第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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本章内容
3.1 静电场分析
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
静态电磁场,场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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3.1 静电场分析本节内容
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
3.1.4 静电场的能量
3.1.5 静电力第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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2,边界条件
0E
D
微分形式：
ED本构关系：
1,基本方程
0)(
)(
21n
21n
EE
DD
e
e S?
0d
d
lE
SD
C
S
q积分形式：
0)(
0)(
21n
21n
EE
DD
e
e
02t1t
n2n1
EE
DD S?或
2t1t
n2n1
EE
DD或
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即,则0?S?
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介质 2
介质 1
2?
1?
2?
1?
2E
1E?
ne?
11
22
ta n
ta n
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为 0，则导体表面的边界条件为
0n
n
E
D
e
e S?
0t
n
E
D S?或场矢量的折射关系导体表面的边界条件
D与 E均垂直于导体表面第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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0 E?由
即 静电场可以用一个标量函数的梯度来表示,标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。
1,电位函数的定义
E?
3.1.2 电位函数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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2,电位的表达式对于连续的体分布电荷,由同理得,面电荷的电位：
1 ( )( ) d
4 π V
rr V C
R
故得点电荷的电位,()
4 π
qrC
R
()1( ) d
4 π
l
C
rr l C
R
]d)
1
)((
π4
1
[
d)
1
()(
π4
1
d
)(
π4
1
)(
3
V
R
r
V
R
rV
R
Rr
rE
V
VV
3)
1(
R
R
R
线电荷的电位：
rrR
CSR rr S S d)(π4 1)( 3
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3,电位差两端点乘,则有l?dE?将
d)ddd(dd yyyyxxllE
上式两边从点 P到点 Q沿任意路径进行积分,得关于电位差的说明
P,Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从 P点移至 Q点所做的功,电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 。
电位差也称为电压,可用 U表示 。
电位差有确定值,只与首尾两点位臵有关,与积分路径无关 。
)()(dd QPlE QPQP
P,Q 两点间的电位差电场力做的功第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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静电位不惟一，可以相差一个常数，即
)( CC
选参考点 令参考点电位为零 电位确定值 (电位差 )
两点间电位差有定值选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义 。
应使电位表达式最简单 。 若电荷分布在有限区域,通常取无限远作电位参考点 。
同一个问题只能有一个参考点 。
4,电位参考点为使空间各点电位具有确定值,可以选定空间某一点作为参考点,且令参考点的电位为零,由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电位也就具有确定值,即第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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例 3.1.1 求电偶极子的电位,
解 在球坐标系中
21
12
0210 π4
)11(π4)( rr rrqrrqr
c o s)2/(
c o s)2/(
22
2
22
1
rddrr
rddrr
c o s22 drr用二项式展开，由于,得dr,c os21?drr
3
0
2
0
2
0 π4π4π4
c o s)(
r
r
rr
qdr r
pep代入上式，得表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp
+q
电偶极子
z
od
－ q
1r
2r
r
),,(rP
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E
r
E
r
r
dd?
21 s inCr?
将 和 代入上式,解得 E 线方程为
E rE
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
)s inc os2(π4 3
0
ee rrq
)s i n11()( rerererE r
c o s'2 Cr?C
r
p?
2
0π4
c os
等位线电场线电偶极子的场图电场线微分方程,
等位线方程,
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解 选定均匀电场空间中的一点 O为坐标原点，而任意点 P的位臵矢量为 r,则
0 0 0( ) ( ) d d
P
Po
OP O E l E r E r
若选择点 O为电位参考点，即,则( ) 0O
0()P E r
0 0 0( ) c o szP E r e r E E r
在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即,则有
00zE e E?
0E
0 0 0( ) ( ) c o sxzP E r e E e e z E
zr e e z
在圆柱坐标系中，取 与 x 轴方向一致，即,而
，故
00xE e E?0E
0E
x
z?
O
P
r?
例 3.1.2 求均匀电场的电位分布。
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x
y
z
L
-L
(,,)z
'z ddlz
R
z?
解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与?无关。
在带电线上位于 处的线元,它到点 的距离,
则
22()R z z
ddlz
(,,)Pz
0
220
1( ) d
4 π ()
Ll
L
rz
zz
220
0
l n [ ( ) ]4 π
L
l
L
z z z z
22
0
22
0
( ) ( )ln
4 π ( ) ( )
l z L z L
z L z L
例 3.1.3 求长度为 2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。0l?
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2 2 2 2
000
22
2( ) l n l n l n
4 π 2 π 2 π
lll L L L L Lr
LL
在上式中若令,则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为LR
L
当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有
L
0
0
2( ) l n
2 π
l LrC
并选择有限远处为电位参考点。例如，选择 ρ= a 的点为电位参考点，则有
0
0
2ln
2 π
l LC
a
0
0
( ) l n2 π l ar
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在均匀介质中，有
5,电位的微分方程在无源区域,0
E
ED
2
02
标量泊松方程拉普拉斯方程第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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6,静电位的边界条件设 P1和 P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点,其电位分别为?1和?2。 当两点间距离 Δ l→ 0时
导体表面上电位的边界条件：
0dlim 2
10Δ
21
P
Pl E l
Se )( 21n DD
D?由 和
1?
2?媒质 2
媒质 1
2?
1?
lΔ
2P
1P
若介质分界面上无自由电荷，即 0?
S? nn 1122
常数，
Sn?
Snn?
1
1
2
2
21
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例 3.1.4 两块无限大接地导体平板分别臵于 x = 0 和 x = a 处，
在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。
0S?
解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程
2
1
2
d ( ) 0,( 0 )
d
x xb
x
2
2
2
d ( ) 0,( )
d
x b x a
x
1 1 1
2 2 2
()
()
x C x D
x C x D
方程的解为
o b a x
y
两块无限大平行板
0S?
1()x? 2()x?
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0
11
0
(),0S baCD
a
00
22,
SSbbCD
a
0
1
0
0
2
0
()
( ),( 0 )
( ) ( ),( )
S
S
ab
x x x b
a
b
x a x b x a
a
≤≤
≤≤
0
11
0
()( ) ( ) S
x
abE x x e
a
1
22
1 1 2 2
0
21
0
0
0
S
D
C a D
C b D C b D
CC
利用边界条件，有
xb? 12( ) ( ),bb
021
0
( ) ( ) S
xb
xx
xx
处,最后得
0x? 处,1 (0 ) 0
xa? 2 ( ) 0a处，
所以
0
22
0
( ) ( ) Sx bE x x e a
由此解得第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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电容器广泛应用于电子设备的电路中：
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。
通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。
在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。
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电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。
孤立导体的电容定义为所带电量 q与其电位?的比值，即
qC?
1,电容孤立导体的电容两个带等量异号电荷（?q） 的导体组成的电容器，其电容为
12
qqC
U
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
E? 02U?1?
q? q?
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(1) 假定两导体上分别带电荷 +q 和－ q ；
计算电容的方法一,
UqC?(4) 求比值,即得出所求电容。
21 d lEU(3) 由,求出两导体间的电位差；
(2) 计算两导体间的电场强度 E；
计算电容的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U ；
(4) 由 得到 ;
nES S?
(2) 计算两电极间的电位分布?；
E?(3) 由 得到 E ;
S S Sq d?
(5) 由,求出导体的电荷 q ；
UqC?(6) 求比值,即得出所求电容。
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22
解,设内导体的 电荷为 q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场
4 π 4 πrr22
qqD e,E e
rr
00
11d ( )
4 π 4 π
b
a
q q b aU E r
a b a b
同心导体间的电压
04 π abqC
U b a
球形电容器的电容
04 πCa
当 时，b
例 3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为 a,外导体半径为 b，
其间填充介电常数为 ε的均匀介质。 求此球形电容器的电容。
孤立导体球的电容
a
b
o
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例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为 a,两导线的轴线距离为 D,且 D >> a,求传输线单位长度的电容。
l
解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于,
故 可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点
P 的电场强度为
l Da
0
11( ) ( )
2 π
l
xE x e x D x
两导线间的电位差
2
1 00
11d ( ) d l n
2 ππ
Dall
a
DaU E l x
x D x a
故单位长度的电容为 00
1
ππ ( F /m )
l n [ ( ) ] l n ( )
lC
U D a a D a
x
y
z
x
Da
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例 3.1.6 同轴线内导体半径为 a,外导体半径为 b,内外导体间填充的介电常数为?的均匀介质,求同轴线单位长度的电容。
() 2 π lEe
内外导体间的电位差
1( ) d d
2 π
bb l
aa
U E e
l l解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和,
应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为
1
2 π ( F /m )
l n ( / )
lC
U b a
a b
同轴线
l n ( / )2 π l ba
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25
＊ 2,部份电容在多导体系统中,任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响 。 因此,研究多导体系统时,必须把电容的概念加以推广,引入部分电容的概念 。
在由 N个导体组成的系统中,由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系,所以,各导体的电位为
1
( 1,2,,)
N
i i j j
j
q i N
式中,( 1,2,,)
ii iN
—— 自电位系数
()ij ij —— 互电位系数
（ 1） 电位系数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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αi j 在数值上等于第 j个导体上的总电量为一个单位,而其余导体上的总电量都为零时,第 i个导体上的电位,即
αi j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 αi j = αj i 。
1 1 1 0
(,1,2,,)
j j N
i
ij
j q q q q
i j Nq
αi j > 0 ；
电位系数的特点,
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若已知各导体的电位,则各导体的电量可表示为
1
( 1,2,,)
N
i i j j
j
q i N
式中,( 1,2,,)
ii iN
—— 自电容系数或自感应系数
()ij ij —— 互电容系数或互感应系数
（ 2） 电容系数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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β i j 在数值上等于第 j个导体上的 电位为一个单位 1v,而其余导体接地时,第 i 个导体上的电量,即
β i j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 β i j = β j i 。
1 1 1 0
(,1,2,,)
j j N
i
ij
j
q i j N
β i i > 0,；0 ( )
ij ij
电容系数的特点：
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将各导体的电量表示为式中：
（ 3） 部分电容
( 1,2,,)iN?()N i j i j i i i
ji
CC
1 1 1
( ) ( )
N N N N
i i j j i j j i j i i j i i j i j i j i
j j j i j
q
—— 导体 i 与导体 j 之间的部分电容()
i j i jC i j
—— 导体 i 与地之间的部分电容?
N
j
jiiiC
1
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30
Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时,第 i 个导体上的电量；
Ci j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 Ci j = Cj i 。
Ci j > 0 ；
Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位,其余导体都接地时,第 i 个导体上的电量；
()ij?
部分电容的特点,
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31
在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压 U，极板上所带电荷分别为,则比值 称为这两个导体间的等效电容。
q? /qU
（ 4） 等效电容如图所示，有三个部分电容
1 1 2 2 1 2C C C、、
导线 1 和 2 间的等效电容为 11 22
1 12
11 22
CCCC
CC
导线 1 和大地间的等效电容为
1 2 2 2
2 1 1
1 2 2 2
CCCC
CC
导线 2 和大地间的等效电容为 1 2 1 1
3 2 2
1 2 1 1
CCCC
CC
1 212C
22C11C
大地大地上空的平行双导线第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
32
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量 。
任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立 (或充电 )过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。
3.1.4 静电场的能量
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 332009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
1,两个点电荷系统 W静 的计算
q1与 q2相距 r12,设相距 ∞时系统能量为零
q1固定,移动 q2,
q1 q212r?
12 1 2 1
22 2
0 0 1 244
r q q q
W q d r
rr
2 2 1 2 2q U q U
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 342009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
q2固定,移动 q1,
12 2 1 2
11 2
0 0 1 244
r q q q
W q d r
rr
1 1 2 1 1q U q U
)(21 221121 UqUqWWW
r
qq 21
04
1
两点电荷体系静电能
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 352009 7 27 华侨大学信息学院 王华军其它电荷在此产生的电位
2.点电荷系的相互作用能
ij jiiiii
UqUqW
q4
q3
q2
q1
i ij
jii UqW 2
1
i
ii
i ij ij
ji Uq
r
qq
2
1
42
1
0
iWW
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 362009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
① 将 q1从无穷远移到 p1处，外力不做功
② 将 q2从无穷远移到 p2处，
外力做功为
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3 p412 2 21 2
0 12
2
2 1 12 1
0 12
4
4
q
W q q
r
q
W q q
r
或
φ21为 q1在 p2处产生的电位
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 372009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
3 3 3 1 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3
W q q
W q q
或
③ 将 q3从无穷远移到 p3处，外力做功为
④ 将 q4从无穷远移到 p4处，外力做功为
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3
p4
4 4 4 1 4 4 2 4 4 3
4 1 1 4 2 2 4 3 3 4
W q q q
W q q q
或
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 382009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
2 2 1 3 3 1 3 3 2 4 4 1 4 4 2 4 4 3
1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 2 4 3 3 4
e
e
W q q q q q q
W q q q q q q
①
或 ②
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3
p4
显然有
1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 2 3 2 4
3 3 1 3 2 3 4 4 4 1 4 2 4
1
3
1
1
11
2
2
2
NN
i i i
e
e
i
ii
W
qq
W
qq
q q U
则有
① + ②
2
＝
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 392009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
3,连续分布电荷的静电能
U d vU d qW e?2121
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 402009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
4.书上的证明过程
()
,( )
,( 0)
,0 1
DE?
导体及介质位置固定介质 关系设最终稳态,初始 以 一 例因子 到 和 则 从定边界线性 本构同
。增 变到加比
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 412009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
,,
e
dd
dd
d
d d
W d d
整 个 空 间电 荷 为当 时 在 内 部 电 位 为其 得 到能 量 增 加 为全过程 系统能量总量：
同样若为面分布电荷，系统能量：
外力所作的功
1
0
1
2e
ddWd
全 空 全 空
1
2es
W d S
所 有 表 面
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 422009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
21 2 1 21 1 1 1 12 2 2 2 2eW q q q q U C U
,.
1
2
1
2
.
i
i
is ii i
i s
i
e
Wq dS
qi
若 为 多 导 体 体 系 每 个 导 体 的 为 常 量其 中 为 第 个 导 体 的 电 荷 量双导体系统被充电后导体 1带电荷＋ q，导体 2带电荷－ q，
电位为 φ1和 φ2。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
5,电场能量密度从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。
EDw 21e
电场能量密度：
e
1 d
2 VW D E V
电场的总能量：
积分区域为电场所在的整个空间
2
e
1 1 1d d d
2 2 2V V VW D E V E E V E V
对于线性,各向同性介质,则有
2
e
1 1 1
2 2 2w D E E E E
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
44
由于体积 V 外的电荷密度 ρ＝ 0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面 S 无限扩大时，则有
2
11( ( )D
RR)、
故推证,()D D D
E
D
R
ρ
ρ＝ 0
S
e
11 dd
22VVW V D V
1 [ ( ) ] d
2 V D D V
SV SDVD dd)(
VDESD VS d21d21
2
1 1 1d ( d ) ( ) 0
SSD S SR R R
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
45
例 3.1.7 半径为 a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为 ρ的电荷，试求静电场能量。
52
0
2
42
0
62
2
0 2
0
22
0 15
π4)dπ4
9dπ49(2
1 arr
r
arrr
a
a?
1
0
()3r rE e r a
解,方法一,利用 计算
V VEDW d2
1
e
根据高斯定理求得电场强度
3
2 2
0
()3r aE e r ar
故 VEVEVEDW
VVV d2
1d
2
1d
2
1
21
2
20
2
10e
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
46
)()
3
(
2
d
3
d
3
dd
2
2
0
2
0
3
0
211
ar
r
a
r
r
a
r
r
rErE
a
r a
a
ra
方法二,利用 计算
V VW d2
1
e
先求出电位分布故
52
0
2
0
2
2
0
2
1e 15
π4dπ4)
3(22
1d
2
1 arrraVW a
V
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
已知带电体的电荷分布,原则上,根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力 。 但对于电荷分布复杂的带电系统,根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的,因此通常采用虚位移法来计算静电力 。
虚位移法,假设第 i 个带电 导体在电场力 Fi 的作用下发生位移
dgi，则电场力做功 dA＝ Fi dgi,系统的静电能量改变为 dWe 。 根据能量守恒定律，该系统的功能关系为
ed d dS i iW F g W
其中 dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。
3.1.5 静电力第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
1,各带电导体的电位不变此时，各带电导体应分别与外电压源连接。当导体相对位臵改变时，每个电源要向导体输送电荷而做功。外电压源向系统提供的能量
1
dd
N
S i i
i
Wq?
e
1
1dd
2
N
ii
i
Wq?
系统所改变的静电能量即 ed 2 dSWW? eddiiF g W? e
i
i
WF
g
不变?
静电能量在移动方向上的方向导数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
49
此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝ 0。假设某一导体在静电力作用下发生位移，静电能量发生改变，变化量为
dWe,则有
2,各带电导体的电荷不变
eddiiF g W
静电力为静电能量在移动方向上的负变化率式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。
e
i
i
WF
g
q不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
50
0
()l x b b xC
dd
所以电容器内的电场能量为 22 0
e 0 0
1 [ ( ) ]
22
bUW C U l x x
d
0
2
e 0 0()
2x U
W b UF
xd
不变由 可求得介质片受到的静电力为e
i
i
WF
g
不变解 平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器
d b
U0
l
x
例 3.1.8 有一平行金属板电容器，极板面积为 l× b，板间距离为 d,用一块介质片（宽度为 b、厚度为 d,介电常数为
ε）部分填充在两极板之间，如图所示。
设极板间外加电压为 U0，忽略边缘效应，
求介质片所受的静电力。
由于 ε>ε0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
22
e
02 2 [ ( ) ]
q d qW
C b l x x
2
e0
2
0
()
2 [ ( ) ]x q
W d qF
x b l x x
不变
0
00 [ ( ) ]
bUq C U l x x
d
2
00()
2x
bUF
d
此题也可用式 来计算e
i
i
WF
g
q不变设极板上保持总电荷 q 不变，则由此可得由于同样得到第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
52
3.2 导电媒质中的恒定电场分析本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
3.2.3 漏电导第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
53
由 J＝?E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。
恒定电场与静电场的重要区别：
（ 1）恒定电场可以存在于导体内部。
（ 2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。
恒定电场和静电场都是无旋场，具有相同的性质。
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
54
EJ
0d
0d
lE
SJ
C
S
0
0
E
J
1,基本方程
恒定电场的基本方程为微分形式,积分形式：
)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 )(rE
线性各向同性导电媒质的本构关系
0)( EEJ
恒定电场的电位函数
0 E?
0 E?
E?
0 J?由 0)( 02
若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
55
2,恒定电场的边界条件
0d lEC
0d SJS
媒质 2
媒质 1
2?
1?
2?
1?
2E
1E?
ne?
0)( 21n JJe
0)( 21n EEe
场矢量的边界条件
2nn1 JJ?
即
2t1t EE?
即
导电媒质分界面上的电荷面密度
n
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
n21n )()()( JeeS?
JJDD
场矢量的折射关系
11
22
t a n
t a n
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
56
电位的边界条件
nn?
2
2
1
121,
恒定电场同时存在于导体内部和外部,在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量,电场并不垂直于导体表面,因而导体表面不是等位面；
说明,
b11、
a
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
57
媒质 2
媒质 1
2?
1?
2?
2E
1E
)( 12
媒质 2
媒质 1
2?
01
2E
ne?
1E
)0( 1
如?2 >>?1,且?2≠90°,则?1＝ 0，
即电场线近似垂直于与良导体表面 。
此时,良导体表面可近似地看作为等位面；
若媒质 1为理想介质,即?1＝ 0,则
J1=0,故 J2n= 0 且 E2n= 0,即导体中的电流和电场与分界面平行 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
58
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。
D?
0
U
静电场
J?
0U
恒定电场第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
59
恒定电场与静电场的比拟基本方程
ED
,E?
EJ
0202
n2n1t2t1 DDEE n2n1t2t1 JJEE
静电场（ 区域）0
0d,0d lESJ CS
0,0 EJ
,E?
0,0DE
nn?
2
2
1
121,
nn 221121,
本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）
对应物理量静电场
E?
E?
D?
J?
q
I恒定电场? G
C
0d,0d lESD CS
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
60
例 3.2.1 一个有两层介质的平行板电容器,其参数分别为?1、
1和?2,?2,外加电压 U。 求介质面上的自由电荷密度 。
解,极板是理想导体,
为等位面,电流沿 z方向 。
1 n 2 nJJ? 由
1 n 2 n SDD 由
U
1d
2d
11,
22,
z
o
12
1 2 1 1 2 2
12
()ddU U U E d E d J
12
12
1 1 2 2
,JJJJEE
12J J J
12
12
()ddJU
12
12,SSD J D J
上下
2 1 1 2 2 1
21
2 1 2 1 1 2
()S D D J Udd
介第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
61
工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压
U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。
漏电流与电压之比为漏电导，即
U
IG?
其倒数称为绝缘电阻，即
I
U
GR
1
3.2.3 漏电导第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
(1) 假定两电极间的电流为 I ；
(2) 计算两电极间的电流密度矢量 J ；
(3) 由 J =? E 得到 E ;
(4) 由,求出两导体间的电位差；
(5) 求比值,即得出所求电导。
21 d lEU
UIG /?
计算电导的方法一,? 计算电导的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U；
(2) 计算两电极间的电位分布?；
(3) 由 得到 E ;
(4) 由 J =? E 得到 J ;
(5) 由,求出两导体间电流；
(6) 求比值,即得出所求电导。
E?
SI SJ d
UIG /?
计算电导的方法三,
静电比拟法：
C
G CG
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
63
例 3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为 a,b，
长度为 l，其间媒质的电导率为 σ,介电常数为 ε 。
解,直接用恒定电场的计算方法电导
)/ln (
π2
ab
l
U
IG
绝缘电阻
a
b
lGR lnπ2
11
ba ablIlIU lnπ2dπ2dlE
l
b a
则 I
l
IJ
π2 l
IJE
π2
设由内导体流向外导体的电流为 I 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
64
01 2
2
2
2?
000,0U
方程通解为 21 CC
例 3.2.4 在一块厚度为 h的导电板上,由两个半径为 r1 和 r2
的圆弧和夹角为?0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿?方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为
σ。
解,设在沿?方向的两电极之间外加电压 U0,则电流沿?
方向流动，而且电流密度是随?变化的。但容易 判定电位?只是变量?的函数，因此电位函数?满足一维 拉普拉斯方程代入边界条件可以得到
1 0 0 2 0/,C U C U
环形导电媒质块
r1
h
r2
0
J
σ
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65
电流密度 0
0
UJ E e
两电极之间的 电流
2
1
00 2
0 0 1
d d l nr
Sr
U U h rI J S e e h
r
故 沿?方向的两电极之间的电阻 为
00
21
()l n ( / )UR I h r r
0
0
0
UU
所以
0
0
UE e e
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
66
本节内容
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位
3.3.3 电感
3.3.4 恒定磁场的能量
3.3.5 磁场力
3.3 恒定磁场分析第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
67
0
HJ
B
微分形式,
0d
dd
S
SC
SB
SJlH
1,基本方程
BH
2,边界条件本构关系：
SJHHe
BBe
)(
0)(
21n
21n
SJHH
BB
t2t1
2n1n 0或若分界面上不存在面电流，即 JS＝ 0，则积分形式,
0)(
0)(
21n
21n
HHe
BBe
或
0
0
2tt1
n2n1
HH
BB
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
68
矢量磁位的定义磁矢位的任意性与电位一样,磁矢位也不是惟一确定的,它加上任意一个标量?的梯度以后,仍然表示同一个磁场,即由
AA
0B BA
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度,没有规定其散度造成的 。 为了得到确定的 A,可以对 A的散度加以限制,在恒定磁场中通常规定,并称为库仑规范 。0A
()A A A
1,恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位
3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
磁矢位的微分方程在无源区：
AB
0A
0J?
JA 2
02 A?
矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程
AJ 2() A A J
磁矢位的表达式
JB
直角坐标系下,,
x y ze e e
都是常矢量
2 2 2 2x x x x x x x xe A e A A e A e即
2
0
2
0
2
0
xx
yy
zz
AJ
AJ
AJ
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
70
他们的表达式与电位泊松方程相同，解形式也相同
0,,
4
i
ii
JA d C i x y z
R?
0
4
JA d C
R?
再合并成矢量形式：
00
00
44
44
ss
s
J dS J
dA A dS
J dS RR
I dl I dl I dl
dA A
RR
面 元线 元类似有：
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
71
因为 与源方向相同，如取坐标系同源方向一致，则得一维标量，故可引入标量函数，将 的方程转化成标量方程。 由 求,求偏微分即可。
s
J
dA J
I
与 源 的 方 向 平 行
x
x x y
z
dB
J d A d B
dB
即
A
A
A B
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
72
磁矢位的边界条件利用磁矢位计算磁通量：
0A
12AA?
n 1 2() Se H H J
/HA
n 1 2
12
11()
Se A A J
1
12 2d d dCC
S
B S A l A l
CSS lASASB ddd?
0dS SA
2t1t AA?
2n1n AA?
其中 C1,C2为闭合小柱面的上底面和下底面的边界第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
73
例 3.3.1 求 小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场 。 小圆形回路的半径为 a,回路中的电流为 I 。
解 如图所示，由于具有轴对称性，
矢量磁位和磁场均 与?无关，计算 xO z 平面上的矢量磁位与磁场 将不失一般性。选取球坐标。
( s i n c o s )r x zr e r r e e
( c o s s in )r x yr e a a e e
d d ( s i n c o s ) dxyl e a e e a
2 2 2 2 2 1 2[ ( s i n c o s ) s i n c o s ) ]r r r a a r
2 2 1 2[ 2 s i n c o s ]r a a r
小圆环电流
a
I
x
z
y
r
R
dl?
θ
r?
P
O
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
74
对于远区，有 r >> a,所以
2 1 2 1 21 1 2 1 2[ 1 ( ) s i n c o s ] [ 1 s i n c o s ]a a a
r r r r r r r
1 ( 1 sin c o s )a
rr
2 π0
0
1( ) ( 1 s in c o s ) ( s in c o s ) d
4 π xy
Ia aA r e e
rr
2
0
2
π s in
4 πy
Iae
r
由于在? = 0 面上,所以上式可写成
yee
于是得到
2
00
22
π( ) s in s in
4 π 4 π
I a I SA r e e
rr
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
75
11 ( s in ) ( )
s inrB A e A e r Ar r r
0
3 ( 2 c o s sin )4 π r
IS ee
r?
式中 S =πa 2是小圆环的面积。
载流小圆环可看作磁偶极子,为磁偶极子的磁矩
（或磁偶极矩），则
mp IS?
0m
2( ) sin4 π
pA r e
r?
或 0
m3() 4 πA r p rr
0m
3( ) ( 2 c o s s in )4 π r
pB r e e
r?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
76
解,先求长度为 2L 的直线电流的磁矢位。 电流元到点 的距离 。则22()R z z
ddzI l e I z
(,,)Pz
0
22
1( ) d
4 π ()
L
z L
IA r e z
zz
220 l n [ ( ) ]
4 π
L
z
L
Ie z z z z
22
0
22
( ) ( )ln
4 π ( ) ( )z
z L z LIe
z L z L
例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位,设电流沿 +z方向流动 。
与计算无限长线电荷的电位一样,令 可得到无限长线电流的磁矢位
L
0 1( ) l n
2 πz
IA r e C?
x
y
z
L
-L
(,,)z
'z dd
zI l e I z
R
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
77
2,恒定磁场的标量磁位一般情况下,恒定磁场只能引入磁矢位来描述,但在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间 中,则有即在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间中,可以引入一个 标量位函数来描述磁场 。
标量磁位的引入
0H mH
标量磁位或磁标位磁标位的微分方程
0m 0B H H B、、
2 m 0
在线性,各向同性的均匀媒质中第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
78
标量磁位的边界条件
m 1 m 2
12nn
和m 1 m 2
静电位 磁标位磁标位与静电位的比较
0,ED 0,0HB
E mH
m 1 m 2
m 1 m 2 1 2,nn
12
1 2 1 2,nn
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79
1,磁通与磁链
i
i
3.3.3 电感单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和
C I
细回路粗导线构成的回路,磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的,磁力线不穿过导体的外磁通量?o；另一部分是磁力线穿过导体,只有粗导线的一部分包围的内磁通量?i。
i
C I
o
粗回路第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
80
设回路 C 中的电流为 I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为?，则磁链?与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值
IL
称为回路 C 的自感系数，简称自感。
—— 外自感
IL
i
i
IL
o
o
2,自感
—— 内自感；
粗导体回路的自感,L = Li + Lo
自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。
自感的特点,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
81
解,先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为 I,由安培环路定理
0
ii22,2 π 2 π
IIHB
aa
穿过沿轴线单位长度的矩形面积元 dS = d?
的磁通为
0
ii 2d d d2 π
IBS
a
(0 )a
例 3.3.4 求同轴线单位长度的自感 。 设内导体半径为 a,外导体厚度可忽略不计,其半径为 b,空气填充 。
得与 dΦi 交链的电流为
2
2
II
a
则与 dΦi 相应的磁链为 30
ii 4d d d2 π
II
Ia
a
b
a?
d?
I?iB
2
2
2
2i ππd a
I
a
IIlH
C
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
82
因此内导体中总的内磁链为
3
00
ii 40dd 2 π 8 π
a II
a
0i
i 8 πL I
故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。
00
oo d d l n2 π 2 π
b
a
II b
a
00
io ln8 π 2 π
bL L L
a
0
2π
IB?
0
ood d d2 π
I
则
o0
o ln2 π
bL
Ia
故单位长度的外自感为单位长度的总自感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
例 3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为 a,两导线的间距为 D,且 D >> a 。导线及周围媒质的磁导率为 μ0 。
00
o
11d ( ) d l n
2 ππ
Da
a
II DaB S x
x D x a
0 11( ) ( )
2 πy
IB x e
x D x
穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为解 设两导线流过的电流为 I 。由于 D >> a,故 可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点 P的磁感应强度为
x
y
z
x
D
a
P
I
I
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84
于是得到平行双线传输线单位长度的外自感
o 0 0
o l n l nππ
D a DL
I a a
00
io ln4 ππ
DL L L
a
00
i 2 8 π 4 πL
两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
85
对两个彼此邻近的闭合回路
C1 和回路 C2,当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与 I1 成正比，而且与回路 C2
交链的磁链?12 也与 I1 成正比，其比例系数
1
21
21 IM
称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。
2
12
12 IM
3,互感同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为
C1 C2I
1
I2R
o
1dl
2dl
2r
1r
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86
互感只与回路的几何形状,尺寸,两回路的相对位臵以及周围磁介质有关,而与电流无关 。
满足互易关系,即 M12 = M21
当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时,互感系数 M 为正值；反之,则互感系数 M 为负值 。 即互感正负取决于回路 （ 电流 ） 正方向的选择,互感磁通与电流满足右手螺旋关系互感为正的,否则为负的；自感都是正的,因为自感磁通总是与电流呈右螺旋关系 。
互感的特点：
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87
4,纽曼公式如图所示的两个 回路 C1 和回路 C2,
回路 C1中的电流 I1 在回路 C2 上的任一点产生的矢量磁位
1 11021 dπ4)( C RlIrA
回路 C1中的电流 I1 产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为
C1 C2I1
I2R
o
1dl
2dl
2r
1r
纽曼公式2 2 2 10 1 2 12 1 1 2 1 ddd 4 πs C C CI l lB d s A l R
同理
2 1
120
21
dd
π4 C C R
llM
故得
1 2
210
12
dd
π4 C C R
llM
1 2 2101221 ddπ4 C C R llMMM
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88
0
2 π
IBe
00
0
1d [ ] d d
2 π 2 π
d b z d b
S d d
I I zB S d z
由图中可知 [ ( ) ] ta n (π 3 ) 3 [ ( ) ]z b d b d
长直导线与三角形回路
I?
d
z
60
b
ddSz
穿过三角形回路面积的磁通为解 设长直导线中的电流为 I,根据安培环路定理，得到例 3.3.6 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。
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89
03 1 [ ( ) ] d
2 π
db
d
I bd
03 [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
I bb d b
d
03 [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
bM b d b
Id
因此故长直导线与三角形导体回路的互感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
90
3.3.4 恒定磁场的能量
1,磁场能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。
电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动,表明恒定磁场具有能量 。
磁场能量是在建立电流的过程中,由电源供给的 。 当电流从零开始增加时,回路中的感应电动势要阻止电流的增加,因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势 。
假定建立并维持恒定电流时,没有热损耗 。
假定在恒定电流建立过程中,电流的变化足够缓慢,没有辐射损耗 。
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91
设回路从零开始充电，最终的电流为 I,交链的磁链为?。
在时刻 t 的电流为 i =αI,磁链为 ψ=α?。 (0≤α≤1)
根据能量守恒定律，此功也就是电流 为 I 的载流回路具有的磁场能量 Wm,即对 α从 0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为所做的功
1
0
1dd
2W W I I
dd d d d d
dW u q i t i It
当 α增加为 (α+ dα)时，回路中的感应电动势,
td
d
in
2
m 2
1d
2
1
2
1 LIlAIIW
C
tu d
d
in
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92
对于 N 个载流回路，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路 C1 和回路 C2,有回路 C2的自有能回路 C1的自有能
C1和 C2的互能
21 222212112111m d)(21d)(21 CC lIAAlIAAW
222122211111 2
1
2
1
2
1
2
1 IIII
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
jC
jj
N
j
jj
N
j
j lAIIW
d
2
1
2
1
11
m?
V VAJW d21m
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2,磁场能量密度从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。
磁场能量密度：
磁场的总能量：
积分区域为电场所在的整个空间对于线性,各向同性介质,则有
m
1
2w B H
m
1 d
2 VW B H V
2
m
1 1 1
2 2 2w B H H H H
2
m
1 1 1d d d
2 2 2V V VW B H V H H V H V
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94
若电流分布在有限区域内，当闭合面 S
无限扩大时，则有故推证,
BA
JH HAAHHA )(
R
S
J
0J?
1 [ ( ) ] d
2 V A H A H V
SV SHAVHA d)(d)(
SV SHAVHB d)(21d21
)1O(~),1O(~ 2RHRA
0)1O(~)d11O(~d)( 2 RSRRSHA SS
VAHVAJW VV d21d21m
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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例 3.3.8 同轴电缆的 内导体半径为 a,外导体的内、外半径分别为 b 和 c,如图所示。导体中通有电流 I,试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。
解,由安培环路定理，得
2
22
22
0
2 π
2 π
2 π
0
I
ea
a
I
e a b
H
Ic
e b c
cb
c
a
b c
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96
22
220
m3 22( ) ( ) 2 πd22 π
c
b
IcW
cb
三个区域单位长度内的磁场能量分别为
2
00
m1 20 ( ) 2 πd22 π 1 6 π
a IIW
a
2
200
m2 ( ) 2 d l n22 π 4 π
b
a
IIbW
a
2 4 2 2
0
2 2 2 2 2
3ln
4 π ( ) 4 ( )
I c c c b
c b b c b
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97
单位长度内总的磁场能量为
m m 1 m 2 m 3
2 2 2 4 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2
3
l n l n
16 π 4 π 4 π ( ) 4 ( )
W W W W
I I Ib c c c b
a c b b c b
单位长度的总自感
4 2 2
0 0 0m
2 2 2 2 2 2
2 3l n l n
8 π 2 π 2 π ( ) 4 ( )
W b c c c bL
I a c b b c b
内导体的内自感内外导体间的外自感 外导体的内自感第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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3.3.5 磁场力
Smd d diiW F g W
假定第 i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移 dgi 。此时，
磁场力做功 d A＝ Fi dgi，系统的能量增加 dWm。根据能量守恒定律，
有式中 dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。
具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。
虚位移原理第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
99
1,各回路电流维持不变
mddiiF g W?
若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，
因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量
S
11
d d ( ) d
NN
i i i i
ii
W I I
即
md 2 dSWW?
于是有故得到
m
i
i
WF
g
不变I
系统增加的磁能
m
11
11d d ( ) d
22
NN
i i i i
ii
W I I
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
100
2,各回路的磁通不变
mddiiF g W
故得到式中的“－”号表示 磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的 。
若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。
由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dWS＝ 0，因此
m
i
i
WF
g
不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
101
22
00
0 00
1 2d
2
x B S BSx
x
= - = -
例 3.3.9 如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有 N 匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为 S，平均长度分别为 l1 和 l2 。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为 x 。
设线圈中的电流为 I,铁轭和衔铁的磁导率为 。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。
解 在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通 Ψ不变，
则 B 和 H 不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁
I
1l
x
S
2l
空气隙中的磁场强度
m
00
1[ d ]
2i Ψi
WF B H V
xx
气隙不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
102
1 2 0( ) 2H l l H x N I
0
0
1 2 0( ) 2
NIB
l l x
22
0
m0
1 2 0
1
2 2 ( ) 2 ]
S N IW N I S B
l l x
[
2 2 2
0m
2
1 2 0[ ( ) 2 ]
xI
N I SWF
x l l x
不变
m
iI
i
WF
x
不变若采用式 计算，由储存在系统中的磁场能量
BH
0
0
0
BH
0BB?
由于 和,考虑到,可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定理，有
2 2 2 2
00
2
0 1 2 0[ ( ) 2 ]
x
S B N I SF
l l x
-
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103
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理本节内容
3.4.1 边值问题的类型
3.4.2 惟一性定理边值问题,在给定的边界条件下,求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
104
3.4.1 边值问题的类型
1| ( )S fS
已知场域边界面 S 上的位函数值，即
2 22| ( )S fSn
1 11
| ( )S fS,
2| ( )S fSn
第一类边值问题 （ 或狄里赫利问题 ）
已知场域边界面 S 上的位函数的法向导数值，即已知场域一部分边界面 S1 上的 位函数值，而另一部分边界面 S2 上则已知 位函数的法向导数值，即第三类边值问题 （ 或混合边值问题 ）
第二类边值问题 （ 或纽曼问题 ） S
V
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105
实际问题中除了给定的边界条件外，有时还要引入某些补充的物理约束条件，称为自然边界条件。（自然边界条件不是事先给定的，必须根据具体问题自行确定。）
当电荷分布在有限区域，而场域扩展至无限远处，在无限远处电位应为零。
l i mr r 有 限 值
r
S?
在圆柱坐标中的二维场，当 ρ一定，而角度 φ相差 2π的整数倍的点实际上是同一点，所以场量应相等。
(2 π) 2π
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106
衔接条件由于电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程都是在均匀介质条件下导出的,当场域内有分区均匀的多种介质时,则要在各区域内分别求解各自的电位微分方程 。 作为定解需要还要引入不同区域分界面上的边界条件,如下 。 这两个方程表示的边界条件也称为分界面上的衔接条件 。
12
1 2 1 2,nn
1?
2?
1?
2?
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107
22
22 0xy
例：
( 0,) 0,(,) 0y a y
0(,0 ) 0,(,)x x b U
（第一类边值问题）
0Ub
aO x
y
0Ub
aO x
y
0x0x
22
22 0xy
0 0,0x x axx
0(,0 ) 0,(,)x x b U
（第三类边值问题）
例：
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108
在场域 V 的边界面 S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）
n?
3.4.2 惟一性定理
S
V
惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
109
惟一性定理的证明反证法,假设解不惟一,则有两个位函数和 在场域 V内满足同样的方程,即
1?
2?
2 2 f
且在边界面 S 上有令,则 在场域 V内
0 1 2
2 2 20 1 2 0ff
2 1,f
且在边界面 S 上满足同样的边界条件 。
0 1 2 0S S S
0 12 0
S S Sn n n
或或
1 1 10 1 2 0,S S S 2 2 2
0 12 0
S S Sn n n
S
V
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110
由格林第一恒等式可得到
20( ) 0
0 0 0 C
对于第一类边界条件：
0 0S 0C? 12
0 0Q 0C? 12
对于第二类边界条件：若 和 取同一点 Q为参考点,则
1? 2?
对于第三类边界条件：
10 0S
0C? 12
S
V
SV SnV 0dd)( 0020
SV SnV dd)( 2
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111
边值问题的解法可分为解析法和数值法两大类。
解析法得到的解是一种数学表示式，包括分离变量法、镜像法等。
数值法则是直接计算离散点上的场量数值包括有限差分法等。解析法得到的场量表达式是准确解，但它只能解决规则边界场问题。
数值法属于近似计算法，但对于不规则边界的复杂场问题是很有用的方法。
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112
本节内容
3.5.1 镜像法的基本原理
3.5.2 接地导体平面的镜像
3.5.3 导体球面的镜像
3.5.4 导体圆柱面的镜像
3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像
3.5.6 线电流 与无限大磁介质平面的镜像
3.5 镜像法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
113
当有电荷存在于导体或介质表面附近时,导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷,而感应电荷或极化电荷将影响场的分布 。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代
1,问题的提出几个实例
q
3.5.1 镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷,如图所示 。 q′
非均匀感应电荷等效电荷第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
114
接地导体球附近有一个点电荷,如图 。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷 。 情况与上例类似,但等效电荷为线电荷 。
q
非均匀感应电荷
q′
等效电荷结论,所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
115
2,镜像法的原理用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在 同一方程下 问题所给定的 边界条件,那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。
3,镜像法的理论基础 —— 解的 惟一性定理第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
116
像电荷的个数、位臵及其电量大小 ——,三要素,。
4,镜像法应用的关键点
5,确定镜像电荷的两条原则等效求解的,有效场域,。
镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 。
像电荷的个数,位臵及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
117
1,点电荷对无限大接地导体平面的镜像
,q q h h
11( ) 0
4 π
q z
RR （）
0 0zRR
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
3.5.2 接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因 z = 0 时，
有效区域
R
R?
q
h
h?
q?
q
h
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
118
上半空间 ( z≥0 ）的电位函数
q
h
2 2 2 2 2 2
11(,,) [ ]
4 π ( ) ( )
qx y z
x y z h x y z h
( 0)z?
2 2 2 3 20 2 π ( )S z
qh
z x y h
in 2 2 2 3 2
ddd
2 π ( )SS
q h x yqS
x y h?
2 π
2 2 3 200
dd
2 π ( )
qh q
h
导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
119
2,线电荷对无限大接地导体平面的镜像
2,,0 ; 0,0l x z h z z
镜像线电荷：
l n ( 0 )2 π l R zR
满足原问题的边界条件,所得的解是正确的 。
电位函数原问题当 z = 0 时,rr 0
,ll hh
h?
h
l
有效区域
R
R?
l?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
120
3,点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示,两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板,点电荷 q位于 (d1,d2 )处 。
显然,q1对平面 2 以及 q2对平面 1 均不能满足边界条件 。
1 2 3
1 1 1 1()
4 π
q
R R R R
对于平面 1,有镜像电荷 q1=－ q,位于 (－ d1,d2 )
对于平面 2,有镜像电荷 q2=－ q,位于 ( d1,－ d2 )
只有在 (－ d1,－ d2 )处 再设臵一镜像电荷 q3 = q,所有边界条件才能得到满足 。
电位函数
d11
q
d2
2
RR1
R2R3
q1 d1
d2
d2
q2d
1q3
d2
d1
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
121
例 3.5.1 一个点电荷 q与无限大导体平面距离为 d,如果把它移至无穷远处,需要做多少功？
解,移动电荷 q时,外力需要克服电场力做功,而电荷 q受的电场力来源于导体板上的感应电荷 。 可以先求电荷 q
移至无穷远时电场力所做的功 。
2
0
() 4 π ( 2 )x qE x e x
e
22
2
00
( ) d
1
d
4 π ( 2 ) 1 6 π
d
d
W q E x x
qq
x
xd
2
oe
016 π
qWW
d
q'
q
x
=∞
0 d
-d
由镜像法,感应电荷可以用像电荷 替代 。 当电荷 q 移至 x时,像电荷 应位于－ x,则 像电荷产生的电场强度
qq
q?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
122
3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像图 1 点电荷与电介质分界平面
z
x
1?
2?
q
h
特点,在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。
图 2 介质 1的镜像电荷
P
q?
h
h
1?
1?
x
z
q
R
R?
问题,如图 1 所示，介电常数分别为和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷 q,
距分界平面为 h 。
1?
2?
分析方法,计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 2所示。1?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
123
介质 1中的电位为
1 2 2 2 2 2 2
1
1(,,) [ ]
4 π ( ) ( )
qqx y z
x y z h x y z h
( 0)z?
2 2 2 2
2
1(,,)
4 π ()
qqx y z
x y z h
( 0)z?
2?
计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3
所示。介质 2中的电位为图 3 介质 2的镜像电荷
2?
2?
qq
P
x
z
h R
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
124
可得到
12
11
( ) ( )q q q q
q q q q
说明,对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带 ），其镜像电荷为
1 2 1 2
1 2 1 2
,l l l l
12
12
12
12
qq
qq
1 0 2 0zz
21
1 0 2 0zzzz
利用电位满足的边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
125
图 1 线电流与磁介质分界平面
z
x
1?
2?
I
h
图 2 磁介质 1的镜像线电流
P
I?
h
h
1?
1?
x
z
I
R
R?
特点,在直线电流 I 产生的磁场作用下，
磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。
问题,如图 1所示，磁导率分别为 和的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，
在磁介质 1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为 h。
1? 2?
分析方法,在计算磁介质 1中的磁场时，
用臵于介质 2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图 2所示。1?
3.5.6 线电流 与无限大磁介质平面的镜像第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
126
11
1 2 2 2 2
11l n l n
2 π 2 π( ) ( )
IIA
x z h x z h
( 0)z?
2
2 22
() 1ln
2 π ()
IIA
x z h
( 0)z?
因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢量磁位只有 y 分量，则磁介质 1和磁介质
2中任一点的矢量磁位分别为图 3 磁介质 2的镜像线电流
2?
2?
II
P
x
z
h R
在计算磁介质 2中的磁场时，用臵于介质 1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图 3所示。2?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
127
21
1 0 2 0 0 0
12
11,
z z z z
AAAA
zz
相应的磁场可由 求得。BA
1 1 2 1
1 2 2 2 2
21
()11l n l n
2 π 2 π ( )( ) ( )
II
x z h x z h
A
( 0)z?
12
2 22
21
1ln
π ( ) ()
I
x z h
A ( 0)z?
21
21
21
21
II
II
12( ) ( )I I I I
I I I I
可得到故利用矢量磁位满足的边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
128
I等 效 于 电 荷 移 动?
应用：天线不能太靠近地面否则发送的信号会被镜像削弱正电荷向右移动动镜像负电荷向右移动所形成的电流向左，与原电流抵消第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
129
I等 效 于 电 荷 移 动?
应用：单极天线，发送的信号被加强正电荷向上移动相当于负电荷向下移动，则镜像电流方向向上第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
130
小型天线地 网 埋 地,且 铺 洒 工 业 盐第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
131
因此，如果能够构造出导磁体表面，将可以设计出低剖面水平极化天线，
具有重要意义！
mq?
mq?
mq?
mq?
II
I II刚才考虑的是导电体（切向电场＝ 0），在存在导磁体（切向磁场＝ 0）的情况下。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
132
3.6 分离变量法本节内容
3.6.1 分离变量法解题的基本原理
3.6.2 直角坐标系中的分离变量法
3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法
3.6.4 球坐标系中的分离变量法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
133
将偏微分方程中含有 n个自变量的待求函数表示成 n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成 n个常微分方程，
求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：
3.6.1 分离变量法解题的基本原理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 134
二阶常系数微分方程的解一,二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式
y p y q y 0
其中 p,q是 常数,称之为 二阶 常系数 齐次线性方程； 如果 p,q不全为常数,则称它为 二阶 变系数 齐次线性微分方程。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 135
二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解要找 它 的通解，可先求出它的两个解
y1与 y2,如果即 y1与 y2线性无关，那未
1
2
y
y
常 数,
就是方程的通解。
y c y c y1 1 2 2
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 136
对于指数函数 ( ),rxy e r 为 常 数若它是方程的解，则有
2,,r x r x r xy e y r e y r e
y p y q y r p r q e r x( )2 0
由于 e r x 0,从而有
2 0r p r q
微分方程的 特征方程。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 137
二阶常系数齐次线性方程的特征方程记忆
y p y q y
r p r q
0
1 0
2
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 138
根据特征方程根的不同情形,有微分方程的通解特征方程
2
0r p r q
的两个根微分方程
0y p y q y
的通解两个不相等的实根 12
,rr
12
12
r x r x
y c e c e
两个相等的实根 12
rr?
1
12
()
rx
y e c c x
一对共轭复根
1,2
ri
12
( c o s s i n )
x
y e c x c x
c o s s i nie e i
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 139
特征方程有一对共轭复根：
r i r i1 2 0,( )
y e e e e x i xi x x i x x1( ) ( c o s s i n )
y e e e e x i xi x x i x x2( ) ( c o s s i n )
是微分方程的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，有
1 1 2
1 ( ) c o s
2
xy y y e x
2 1 2
1 ( ) s in
2
xy y y e x
i
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 140
1 1 2 2
12
c os sin
xx
y c y c y
c e x c e x
再进行线性组合，有 微分方程的 通解第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
141
在直角坐标系中，若位函数与 z 无关，则拉普拉斯方程为
02
2
2
2
yx
3.6.2 直角坐标系中的分离变量法
22
22
1 d ( ) 1 d ( )
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
将?(x,y) 表示为两个一维函数 X( x )和 Y( y )的乘积，即
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
d ( ) d ( )( ) ( ) 0
dd
X x Y yY y X x
xy
将其代入拉普拉斯方程，得再除以 X( x ) Y( y ),有分离常数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
142
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
Yy k Y y
y
若取 λ＝－ k2,则有
0 0 0( ) ( )Y y Y y C y D
( ) ( ) s i n h ( ) c o s h ( )n n n n nY y Y y C k y D k y
[ s i n ( ) c o s ( ) ] [ s i n h ( ) c o s h ( ) ]n n n n n n n nA k x B k x C k y D k y
( ) s i n ( ) c o s ( )n n n nX x A k x B k x当 0nkk
(,) (,) ( ) ( )n n nx y x y X x Y y
0 0 0 0 0 0 0(,) (,) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y X x Y y A x B C y D
当 0k?
0 0 0( ) ( )X x X x A x B
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
143
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin ( ) c o s( ) ] [ sin h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
将所有可能的? (x,y)线性 叠加起来，则得到位函数的通解，即若取 λ＝ k2,同理可得到
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin h ( c o sh ( ) ] [ sin ( ) c o s( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
144
例 3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为 U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。
22
22
0
0
( 0,) 0,(,) 0 ( 0 )
(,0 ) 0,(,) ( 0 )
xy
y a y y b
x x b U x a
解,位函数满足的方程和边界条件为 0Ub
ao x
y
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin ( ) c o s( ) ] [ sin h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
因? (0,y)＝ 0,? (a,y)＝ 0，故 位函数的通解应取为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
145
-5 0 5
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
15
sh x
ch x
说明将? (0,y)＝ 0,? (a,y)＝ 0，代入
（ 3.6.9）有
0 0 00 0 0
0 c o s h 0 0 0n n n n
A B B
A B k B
0000
s i n h 0 0n n n
A a A
A k a A
综上 3.6.9不适合作为本题的通解。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
146
0,00 nBB
确定待定系数
0 0 0
1
(,) ( ) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n
n
x y A x C y D A k x C k y D k y?
0 0,s i n ( ) 0nnA a A k a 0 0,s i n ( ) 0nA k a
0
π0,
n
nAk
a
1
π π π(,) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ]
n n n
n
n x n y n yx y A C D
a a a?
( 0,) 0y
(,) 0ay
0 0 0
1
( ) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ] 0n n n n n n
n
A a C y D A k a C k y D k y
0 0 0
1
( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ] 0n n n n n
n
B C y D B C k y D k y
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
147
(,0 ) 0x
1
πsin( ) 0
nn
n
nxAD
a
0?nD
11
π π π π(,) sin ( ) sin h ( ) sin ( ) sin h ( )
n n n
nn
n x n y n x n yx y A C A
a a a a?
0(,)x b U 0
1
ππsin ( ) sin h ( )
n
n
n x n bAU
aa
πsin( )nx
a
将 U0 在（ 0,a）上按 展开为傅里叶级数，即
0
1
πsin ( )
n
n
nxUf
a
0
00
4
1,3,5,2 π
sin( ) d π
0 2,4,6,
a
n
U
nnx
f U x n
aa n
其中第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
148
0
11
π π πs in ( ) s in h ( ) s in ( )
nn
nn
n x n b n xA U f
a a a
04 1,3,5,
π sin h ( π / )'
π
sin h ( ) 0 2,4,6,
n
n
U
nf
n n b aA
nb
na
由
0
1,3,5,
4 ππ(,) s i n ( ) s i n h ( )
π s i n h ( π / )n
U n x n yxy
n n b a a a?
故得到第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
149
3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法
2
22
11( ) 0
令其解为 (,) ( ) ( )R
2
2
d d 1 d( ) 0
d d d
R
R
代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程在圆柱坐标系中，若位函数与 z 无关，则拉普拉斯方程为
2
2
2
d 0
d k
2
22
2
dd 0
dd
RR kR
mk
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 150
欧拉方程形如
2
1 2 1 2
' ' ' 0 (,x y a x y a y a a
为常量 ) ( 1)
的方程叫欧拉方程。
设
m
yx?
方程 ( 1) 的一个解，将其代入 ( 1) 中，并除以
( 0 )
m
xx?
得,
2
1 2 1
1 0 1 ( 2 )m a m a a
1,如果特征方程 ( 2) 的两根 12
,mm
是不相等的实根，则通解为,
12
12
3
mm
y c x c x
2,如果
2
21
1
1
4
aa
,则 特 征 方 程 的 两 根 为 相 等 的 实 根
1
12
1
2
a
mm
,通解为：
1
12
ln
m
y c c x x
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 151
当 时，
其解为：
222 0d R d R kR
dd
22( 1 1 ) 0mk
mk
() kkR C D
0k? 00( ) l nR C D
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
152
当 k= 0时
0 0 0( ) ( ) l nR R C D00( ) ( ) A
当 k ≠ 0时
( ) ( ) kkR R C D
( ) ( ) c o s ( ) s i n ( )A k B k
(,) (,) ( ) ( )
( ) [ c o s ( ) s in ( ) ]kk
R
C D A k B k
0 0 0 0 0 0(,) (,) ( ) ( ) ( l n )R C D A
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
153
0 0 0
1
(,) ( l n ) [ c o s( ) si n ( ) ] ( )nnn n n n
n
A C D A n B n C D
通常? (ρ,? )随变量? 的变化是以 2?为周期的周期函数。
因此，分离常数 k 应为整数，即 k＝ n ( n＝ 0,1,2,… ) 。
考虑到以上各种情况,电位微分方程 的解可取下列一般形式也可以写为
00
1
(,) l n
[ ( c o s( ) sin ( ) ) ( c o s( ) sin ( ) ) ]nnn n n n
n
CD
A n B n C n D n
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
154
解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与 x 轴一致，即
00x E?Ee 因介质柱内外都不存在自由电荷的体密度，因此介质柱内外都满足拉普拉斯方程，又因为介质柱是均匀无限长的，而且均匀外电场与圆柱轴线垂直，因此电位函数与变量 z无关。
例 3.6.2 均匀外电场 中，有一半径为 a、介电常数为 ε的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。
00x E?Ee
x
y
aE
0 o ε
P(ρ,?)
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
155
设介质圆柱内的电位函数为?1，介质圆柱外的电位函数为? 2,应满足的条件为
1,圆柱外,当
20,
即
2 0 0 0,,c o sE x E
2,圆柱内,当 0, 时 电 位 应 为 有 限 值,
即1 0,
3,圆柱表面,当 a 时
121 2 0,,,aa
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
156
由条件 1有 00
1
0
(,) l n
[ ( c o s( ) sin ( ) ) ( c o s( ) sin ( ) ) ]
c o s
nn
n n n n
n
CD
A n B n C n D n
E
因此
00
1 0 1
1,
sin ( ),0,0,0,0
,
nn
n
n C D B D
A E C
在 解 中 只 含 有 的 部 分且 不 含 即且 此 不 能 确 定第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
157
于是介质圆柱外的电位函数可写为
12 0 2(,) c o s c o sEC
由条件 2有 φ1中不含有 ρ的负幂项，在 ρ＝ a时有
1
1
(,) sin c o sn nn
n
a A n B n
根据条件 3,ρ = a时,?2 =?1
102
1
sin c o s c o s c o sn nn
n
a A n B n E a C a
同理只有 n=1的余弦项不为零，形式为
11 c o sB
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
158
11 0 2c o s c o s c o s 1B E a C a
再考虑 3中第二个条件
12
0
2
20 c o s c o s
CE
11 c o sB
20 0 0 12c o s c o s c o s 2CEB a
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
159
联立求解得：
2
2 0 1 0
2C a E B E
00
++
得到：
22 0 0 1c o s c o sE r a E a
r
0
0+
10 2 c o sE r a0
0+
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
160
E1为均匀场，且小于 E0,这是因为极化后表面出现束缚电荷，抵消了部分外场。
然后由 E,可求
22
2 0 01 c o s 1 s i n
aaE e E e E a
00
++
1 0 022 c o s si n xE E e e e E a00++
E0
电场线 等位面
x
y
a
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
161
3.6.4球坐标中的分离变量法
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 162
球坐标中的拉普拉斯方程
2
22
11 sin 0
sinrr r r r
2
2
2 2 2 2
1 1 1s i n s i n 0
s i n s i nrr r r r r
2
2
2 2 2
=,
11
sin 0
sin
11
sin
sin
r
R r F
R r F
r
R r r r F
R r F
r k k
R r r r F
令 代 入 上 式,并 乘 有令,则设场解与?无关
2210d d Fx k F
d x d x
……… 勒让德方程
22
c os,sin
sin
sin 0
sin
d d dx d
x
d dx d dx
d dF
kF
dx dx
令
22
21
si n
si n
dR rd
r k R r
dr dr
dFd
kF
dd
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 164
我们研究?从 0到?，即 x从 1到 (-1),取
k2= n(n+1),n=0,1,2,… 4.3.4
则勒让德方程仅有一个有界解,即勒让德多项式 Pn (x).
22
2
1 '' 2 ' 0
( 1 ) ( 0,1,2,3,.,,,)
x y x y k y
k n n n
另一种形式
2210d d Fx k F
d x d x
……… 勒让德方程
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 165
Pn特性,n为偶数,只有偶次项 ; n为奇数,只有奇次项。
Pn(1)=1,Pn(-1)=(-1)n
特点,P奇过原点,P偶关于 x=0对称。
1P x x?
22 1 31
2
P x x
33 1 535P x x x
424 1 3 5 3 0 3
8
P x x x
-1
1
1
-1
21 12!
n n
n nn
dP x x
n d x
通式：
1
01
0
c o s c o s sin 2
21
n m n m
nm
P P d P P d x
nm
n
勒让德多项式也具有正交性
''1121 n n nm P x P x P x
11
0
1
21
11
1;;
n n n
nn
P x x P x P x
nn
Px
P x x
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 167
2 10dR r n n R rd r r
1nnR r r R r r
1
0
c o snnn n n
n
A r B r P
故场的通解为,
显然有 2个解,
再看 R(r)的解,代入 k2 = n(n+1)后有,
特征方程,
2 2 1 ( 1 ) 0m m n n
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 168
1 0 0 0 1c o s c o sr E r E r P
21 1 1 c o sA r B r
根据正交性,?1仅有含 P1项，即解：取极轴与外场 E0一致，
则?0 = -E0rcos?
设球内为?2，球外为?1，
2 0
(r,?,?)
a
E0
1
0
c o snnn n n
n
A r B r P
故场的通解为,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 169
更进一步
211 c o sA r B r 0 c o sEr
有
10AE
0r2有限，故只取正幂项
2
0
c o snnn
n
r A r P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 170
201
0
c o s c o snnn
n
A a P E a B a
21aa
根据正交性可知?2也仅有含 P1的项，即
22 2 0 1c o s c o sA a E a B a
由
22 c o sAr
更进一步
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 171
21 1 1 c o sA r B r
22 c o sAr
120 1 2,nn
r a r a
DD
rr
再 由 有而
3
2 0 0 0 1c o s c o s 2 c o sA E B a
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 172
3
1 0 2 0
3
B E a A E
00可 解 得
+ 2 + 2
3
1 0 0 2
20
1
c o s c o s
3
c o s
E r a E r a
r
E r r a
0
0
0
0
+2
+2
,E
20
3
zE e E
0
0+2
为均匀场，且小于外加场当 时，介质消失； 时，内场为零。
0
电场线 等位面
x
z?
0
a
E0
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 174
如果在无限大的介电常数为? 的均匀介质中存在球形气泡,
那么当外加均匀电场时,气泡内的电场强度应为
0 r 0
0
0r
33
2 1 2i
EEEE
那么，泡内的场强高于泡外的场强。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
175
2,边界条件
0E
D
微分形式：
ED本构关系：
1,基本方程
0)(
)(
21n
21n
EE
DD
e
e S?
0d
d
lE
SD
C
S
q积分形式：
0)(
0)(
21n
21n
EE
DD
e
e
02t1t
n2n1
EE
DD S?或
2t1t
n2n1
EE
DD或一,静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即,则0?S?
第三章小结第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
176
0 E?由
1,电位函数的定义
E?
二,电位函数面电荷的电位：
1 ( )( ) d
4 π V
rr V C
R
点电荷的电位,()
4 π
qrC
R
()1( ) d
4 π
l
C
rr l C
R
线电荷的电位：
CSR rr S S d)(π4 1)( 3
3,电位积分表达式：体电荷的电位：
( ) ( ) dQPP Q E l2,P,Q 两点间的电位差第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
177
4、电位方程在均匀介质中，有标量泊松方程在无源区域，有拉普拉斯方程 0
2
02
5,静电位的边界条件
12 0
若介质分界面上无自由电荷，即 0?
S? nn 1122
导体表面上电位的边界条件,常数，
nSD
n
1?
2?媒质 2
媒质 1
2?
1?
lΔ
2P
1P
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
178
(1) 假定两导体上分别带电荷 +q 和－ q ；
计算电容的方法一,
UqC?(4) 求比值,即得出所求电容。
21 d lEU(3) 由,求出两导体间的电位差；
(2) 计算两导体间的电场强度 E；
计算电容的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U ；
(4) 由 得到 ;
nES S?
(2) 计算两电极间的电位分布?；
E?(3) 由 得到 E ;
S S Sq d?
(5) 由,求出导体的电荷 q ；
UqC?(6) 求比值,即得出所求电容。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
179
三、
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
180
e
i
i
WF
g
不变?
四、静电力
e
i
i
WF
g
q不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
181
EJ
0d
0d
lE
SJ
C
S
0
0
E
J
五、恒定电场分析
1,基本方程
恒定电场的基本方程为微分形式,积分形式：
)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 )(rE
线性各向同性导电媒质的本构关系第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
182
2,恒定电场的边界条件
0d lEC
0d SJS 0)( 21n JJe
0)( 21n EEe
2nn1 JJ?
即
2t1t EE?
即场矢量的折射关系
11
22
t a n
t a n
电位的边界条件
nn?
2
2
1
121,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
183
3.恒定电场与静电场的比拟基本方程
ED
,E?
EJ
0202
n2n1t2t1 DDEE n2n1t2t1 JJEE
静电场（ 区域）0
0d,0d lESJ CS
0,0 EJ
,E?
0,0DE
nn?
2
2
1
121,
nn 221121,
本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）
对应物理量静电场
E?
E?
D?
J?
q
I恒定电场? G
C
0d,0d lESD CS
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
184
(1) 假定两电极间的电流为 I ；
(2) 计算两电极间的电流密度矢量 J ；
(3) 由 J =? E 得到 E ;
(4) 由,求出两导体间的电位差；
(5) 求比值,即得出所求电导。
21 d lEU
UIG /?
计算电导的方法一,? 计算电导的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U；
(2) 计算两电极间的电位分布?；
(3) 由 得到 E ;
(4) 由 J =? E 得到 J ;
(5) 由,求出两导体间电流；
(6) 求比值,即得出所求电导。
E?
SI SJ d
UIG /?
计算电导的方法三,
静电比拟法：
C
G CG
4、电导的计算方法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
185
0
HJ
B
微分形式,
0d
dd
S
SC
SB
SJlH
1,基本方程
BH
2,边界条件本构关系：
SJHHe
BBe
)(
0)(
21n
21n
SJHH
BB
t2t1
2n1n 0或若分界面上不存在面电流，即 JS＝ 0，则积分形式,
0)(
0)(
21n
21n
HHe
BBe
或
0
0
2tt1
n2n1
HH
BB
六、恒定磁场第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
186
3、恒定磁场的矢量磁位
BA
库仑规范0A
引入,0B
磁矢位的微分方程在无源区,0J?
JA 2
02 A?
矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的边界条件
12AA?
n 1 2
12
11()
Se A A J
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187
4,恒定磁场的标量磁位但在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间 中,则有
0H mH
标量磁位或磁标位磁标位的微分方程
2 m 0在线性,各向同性的均匀媒质中标量磁位的边界条件
m 1 m 2
12nn
和m 1 m 2
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188
七、电感
IL
1,自感
I为回路 C 中的电流,?为 I所产生的磁场与回路 C 交链的磁链,
i
i
单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和
1
21
21 IM
回路 C1 对回路 C2 的互感
2
12
12 IM
3,互感回路 C2 对回路 C1 的互感为
M12 = M21
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189
八,恒定磁场的能量
2
m 2
1d
2
1
2
1 LIlAIIW
C
电流为 I 的载流回路具有的磁场能量 Wm
对于两个电流回路 C1 和回路 C2,有
22
m 1 1 2 2 1 2
11
22W L I L I M I I
磁场能量密度磁场能量密度：
磁场的总能量：
m
1
2w B H
m
1 d
2 VW B H V
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190
2,磁场力
m
i
i
WF
g
不变I
m
i
i
WF
g
不变九,惟一性定理 在场域 V 的边界面 S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）
n?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
191
十、镜像法,必须保证原问题的方程不变，边界条件不变像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 。
像电荷的个数,位臵及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定 。
十一,分离变量法 解决求有边界区域的场的解思路：
套用通解，根据边界条件来定待定系数
1
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
2
本章内容
3.1 静电场分析
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
3.5 镜像法
3.6 分离变量法
静态电磁场,场量不随时间变化，包括：
静电场、恒定电场和恒定磁场
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
3
3.1 静电场分析本节内容
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
3.1.4 静电场的能量
3.1.5 静电力第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4
2,边界条件
0E
D
微分形式：
ED本构关系：
1,基本方程
0)(
)(
21n
21n
EE
DD
e
e S?
0d
d
lE
SD
C
S
q积分形式：
0)(
0)(
21n
21n
EE
DD
e
e
02t1t
n2n1
EE
DD S?或
2t1t
n2n1
EE
DD或
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即,则0?S?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
介质 2
介质 1
2?
1?
2?
1?
2E
1E?
ne?
11
22
ta n
ta n
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为 0，则导体表面的边界条件为
0n
n
E
D
e
e S?
0t
n
E
D S?或场矢量的折射关系导体表面的边界条件
D与 E均垂直于导体表面第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
6
0 E?由
即 静电场可以用一个标量函数的梯度来表示,标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。
1,电位函数的定义
E?
3.1.2 电位函数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
7
2,电位的表达式对于连续的体分布电荷,由同理得,面电荷的电位：
1 ( )( ) d
4 π V
rr V C
R
故得点电荷的电位,()
4 π
qrC
R
()1( ) d
4 π
l
C
rr l C
R
]d)
1
)((
π4
1
[
d)
1
()(
π4
1
d
)(
π4
1
)(
3
V
R
r
V
R
rV
R
Rr
rE
V
VV
3)
1(
R
R
R
线电荷的电位：
rrR
CSR rr S S d)(π4 1)( 3
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
8
3,电位差两端点乘,则有l?dE?将
d)ddd(dd yyyyxxllE
上式两边从点 P到点 Q沿任意路径进行积分,得关于电位差的说明
P,Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从 P点移至 Q点所做的功,电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 。
电位差也称为电压,可用 U表示 。
电位差有确定值,只与首尾两点位臵有关,与积分路径无关 。
)()(dd QPlE QPQP
P,Q 两点间的电位差电场力做的功第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
9
静电位不惟一，可以相差一个常数，即
)( CC
选参考点 令参考点电位为零 电位确定值 (电位差 )
两点间电位差有定值选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义 。
应使电位表达式最简单 。 若电荷分布在有限区域,通常取无限远作电位参考点 。
同一个问题只能有一个参考点 。
4,电位参考点为使空间各点电位具有确定值,可以选定空间某一点作为参考点,且令参考点的电位为零,由于空间各点与参考点的电位差为确定值,所以该点的电位也就具有确定值,即第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
10
例 3.1.1 求电偶极子的电位,
解 在球坐标系中
21
12
0210 π4
)11(π4)( rr rrqrrqr
c o s)2/(
c o s)2/(
22
2
22
1
rddrr
rddrr
c o s22 drr用二项式展开，由于,得dr,c os21?drr
3
0
2
0
2
0 π4π4π4
c o s)(
r
r
rr
qdr r
pep代入上式，得表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp
+q
电偶极子
z
od
－ q
1r
2r
r
),,(rP
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
11
E
r
E
r
r
dd?
21 s inCr?
将 和 代入上式,解得 E 线方程为
E rE
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
)s inc os2(π4 3
0
ee rrq
)s i n11()( rerererE r
c o s'2 Cr?C
r
p?
2
0π4
c os
等位线电场线电偶极子的场图电场线微分方程,
等位线方程,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
12
解 选定均匀电场空间中的一点 O为坐标原点，而任意点 P的位臵矢量为 r,则
0 0 0( ) ( ) d d
P
Po
OP O E l E r E r
若选择点 O为电位参考点，即,则( ) 0O
0()P E r
0 0 0( ) c o szP E r e r E E r
在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即,则有
00zE e E?
0E
0 0 0( ) ( ) c o sxzP E r e E e e z E
zr e e z
在圆柱坐标系中，取 与 x 轴方向一致，即,而
，故
00xE e E?0E
0E
x
z?
O
P
r?
例 3.1.2 求均匀电场的电位分布。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
13
x
y
z
L
-L
(,,)z
'z ddlz
R
z?
解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与?无关。
在带电线上位于 处的线元,它到点 的距离,
则
22()R z z
ddlz
(,,)Pz
0
220
1( ) d
4 π ()
Ll
L
rz
zz
220
0
l n [ ( ) ]4 π
L
l
L
z z z z
22
0
22
0
( ) ( )ln
4 π ( ) ( )
l z L z L
z L z L
例 3.1.3 求长度为 2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。0l?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
14
2 2 2 2
000
22
2( ) l n l n l n
4 π 2 π 2 π
lll L L L L Lr
LL
在上式中若令,则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为LR
L
当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有
L
0
0
2( ) l n
2 π
l LrC
并选择有限远处为电位参考点。例如，选择 ρ= a 的点为电位参考点，则有
0
0
2ln
2 π
l LC
a
0
0
( ) l n2 π l ar
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
15
在均匀介质中，有
5,电位的微分方程在无源区域,0
E
ED
2
02
标量泊松方程拉普拉斯方程第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
16
6,静电位的边界条件设 P1和 P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点,其电位分别为?1和?2。 当两点间距离 Δ l→ 0时
导体表面上电位的边界条件：
0dlim 2
10Δ
21
P
Pl E l
Se )( 21n DD
D?由 和
1?
2?媒质 2
媒质 1
2?
1?
lΔ
2P
1P
若介质分界面上无自由电荷，即 0?
S? nn 1122
常数，
Sn?
Snn?
1
1
2
2
21
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
17
例 3.1.4 两块无限大接地导体平板分别臵于 x = 0 和 x = a 处，
在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。
0S?
解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程
2
1
2
d ( ) 0,( 0 )
d
x xb
x
2
2
2
d ( ) 0,( )
d
x b x a
x
1 1 1
2 2 2
()
()
x C x D
x C x D
方程的解为
o b a x
y
两块无限大平行板
0S?
1()x? 2()x?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
18
0
11
0
(),0S baCD
a
00
22,
SSbbCD
a
0
1
0
0
2
0
()
( ),( 0 )
( ) ( ),( )
S
S
ab
x x x b
a
b
x a x b x a
a
≤≤
≤≤
0
11
0
()( ) ( ) S
x
abE x x e
a
1
22
1 1 2 2
0
21
0
0
0
S
D
C a D
C b D C b D
CC
利用边界条件，有
xb? 12( ) ( ),bb
021
0
( ) ( ) S
xb
xx
xx
处,最后得
0x? 处,1 (0 ) 0
xa? 2 ( ) 0a处，
所以
0
22
0
( ) ( ) Sx bE x x e a
由此解得第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
19
电容器广泛应用于电子设备的电路中：
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。
通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。
在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
20
电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。
孤立导体的电容定义为所带电量 q与其电位?的比值，即
qC?
1,电容孤立导体的电容两个带等量异号电荷（?q） 的导体组成的电容器，其电容为
12
qqC
U
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
E? 02U?1?
q? q?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
21
(1) 假定两导体上分别带电荷 +q 和－ q ；
计算电容的方法一,
UqC?(4) 求比值,即得出所求电容。
21 d lEU(3) 由,求出两导体间的电位差；
(2) 计算两导体间的电场强度 E；
计算电容的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U ；
(4) 由 得到 ;
nES S?
(2) 计算两电极间的电位分布?；
E?(3) 由 得到 E ;
S S Sq d?
(5) 由,求出导体的电荷 q ；
UqC?(6) 求比值,即得出所求电容。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
22
解,设内导体的 电荷为 q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场
4 π 4 πrr22
qqD e,E e
rr
00
11d ( )
4 π 4 π
b
a
q q b aU E r
a b a b
同心导体间的电压
04 π abqC
U b a
球形电容器的电容
04 πCa
当 时，b
例 3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为 a,外导体半径为 b，
其间填充介电常数为 ε的均匀介质。 求此球形电容器的电容。
孤立导体球的电容
a
b
o
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
23
例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为 a,两导线的轴线距离为 D,且 D >> a,求传输线单位长度的电容。
l
解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于,
故 可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点
P 的电场强度为
l Da
0
11( ) ( )
2 π
l
xE x e x D x
两导线间的电位差
2
1 00
11d ( ) d l n
2 ππ
Dall
a
DaU E l x
x D x a
故单位长度的电容为 00
1
ππ ( F /m )
l n [ ( ) ] l n ( )
lC
U D a a D a
x
y
z
x
Da
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
24
例 3.1.6 同轴线内导体半径为 a,外导体半径为 b,内外导体间填充的介电常数为?的均匀介质,求同轴线单位长度的电容。
() 2 π lEe
内外导体间的电位差
1( ) d d
2 π
bb l
aa
U E e
l l解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和,
应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为
1
2 π ( F /m )
l n ( / )
lC
U b a
a b
同轴线
l n ( / )2 π l ba
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
25
＊ 2,部份电容在多导体系统中,任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响 。 因此,研究多导体系统时,必须把电容的概念加以推广,引入部分电容的概念 。
在由 N个导体组成的系统中,由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系,所以,各导体的电位为
1
( 1,2,,)
N
i i j j
j
q i N
式中,( 1,2,,)
ii iN
—— 自电位系数
()ij ij —— 互电位系数
（ 1） 电位系数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
26
αi j 在数值上等于第 j个导体上的总电量为一个单位,而其余导体上的总电量都为零时,第 i个导体上的电位,即
αi j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 αi j = αj i 。
1 1 1 0
(,1,2,,)
j j N
i
ij
j q q q q
i j Nq
αi j > 0 ；
电位系数的特点,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
27
若已知各导体的电位,则各导体的电量可表示为
1
( 1,2,,)
N
i i j j
j
q i N
式中,( 1,2,,)
ii iN
—— 自电容系数或自感应系数
()ij ij —— 互电容系数或互感应系数
（ 2） 电容系数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
28
β i j 在数值上等于第 j个导体上的 电位为一个单位 1v,而其余导体接地时,第 i 个导体上的电量,即
β i j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 β i j = β j i 。
1 1 1 0
(,1,2,,)
j j N
i
ij
j
q i j N
β i i > 0,；0 ( )
ij ij
电容系数的特点：
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
29
将各导体的电量表示为式中：
（ 3） 部分电容
( 1,2,,)iN?()N i j i j i i i
ji
CC
1 1 1
( ) ( )
N N N N
i i j j i j j i j i i j i i j i j i j i
j j j i j
q
—— 导体 i 与导体 j 之间的部分电容()
i j i jC i j
—— 导体 i 与地之间的部分电容?
N
j
jiiiC
1
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
30
Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时,第 i 个导体上的电量；
Ci j 只与各导体的形状,尺寸,相互位臵以及导体周围的介质参数有关,而与各导体的电位和带电量无关；
具有对称性,即 Ci j = Cj i 。
Ci j > 0 ；
Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位,其余导体都接地时,第 i 个导体上的电量；
()ij?
部分电容的特点,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
31
在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压 U，极板上所带电荷分别为,则比值 称为这两个导体间的等效电容。
q? /qU
（ 4） 等效电容如图所示，有三个部分电容
1 1 2 2 1 2C C C、、
导线 1 和 2 间的等效电容为 11 22
1 12
11 22
CCCC
CC
导线 1 和大地间的等效电容为
1 2 2 2
2 1 1
1 2 2 2
CCCC
CC
导线 2 和大地间的等效电容为 1 2 1 1
3 2 2
1 2 1 1
CCCC
CC
1 212C
22C11C
大地大地上空的平行双导线第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
32
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。
静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量 。
任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立 (或充电 )过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。
3.1.4 静电场的能量
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 332009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
1,两个点电荷系统 W静 的计算
q1与 q2相距 r12,设相距 ∞时系统能量为零
q1固定,移动 q2,
q1 q212r?
12 1 2 1
22 2
0 0 1 244
r q q q
W q d r
rr
2 2 1 2 2q U q U
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 342009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
q2固定,移动 q1,
12 2 1 2
11 2
0 0 1 244
r q q q
W q d r
rr
1 1 2 1 1q U q U
)(21 221121 UqUqWWW
r
qq 21
04
1
两点电荷体系静电能
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 352009 7 27 华侨大学信息学院 王华军其它电荷在此产生的电位
2.点电荷系的相互作用能
ij jiiiii
UqUqW
q4
q3
q2
q1
i ij
jii UqW 2
1
i
ii
i ij ij
ji Uq
r
2
1
42
1
0
iWW
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 362009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
① 将 q1从无穷远移到 p1处，外力不做功
② 将 q2从无穷远移到 p2处，
外力做功为
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3 p412 2 21 2
0 12
2
2 1 12 1
0 12
4
4
q
W q q
r
q
W q q
r
或
φ21为 q1在 p2处产生的电位
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 372009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
3 3 3 1 3 3 2
3 1 1 3 2 2 3
W q q
W q q
或
③ 将 q3从无穷远移到 p3处，外力做功为
④ 将 q4从无穷远移到 p4处，外力做功为
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3
p4
4 4 4 1 4 4 2 4 4 3
4 1 1 4 2 2 4 3 3 4
W q q q
W q q q
或
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 382009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
2.点电荷系的相互作用能
2 2 1 3 3 1 3 3 2 4 4 1 4 4 2 4 4 3
1 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 2 4 3 3 4
e
e
W q q q q q q
W q q q q q q
①
或 ②
q4
q3
q2
q1
p1
p2
p3
p4
显然有
1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 2 3 2 4
3 3 1 3 2 3 4 4 4 1 4 2 4
1
3
1
1
11
2
2
2
NN
i i i
e
e
i
ii
W
W
q q U
则有
① + ②
2
＝
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 392009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
3,连续分布电荷的静电能
U d vU d qW e?2121
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 402009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
4.书上的证明过程
()
,( )
,( 0)
,0 1
DE?
导体及介质位置固定介质 关系设最终稳态,初始 以 一 例因子 到 和 则 从定边界线性 本构同
。增 变到加比
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 412009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
,,
e
dd
dd
d
d d
W d d
整 个 空 间电 荷 为当 时 在 内 部 电 位 为其 得 到能 量 增 加 为全过程 系统能量总量：
同样若为面分布电荷，系统能量：
外力所作的功
1
0
1
2e
ddWd
全 空 全 空
1
2es
W d S
所 有 表 面
2005-1-25 华侨大学信息学院 王华军 422009 7 27 华侨大学信息学院 王华军
21 2 1 21 1 1 1 12 2 2 2 2eW q q q q U C U
,.
1
2
1
2
.
i
i
is ii i
i s
i
e
Wq dS
qi
若 为 多 导 体 体 系 每 个 导 体 的 为 常 量其 中 为 第 个 导 体 的 电 荷 量双导体系统被充电后导体 1带电荷＋ q，导体 2带电荷－ q，
电位为 φ1和 φ2。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
5,电场能量密度从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。
EDw 21e
电场能量密度：
e
1 d
2 VW D E V
电场的总能量：
积分区域为电场所在的整个空间
2
e
1 1 1d d d
2 2 2V V VW D E V E E V E V
对于线性,各向同性介质,则有
2
e
1 1 1
2 2 2w D E E E E
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
44
由于体积 V 外的电荷密度 ρ＝ 0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面 S 无限扩大时，则有
2
11( ( )D
RR)、
故推证,()D D D
E
D
R
ρ
ρ＝ 0
S
e
11 dd
22VVW V D V
1 [ ( ) ] d
2 V D D V
SV SDVD dd)(
VDESD VS d21d21
2
1 1 1d ( d ) ( ) 0
SSD S SR R R
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45
例 3.1.7 半径为 a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为 ρ的电荷，试求静电场能量。
52
0
2
42
0
62
2
0 2
0
22
0 15
π4)dπ4
9dπ49(2
1 arr
r
arrr
a
a?
1
0
()3r rE e r a
解,方法一,利用 计算
V VEDW d2
1
e
根据高斯定理求得电场强度
3
2 2
0
()3r aE e r ar
故 VEVEVEDW
VVV d2
1d
2
1d
2
1
21
2
20
2
10e
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
46
)()
3
(
2
d
3
d
3
dd
2
2
0
2
0
3
0
211
ar
r
a
r
r
a
r
r
rErE
a
r a
a
ra
方法二,利用 计算
V VW d2
1
e
先求出电位分布故
52
0
2
0
2
2
0
2
1e 15
π4dπ4)
3(22
1d
2
1 arrraVW a
V
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
已知带电体的电荷分布,原则上,根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力 。 但对于电荷分布复杂的带电系统,根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的,因此通常采用虚位移法来计算静电力 。
虚位移法,假设第 i 个带电 导体在电场力 Fi 的作用下发生位移
dgi，则电场力做功 dA＝ Fi dgi,系统的静电能量改变为 dWe 。 根据能量守恒定律，该系统的功能关系为
ed d dS i iW F g W
其中 dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。
3.1.5 静电力第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
1,各带电导体的电位不变此时，各带电导体应分别与外电压源连接。当导体相对位臵改变时，每个电源要向导体输送电荷而做功。外电压源向系统提供的能量
1
dd
N
S i i
i
Wq?
e
1
1dd
2
N
ii
i
Wq?
系统所改变的静电能量即 ed 2 dSWW? eddiiF g W? e
i
i
WF
g
不变?
静电能量在移动方向上的方向导数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
49
此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝ 0。假设某一导体在静电力作用下发生位移，静电能量发生改变，变化量为
dWe,则有
2,各带电导体的电荷不变
eddiiF g W
静电力为静电能量在移动方向上的负变化率式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。
e
i
i
WF
g
q不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
50
0
()l x b b xC
dd
所以电容器内的电场能量为 22 0
e 0 0
1 [ ( ) ]
22
bUW C U l x x
d
0
2
e 0 0()
2x U
W b UF
xd
不变由 可求得介质片受到的静电力为e
i
i
WF
g
不变解 平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器
d b
U0
l
x
例 3.1.8 有一平行金属板电容器，极板面积为 l× b，板间距离为 d,用一块介质片（宽度为 b、厚度为 d,介电常数为
ε）部分填充在两极板之间，如图所示。
设极板间外加电压为 U0，忽略边缘效应，
求介质片所受的静电力。
由于 ε>ε0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
22
e
02 2 [ ( ) ]
q d qW
C b l x x
2
e0
2
0
()
2 [ ( ) ]x q
W d qF
x b l x x
不变
0
00 [ ( ) ]
bUq C U l x x
d
2
00()
2x
bUF
d
此题也可用式 来计算e
i
i
WF
g
q不变设极板上保持总电荷 q 不变，则由此可得由于同样得到第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
52
3.2 导电媒质中的恒定电场分析本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
3.2.3 漏电导第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
53
由 J＝?E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。
恒定电场与静电场的重要区别：
（ 1）恒定电场可以存在于导体内部。
（ 2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。
恒定电场和静电场都是无旋场，具有相同的性质。
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
54
EJ
0d
0d
lE
SJ
C
S
0
0
E
J
1,基本方程
恒定电场的基本方程为微分形式,积分形式：
)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 )(rE
线性各向同性导电媒质的本构关系
0)( EEJ
恒定电场的电位函数
0 E?
0 E?
E?
0 J?由 0)( 02
若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
55
2,恒定电场的边界条件
0d lEC
0d SJS
媒质 2
媒质 1
2?
1?
2?
1?
2E
1E?
ne?
0)( 21n JJe
0)( 21n EEe
场矢量的边界条件
2nn1 JJ?
即
2t1t EE?
即
导电媒质分界面上的电荷面密度
n
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
n21n )()()( JeeS?
JJDD
场矢量的折射关系
11
22
t a n
t a n
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
56
电位的边界条件
nn?
2
2
1
121,
恒定电场同时存在于导体内部和外部,在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量,电场并不垂直于导体表面,因而导体表面不是等位面；
说明,
b11、
a
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
57
媒质 2
媒质 1
2?
1?
2?
2E
1E
)( 12
媒质 2
媒质 1
2?
01
2E
ne?
1E
)0( 1
如?2 >>?1,且?2≠90°,则?1＝ 0，
即电场线近似垂直于与良导体表面 。
此时,良导体表面可近似地看作为等位面；
若媒质 1为理想介质,即?1＝ 0,则
J1=0,故 J2n= 0 且 E2n= 0,即导体中的电流和电场与分界面平行 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
58
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。
D?
0
U
静电场
J?
0U
恒定电场第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
59
恒定电场与静电场的比拟基本方程
ED
,E?
EJ
0202
n2n1t2t1 DDEE n2n1t2t1 JJEE
静电场（ 区域）0
0d,0d lESJ CS
0,0 EJ
,E?
0,0DE
nn?
2
2
1
121,
nn 221121,
本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）
对应物理量静电场
E?
E?
D?
J?
q
I恒定电场? G
C
0d,0d lESD CS
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
60
例 3.2.1 一个有两层介质的平行板电容器,其参数分别为?1、
1和?2,?2,外加电压 U。 求介质面上的自由电荷密度 。
解,极板是理想导体,
为等位面,电流沿 z方向 。
1 n 2 nJJ? 由
1 n 2 n SDD 由
U
1d
2d
11,
22,
z
o
12
1 2 1 1 2 2
12
()ddU U U E d E d J
12
12
1 1 2 2
,JJJJEE
12J J J
12
12
()ddJU
12
12,SSD J D J
上下
2 1 1 2 2 1
21
2 1 2 1 1 2
()S D D J Udd
介第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
61
工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压
U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。
漏电流与电压之比为漏电导，即
U
IG?
其倒数称为绝缘电阻，即
I
U
GR
1
3.2.3 漏电导第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
62
(1) 假定两电极间的电流为 I ；
(2) 计算两电极间的电流密度矢量 J ；
(3) 由 J =? E 得到 E ;
(4) 由,求出两导体间的电位差；
(5) 求比值,即得出所求电导。
21 d lEU
UIG /?
计算电导的方法一,? 计算电导的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U；
(2) 计算两电极间的电位分布?；
(3) 由 得到 E ;
(4) 由 J =? E 得到 J ;
(5) 由,求出两导体间电流；
(6) 求比值,即得出所求电导。
E?
SI SJ d
UIG /?
计算电导的方法三,
静电比拟法：
C
G CG
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
63
例 3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为 a,b，
长度为 l，其间媒质的电导率为 σ,介电常数为 ε 。
解,直接用恒定电场的计算方法电导
)/ln (
π2
ab
l
U
IG
绝缘电阻
a
b
lGR lnπ2
11
ba ablIlIU lnπ2dπ2dlE
l
b a
则 I
l
IJ
π2 l
IJE
π2
设由内导体流向外导体的电流为 I 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
64
01 2
2
2
2?
000,0U
方程通解为 21 CC
例 3.2.4 在一块厚度为 h的导电板上,由两个半径为 r1 和 r2
的圆弧和夹角为?0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿?方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为
σ。
解,设在沿?方向的两电极之间外加电压 U0,则电流沿?
方向流动，而且电流密度是随?变化的。但容易 判定电位?只是变量?的函数，因此电位函数?满足一维 拉普拉斯方程代入边界条件可以得到
1 0 0 2 0/,C U C U
环形导电媒质块
r1
h
r2
0
J
σ
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65
电流密度 0
0
UJ E e
两电极之间的 电流
2
1
00 2
0 0 1
d d l nr
Sr
U U h rI J S e e h
r
故 沿?方向的两电极之间的电阻 为
00
21
()l n ( / )UR I h r r
0
0
0
UU
所以
0
0
UE e e
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66
本节内容
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位
3.3.3 电感
3.3.4 恒定磁场的能量
3.3.5 磁场力
3.3 恒定磁场分析第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
67
0
HJ
B
微分形式,
0d
dd
S
SC
SB
SJlH
1,基本方程
BH
2,边界条件本构关系：
SJHHe
BBe
)(
0)(
21n
21n
SJHH
BB
t2t1
2n1n 0或若分界面上不存在面电流，即 JS＝ 0，则积分形式,
0)(
0)(
21n
21n
HHe
BBe
或
0
0
2tt1
n2n1
HH
BB
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
68
矢量磁位的定义磁矢位的任意性与电位一样,磁矢位也不是惟一确定的,它加上任意一个标量?的梯度以后,仍然表示同一个磁场,即由
AA
0B BA
即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。
磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度,没有规定其散度造成的 。 为了得到确定的 A,可以对 A的散度加以限制,在恒定磁场中通常规定,并称为库仑规范 。0A
()A A A
1,恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位
3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
69
磁矢位的微分方程在无源区：
AB
0A
0J?
JA 2
02 A?
矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程
AJ 2() A A J
磁矢位的表达式
JB
直角坐标系下,,
x y ze e e
都是常矢量
2 2 2 2x x x x x x x xe A e A A e A e即
2
0
2
0
2
0
xx
yy
zz
AJ
AJ
AJ
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70
他们的表达式与电位泊松方程相同，解形式也相同
0,,
4
i
ii
JA d C i x y z
R?
0
4
JA d C
R?
再合并成矢量形式：
00
00
44
44
ss
s
J dS J
dA A dS
J dS RR
I dl I dl I dl
dA A
RR
面 元线 元类似有：
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
71
因为 与源方向相同，如取坐标系同源方向一致，则得一维标量，故可引入标量函数，将 的方程转化成标量方程。 由 求,求偏微分即可。
s
J
dA J
I
与 源 的 方 向 平 行
x
x x y
z
dB
J d A d B
dB
即
A
A
A B
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72
磁矢位的边界条件利用磁矢位计算磁通量：
0A
12AA?
n 1 2() Se H H J
/HA
n 1 2
12
11()
Se A A J
1
12 2d d dCC
S
B S A l A l
CSS lASASB ddd?
0dS SA
2t1t AA?
2n1n AA?
其中 C1,C2为闭合小柱面的上底面和下底面的边界第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
73
例 3.3.1 求 小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场 。 小圆形回路的半径为 a,回路中的电流为 I 。
解 如图所示，由于具有轴对称性，
矢量磁位和磁场均 与?无关，计算 xO z 平面上的矢量磁位与磁场 将不失一般性。选取球坐标。
( s i n c o s )r x zr e r r e e
( c o s s in )r x yr e a a e e
d d ( s i n c o s ) dxyl e a e e a
2 2 2 2 2 1 2[ ( s i n c o s ) s i n c o s ) ]r r r a a r
2 2 1 2[ 2 s i n c o s ]r a a r
小圆环电流
a
I
x
z
y
r
R
dl?
θ
r?
P
O
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74
对于远区，有 r >> a,所以
2 1 2 1 21 1 2 1 2[ 1 ( ) s i n c o s ] [ 1 s i n c o s ]a a a
r r r r r r r
1 ( 1 sin c o s )a
rr
2 π0
0
1( ) ( 1 s in c o s ) ( s in c o s ) d
4 π xy
Ia aA r e e
rr
2
0
2
π s in
4 πy
Iae
r
由于在? = 0 面上,所以上式可写成
yee
于是得到
2
00
22
π( ) s in s in
4 π 4 π
I a I SA r e e
rr
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
75
11 ( s in ) ( )
s inrB A e A e r Ar r r
0
3 ( 2 c o s sin )4 π r
IS ee
r?
式中 S =πa 2是小圆环的面积。
载流小圆环可看作磁偶极子,为磁偶极子的磁矩
（或磁偶极矩），则
mp IS?
0m
2( ) sin4 π
pA r e
r?
或 0
m3() 4 πA r p rr
0m
3( ) ( 2 c o s s in )4 π r
pB r e e
r?
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76
解,先求长度为 2L 的直线电流的磁矢位。 电流元到点 的距离 。则22()R z z
ddzI l e I z
(,,)Pz
0
22
1( ) d
4 π ()
L
z L
IA r e z
zz
220 l n [ ( ) ]
4 π
L
z
L
Ie z z z z
22
0
22
( ) ( )ln
4 π ( ) ( )z
z L z LIe
z L z L
例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位,设电流沿 +z方向流动 。
与计算无限长线电荷的电位一样,令 可得到无限长线电流的磁矢位
L
0 1( ) l n
2 πz
IA r e C?
x
y
z
L
-L
(,,)z
'z dd
zI l e I z
R
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
77
2,恒定磁场的标量磁位一般情况下,恒定磁场只能引入磁矢位来描述,但在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间 中,则有即在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间中,可以引入一个 标量位函数来描述磁场 。
标量磁位的引入
0H mH
标量磁位或磁标位磁标位的微分方程
0m 0B H H B、、
2 m 0
在线性,各向同性的均匀媒质中第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
78
标量磁位的边界条件
m 1 m 2
12nn
和m 1 m 2
静电位 磁标位磁标位与静电位的比较
0,ED 0,0HB
E mH
m 1 m 2
m 1 m 2 1 2,nn
12
1 2 1 2,nn
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79
1,磁通与磁链
i
i
3.3.3 电感单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和
C I
细回路粗导线构成的回路,磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的,磁力线不穿过导体的外磁通量?o；另一部分是磁力线穿过导体,只有粗导线的一部分包围的内磁通量?i。
i
C I
o
粗回路第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
80
设回路 C 中的电流为 I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为?，则磁链?与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值
IL
称为回路 C 的自感系数，简称自感。
—— 外自感
IL
i
i
IL
o
o
2,自感
—— 内自感；
粗导体回路的自感,L = Li + Lo
自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。
自感的特点,
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81
解,先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为 I,由安培环路定理
0
ii22,2 π 2 π
IIHB
aa
穿过沿轴线单位长度的矩形面积元 dS = d?
的磁通为
0
ii 2d d d2 π
IBS
a
(0 )a
例 3.3.4 求同轴线单位长度的自感 。 设内导体半径为 a,外导体厚度可忽略不计,其半径为 b,空气填充 。
得与 dΦi 交链的电流为
2
2
II
a
则与 dΦi 相应的磁链为 30
ii 4d d d2 π
II
Ia
a
b
a?
d?
I?iB
2
2
2
2i ππd a
I
a
IIlH
C
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82
因此内导体中总的内磁链为
3
00
ii 40dd 2 π 8 π
a II
a
0i
i 8 πL I
故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。
00
oo d d l n2 π 2 π
b
a
II b
a
00
io ln8 π 2 π
bL L L
a
0
2π
IB?
0
ood d d2 π
I
则
o0
o ln2 π
bL
Ia
故单位长度的外自感为单位长度的总自感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
83
例 3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为 a,两导线的间距为 D,且 D >> a 。导线及周围媒质的磁导率为 μ0 。
00
o
11d ( ) d l n
2 ππ
Da
a
II DaB S x
x D x a
0 11( ) ( )
2 πy
IB x e
x D x
穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为解 设两导线流过的电流为 I 。由于 D >> a,故 可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点 P的磁感应强度为
x
y
z
x
D
a
P
I
I
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
84
于是得到平行双线传输线单位长度的外自感
o 0 0
o l n l nππ
D a DL
I a a
00
io ln4 ππ
DL L L
a
00
i 2 8 π 4 πL
两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
85
对两个彼此邻近的闭合回路
C1 和回路 C2,当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与 I1 成正比，而且与回路 C2
交链的磁链?12 也与 I1 成正比，其比例系数
1
21
21 IM
称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。
2
12
12 IM
3,互感同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为
C1 C2I
1
I2R
o
1dl
2dl
2r
1r
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
86
互感只与回路的几何形状,尺寸,两回路的相对位臵以及周围磁介质有关,而与电流无关 。
满足互易关系,即 M12 = M21
当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时,互感系数 M 为正值；反之,则互感系数 M 为负值 。 即互感正负取决于回路 （ 电流 ） 正方向的选择,互感磁通与电流满足右手螺旋关系互感为正的,否则为负的；自感都是正的,因为自感磁通总是与电流呈右螺旋关系 。
互感的特点：
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
87
4,纽曼公式如图所示的两个 回路 C1 和回路 C2,
回路 C1中的电流 I1 在回路 C2 上的任一点产生的矢量磁位
1 11021 dπ4)( C RlIrA
回路 C1中的电流 I1 产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为
C1 C2I1
I2R
o
1dl
2dl
2r
1r
纽曼公式2 2 2 10 1 2 12 1 1 2 1 ddd 4 πs C C CI l lB d s A l R
同理
2 1
120
21
dd
π4 C C R
llM
故得
1 2
210
12
dd
π4 C C R
llM
1 2 2101221 ddπ4 C C R llMMM
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
88
0
2 π
IBe
00
0
1d [ ] d d
2 π 2 π
d b z d b
S d d
I I zB S d z
由图中可知 [ ( ) ] ta n (π 3 ) 3 [ ( ) ]z b d b d
长直导线与三角形回路
I?
d
z
60
b
ddSz
穿过三角形回路面积的磁通为解 设长直导线中的电流为 I,根据安培环路定理，得到例 3.3.6 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
89
03 1 [ ( ) ] d
2 π
db
d
I bd
03 [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
I bb d b
d
03 [ ( ) l n ( 1 ) ]
2 π
bM b d b
Id
因此故长直导线与三角形导体回路的互感为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
90
3.3.4 恒定磁场的能量
1,磁场能量在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。
电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动,表明恒定磁场具有能量 。
磁场能量是在建立电流的过程中,由电源供给的 。 当电流从零开始增加时,回路中的感应电动势要阻止电流的增加,因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势 。
假定建立并维持恒定电流时,没有热损耗 。
假定在恒定电流建立过程中,电流的变化足够缓慢,没有辐射损耗 。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
91
设回路从零开始充电，最终的电流为 I,交链的磁链为?。
在时刻 t 的电流为 i =αI,磁链为 ψ=α?。 (0≤α≤1)
根据能量守恒定律，此功也就是电流 为 I 的载流回路具有的磁场能量 Wm,即对 α从 0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为所做的功
1
0
1dd
2W W I I
dd d d d d
dW u q i t i It
当 α增加为 (α+ dα)时，回路中的感应电动势,
td
d
in
2
m 2
1d
2
1
2
1 LIlAIIW
C
tu d
d
in
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
92
对于 N 个载流回路，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路 C1 和回路 C2,有回路 C2的自有能回路 C1的自有能
C1和 C2的互能
21 222212112111m d)(21d)(21 CC lIAAlIAAW
222122211111 2
1
2
1
2
1
2
1 IIII
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
jC
jj
N
j
jj
N
j
j lAIIW
d
2
1
2
1
11
m?
V VAJW d21m
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
93
2,磁场能量密度从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。
磁场能量密度：
磁场的总能量：
积分区域为电场所在的整个空间对于线性,各向同性介质,则有
m
1
2w B H
m
1 d
2 VW B H V
2
m
1 1 1
2 2 2w B H H H H
2
m
1 1 1d d d
2 2 2V V VW B H V H H V H V
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
94
若电流分布在有限区域内，当闭合面 S
无限扩大时，则有故推证,
BA
JH HAAHHA )(
R
S
J
0J?
1 [ ( ) ] d
2 V A H A H V
SV SHAVHA d)(d)(
SV SHAVHB d)(21d21
)1O(~),1O(~ 2RHRA
0)1O(~)d11O(~d)( 2 RSRRSHA SS
VAHVAJW VV d21d21m
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
95
例 3.3.8 同轴电缆的 内导体半径为 a,外导体的内、外半径分别为 b 和 c,如图所示。导体中通有电流 I,试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。
解,由安培环路定理，得
2
22
22
0
2 π
2 π
2 π
0
I
ea
a
I
e a b
H
Ic
e b c
cb
c
a
b c
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
96
22
220
m3 22( ) ( ) 2 πd22 π
c
b
IcW
cb
三个区域单位长度内的磁场能量分别为
2
00
m1 20 ( ) 2 πd22 π 1 6 π
a IIW
a
2
200
m2 ( ) 2 d l n22 π 4 π
b
a
IIbW
a
2 4 2 2
0
2 2 2 2 2
3ln
4 π ( ) 4 ( )
I c c c b
c b b c b
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97
单位长度内总的磁场能量为
m m 1 m 2 m 3
2 2 2 4 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2
3
l n l n
16 π 4 π 4 π ( ) 4 ( )
W W W W
I I Ib c c c b
a c b b c b
单位长度的总自感
4 2 2
0 0 0m
2 2 2 2 2 2
2 3l n l n
8 π 2 π 2 π ( ) 4 ( )
W b c c c bL
I a c b b c b
内导体的内自感内外导体间的外自感 外导体的内自感第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
98
3.3.5 磁场力
Smd d diiW F g W
假定第 i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移 dgi 。此时，
磁场力做功 d A＝ Fi dgi，系统的能量增加 dWm。根据能量守恒定律，
有式中 dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。
具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。
虚位移原理第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
99
1,各回路电流维持不变
mddiiF g W?
若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，
因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量
S
11
d d ( ) d
NN
i i i i
ii
W I I
即
md 2 dSWW?
于是有故得到
m
i
i
WF
g
不变I
系统增加的磁能
m
11
11d d ( ) d
22
NN
i i i i
ii
W I I
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
100
2,各回路的磁通不变
mddiiF g W
故得到式中的“－”号表示 磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的 。
若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。
由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即 dWS＝ 0，因此
m
i
i
WF
g
不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
101
22
00
0 00
1 2d
2
x B S BSx
x
= - = -
例 3.3.9 如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有 N 匝线圈的铁心）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为 S，平均长度分别为 l1 和 l2 。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为 x 。
设线圈中的电流为 I,铁轭和衔铁的磁导率为 。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。
解 在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通 Ψ不变，
则 B 和 H 不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁
I
1l
x
S
2l
空气隙中的磁场强度
m
00
1[ d ]
2i Ψi
WF B H V
xx
气隙不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
102
1 2 0( ) 2H l l H x N I
0
0
1 2 0( ) 2
NIB
l l x
22
0
m0
1 2 0
1
2 2 ( ) 2 ]
S N IW N I S B
l l x
[
2 2 2
0m
2
1 2 0[ ( ) 2 ]
xI
N I SWF
x l l x
不变
m
iI
i
WF
x
不变若采用式 计算，由储存在系统中的磁场能量
BH
0
0
0
BH
0BB?
由于 和,考虑到,可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定理，有
2 2 2 2
00
2
0 1 2 0[ ( ) 2 ]
x
S B N I SF
l l x
-
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
103
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理本节内容
3.4.1 边值问题的类型
3.4.2 惟一性定理边值问题,在给定的边界条件下,求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
104
3.4.1 边值问题的类型
1| ( )S fS
已知场域边界面 S 上的位函数值，即
2 22| ( )S fSn
1 11
| ( )S fS,
2| ( )S fSn
第一类边值问题 （ 或狄里赫利问题 ）
已知场域边界面 S 上的位函数的法向导数值，即已知场域一部分边界面 S1 上的 位函数值，而另一部分边界面 S2 上则已知 位函数的法向导数值，即第三类边值问题 （ 或混合边值问题 ）
第二类边值问题 （ 或纽曼问题 ） S
V
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
105
实际问题中除了给定的边界条件外，有时还要引入某些补充的物理约束条件，称为自然边界条件。（自然边界条件不是事先给定的，必须根据具体问题自行确定。）
当电荷分布在有限区域，而场域扩展至无限远处，在无限远处电位应为零。
l i mr r 有 限 值
r
S?
在圆柱坐标中的二维场，当 ρ一定，而角度 φ相差 2π的整数倍的点实际上是同一点，所以场量应相等。
(2 π) 2π
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106
衔接条件由于电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程都是在均匀介质条件下导出的,当场域内有分区均匀的多种介质时,则要在各区域内分别求解各自的电位微分方程 。 作为定解需要还要引入不同区域分界面上的边界条件,如下 。 这两个方程表示的边界条件也称为分界面上的衔接条件 。
12
1 2 1 2,nn
1?
2?
1?
2?
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107
22
22 0xy
例：
( 0,) 0,(,) 0y a y
0(,0 ) 0,(,)x x b U
（第一类边值问题）
0Ub
aO x
y
0Ub
aO x
y
0x0x
22
22 0xy
0 0,0x x axx
0(,0 ) 0,(,)x x b U
（第三类边值问题）
例：
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108
在场域 V 的边界面 S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）
n?
3.4.2 惟一性定理
S
V
惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
109
惟一性定理的证明反证法,假设解不惟一,则有两个位函数和 在场域 V内满足同样的方程,即
1?
2?
2 2 f
且在边界面 S 上有令,则 在场域 V内
0 1 2
2 2 20 1 2 0ff
2 1,f
且在边界面 S 上满足同样的边界条件 。
0 1 2 0S S S
0 12 0
S S Sn n n
或或
1 1 10 1 2 0,S S S 2 2 2
0 12 0
S S Sn n n
S
V
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110
由格林第一恒等式可得到
20( ) 0
0 0 0 C
对于第一类边界条件：
0 0S 0C? 12
0 0Q 0C? 12
对于第二类边界条件：若 和 取同一点 Q为参考点,则
1? 2?
对于第三类边界条件：
10 0S
0C? 12
S
V
SV SnV 0dd)( 0020
SV SnV dd)( 2
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111
边值问题的解法可分为解析法和数值法两大类。
解析法得到的解是一种数学表示式，包括分离变量法、镜像法等。
数值法则是直接计算离散点上的场量数值包括有限差分法等。解析法得到的场量表达式是准确解，但它只能解决规则边界场问题。
数值法属于近似计算法，但对于不规则边界的复杂场问题是很有用的方法。
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112
本节内容
3.5.1 镜像法的基本原理
3.5.2 接地导体平面的镜像
3.5.3 导体球面的镜像
3.5.4 导体圆柱面的镜像
3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像
3.5.6 线电流 与无限大磁介质平面的镜像
3.5 镜像法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
113
当有电荷存在于导体或介质表面附近时,导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷,而感应电荷或极化电荷将影响场的分布 。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代
1,问题的提出几个实例
q
3.5.1 镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷,如图所示 。 q′
非均匀感应电荷等效电荷第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
114
接地导体球附近有一个点电荷,如图 。
非均匀感应电荷产生的电位很难求解,可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷 。 情况与上例类似,但等效电荷为线电荷 。
q
非均匀感应电荷
q′
等效电荷结论,所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用 。
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115
2,镜像法的原理用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在 同一方程下 问题所给定的 边界条件,那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。
3,镜像法的理论基础 —— 解的 惟一性定理第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
116
像电荷的个数、位臵及其电量大小 ——,三要素,。
4,镜像法应用的关键点
5,确定镜像电荷的两条原则等效求解的,有效场域,。
镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 。
像电荷的个数,位臵及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定 。
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117
1,点电荷对无限大接地导体平面的镜像
,q q h h
11( ) 0
4 π
q z
RR （）
0 0zRR
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
3.5.2 接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因 z = 0 时，
有效区域
R
R?
q
h
h?
q?
q
h
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118
上半空间 ( z≥0 ）的电位函数
q
h
2 2 2 2 2 2
11(,,) [ ]
4 π ( ) ( )
qx y z
x y z h x y z h
( 0)z?
2 2 2 3 20 2 π ( )S z
qh
z x y h
in 2 2 2 3 2
ddd
2 π ( )SS
q h x yqS
x y h?
2 π
2 2 3 200
dd
2 π ( )
qh q
h
导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
119
2,线电荷对无限大接地导体平面的镜像
2,,0 ; 0,0l x z h z z
镜像线电荷：
l n ( 0 )2 π l R zR
满足原问题的边界条件,所得的解是正确的 。
电位函数原问题当 z = 0 时,rr 0
,ll hh
h?
h
l
有效区域
R
R?
l?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
120
3,点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像如图所示,两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板,点电荷 q位于 (d1,d2 )处 。
显然,q1对平面 2 以及 q2对平面 1 均不能满足边界条件 。
1 2 3
1 1 1 1()
4 π
q
R R R R
对于平面 1,有镜像电荷 q1=－ q,位于 (－ d1,d2 )
对于平面 2,有镜像电荷 q2=－ q,位于 ( d1,－ d2 )
只有在 (－ d1,－ d2 )处 再设臵一镜像电荷 q3 = q,所有边界条件才能得到满足 。
电位函数
d11
q
d2
2
RR1
R2R3
q1 d1
d2
d2
q2d
1q3
d2
d1
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
121
例 3.5.1 一个点电荷 q与无限大导体平面距离为 d,如果把它移至无穷远处,需要做多少功？
解,移动电荷 q时,外力需要克服电场力做功,而电荷 q受的电场力来源于导体板上的感应电荷 。 可以先求电荷 q
移至无穷远时电场力所做的功 。
2
0
() 4 π ( 2 )x qE x e x
e
22
2
00
( ) d
1
d
4 π ( 2 ) 1 6 π
d
d
W q E x x
x
xd
2
oe
016 π
qWW
d
q'
q
x
=∞
0 d
-d
由镜像法,感应电荷可以用像电荷 替代 。 当电荷 q 移至 x时,像电荷 应位于－ x,则 像电荷产生的电场强度
q?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
122
3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像图 1 点电荷与电介质分界平面
z
x
1?
2?
q
h
特点,在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。
图 2 介质 1的镜像电荷
P
q?
h
h
1?
1?
x
z
q
R
R?
问题,如图 1 所示，介电常数分别为和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷 q,
距分界平面为 h 。
1?
2?
分析方法,计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 2所示。1?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
123
介质 1中的电位为
1 2 2 2 2 2 2
1
1(,,) [ ]
4 π ( ) ( )
qqx y z
x y z h x y z h
( 0)z?
2 2 2 2
2
1(,,)
4 π ()
qqx y z
x y z h
( 0)z?
2?
计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3
所示。介质 2中的电位为图 3 介质 2的镜像电荷
2?
2?
P
x
z
h R
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
124
可得到
12
11
( ) ( )q q q q
q q q q
说明,对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带 ），其镜像电荷为
1 2 1 2
1 2 1 2
,l l l l
12
12
12
12
1 0 2 0zz
21
1 0 2 0zzzz
利用电位满足的边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
125
图 1 线电流与磁介质分界平面
z
x
1?
2?
I
h
图 2 磁介质 1的镜像线电流
P
I?
h
h
1?
1?
x
z
I
R
R?
特点,在直线电流 I 产生的磁场作用下，
磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。
问题,如图 1所示，磁导率分别为 和的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，
在磁介质 1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为 h。
1? 2?
分析方法,在计算磁介质 1中的磁场时，
用臵于介质 2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图 2所示。1?
3.5.6 线电流 与无限大磁介质平面的镜像第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
126
11
1 2 2 2 2
11l n l n
2 π 2 π( ) ( )
IIA
x z h x z h
( 0)z?
2
2 22
() 1ln
2 π ()
IIA
x z h
( 0)z?
因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢量磁位只有 y 分量，则磁介质 1和磁介质
2中任一点的矢量磁位分别为图 3 磁介质 2的镜像线电流
2?
2?
II
P
x
z
h R
在计算磁介质 2中的磁场时，用臵于介质 1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图 3所示。2?
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
127
21
1 0 2 0 0 0
12
11,
z z z z
AAAA
zz
相应的磁场可由 求得。BA
1 1 2 1
1 2 2 2 2
21
()11l n l n
2 π 2 π ( )( ) ( )
II
x z h x z h
A
( 0)z?
12
2 22
21
1ln
π ( ) ()
I
x z h
A ( 0)z?
21
21
21
21
II
II
12( ) ( )I I I I
I I I I
可得到故利用矢量磁位满足的边界条件第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
128
I等 效 于 电 荷 移 动?
应用：天线不能太靠近地面否则发送的信号会被镜像削弱正电荷向右移动动镜像负电荷向右移动所形成的电流向左，与原电流抵消第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
129
I等 效 于 电 荷 移 动?
应用：单极天线，发送的信号被加强正电荷向上移动相当于负电荷向下移动，则镜像电流方向向上第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
130
小型天线地 网 埋 地,且 铺 洒 工 业 盐第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
131
因此，如果能够构造出导磁体表面，将可以设计出低剖面水平极化天线，
具有重要意义！
mq?
mq?
mq?
mq?
II
I II刚才考虑的是导电体（切向电场＝ 0），在存在导磁体（切向磁场＝ 0）的情况下。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
132
3.6 分离变量法本节内容
3.6.1 分离变量法解题的基本原理
3.6.2 直角坐标系中的分离变量法
3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法
3.6.4 球坐标系中的分离变量法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
133
将偏微分方程中含有 n个自变量的待求函数表示成 n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成 n个常微分方程，
求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。
分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：
3.6.1 分离变量法解题的基本原理
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 134
二阶常系数微分方程的解一,二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式
y p y q y 0
其中 p,q是 常数,称之为 二阶 常系数 齐次线性方程； 如果 p,q不全为常数,则称它为 二阶 变系数 齐次线性微分方程。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 135
二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解要找 它 的通解，可先求出它的两个解
y1与 y2,如果即 y1与 y2线性无关，那未
1
2
y
y
常 数,
就是方程的通解。
y c y c y1 1 2 2
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 136
对于指数函数 ( ),rxy e r 为 常 数若它是方程的解，则有
2,,r x r x r xy e y r e y r e
y p y q y r p r q e r x( )2 0
由于 e r x 0,从而有
2 0r p r q
微分方程的 特征方程。
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 137
二阶常系数齐次线性方程的特征方程记忆
y p y q y
r p r q
0
1 0
2
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 138
根据特征方程根的不同情形,有微分方程的通解特征方程
2
0r p r q
的两个根微分方程
0y p y q y
的通解两个不相等的实根 12
,rr
12
12
r x r x
y c e c e
两个相等的实根 12
rr?
1
12
()
rx
y e c c x
一对共轭复根
1,2
ri
12
( c o s s i n )
x
y e c x c x
c o s s i nie e i
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 139
特征方程有一对共轭复根：
r i r i1 2 0,( )
y e e e e x i xi x x i x x1( ) ( c o s s i n )
y e e e e x i xi x x i x x2( ) ( c o s s i n )
是微分方程的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，有
1 1 2
1 ( ) c o s
2
xy y y e x
2 1 2
1 ( ) s in
2
xy y y e x
i
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 140
1 1 2 2
12
c os sin
xx
y c y c y
c e x c e x
再进行线性组合，有 微分方程的 通解第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
141
在直角坐标系中，若位函数与 z 无关，则拉普拉斯方程为
02
2
2
2
yx
3.6.2 直角坐标系中的分离变量法
22
22
1 d ( ) 1 d ( )
( ) d ( ) d
X x Y y
X x x Y y y
将?(x,y) 表示为两个一维函数 X( x )和 Y( y )的乘积，即
(,) ( ) ( )x y X x Y y
22
22
d ( ) d ( )( ) ( ) 0
dd
X x Y yY y X x
xy
将其代入拉普拉斯方程，得再除以 X( x ) Y( y ),有分离常数第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
142
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
Xx k X x
x
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
Yy k Y y
y
若取 λ＝－ k2,则有
0 0 0( ) ( )Y y Y y C y D
( ) ( ) s i n h ( ) c o s h ( )n n n n nY y Y y C k y D k y
[ s i n ( ) c o s ( ) ] [ s i n h ( ) c o s h ( ) ]n n n n n n n nA k x B k x C k y D k y
( ) s i n ( ) c o s ( )n n n nX x A k x B k x当 0nkk
(,) (,) ( ) ( )n n nx y x y X x Y y
0 0 0 0 0 0 0(,) (,) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y X x Y y A x B C y D
当 0k?
0 0 0( ) ( )X x X x A x B
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
143
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin ( ) c o s( ) ] [ sin h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
将所有可能的? (x,y)线性 叠加起来，则得到位函数的通解，即若取 λ＝ k2,同理可得到
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin h ( c o sh ( ) ] [ sin ( ) c o s( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
144
例 3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为 U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。
22
22
0
0
( 0,) 0,(,) 0 ( 0 )
(,0 ) 0,(,) ( 0 )
xy
y a y y b
x x b U x a
解,位函数满足的方程和边界条件为 0Ub
ao x
y
0 0 0 0
1
(,) ( ) ( )
[ sin ( ) c o s( ) ] [ sin h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n n n
n
x y A x B C y D
A k x B k x C k y D k y
因? (0,y)＝ 0,? (a,y)＝ 0，故 位函数的通解应取为第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
145
-5 0 5
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
15
sh x
ch x
说明将? (0,y)＝ 0,? (a,y)＝ 0，代入
（ 3.6.9）有
0 0 00 0 0
0 c o s h 0 0 0n n n n
A B B
A B k B
0000
s i n h 0 0n n n
A a A
A k a A
综上 3.6.9不适合作为本题的通解。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
146
0,00 nBB
确定待定系数
0 0 0
1
(,) ( ) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ]n n n n n n
n
x y A x C y D A k x C k y D k y?
0 0,s i n ( ) 0nnA a A k a 0 0,s i n ( ) 0nA k a
0
π0,
n
nAk
a
1
π π π(,) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ]
n n n
n
n x n y n yx y A C D
a a a?
( 0,) 0y
(,) 0ay
0 0 0
1
( ) si n ( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ] 0n n n n n n
n
A a C y D A k a C k y D k y
0 0 0
1
( ) [ si n h ( ) c o sh ( ) ] 0n n n n n
n
B C y D B C k y D k y
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
147
(,0 ) 0x
1
πsin( ) 0
nn
n
nxAD
a
0?nD
11
π π π π(,) sin ( ) sin h ( ) sin ( ) sin h ( )
n n n
nn
n x n y n x n yx y A C A
a a a a?
0(,)x b U 0
1
ππsin ( ) sin h ( )
n
n
n x n bAU
aa
πsin( )nx
a
将 U0 在（ 0,a）上按 展开为傅里叶级数，即
0
1
πsin ( )
n
n
nxUf
a
0
00
4
1,3,5,2 π
sin( ) d π
0 2,4,6,
a
n
U
nnx
f U x n
aa n
其中第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
148
0
11
π π πs in ( ) s in h ( ) s in ( )
nn
nn
n x n b n xA U f
a a a
04 1,3,5,
π sin h ( π / )'
π
sin h ( ) 0 2,4,6,
n
n
U
nf
n n b aA
nb
na
由
0
1,3,5,
4 ππ(,) s i n ( ) s i n h ( )
π s i n h ( π / )n
U n x n yxy
n n b a a a?
故得到第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
149
3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法
2
22
11( ) 0
令其解为 (,) ( ) ( )R
2
2
d d 1 d( ) 0
d d d
R
R
代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程在圆柱坐标系中，若位函数与 z 无关，则拉普拉斯方程为
2
2
2
d 0
d k
2
22
2
dd 0
dd
RR kR
mk
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 150
欧拉方程形如
2
1 2 1 2
' ' ' 0 (,x y a x y a y a a
为常量 ) ( 1)
的方程叫欧拉方程。
设
m
yx?
方程 ( 1) 的一个解，将其代入 ( 1) 中，并除以
( 0 )
m
xx?
得,
2
1 2 1
1 0 1 ( 2 )m a m a a
1,如果特征方程 ( 2) 的两根 12
,mm
是不相等的实根，则通解为,
12
12
3
mm
y c x c x
2,如果
2
21
1
1
4
aa
,则 特 征 方 程 的 两 根 为 相 等 的 实 根
1
12
1
2
a
mm
,通解为：
1
12
ln
m
y c c x x
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 151
当 时，
其解为：
222 0d R d R kR
dd
22( 1 1 ) 0mk
mk
() kkR C D
0k? 00( ) l nR C D
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
152
当 k= 0时
0 0 0( ) ( ) l nR R C D00( ) ( ) A
当 k ≠ 0时
( ) ( ) kkR R C D
( ) ( ) c o s ( ) s i n ( )A k B k
(,) (,) ( ) ( )
( ) [ c o s ( ) s in ( ) ]kk
R
C D A k B k
0 0 0 0 0 0(,) (,) ( ) ( ) ( l n )R C D A
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
153
0 0 0
1
(,) ( l n ) [ c o s( ) si n ( ) ] ( )nnn n n n
n
A C D A n B n C D
通常? (ρ,? )随变量? 的变化是以 2?为周期的周期函数。
因此，分离常数 k 应为整数，即 k＝ n ( n＝ 0,1,2,… ) 。
考虑到以上各种情况,电位微分方程 的解可取下列一般形式也可以写为
00
1
(,) l n
[ ( c o s( ) sin ( ) ) ( c o s( ) sin ( ) ) ]nnn n n n
n
CD
A n B n C n D n
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
154
解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与 x 轴一致，即
00x E?Ee 因介质柱内外都不存在自由电荷的体密度，因此介质柱内外都满足拉普拉斯方程，又因为介质柱是均匀无限长的，而且均匀外电场与圆柱轴线垂直，因此电位函数与变量 z无关。
例 3.6.2 均匀外电场 中，有一半径为 a、介电常数为 ε的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。
00x E?Ee
x
y
aE
0 o ε
P(ρ,?)
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
155
设介质圆柱内的电位函数为?1，介质圆柱外的电位函数为? 2,应满足的条件为
1,圆柱外,当
20,
即
2 0 0 0,,c o sE x E
2,圆柱内,当 0, 时 电 位 应 为 有 限 值,
即1 0,
3,圆柱表面,当 a 时
121 2 0,,,aa
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
156
由条件 1有 00
1
0
(,) l n
[ ( c o s( ) sin ( ) ) ( c o s( ) sin ( ) ) ]
c o s
nn
n n n n
n
CD
A n B n C n D n
E
因此
00
1 0 1
1,
sin ( ),0,0,0,0
,
nn
n
n C D B D
A E C
在 解 中 只 含 有 的 部 分且 不 含 即且 此 不 能 确 定第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
157
于是介质圆柱外的电位函数可写为
12 0 2(,) c o s c o sEC
由条件 2有 φ1中不含有 ρ的负幂项，在 ρ＝ a时有
1
1
(,) sin c o sn nn
n
a A n B n
根据条件 3,ρ = a时,?2 =?1
102
1
sin c o s c o s c o sn nn
n
a A n B n E a C a
同理只有 n=1的余弦项不为零，形式为
11 c o sB
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158
11 0 2c o s c o s c o s 1B E a C a
再考虑 3中第二个条件
12
0
2
20 c o s c o s
CE
11 c o sB
20 0 0 12c o s c o s c o s 2CEB a
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159
联立求解得：
2
2 0 1 0
2C a E B E
00
++
得到：
22 0 0 1c o s c o sE r a E a
r
0
0+
10 2 c o sE r a0
0+
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
160
E1为均匀场，且小于 E0,这是因为极化后表面出现束缚电荷，抵消了部分外场。
然后由 E,可求
22
2 0 01 c o s 1 s i n
aaE e E e E a
00
++
1 0 022 c o s si n xE E e e e E a00++
E0
电场线 等位面
x
y
a
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
161
3.6.4球坐标中的分离变量法
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 162
球坐标中的拉普拉斯方程
2
22
11 sin 0
sinrr r r r
2
2
2 2 2 2
1 1 1s i n s i n 0
s i n s i nrr r r r r
2
2
2 2 2
=,
11
sin 0
sin
11
sin
sin
r
R r F
R r F
r
R r r r F
R r F
r k k
R r r r F
令 代 入 上 式,并 乘 有令,则设场解与?无关
2210d d Fx k F
d x d x
……… 勒让德方程
22
c os,sin
sin
sin 0
sin
d d dx d
x
d dx d dx
d dF
kF
dx dx
令
22
21
si n
si n
dR rd
r k R r
dr dr
dFd
kF
dd
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 164
我们研究?从 0到?，即 x从 1到 (-1),取
k2= n(n+1),n=0,1,2,… 4.3.4
则勒让德方程仅有一个有界解,即勒让德多项式 Pn (x).
22
2
1 '' 2 ' 0
( 1 ) ( 0,1,2,3,.,,,)
x y x y k y
k n n n
另一种形式
2210d d Fx k F
d x d x
……… 勒让德方程
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 165
Pn特性,n为偶数,只有偶次项 ; n为奇数,只有奇次项。
Pn(1)=1,Pn(-1)=(-1)n
特点,P奇过原点,P偶关于 x=0对称。
1P x x?
22 1 31
2
P x x
33 1 535P x x x
424 1 3 5 3 0 3
8
P x x x
-1
1
1
-1
21 12!
n n
n nn
dP x x
n d x
通式：
1
01
0
c o s c o s sin 2
21
n m n m
nm
P P d P P d x
nm
n
勒让德多项式也具有正交性
''1121 n n nm P x P x P x
11
0
1
21
11
1;;
n n n
nn
P x x P x P x
nn
Px
P x x
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 167
2 10dR r n n R rd r r
1nnR r r R r r
1
0
c o snnn n n
n
A r B r P
故场的通解为,
显然有 2个解,
再看 R(r)的解,代入 k2 = n(n+1)后有,
特征方程,
2 2 1 ( 1 ) 0m m n n
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 168
1 0 0 0 1c o s c o sr E r E r P
21 1 1 c o sA r B r
根据正交性,?1仅有含 P1项，即解：取极轴与外场 E0一致，
则?0 = -E0rcos?
设球内为?2，球外为?1，
2 0
(r,?,?)
a
E0
1
0
c o snnn n n
n
A r B r P
故场的通解为,
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 169
更进一步
211 c o sA r B r 0 c o sEr
有
10AE
0r2有限，故只取正幂项
2
0
c o snnn
n
r A r P
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 170
201
0
c o s c o snnn
n
A a P E a B a
21aa
根据正交性可知?2也仅有含 P1的项，即
22 2 0 1c o s c o sA a E a B a
由
22 c o sAr
更进一步
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 171
21 1 1 c o sA r B r
22 c o sAr
120 1 2,nn
r a r a
DD
rr
再 由 有而
3
2 0 0 0 1c o s c o s 2 c o sA E B a
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 172
3
1 0 2 0
3
B E a A E
00可 解 得
+ 2 + 2
3
1 0 0 2
20
1
c o s c o s
3
c o s
E r a E r a
r
E r r a
0
0
0
0
+2
+2
,E
20
3
zE e E
0
0+2
为均匀场，且小于外加场当 时，介质消失； 时，内场为零。
0
电场线 等位面
x
z?
0
a
E0
2005-1-25 第一章 电磁场的数学物理基础 174
如果在无限大的介电常数为? 的均匀介质中存在球形气泡,
那么当外加均匀电场时,气泡内的电场强度应为
0 r 0
0
0r
33
2 1 2i
EEEE
那么，泡内的场强高于泡外的场强。
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
175
2,边界条件
0E
D
微分形式：
ED本构关系：
1,基本方程
0)(
)(
21n
21n
EE
DD
e
e S?
0d
d
lE
SD
C
S
q积分形式：
0)(
0)(
21n
21n
EE
DD
e
e
02t1t
n2n1
EE
DD S?或
2t1t
n2n1
EE
DD或一,静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即,则0?S?
第三章小结第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
176
0 E?由
1,电位函数的定义
E?
二,电位函数面电荷的电位：
1 ( )( ) d
4 π V
rr V C
R
点电荷的电位,()
4 π
qrC
R
()1( ) d
4 π
l
C
rr l C
R
线电荷的电位：
CSR rr S S d)(π4 1)( 3
3,电位积分表达式：体电荷的电位：
( ) ( ) dQPP Q E l2,P,Q 两点间的电位差第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
177
4、电位方程在均匀介质中，有标量泊松方程在无源区域，有拉普拉斯方程 0
2
02
5,静电位的边界条件
12 0
若介质分界面上无自由电荷，即 0?
S? nn 1122
导体表面上电位的边界条件,常数，
nSD
n
1?
2?媒质 2
媒质 1
2?
1?
lΔ
2P
1P
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
178
(1) 假定两导体上分别带电荷 +q 和－ q ；
计算电容的方法一,
UqC?(4) 求比值,即得出所求电容。
21 d lEU(3) 由,求出两导体间的电位差；
(2) 计算两导体间的电场强度 E；
计算电容的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U ；
(4) 由 得到 ;
nES S?
(2) 计算两电极间的电位分布?；
E?(3) 由 得到 E ;
S S Sq d?
(5) 由,求出导体的电荷 q ；
UqC?(6) 求比值,即得出所求电容。
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179
三、
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
180
e
i
i
WF
g
不变?
四、静电力
e
i
i
WF
g
q不变第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
181
EJ
0d
0d
lE
SJ
C
S
0
0
E
J
五、恒定电场分析
1,基本方程
恒定电场的基本方程为微分形式,积分形式：
)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度 )(rE
线性各向同性导电媒质的本构关系第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
182
2,恒定电场的边界条件
0d lEC
0d SJS 0)( 21n JJe
0)( 21n EEe
2nn1 JJ?
即
2t1t EE?
即场矢量的折射关系
11
22
t a n
t a n
电位的边界条件
nn?
2
2
1
121,
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
183
3.恒定电场与静电场的比拟基本方程
ED
,E?
EJ
0202
n2n1t2t1 DDEE n2n1t2t1 JJEE
静电场（ 区域）0
0d,0d lESJ CS
0,0 EJ
,E?
0,0DE
nn?
2
2
1
121,
nn 221121,
本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）
对应物理量静电场
E?
E?
D?
J?
q
I恒定电场? G
C
0d,0d lESD CS
第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
184
(1) 假定两电极间的电流为 I ；
(2) 计算两电极间的电流密度矢量 J ；
(3) 由 J =? E 得到 E ;
(4) 由,求出两导体间的电位差；
(5) 求比值,即得出所求电导。
21 d lEU
UIG /?
计算电导的方法一,? 计算电导的方法二,
(1) 假定两电极间的电位差为 U；
(2) 计算两电极间的电位分布?；
(3) 由 得到 E ;
(4) 由 J =? E 得到 J ;
(5) 由,求出两导体间电流；
(6) 求比值,即得出所求电导。
E?
SI SJ d
UIG /?
计算电导的方法三,
静电比拟法：
C
G CG
4、电导的计算方法第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
185
0
HJ
B
微分形式,
0d
dd
S
SC
SB
SJlH
1,基本方程
BH
2,边界条件本构关系：
SJHHe
BBe
)(
0)(
21n
21n
SJHH
BB
t2t1
2n1n 0或若分界面上不存在面电流，即 JS＝ 0，则积分形式,
0)(
0)(
21n
21n
HHe
BBe
或
0
0
2tt1
n2n1
HH
BB
六、恒定磁场第 3章 静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
186
3、恒定磁场的矢量磁位
BA
库仑规范0A
引入,0B
磁矢位的微分方程在无源区,0J?
JA 2
02 A?
矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程磁矢位的边界条件
12AA?
n 1 2
12
11()
Se A A J
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4,恒定磁场的标量磁位但在无传导电流 （ J＝ 0） 的空间 中,则有
0H mH
标量磁位或磁标位磁标位的微分方程
2 m 0在线性,各向同性的均匀媒质中标量磁位的边界条件
m 1 m 2
12nn
和m 1 m 2
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七、电感
IL
1,自感
I为回路 C 中的电流,?为 I所产生的磁场与回路 C 交链的磁链,
i
i
单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和
1
21
21 IM
回路 C1 对回路 C2 的互感
2
12
12 IM
3,互感回路 C2 对回路 C1 的互感为
M12 = M21
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八,恒定磁场的能量
2
m 2
1d
2
1
2
1 LIlAIIW
C
电流为 I 的载流回路具有的磁场能量 Wm
对于两个电流回路 C1 和回路 C2,有
22
m 1 1 2 2 1 2
11
22W L I L I M I I
磁场能量密度磁场能量密度：
磁场的总能量：
m
1
2w B H
m
1 d
2 VW B H V
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190
2,磁场力
m
i
i
WF
g
不变I
m
i
i
WF
g
不变九,惟一性定理 在场域 V 的边界面 S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具有惟一解。（即满足泊松方程和拉普拉斯方程及其边界条件的解是唯一的。）
n?
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191
十、镜像法,必须保证原问题的方程不变，边界条件不变像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 。
像电荷的个数,位臵及电荷量的大小以满足所求解的场区域 的边界条件来确定 。
十一,分离变量法 解决求有边界区域的场的解思路：
套用通解，根据边界条件来定待定系数
