向矢量为,则穿过回路的磁通为
ne
in
d d
d S BSt
ne
B
C
S
dl?
导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场,回路中的感应电动势可表示为
inE
因而有
SC SBtlE
d
d
dd
in
C lE dinin?
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93
感应电场是由变化的磁场所激发的电场。
感应电场是有旋场。
感应电场 不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的空间。
对空间中的任意回路（不一定是导体回路） C,都有对感应电场的讨论,
SC SBtlE ddddin
SC SBtlE dddd
0dcC lE
若空间同时存在由电荷产生的电场,则总电场 应为 与之和，即 。由于,故有
E inE
in cE E E
cE
cE
推广的法拉第电磁感应定律第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
94
相应的微分形式为
(1) 回路不变，磁场随时间变化
d dd
d SS
BB S S
tt
2,引起回路中磁通变化的几种情况磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有
BE
t
SC StBlE?
dd
( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动
( 3 ) 回路在时变磁场中运动
CC lBvlE d)(din?
C SC StBlBvlE?
dd)(din?
动生电动势第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
95
（ 1）,矩形回路静止；
0 c o s ( )zB e B t
x
b
a
o
y
x
均匀磁场中的矩形环
L
v?B?
i n 0 0d [ c o s ( ) ] d s in ( )zzSS
B S e B t e S a b B t
tt
（ 3）,且矩形回路上的可滑动导体 L以匀速 运动。vev
x
)c o s (0 tBeB z
解,(1) 均匀磁场 随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故
B?
例 2.5.1 长为 a、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，
如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。
B
（ 2）,矩形回路的宽边 b = 常数，但其长边因可滑动导体 L以匀速 运动而随时间增大；
0BeB z?
xv e v?
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96
( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L
在磁场中运动产生的，故得
00s i n ( ) c o s ( )v t b B t v b B t
( 2 ) 均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产生的，故得
B
或
i n 0 0
dd d ( )
S B S b B v t b B vtt
C yzxC v b BleBevelBv 00in d)(d)(
C S StBlBv?
dd)(in?
C S zzyzx SetBetBletBeve d)]c o s ([d)]c o s ([ 00
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97
（ 1）线圈静止时的感应电动势；
解,（ 1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
（ 2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。
ab?例 2.5.2 在时变磁场 中，放臵有一个 的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与 成 α 角，如图所示。试求：
0 s i n ( )yB e B t
ne ye
0[ s in ( ) ] dynS e B t e St?
0 c o s ( ) c o s dS B t S
0 c o s ( ) c o sB a b t
x
y
z a
b
B
时变磁场中的矩形线圈
ne
C S StBlE?
ddin?
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98
假定 时,则在时刻 t 时,与 y 轴的夹角,
故
0t? 0
ne t
方法一,利用式 计算
in
d d
d S BSt
00
d1 [ s in ( 2 ) ] c o s ( 2 )
d2 B a b t B a b tt
（ 2）线圈绕 x 轴旋转时,的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。
ne
0 n 0
dd s in ( ) d [ s in ( ) c o s ( ) ]
yS e B t e S a b B t ttt
in
d d
d S BSt
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99
0 s i n ( ) s i nB a b t
00
22
00
0
c o s ( ) c o s s in ( ) s in
c o s ( ) s in ( )
c o s ( 2 )
in a b B t B a b t
B a b t B a b t
B a b t
上式右端第一项与 ( 1 )相同，第二项 x
y
z
a
b
B
时变磁场中的矩形线圈
ne
1
2
3
4
方法二,利用式计算。
xetBebelBv xyC d)]s i n ()2[(d)( 012 n
xetBebe xy d)]s in ()2[( 034 n
C S StBlBv?
dd)(in?
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100
在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变化？即问题,随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是否会产生磁场？
2.5.2 位移电流静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化,即
0 E tBE
这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场 。
JH
（恒定磁场）
H
（时变场）
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101
1,全电流定律而由 JH
非时变情况下,电荷分布随时间变化,由电流连续性方程有
)( DtJ
发生矛盾在时变的情况下不适用解决办法,对安培环路定理进行修正由 D?
0)( HJ
0)( tDJ
0 tJ
将 修正为：JH
t
DJH
矛盾解决?
时变电场会激发磁场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
102
全电流定律：
t
DJH
—— 微分形式
StDJlHC s?
d)(d —— 积分形式全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。
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103
d t
DJ
2,位移电流密度
电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。
注,在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。
在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。
在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。
位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。
位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。
dJ
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104
例 2.5.3 海水的电导率为 4 S/m,相对介电常数为 81,求频率为 1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。
解,设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其振幅值为传导电流的振幅值为故
m c o sxE e E t
d 0 r m s in ( )x
DJ e E t
t
3d m 0 r m m4,5 1 0J E E
c m m m4J E E
3dm
cm
1,1 2 5 1 0JJ
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105
m c o s ( ) ( A /m )xH e H t k z
d
m
2
m
()
c os( )
si n( ) ( A / m )
x y z x x
x
yy
y
D
J H e e e e H
t x y z
H
e e H t k z
zz
e k H t k z
m
0 0 0
m
0
11
d sin ( ) d
c o s( ) ( V /m )
y
y
DD
E t e k H t k z t
t
k
e H t k z
式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。
例 2.5.4 自由空间的磁场强度为解 自由空间的传导电流密度为 0，故由式,得DH
t
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106
例 2.5.5 铜的电导率,相对介电常数 。
设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。
75,8 1 0 S / m r 1
2m c o s ( ) A / mxJ e J t
d r 0 r 0 m r 0 m[ c o s ( ) ] s in ( )xx
DEJ e E t e E t
t t t
d m r 0 mJE
而传导电流密度的振幅值为 mmJE
通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（ f = 30～ 300 GHz），从上面的关系式看出比值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。
解,铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为
12
13d m r 0 m m
7
m m m
2 1 8,8 5 4 1 0 9,5 8 1 0
5,8 1 0
JE fE f
J E E
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
107
2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程。
本节内容
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
2.6.3 媒质的本构关系第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
VS VSJ dd
S V
S
C S
C S
ρ dVSD
SB
S
t
B
lE
S
t
D
JlH
d
0d
dd
d)(d
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
109
D
B
t
B
E
t
D
JH
0
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，
表明电荷产生电场第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
110
2.6.3 媒质的本构关系
ED HB EJ
)(
0)(
)(
)(
E
H
H
t
E
E
t
EH
代入麦克斯韦方程组中，有
0
/
E
HE
t
H
E
t
H
E
限定形式的麦克斯韦方程
（均匀媒质）
各向同性线性媒质的本构关系为第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
111
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发 。
时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，
构成一个整体 —— 电磁场。
电场和磁场分别是电磁场的两个分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
112
在无源空间中，两个旋度方程分别为
t
DH
t
BE
,
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，
使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。
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113
麦克斯韦方程组时变场 静态场缓变场迅变场电磁场
(EM)
准静电场
(EQS)
准静磁场
(MQS)
静磁场
(MS)
0t 0t
0tD
0?
t
B?
小结,麦克斯韦方程适用范围,一切宏观电磁现象。
静电场
(ES)
恒定电场
(SS)
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114
cm
m
dd
[ si n ( ) ]
dd
c o s( )
u
i C C U t
tt
C U t
=
m sin ( )UtDE
d
解,( 1 ) 导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为 d的两平行板之间的电场为 E = u / d,则
m s i nu U t
例 2.6.1 正弦交流电压源 连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。 (1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等； (2)求导线附近距离连接导线为 r
处的磁场强度。
C
P
r
ic
u
平行板电容器与交流电压源相接第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
115
与闭合线铰链的只有导线中的传导电流,故得
cm c o s ( )i C U t
m2 π c o s ( )r H C U t
( 2 ) 以 r 为半径作闭合曲线 C，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故
dd ddSS
Di J S S
t
式中的 S0为极板的面积，而 0S C
d
为平行板电容器的电容。
则极板间的位移电流为
m c o s ( )
2 π
CUH e H e t
r
C rHlH?π2d
m
0 m cc o s ( ) c o s ( )
U t S C U t i
d
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116
例 2.6.2 在无源 的电介质 中，若已知电场强度矢量,式中的 E0为振幅,ω为角频率,k为相位常数。试确定 k与 ω 之间所满足的关系,并求出与相应的其他场矢量。
( 0 0 )J,( 0)
m c o s ( ) V / mxE e E t k z
E
解,是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定 k 与 ω 之间所满足的 关系，以及与相应的其 他 场矢量。
E
E
mmc o s ( ) s in ( )xy y yEe e E t k z e k E t k zzz
m c o s ( )
y
kEB e t k z?
对时间 t 积分，得
()x y z x xB E e e e e Et x y z
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117
BH?=
DE
2
m sin( )
x y z
y
xx
x y z
e e e
H kE
H e e t k z
x y z z
H H H
m s in ( )
x
xx
DD e e E t k z
tt
DH
t
由 22k
m c o s ( )
y
kEH e t k z?
m c o s ( )xD e E t k z
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
代入式第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
118
2.7 电磁场的边界条件
什么是电磁场的边界条件?
为什么要研究边界条件?
ne
媒质 1
媒质 2
如何讨论边界条件?
实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。
物理,由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。
数学,麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。
麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。
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119
本节内容
2.7.1 边界条件一般表达式
2.7.2 两种常见的情况第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
120
S V
S
C S
C S
ρ dVSD
SB
S
t
B
lE
S
t
D
JlH
d
0d
dd
d)(d
2.7.1 边界条件一般表达式
n 1 2
n 1 2
n 1 2
n 1 2
()
( ) 0
( ) 0
()
S
S
e H H J
e E E
e B B
e D D?
ne?
媒质 1
媒质 2
分界面上的电荷面密度分界面上的电流面密度第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
121
（ 1） 电磁场量的法向边界条件令 Δ h → 0，则由
ΔS 1D
2D
ne?
媒质 1
媒质 2
ΔhPS
1 2 n() SD D e S S
即
n 1 2() Se D D
在两种媒质的交界面上任取一点 P，作一个包围点 P 的扁平圆柱曲面 S，如图表示。
边界条件的推证
n 1 2( ) 0e B B 1n 2n?BB
或
1 n 2 n SDD
或同理,由
0dS SB
S V ρ d VSD d
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122
（ 2） 电磁场量的切向边界条件
12() SH H l J N l
在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令 Δ h→ 0,则由
Δl 1H
2H
ne
媒质 1
媒质 2
N? Δh
故得
n 1 2() Se H H J
nl N e l
n 1 2[ ( ) ]e H H N l
1 t 2 t SH H J
或
n 1 2( ) 0e E E
同理得
1 t 2 tEE?
或
1 2 1 2 n( ) ( ) ( )H H l H H N e l
StDJlH
C S
d)(d?
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123
1.两种理想介质分界面上的边界条件
n 1 2
n 1 2
n 1 2
n 1 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
e
e
e
e
DD
BB
EE
HH
2.7.2 两种常见的情况在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即
JS＝ 0,ρS＝ 0，故的法向分量连续D?
的法向分量连续B?
的切向分量连续E?
的切向分量连续H?
ne
媒质 1
媒质 2
,的法向分量连续D B
ne
媒质 1
媒质 2
,的切向分量连续E H
第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
124
2,理想导体表面上的边界条件
n
n
n
n
0
0
S
S
eD
eB
eE
e H J
理想导体表面上的边界条件设媒质 2为理想导体，则 E2,D2,H2、
B2均为零，故
理想导体,电导率为无限大的导电媒质
特征,电磁场不可能进入理想导体内理想导体
D
SJH
理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量D?
理想导体表面上 的法向分量为 0B?
理想导体表面上 的切向分量为 0E?
理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量H?
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125
例 2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为,z > 0
区域的媒质参数为 。若媒质 1中的电场强度为
1 0 1 0 1 0、、
2 0 2 0 25 2 0 0、、
881 (,) [6 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) 2 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) ] V / mxE z t e t z t z
82 (,) c o s ( 1 5 1 0 5 0 ) V / mxE z t e A t z
媒质 2中的电场强度为
（ 1）试确定常数 A的值 ;（ 2）求磁场强度 和 ；
（ 3）验证 和 满足边界条件。
),(1 tzH? ),(2 tzH?
),(1 tzH? ),(2 tzH?
解,（ 1） 这是两种电介质的分界面，在分界面 z = 0处，有
881 ( 0,) [ 6 0 c o s ( 1 5 1 0 ) 2 0 c o s ( 1 5 1 0 ) ]xE t e t t
88 0 c o s ( 1 5 1 0 ) V /mxet
82 ( 0,) c o s ( 1 5 1 0 ) V /mxE t e A t
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126
利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件
11
1
11
x
y
EH Ee
tz
88
0
1 [ 3 0 0 sin ( 1 5 1 0 5 ) 1 0 0 sin ( 1 5 1 0 5 ) ]
ye t z t z
7 8 7 8
1
0
12(,) [ 2 1 0 c o s( 1 5 1 0 5 ) 1 0 c o s( 1 5 1 0 5 ) ] A /m
3yH z t e t z t z?
8 0 V /mA?得到将上式对时间 t 积分，得
（ 2）由,有
1
11
HE
t?
),0(),0( 21 tEtE?
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127
78
2
0
4(,) 1 0 c o s ( 1 5 1 0 5 ) A /m
3yH z t e t z?
7 8 7 8
1
0
78
0
12
( 0,) [ 2 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) ]
3
4
1 0 c o s( 1 5 1 0 ) A /m
3
y
y
H t e t t
et
78
2
0
4( 0,) 1 0 c o s( 1 5 1 0 ) A /m
3yH t e t?
可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（ z = 0）不存在面电流。
（ 3） z = 0 时
2
22
HE
t?
同样，由,得第 2 章 电磁场的基本规律电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
128
试问关于 1区中的 和 能求得出吗？
1E
1D
解 根据边界条件，只能求得边界面
z＝ 0 处的 和 。
1D
1E
由,有 0)(
21n EEe
1 1 1 0
11
{ [ 2 5 ( 3 ) ] }
( 2 ) ( 5 ) 0
z x x y y z z x y z z
y x x y
e e E e E e E e y e x e z
e E y e E x
则得 xEyE
yx 5,2 11
V / m)3(522 zezeyeE zyx
1区
2区
x
y z
电介质与自由空间的分界面
O
105
例 2.7.2 如图所示,1区的媒质参数为,,
2区的媒质参数为 。若已知自由空间的电场强度为
2 0 2 0 2 0、、
1 0,10
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又由,有
n 1 2( ) 0e D D
0]([ 0222111zzzyyxxzzyyxxz DeDeDeDeDeDee
则得
0000201 3)3( zzzzz zDD
5
3
5
3
0
0
0
1
1
01
z
z
zz
DE
最后得到
5
352)0,,(
1 zyx exeyeyxE
0001 32510)0,,( zyx exeyeyxD
xEDyED yyxx 01110111 25,10
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0
πs in ( ) c o s ( ) V /m
yxE e E z t k xd
t
HE
0?
解 （ 1）由,有
0
0
π π π[ c o s( ) c o s( ) si n ( ) si n ( ) ]
x x z x x
E e z t k x e k z t k x
d d d
H? SJ?试求,（ 1） 磁场强度 ； （ 2） 导体表面的电流密度 。
例 2.7.3 在两导体平板（ z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电场强度
)(
1
1
0
0
x
E
e
z
E
e
E
t
H
y
z
y
x
z
x
y d
O
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将上式对时间 t 积分，得
0
0 0
π sin ( ) ( A /m )
S z y xz
EJ e H e t k x
d
0
0
π( ) sin ( ) ( A /m )
S z y xzd
EJ e H e t k x
d
（ 2） z = 0 处导体表面的电流密度为
0
0
0
0
()
( ) d
π π
c o s( ) sin ( )
π
sin ( ) c o s( ) ( A /m )
xx
x
zx
H x,z,t
H x,z,t t
t
E
e z t k x
dd
kE
e z t k x
d
z = d 处导体表面的电流密度为
z
x
y dne
O
