第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
1
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2
E
H
z
波传播方向均匀平面波波阵面
x
y
o
均匀平面波的概念波阵面,空间相位相同的点构成的曲面,即等相位面平面波,等相位面为无限大平面的电磁波均匀平面波,等相位面上电场和磁场的方向,振幅都保持不变的平面波均匀平面波是电磁波的一种理想情况,其分析方法简单,但又表征了电磁波的重要特性 。
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本章内容
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.2 电磁波的极化
5.3 导电媒质中的均匀平面波
5.4 色散与群速
5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点
5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
0yx zEE EE x y z由于
5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x
和 y 的函数，即
0,0E E H Hx y x y
0zEz 0zE?
22
22
22
dd 0,0EHk E k H
zz
2
2
2 0
z
z
E kE
z
同理
0yx zHH HH x y z0zH?
结论,均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播方向 —— 横电磁波 （ TEM波 ）
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电场和磁场的另外两个分量满足标量的亥姆霍兹方程
0)(d )(d 22
2
zEkz zE xxk
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
y
y
Ez k E z
z
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
x
x
Hz k H z
z
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
y
y
Hz k H z
z
由于形式相同因此只讨论一个方程的解第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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1jjj1 1 1 m( ) e e exk z k zxxE z A E
1j jj1 1 m 1 m 1(,) R e [ e e e ] c o s ( )x k z tx x x xE z t E E t k z
0)(d )(d 22
2
zEkz zE xxk)()( zEezE xx
设电场只有 x 分量，即
jj12( ) e ek z k zxE z A A其解为：
可见,表示沿 +z 方向传播的波。j
1e kzA?
的波形1m c o s( )xE E t k z
解的物理意义第一项
2jjj2 2 2 m( ) e e exk z k zxxE z A E
2j jj2 2 m 2 m 2(,) R e [ e e e ] c o s ( )x k z tx x x xE z t E E t k z
第二项沿 － z 方向传播的波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
8
1
1 1 1 1
j1x
y y x z x x z
E kH e e E e e E e E
z
jEH由,可得
)(
1
1
y
x
H
E其中 称为媒质的 本征阻抗 。在真空中
3 7 71 2 0
0
0
0
相伴的磁场同理，对于 j
2 2 2 e kzx x xE e E e A 22 )(1 EeH z
磁场与电场相互垂直，且同相位结论,在理想介质中,均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂直,且同相位 。
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1,均匀平面波的传播参数周期 T,时间相位变化 2π 的时间间隔，即
（ 1）角频率、频率和周期角频率 ω,表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
频率 f,1 ( H z )
2 πf T
t
T
o
xE
的曲线
m( 0,) c o sxE t E t
2 π (s )T
2πT
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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（ 2）波长和相位常数
k 的大小等于空间距离 2π内所包含的波长数目，因此也称为 波数 。
2 π ( r a d /m )k
波长 λ,空间相位差为 2π的两个波阵面的间距，即相位常数 k,表示波传播单位距离的相位变化
o
xE
z
的曲线
m(,0 ) c o sxE z E k z?
2 π1 ( m )
k f
2πk
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（ 3）相速（波速）
)sm(1dd ktzv
真空中,8
7900
11 3 1 0 ( m /s)
14 π 1 0 1 0
36 π
vc
Ckzt由相速 v,电磁波的等相位面在空间中的移动速度相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关故 得到 均匀平面波的相速为
d d 0t k z
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2、能量密度与能流密度
*2
a v m
11R e [ ( ) ( ) ]
22 zS E z H z e E
2
m a v
11
2ze E w v
22
em
11
22w E H w
EeH z1
由于,于是有能量的传输速度等于相速
22
a v m m
11
22w E H
22
emw w w E H
故电场能量与磁场能量相同
22
m
1(,) (,) c o s ( )
2zxS E z t H z t e E t k z
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3、理想介质中的均匀平面波的传播特点
x
y
z
E
H
O
理想介质中均匀平面波的 和E H
电场,磁场与传播方向之间相互垂直,是横电磁波 （ TEM
波 ） 。
无衰减,电场与磁场的振幅不变 。
波阻抗为实数,电场与磁场同相位 。
电磁波的相速与频率无关,无色散 。
电场能量密度等于磁场能量密度,
能量的传输速度等于相速 。
根据前面的分析,可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：
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例 5.1.1 频率为 9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为 εr = 2.26 。 若磁场的振幅为
7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。
9r 2,2 6,9,4 1 0 H zf解,由题意因此
800
r
1,9 9 6 1 0 m /s
2,2 6
vvv
8
9
1,9 9 6 1 0 2,1 2 m
9,4 1 0
v
f?
0
r
377 251
2,2 6
3mm 7 1 0 2 5 1 1,7 5 7 V /mEH
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解,以余弦为基准,直接写出
1(,) c o s ( ) A /m
3 πyH z t e t z
例 5.1.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常数为 30 rad/m 在空气中沿 方向传播。当 t = 0 和 z = 0 时,若取向为,试写出 和 的表示式，并求出频率和波长。
1
3π
ze
ye
E? H?
H?
V / m)c o s (40)(),(),( 0 zteetzHtzE xz
2 π 2 π 0,2 1 m,
30
8
893 1 0 4 5 1 0 1,4 3 1 0 H z
π / 1 5 π
cf
V / m)301090c o s (40),( 8 ztetzE x
ra d /m30因,故
81(,) c o s ( 9 0 1 0 3 0 ) A /m
3 πyH z t e t z
则第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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例 5.1.3 频率为 100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿 +z 方向传播，其电场 。已知该媒质的相对介电常数 εr = 4、相对磁导率 μr =1,且当 t = 0,z =1/8 m 时，电场幅值为 10－ 4 V/m 。 试求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。
xxE?Ee
解,设电场强度的瞬时表示式为
4(,) 1 0 c o s ( )x x xz t E t k zE e e
82 π 2 π 1 0 r a d /sf
8
rr 8
2 π 1 0 44 π r a d /m
3 1 0 3k c
对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件 t = 0,z =1/8 m
时，电场达到幅值，得式中
4 π 1 π
3 8 6kz
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48 4 ππ(,) 1 0 c o s ( 2 π 1 0 )
36xE z t e t z
48 4 π11 0 c o s [ 2 π 1 0 ( ) ] V /m
38xe t z
11
z y xH e E e E
0
r
60 π
4
81 0 4 1(,) c o s [ 2 π 1 0 π ( ) ] A /m
60 π 3 8yH z t e t z
所以磁场强度的瞬时表示式为式中因此第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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j50e kzxEe解,电场强度的复数表示式为
0 120 π
自由空间的本征阻抗为
j
0
5 e A /m
12 π
kz
yy
EH e e
故得到该平面波的磁场强度
2
av
1 1 5 1 2 5R e ( ) 5 0 W /m
2 2 1 2 π 1 2 πzzS E H e e
22
a v a v
1 2 5 1 2 5d π π 2,5 6 5,1 W
12 π 1 2 πSP S S R
于是，平均坡印廷矢量垂直穿过半径 R = 2.5m 的圆平面的平均功率例 5.1.4 自 由空间中平面波的电场强度
5 0 c o s ( ) V / mxE e t k z
求在 z = z0 处垂直穿过半径 R = 2.5m 的圆平面的平均功率。
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jjmm( ) e e zk e rkzE z E E
沿 +z 方向传播的均匀平面波
5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波
m 0zeE
)(1)( zEezH z
n j( )jmm( ) e e x y zk x k y k zk e rE r E E
nm 0eE
n
1( ) ( )H r e E r
沿 传播方向的均匀平面波
ne
n x x y y z zk e k e k e k e kkek z
沿任意方向传播的均匀平面波波传播方向
z
y
x
o
r ne
等相位 面
P(x,y,z)
y
z
x
o
沿＋ z方向传播的均匀平面波
P(x,y,z)
波传播方向r
等相位 面第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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解,（ 1）因为,所以j
m e krHH
n
43
55xz
ke e e
k
22(3 π ) ( 4 π ) 5 πk
m 24x y zH e e e,4 π 3 πx y zk r k x k y k z x z
4 π 0 3 πx y zk k k、,,4 π 3 πxzk e e则例 5.1.5 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为
j π ( 4 3 )( 2 4 )e xzx y zH e A e e
k?式中 A为常数。求：（ 1）波矢量 ；（ 2）波长和频率；（ 3） A
的值；（ 4）相伴电场的复数形式；（ 5）平均坡印廷矢量。
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（ 2） 2 π 2 π 2 m
5 π5k,Hz105.75/2
103 88
cf
（ 3）
m 4 π( ) 0 2 3 π 4 0k H A3?A
（ 4）
0n( ) ( )E r H r e
j π ( 4 3 )
j π ( 4 3 )
43
120 π ( 3 2 4 ) e ( )
55
120 π ( 1,2 5 1,6 ) e
xz
x y z x z
xz
x y z
e e e e e
e e e
*
av
2
2
0
0
32
1
Re [ ]
2
1 4 3 1,8 8 5
2 5 5 2 3 7 7
( 3,7 7 2,8 3 ) 1 0 W m
n x y
xy
S E H
E
e e e
ee
（ 5）
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5.2 电磁波的极化
5.2.1 极化的概念
5.2.2 线极化波
5.2.3 圆极化波
5.2.4 椭圆极化波
5.2.5 极化波的分解
5.2.6 极化波的工程应用第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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5.2.1 极化的概念波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性,是电磁理论中的一个重要概念 。
在电磁波传播空间给定点处,电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹 。
波的极化第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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m c o s ( ),x x xE E t k zm c o s ( )y y yE E t k z
一般情况下，沿 +z 方向传播的均匀平面波,
其中
yyxx EeEeE
电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为,线极化、圆极化、椭圆极化 。
极化的三种形式线极化,电场强度矢量的端点轨迹为一直线段圆极化,电场强度矢量的端点轨迹为一个圆椭圆极化,电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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5.2.2 线极化波
2 2 2 2mm(0,) (0,) c o s ( )x y x y xE E t E t E E t
m
m
a r c ta n ( ) a r c ta n ( )yy
xx
EE
0 yx
πxy
随时间变化0
yx π?
条件,或合成波电场的模合成波电场与 + x 轴的夹角特点,合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨 迹与 x 轴的夹角始终保持不变 。
结论,任何两个同频率,同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波,当它们的相位相同或相差为 ± π 时,其合成波为线极化波 。
常数第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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m(0,) c o s ( )xxE t E t
m
π( 0,) c o s ( ) s in ( )
2y x m xE t E t E t
a r c t a n [ t a n ( ) ] ( )xxtt
5.2.3 圆极化波则
m m m π / 2x y x yE E E、
条件,
22 m(0,) (0,)xyE E t E t E合成波电场的模常数合成波电场与 + x 轴的夹角随时间变化特点,合成波电场的大小不随时间改变,但方向却随时间变化,电场的矢端在一个圆上并以角速度 ω旋转 。
结论,任何两个同频率,同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的振幅相同、相位差为 ± π/ 2 时，
其合成波为圆极化波。
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右旋圆极化波
o Ex
y
x
EEy?
左旋圆极化波
o
xE
y
x
EyE
右旋圆极化波,若 φy－ φx＝－ π/2,则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系,称为右旋圆极化波左旋圆极化波,若 φy－ φx＝ π/2,则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系,称为左旋圆极化波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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其它情况下，令
yx
,由
m(0,) c o s ( )x x xE t E t
m( 0,) c o s ( )y y xE t E t
22
2
22
m m m m
2 c o s s iny x yx
x y x y
E E EE
E E E E
5.2.4 椭圆极化波可得到特点,合成波电场的大小和方向都随时间改变,其端点在一个椭圆上旋转 。
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合成波极化的小结线极化,?φ＝ 0,±? 。
φ＝ 0,在 1,3象限；?φ＝ ±?,在 2,4象限 。
椭圆极化,其它情况 。
0 <?φ <?,左旋；－?<?φ＜ 0,右旋 。
圆极化,?φ＝ ±?/2,Exm＝ Eym。
取,＋,,左旋 圆极化 ；取,－,,右旋圆极化 。
电磁波的极化状态取决于 Ex和 Ey 的振幅 Exm,Eym和相位差
φ＝ φy－ φx
对于 沿 + z 方向传播的均匀平面波：
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例 5.2.1 说明下列均匀平面波的极化方式。
jjmme j ek z k zxyE e E e E( 2 )
mm
ππs in ( ) c o s ( )
44xyE e E t k z e E t k z
( 3 )
mms i n ( ) 2 c o s ( )xyE e E t k z e E t k z
( 4 )
解,（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
mm,xyEE? ππ0,22xy、
mm,xyEE? ππ0,
22xy、
mm,xyEE? ππ0,22xy、
ππ,0
44xy、
左旋圆极化波右旋圆极化波线极化波左旋椭圆极化波
( 1 )
mms i n ( ) c o s ( )xyE e E t k z e E t k z
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5.2.5 极化波的分解
任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅相等的两圆极化波的叠加,即
任何一个椭圆极化波也可以表示成旋向相反、振幅不等的两圆极化波的叠加，即
j j jmm
m e ( j ) e ( j ) e22
k z k z k z
x x y x y
EEE e E e e e e
j
mm
m m m mjj
( ) e
jj
( j ) e ( j ) e
22
kz
x x y y
x y x yk z k z
x y x y
E e E e E
E E E E
e e e e
任何一个线极化波、圆极化波或椭圆极化波可分解成两个线极化波的叠加第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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电磁波的极化在许多领域中获得了广泛应用。如：
5.2.6 极化波的工程应用在雷达目标探测的技术中,利用目标对电磁波散射过程中改变极化的特性实现目标的识别无线电技术中,利用天线发射和接收电磁波的极化特性,实现最佳无线电信号的发射和接收 。
在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏振片等等第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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5.3 导电媒质中的均匀平面波导电媒质的典型特征是电导率?≠ 0。
电磁波在导电媒质中传播时,有传导电流 J =? E 存在,同时伴随着电磁能量的损耗 。
电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同 。
5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波
5.3.3 良导体中的均匀平面波讨论内容第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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沿 z 轴传播的均匀平面波解为
cjm( ) ( ) e kzx x x xE z e Ε z e Ε
jmm( ) e e ez z zx x x xE z e Ε e Ε
22 c 0E k E cc()k
令 cjjk,则均匀平面波解为
5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
称为电磁波的 传播常数,
是 衰减因子,?称为 衰减常数,单位,Np/m（奈培 /米）ze
je z 是 相位因子,?称为 相位常数,单位,rad/m（弧度 /米）
m(,) e c o s ( )zxxE z t e E t z
瞬时值形式振幅有衰减波动方程第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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j ( )
m
cc
11( ) ( ) e ezz
z y xH z e E z e Ε
j
cc
c
e
本征阻抗
m
c
(,) e c o s ( )zxy EH z t e t z
k
H
E
导电媒质中的电场与磁场
H
E
k
非导电媒质中的电场与磁场相伴的磁场本征阻抗为复数磁场滞后于电场第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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2 2 2
2
2 2 2 2( j ) j 2
2 2 2 2
cc( j ) ( j )kk
22 π 1 1 ( ) 1
2
f
21 ( ) 1
2
21 ( ) 1,
2
21 1 ( ) 1
2
v
相速不仅与媒质参数有关，而且与电磁波的频率有关传播参数第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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* 2 2
a v m
c
11R e [ ( ) ( ) ] e c o s
22
z
zxS E z H z e E
平均坡印廷矢量导电媒质中均匀平面波的传播特点：
电场强度 E,磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直,是横电磁波 （ TEM波 ） ；
媒质的本征阻抗为复数,电场与磁场不同相位,磁场滞后于电场?角 ；
在波的传播过程中,电场与磁场的振幅呈指数衰减；
波的传播速度 （ 相度 ） 不仅与媒质参数有关,而且与频率有关 （ 有色散 ） 。
平均磁场能量密度大于平均电场能量密度 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
38
弱导电媒质,1
1 / 2j ( 1 ) j
j2
1 / 2
c
c
( 1 ) ( 1 j )j2
5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波
1 / 2(1 ) 1
2
xx
1 / 2(1 ) 1
2
xx
2?
弱导电媒质中均匀平面波的特点相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；
衰减小；
电场和磁场之间存在较小的相位差 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
39
1 2 j 4 5j ( 1 j ) j e ( 1 j )
2
1
良导体,
5.3.3 良导体中的均匀平面波良导体中的参数
2 π 2 π π2
π ff
波长,
2
π
v
f
相速,
金、银、铜、铁、铝等金属对于无线电波均是良导体。
例如铜,181,0 4 1 0
f
f?
1/ f?
π2 f
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
40
趋肤效应,电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度 （?）,电磁波进入良导体后,
其振幅下降到表面处振幅的
1/e 时所传播的距离。即
oj 4 5
c
c
j2 ππe ( 1 j )ff
本征阻抗良导体中电磁波的 磁场强度的相位滞后于电场强度 45o。
趋肤深度?
mE
m eE
m
m e e
EE 11
π f
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
41
铜,7
0 4 π 1 0 H /m,
S / m108.5 7
m1033.950 106.6Hz50 3
2
，f
m106.6
10
106.6M H z1 5
6
2
，f
m106.6
1010
106.6G H z10 7
9
2
，f
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
42
表 5.3.1一些金属材料的趋肤深度和表面电阻材料名称 电导率 ζ/(S/m) 趋肤深度 δ/m 表面电阻 RS /Ω
银 6.17× 107
紫铜 5.8× 107
铝 3.72× 107
钠 2.1× 107
黄铜 1.6× 107
锡 0.87× 107
石墨 0.01× 107
72,5 2 1 0 f
72,6 1 1 0 f
73,2 6 1 0 f
75,0 1 1 0 f
0,0 6 4 / f
0,0 6 6 / f
0,0 8 3 / f
0.11 / f
0.13 / f
0.17 / f
1.6 / f
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
43
例 5.3.1 一沿 x 方向极化的线极化波在海水中传播，取 + z 轴方向为传播方向。已知海水的媒质参数为 εr = 81,μr =1、
σ= 4 S/m,在 z = 0 处的电场 Ex = 100cos(107πt ) V/m 。求：
（ 1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；
（ 2）电场强度幅值减小为 z = 0 处的 1/1000 时，波传播的距离
（ 3） z = 0.8 m 处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；
（ 4） z = 0.8 m 处穿过 1m2面积的平均功率。
解,（ 1） 根据题意，有
710 π ra d /s 65 1 0 H z
2 πf
79
4 1 8 0 1
110 π ( 1 0 ) 8 0
36 π
所以此时海水可视为良导体。
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44
故衰减常数 67π π 5 1 0 4 π 1 0 4 8,8 9 N p /mf
π π π77j j j
4 4 4
c
10 π 4 π 1 0ee πe
4
7
610 π 3,5 3 1 0 m / s
8,8 9v
2 π 2 π 0,7 0 7 m
8,8 9
11 0,1 1 2 m
8,8 9
相位常数本征阻抗
8,8 9 r a d /m
相速波长趋肤深度第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
45
（ 2） 令 e-αz＝ 1/1000,即 eαz＝ 1000，由此得到电场强度幅值减小为 z = 0 处的 1/1000 时，波传播的距离
1 2,3 0 2l n 1 0 0 0 0,7 7 7 m
8,8 9z
8,8 9 7(,) 1 0 0 e c o s ( 1 0 π 8,8 9 )zxE z t e t z
8,8 9 0,8 7
7
( 0,8,) 1 0 0 e c o s( 1 0 π 8,8 9 0,8 )
0,0 8 2 c o s( 1 0 π 7,1 1 ) V /m
x
x
E t e t
et
8,89 0,8
7
c
7
100e
0,8,c os( 10 π 8,89 0,8 )
4
0,02 6 c os( 10 π 1,61 ) A /m
y
y
H t e t
et
故在 z = 0.8 m 处，电场的瞬时表达式为磁场的瞬时表达式为
（ 3）根据题意，电场的瞬时表达式为第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4622
a v m
c
2
2 8,8 9 0,8
2
1
e c o s
2
100 π
e c o s
2 π4
0,7 5 m W /m
z
zx
z
z
S e E
e
e
（ 4）在 z = 0.8 m 处的平均坡印廷矢量穿过 1m2 的平均功率 Pav = 0.75 mW
由此可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤其在高频时，衰减更为严重，这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在 1 kHz 的低频下，衰减仍然很明显。
( H z )f
( m )?
海水中的趋肤深度随频率变化的曲线第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
例 5.3.2 在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外界电磁场的干扰，可采用金属铜板构造屏蔽室，通常取铜板厚度大于 5δ就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范围从 10KHz
到 100MHZ,试计算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为 μ=μ0,ε=ε0,ζ= 5.8× 107 S/m。
解,对于频率范围的低端 fL =10kHz,有
7
14
49
5,8 1 0 1,0 4 1 0 1
12 π 1 0 1 0
36 π
L
7
10
89
5,8 1 0 1,0 4 1 0 1
12 π 1 0 1 0
36 π
H
对于频率范围的高端 fH =100MHz,有第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
4 7 7
11 0,6 6 m m
π π 1 0 4 π 1 0 5,8 1 0L Lf
8 7 7
11 6,6 m
π π 1 0 4 π 1 0 5,8 1 0H Hf
5 3,3 m mLd
由此可见，在要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故为了满足给定的频率范围内的屏蔽要求，故铜板的厚度 d
至少应为第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
49
5.4 色散与群速色散现象,相速随频率变化群速,载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
单一频率的电磁波不载有任何有用信息,只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息 。
电磁波的传播特性与介质参数 (?,?和? )有关,当这些参数和传播常数随频率变化时,不同频率电磁波的传播特性就会有所不同,这就是色散效应,这种媒质称为色散媒质 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
50
两个振幅均为 Em,角频率分别为?0 + 和?0－,相位常数分别为?0+ 和?0－ 的同向行波振幅,包络波,以角频率缓慢变化不同频率电磁波的叠加行波因子,代表沿
z 轴传播的行波
1 m 0 0(,) c o s [ ( ) ( ) ]xE z t e E t z
12
m 0 0
(,) (,) (,)
2 c o s ( ) c o s ( )x
E z t E z t E z t
e E t z t z
2 m 0 0(,) c o s [ ( ) ( ) ]xE z t e E t z
合成波电场第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
51
1 2 m 0 0(,) (,) (,) 2 c o s ( ) c o s ( )xE z t E z t E z t e E t z t z
z
载波,速度 vp
包络波,速度 vg
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
52
p
g
p
p
d
1
d
v
v
v
v
—— 无色散
—— 正常色散
—— 反常色散群速 vg,包络波的恒定相位点推进速度
p p p p
g p p p g
pp
d ( ) d d ddd
d d d d d d
v v v vv v v v v
vv
由相速 vp,载波的 恒定相位点推进速度
0
p
0
v00t z C
g 0
dl im
dv?
z c o n s tt
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
53
例 5.3.2 载频为 f =100 kHz 的窄频带信号在海水中传播,试求群速 。
解,海水的参数,? = 4 S/m,?r = 81,?r = 1,当 f = 100 kHz
时,有
p
0
22( ) 6 3 1v
由
1,可视为良导体
1,2 6 r a d /m
5p 5 1 0 m / sv
vg > vp 反常色散媒质pd d 6 3 1 1(6 3 1 )
d d 2
v?
得
5
65
gp
p
5 1 0
1 0 m /s > 5 1 0 m /s
6 3 1 1
1
2
v
v
v
：群速第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
54
第五章 小结一,均匀平面波,等相位面上电场和磁场的方向,振幅都保持不变的平面波二、理想介质中的均匀平面波的传播特点电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（ TEM 波）。
无衰减,电场与磁场的振幅不变 。
波阻抗为实数,电场与磁场同相位 。
电磁波的相速与频率无关,无色散 。
电场能量密度等于磁场能量密度,能量的传输速度等于相速 。
媒质的本征阻抗
1
zH e E
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
55
电磁场中的一些重要参数周期 T,时间相位变化 2π 的时间间隔，即角频率 ω,表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
频率 f,1 ( H z )
2 πf T
2 π (s )T
2πT
k 的大小等于空间距离 2π内所包含的波长数目，因此也称为 波数 。
2 π ( r a d /m )k
波长 λ,空间相位差为 2π的两个波阵面的间距，即相位常数 k,表示波传播单位距离的相位变化
2 π1 ( m )
k f
2πk
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56
)sm(1dd ktzv
相速 v,电磁波的等相位面在空间中的移动速度故 得到 均匀平面波的相速为相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关三,沿任意方向传播的均匀平面波
n j( )jmm( ) e e x y zk x k y k zk e rE r E E
n
1( ) ( )H r e E r
沿 传播方向的均匀平面波ne
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
57
四,电磁波的极化
m c o s ( )y y yE E t k z
一般情况下，沿 +z 方向传播的均匀平面波,
其中
yyxx EeEeE
电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为,线极化、圆极化、椭圆极化 。
m c o s ( ),x x xE E t k z
1、线极化
0 yx π?条件,或特点,合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨 迹与 x 轴的夹角始终保持不变 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
58
2,圆极化波
m m m π / 2x y x yE E E、
条件,
特点,合成波电场的大小不随时间改变,但方向却随时间变化,电场的矢端在一个圆上并以角速度 ω旋转 。
右旋圆极化波,若 φy－ φx＝－ π/2,则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系,称为右旋圆极化波左旋圆极化波,若 φy－ φx＝ π/2,则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系,称为左旋圆极化波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
59
其它情况下，令
yx
3,椭圆极化波特点,合成波电场的大小和方向都随时间改变,其端点在一个椭圆上旋转 。
线极化,?φ＝ 0,±? 。
φ＝ 0,在 1,3象限；?φ＝ ±?,在 2,4象限 。
椭圆极化,其它情况 。 0 <?φ <?,左旋；－?<?φ＜ 0,右旋 。
圆极化,?φ＝ ±?/2,Exm＝ Eym。
取,＋,,左旋 圆极化 ；取,－,,右旋圆极化 。
电磁波的极化状态取决于 Ex和 Ey 的振幅 Exm,Eym和相位差
φ＝ φy－ φx
对于 沿 + z 方向传播的均匀平面波：
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60
五,导电媒质中的均匀平面波
1,导电媒质中均匀平面波的传播特点：
电场强度 E,磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直,是横电磁波 （ TEM波 ） ；
媒质的本征阻抗为复数,电场与磁场不同相位,磁场滞后于电场?角 ；
在波的传播过程中,电场与磁场的振幅呈指数衰减；
波的传播速度 （ 相度 ） 不仅与媒质参数有关,而且与频率有关 （ 有色散 ） 。
平均磁场能量密度大于平均电场能量密度 。
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2,弱导电媒质中均匀平面波的特点相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；
衰减小；
电场和磁场之间存在较小的相位差 。
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1
良导体,
3,良导体中的均匀平面波良导体中的参数
2 π 2 π π2
π ff
波长,
2
π
v
f
相速,
π2 f
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63
趋肤深度 （?）,电磁波进入良导体后,其振幅下降到表面处振幅的 1/e 时所传播的距离。
oj 4 5
c
c
j2 ππe ( 1 j )ff
本征阻抗良导体中电磁波的 磁场强度的相位滞后于电场强度 45o。
11
π f
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64
六、色散与群速群速,载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
—— 无色散
—— 正常色散
—— 反常色散群速 vg,包络波的恒定相位点推进速度相速 vp,载波的 恒定相位点推进速度
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
1
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
2
E
H
z
波传播方向均匀平面波波阵面
x
y
o
均匀平面波的概念波阵面,空间相位相同的点构成的曲面,即等相位面平面波,等相位面为无限大平面的电磁波均匀平面波,等相位面上电场和磁场的方向,振幅都保持不变的平面波均匀平面波是电磁波的一种理想情况,其分析方法简单,但又表征了电磁波的重要特性 。
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3
本章内容
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.2 电磁波的极化
5.3 导电媒质中的均匀平面波
5.4 色散与群速
5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点
5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
5
0yx zEE EE x y z由于
5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x
和 y 的函数，即
0,0E E H Hx y x y
0zEz 0zE?
22
22
22
dd 0,0EHk E k H
zz
2
2
2 0
z
z
E kE
z
同理
0yx zHH HH x y z0zH?
结论,均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播方向 —— 横电磁波 （ TEM波 ）
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
6
电场和磁场的另外两个分量满足标量的亥姆霍兹方程
0)(d )(d 22
2
zEkz zE xxk
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
y
y
Ez k E z
z
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
x
x
Hz k H z
z
2
2
2
d ( ) ( ) 0
d
y
y
Hz k H z
z
由于形式相同因此只讨论一个方程的解第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
7
1jjj1 1 1 m( ) e e exk z k zxxE z A E
1j jj1 1 m 1 m 1(,) R e [ e e e ] c o s ( )x k z tx x x xE z t E E t k z
0)(d )(d 22
2
zEkz zE xxk)()( zEezE xx
设电场只有 x 分量，即
jj12( ) e ek z k zxE z A A其解为：
可见,表示沿 +z 方向传播的波。j
1e kzA?
的波形1m c o s( )xE E t k z
解的物理意义第一项
2jjj2 2 2 m( ) e e exk z k zxxE z A E
2j jj2 2 m 2 m 2(,) R e [ e e e ] c o s ( )x k z tx x x xE z t E E t k z
第二项沿 － z 方向传播的波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
8
1
1 1 1 1
j1x
y y x z x x z
E kH e e E e e E e E
z
jEH由,可得
)(
1
1
y
x
H
E其中 称为媒质的 本征阻抗 。在真空中
3 7 71 2 0
0
0
0
相伴的磁场同理，对于 j
2 2 2 e kzx x xE e E e A 22 )(1 EeH z
磁场与电场相互垂直，且同相位结论,在理想介质中,均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂直,且同相位 。
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9
1,均匀平面波的传播参数周期 T,时间相位变化 2π 的时间间隔，即
（ 1）角频率、频率和周期角频率 ω,表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
频率 f,1 ( H z )
2 πf T
t
T
o
xE
的曲线
m( 0,) c o sxE t E t
2 π (s )T
2πT
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
10
（ 2）波长和相位常数
k 的大小等于空间距离 2π内所包含的波长数目，因此也称为 波数 。
2 π ( r a d /m )k
波长 λ,空间相位差为 2π的两个波阵面的间距，即相位常数 k,表示波传播单位距离的相位变化
o
xE
z
的曲线
m(,0 ) c o sxE z E k z?
2 π1 ( m )
k f
2πk
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11
（ 3）相速（波速）
)sm(1dd ktzv
真空中,8
7900
11 3 1 0 ( m /s)
14 π 1 0 1 0
36 π
vc
Ckzt由相速 v,电磁波的等相位面在空间中的移动速度相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关故 得到 均匀平面波的相速为
d d 0t k z
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12
2、能量密度与能流密度
*2
a v m
11R e [ ( ) ( ) ]
22 zS E z H z e E
2
m a v
11
2ze E w v
22
em
11
22w E H w
EeH z1
由于,于是有能量的传输速度等于相速
22
a v m m
11
22w E H
22
emw w w E H
故电场能量与磁场能量相同
22
m
1(,) (,) c o s ( )
2zxS E z t H z t e E t k z
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
13
3、理想介质中的均匀平面波的传播特点
x
y
z
E
H
O
理想介质中均匀平面波的 和E H
电场,磁场与传播方向之间相互垂直,是横电磁波 （ TEM
波 ） 。
无衰减,电场与磁场的振幅不变 。
波阻抗为实数,电场与磁场同相位 。
电磁波的相速与频率无关,无色散 。
电场能量密度等于磁场能量密度,
能量的传输速度等于相速 。
根据前面的分析,可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
14
例 5.1.1 频率为 9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为 εr = 2.26 。 若磁场的振幅为
7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。
9r 2,2 6,9,4 1 0 H zf解,由题意因此
800
r
1,9 9 6 1 0 m /s
2,2 6
vvv
8
9
1,9 9 6 1 0 2,1 2 m
9,4 1 0
v
f?
0
r
377 251
2,2 6
3mm 7 1 0 2 5 1 1,7 5 7 V /mEH
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
15
解,以余弦为基准,直接写出
1(,) c o s ( ) A /m
3 πyH z t e t z
例 5.1.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常数为 30 rad/m 在空气中沿 方向传播。当 t = 0 和 z = 0 时,若取向为,试写出 和 的表示式，并求出频率和波长。
1
3π
ze
ye
E? H?
H?
V / m)c o s (40)(),(),( 0 zteetzHtzE xz
2 π 2 π 0,2 1 m,
30
8
893 1 0 4 5 1 0 1,4 3 1 0 H z
π / 1 5 π
cf
V / m)301090c o s (40),( 8 ztetzE x
ra d /m30因,故
81(,) c o s ( 9 0 1 0 3 0 ) A /m
3 πyH z t e t z
则第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
16
例 5.1.3 频率为 100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿 +z 方向传播，其电场 。已知该媒质的相对介电常数 εr = 4、相对磁导率 μr =1,且当 t = 0,z =1/8 m 时，电场幅值为 10－ 4 V/m 。 试求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。
xxE?Ee
解,设电场强度的瞬时表示式为
4(,) 1 0 c o s ( )x x xz t E t k zE e e
82 π 2 π 1 0 r a d /sf
8
rr 8
2 π 1 0 44 π r a d /m
3 1 0 3k c
对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件 t = 0,z =1/8 m
时，电场达到幅值，得式中
4 π 1 π
3 8 6kz
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
17
48 4 ππ(,) 1 0 c o s ( 2 π 1 0 )
36xE z t e t z
48 4 π11 0 c o s [ 2 π 1 0 ( ) ] V /m
38xe t z
11
z y xH e E e E
0
r
60 π
4
81 0 4 1(,) c o s [ 2 π 1 0 π ( ) ] A /m
60 π 3 8yH z t e t z
所以磁场强度的瞬时表示式为式中因此第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
18
j50e kzxEe解,电场强度的复数表示式为
0 120 π
自由空间的本征阻抗为
j
0
5 e A /m
12 π
kz
yy
EH e e
故得到该平面波的磁场强度
2
av
1 1 5 1 2 5R e ( ) 5 0 W /m
2 2 1 2 π 1 2 πzzS E H e e
22
a v a v
1 2 5 1 2 5d π π 2,5 6 5,1 W
12 π 1 2 πSP S S R
于是，平均坡印廷矢量垂直穿过半径 R = 2.5m 的圆平面的平均功率例 5.1.4 自 由空间中平面波的电场强度
5 0 c o s ( ) V / mxE e t k z
求在 z = z0 处垂直穿过半径 R = 2.5m 的圆平面的平均功率。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
19
jjmm( ) e e zk e rkzE z E E
沿 +z 方向传播的均匀平面波
5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波
m 0zeE
)(1)( zEezH z
n j( )jmm( ) e e x y zk x k y k zk e rE r E E
nm 0eE
n
1( ) ( )H r e E r
沿 传播方向的均匀平面波
ne
n x x y y z zk e k e k e k e kkek z
沿任意方向传播的均匀平面波波传播方向
z
y
x
o
r ne
等相位 面
P(x,y,z)
y
z
x
o
沿＋ z方向传播的均匀平面波
P(x,y,z)
波传播方向r
等相位 面第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
20
解,（ 1）因为,所以j
m e krHH
n
43
55xz
ke e e
k
22(3 π ) ( 4 π ) 5 πk
m 24x y zH e e e,4 π 3 πx y zk r k x k y k z x z
4 π 0 3 πx y zk k k、,,4 π 3 πxzk e e则例 5.1.5 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为
j π ( 4 3 )( 2 4 )e xzx y zH e A e e
k?式中 A为常数。求：（ 1）波矢量 ；（ 2）波长和频率；（ 3） A
的值；（ 4）相伴电场的复数形式；（ 5）平均坡印廷矢量。
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21
（ 2） 2 π 2 π 2 m
5 π5k,Hz105.75/2
103 88
cf
（ 3）
m 4 π( ) 0 2 3 π 4 0k H A3?A
（ 4）
0n( ) ( )E r H r e
j π ( 4 3 )
j π ( 4 3 )
43
120 π ( 3 2 4 ) e ( )
55
120 π ( 1,2 5 1,6 ) e
xz
x y z x z
xz
x y z
e e e e e
e e e
*
av
2
2
0
0
32
1
Re [ ]
2
1 4 3 1,8 8 5
2 5 5 2 3 7 7
( 3,7 7 2,8 3 ) 1 0 W m
n x y
xy
S E H
E
e e e
ee
（ 5）
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22
5.2 电磁波的极化
5.2.1 极化的概念
5.2.2 线极化波
5.2.3 圆极化波
5.2.4 椭圆极化波
5.2.5 极化波的分解
5.2.6 极化波的工程应用第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
23
5.2.1 极化的概念波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性,是电磁理论中的一个重要概念 。
在电磁波传播空间给定点处,电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹 。
波的极化第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
24
m c o s ( ),x x xE E t k zm c o s ( )y y yE E t k z
一般情况下，沿 +z 方向传播的均匀平面波,
其中
yyxx EeEeE
电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为,线极化、圆极化、椭圆极化 。
极化的三种形式线极化,电场强度矢量的端点轨迹为一直线段圆极化,电场强度矢量的端点轨迹为一个圆椭圆极化,电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
25
5.2.2 线极化波
2 2 2 2mm(0,) (0,) c o s ( )x y x y xE E t E t E E t
m
m
a r c ta n ( ) a r c ta n ( )yy
xx
EE
0 yx
πxy
随时间变化0
yx π?
条件,或合成波电场的模合成波电场与 + x 轴的夹角特点,合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨 迹与 x 轴的夹角始终保持不变 。
结论,任何两个同频率,同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波,当它们的相位相同或相差为 ± π 时,其合成波为线极化波 。
常数第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
26
m(0,) c o s ( )xxE t E t
m
π( 0,) c o s ( ) s in ( )
2y x m xE t E t E t
a r c t a n [ t a n ( ) ] ( )xxtt
5.2.3 圆极化波则
m m m π / 2x y x yE E E、
条件,
22 m(0,) (0,)xyE E t E t E合成波电场的模常数合成波电场与 + x 轴的夹角随时间变化特点,合成波电场的大小不随时间改变,但方向却随时间变化,电场的矢端在一个圆上并以角速度 ω旋转 。
结论,任何两个同频率,同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的振幅相同、相位差为 ± π/ 2 时，
其合成波为圆极化波。
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27
右旋圆极化波
o Ex
y
x
EEy?
左旋圆极化波
o
xE
y
x
EyE
右旋圆极化波,若 φy－ φx＝－ π/2,则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系,称为右旋圆极化波左旋圆极化波,若 φy－ φx＝ π/2,则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系,称为左旋圆极化波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
28
其它情况下，令
yx
,由
m(0,) c o s ( )x x xE t E t
m( 0,) c o s ( )y y xE t E t
22
2
22
m m m m
2 c o s s iny x yx
x y x y
E E EE
E E E E
5.2.4 椭圆极化波可得到特点,合成波电场的大小和方向都随时间改变,其端点在一个椭圆上旋转 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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合成波极化的小结线极化,?φ＝ 0,±? 。
φ＝ 0,在 1,3象限；?φ＝ ±?,在 2,4象限 。
椭圆极化,其它情况 。
0 <?φ <?,左旋；－?<?φ＜ 0,右旋 。
圆极化,?φ＝ ±?/2,Exm＝ Eym。
取,＋,,左旋 圆极化 ；取,－,,右旋圆极化 。
电磁波的极化状态取决于 Ex和 Ey 的振幅 Exm,Eym和相位差
φ＝ φy－ φx
对于 沿 + z 方向传播的均匀平面波：
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30
例 5.2.1 说明下列均匀平面波的极化方式。
jjmme j ek z k zxyE e E e E( 2 )
mm
ππs in ( ) c o s ( )
44xyE e E t k z e E t k z
( 3 )
mms i n ( ) 2 c o s ( )xyE e E t k z e E t k z
( 4 )
解,（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
mm,xyEE? ππ0,22xy、
mm,xyEE? ππ0,
22xy、
mm,xyEE? ππ0,22xy、
ππ,0
44xy、
左旋圆极化波右旋圆极化波线极化波左旋椭圆极化波
( 1 )
mms i n ( ) c o s ( )xyE e E t k z e E t k z
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
31
5.2.5 极化波的分解
任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅相等的两圆极化波的叠加,即
任何一个椭圆极化波也可以表示成旋向相反、振幅不等的两圆极化波的叠加，即
j j jmm
m e ( j ) e ( j ) e22
k z k z k z
x x y x y
EEE e E e e e e
j
mm
m m m mjj
( ) e
jj
( j ) e ( j ) e
22
kz
x x y y
x y x yk z k z
x y x y
E e E e E
E E E E
e e e e
任何一个线极化波、圆极化波或椭圆极化波可分解成两个线极化波的叠加第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
32
电磁波的极化在许多领域中获得了广泛应用。如：
5.2.6 极化波的工程应用在雷达目标探测的技术中,利用目标对电磁波散射过程中改变极化的特性实现目标的识别无线电技术中,利用天线发射和接收电磁波的极化特性,实现最佳无线电信号的发射和接收 。
在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏振片等等第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
33
5.3 导电媒质中的均匀平面波导电媒质的典型特征是电导率?≠ 0。
电磁波在导电媒质中传播时,有传导电流 J =? E 存在,同时伴随着电磁能量的损耗 。
电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同 。
5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波
5.3.3 良导体中的均匀平面波讨论内容第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
34
沿 z 轴传播的均匀平面波解为
cjm( ) ( ) e kzx x x xE z e Ε z e Ε
jmm( ) e e ez z zx x x xE z e Ε e Ε
22 c 0E k E cc()k
令 cjjk,则均匀平面波解为
5.3.1 导电媒质中的均匀平面波
称为电磁波的 传播常数,
是 衰减因子,?称为 衰减常数,单位,Np/m（奈培 /米）ze
je z 是 相位因子,?称为 相位常数,单位,rad/m（弧度 /米）
m(,) e c o s ( )zxxE z t e E t z
瞬时值形式振幅有衰减波动方程第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
35
j ( )
m
cc
11( ) ( ) e ezz
z y xH z e E z e Ε
j
cc
c
e
本征阻抗
m
c
(,) e c o s ( )zxy EH z t e t z
k
H
E
导电媒质中的电场与磁场
H
E
k
非导电媒质中的电场与磁场相伴的磁场本征阻抗为复数磁场滞后于电场第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
36
2 2 2
2
2 2 2 2( j ) j 2
2 2 2 2
cc( j ) ( j )kk
22 π 1 1 ( ) 1
2
f
21 ( ) 1
2
21 ( ) 1,
2
21 1 ( ) 1
2
v
相速不仅与媒质参数有关，而且与电磁波的频率有关传播参数第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
37
* 2 2
a v m
c
11R e [ ( ) ( ) ] e c o s
22
z
zxS E z H z e E
平均坡印廷矢量导电媒质中均匀平面波的传播特点：
电场强度 E,磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直,是横电磁波 （ TEM波 ） ；
媒质的本征阻抗为复数,电场与磁场不同相位,磁场滞后于电场?角 ；
在波的传播过程中,电场与磁场的振幅呈指数衰减；
波的传播速度 （ 相度 ） 不仅与媒质参数有关,而且与频率有关 （ 有色散 ） 。
平均磁场能量密度大于平均电场能量密度 。
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38
弱导电媒质,1
1 / 2j ( 1 ) j
j2
1 / 2
c
c
( 1 ) ( 1 j )j2
5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波
1 / 2(1 ) 1
2
xx
1 / 2(1 ) 1
2
xx
2?
弱导电媒质中均匀平面波的特点相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；
衰减小；
电场和磁场之间存在较小的相位差 。
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39
1 2 j 4 5j ( 1 j ) j e ( 1 j )
2
1
良导体,
5.3.3 良导体中的均匀平面波良导体中的参数
2 π 2 π π2
π ff
波长,
2
π
v
f
相速,
金、银、铜、铁、铝等金属对于无线电波均是良导体。
例如铜,181,0 4 1 0
f
f?
1/ f?
π2 f
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40
趋肤效应,电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度 （?）,电磁波进入良导体后,
其振幅下降到表面处振幅的
1/e 时所传播的距离。即
oj 4 5
c
c
j2 ππe ( 1 j )ff
本征阻抗良导体中电磁波的 磁场强度的相位滞后于电场强度 45o。
趋肤深度?
mE
m eE
m
m e e
EE 11
π f
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41
铜,7
0 4 π 1 0 H /m,
S / m108.5 7
m1033.950 106.6Hz50 3
2
，f
m106.6
10
106.6M H z1 5
6
2
，f
m106.6
1010
106.6G H z10 7
9
2
，f
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42
表 5.3.1一些金属材料的趋肤深度和表面电阻材料名称 电导率 ζ/(S/m) 趋肤深度 δ/m 表面电阻 RS /Ω
银 6.17× 107
紫铜 5.8× 107
铝 3.72× 107
钠 2.1× 107
黄铜 1.6× 107
锡 0.87× 107
石墨 0.01× 107
72,5 2 1 0 f
72,6 1 1 0 f
73,2 6 1 0 f
75,0 1 1 0 f
0,0 6 4 / f
0,0 6 6 / f
0,0 8 3 / f
0.11 / f
0.13 / f
0.17 / f
1.6 / f
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43
例 5.3.1 一沿 x 方向极化的线极化波在海水中传播，取 + z 轴方向为传播方向。已知海水的媒质参数为 εr = 81,μr =1、
σ= 4 S/m,在 z = 0 处的电场 Ex = 100cos(107πt ) V/m 。求：
（ 1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度；
（ 2）电场强度幅值减小为 z = 0 处的 1/1000 时，波传播的距离
（ 3） z = 0.8 m 处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式；
（ 4） z = 0.8 m 处穿过 1m2面积的平均功率。
解,（ 1） 根据题意，有
710 π ra d /s 65 1 0 H z
2 πf
79
4 1 8 0 1
110 π ( 1 0 ) 8 0
36 π
所以此时海水可视为良导体。
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44
故衰减常数 67π π 5 1 0 4 π 1 0 4 8,8 9 N p /mf
π π π77j j j
4 4 4
c
10 π 4 π 1 0ee πe
4
7
610 π 3,5 3 1 0 m / s
8,8 9v
2 π 2 π 0,7 0 7 m
8,8 9
11 0,1 1 2 m
8,8 9
相位常数本征阻抗
8,8 9 r a d /m
相速波长趋肤深度第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
45
（ 2） 令 e-αz＝ 1/1000,即 eαz＝ 1000，由此得到电场强度幅值减小为 z = 0 处的 1/1000 时，波传播的距离
1 2,3 0 2l n 1 0 0 0 0,7 7 7 m
8,8 9z
8,8 9 7(,) 1 0 0 e c o s ( 1 0 π 8,8 9 )zxE z t e t z
8,8 9 0,8 7
7
( 0,8,) 1 0 0 e c o s( 1 0 π 8,8 9 0,8 )
0,0 8 2 c o s( 1 0 π 7,1 1 ) V /m
x
x
E t e t
et
8,89 0,8
7
c
7
100e
0,8,c os( 10 π 8,89 0,8 )
4
0,02 6 c os( 10 π 1,61 ) A /m
y
y
H t e t
et
故在 z = 0.8 m 处，电场的瞬时表达式为磁场的瞬时表达式为
（ 3）根据题意，电场的瞬时表达式为第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
4622
a v m
c
2
2 8,8 9 0,8
2
1
e c o s
2
100 π
e c o s
2 π4
0,7 5 m W /m
z
zx
z
z
S e E
e
e
（ 4）在 z = 0.8 m 处的平均坡印廷矢量穿过 1m2 的平均功率 Pav = 0.75 mW
由此可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤其在高频时，衰减更为严重，这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在 1 kHz 的低频下，衰减仍然很明显。
( H z )f
( m )?
海水中的趋肤深度随频率变化的曲线第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
47
例 5.3.2 在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外界电磁场的干扰，可采用金属铜板构造屏蔽室，通常取铜板厚度大于 5δ就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范围从 10KHz
到 100MHZ,试计算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为 μ=μ0,ε=ε0,ζ= 5.8× 107 S/m。
解,对于频率范围的低端 fL =10kHz,有
7
14
49
5,8 1 0 1,0 4 1 0 1
12 π 1 0 1 0
36 π
L
7
10
89
5,8 1 0 1,0 4 1 0 1
12 π 1 0 1 0
36 π
H
对于频率范围的高端 fH =100MHz,有第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
48
4 7 7
11 0,6 6 m m
π π 1 0 4 π 1 0 5,8 1 0L Lf
8 7 7
11 6,6 m
π π 1 0 4 π 1 0 5,8 1 0H Hf
5 3,3 m mLd
由此可见，在要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故为了满足给定的频率范围内的屏蔽要求，故铜板的厚度 d
至少应为第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
49
5.4 色散与群速色散现象,相速随频率变化群速,载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
单一频率的电磁波不载有任何有用信息,只有由多个频率的正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息 。
电磁波的传播特性与介质参数 (?,?和? )有关,当这些参数和传播常数随频率变化时,不同频率电磁波的传播特性就会有所不同,这就是色散效应,这种媒质称为色散媒质 。
第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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两个振幅均为 Em,角频率分别为?0 + 和?0－,相位常数分别为?0+ 和?0－ 的同向行波振幅,包络波,以角频率缓慢变化不同频率电磁波的叠加行波因子,代表沿
z 轴传播的行波
1 m 0 0(,) c o s [ ( ) ( ) ]xE z t e E t z
12
m 0 0
(,) (,) (,)
2 c o s ( ) c o s ( )x
E z t E z t E z t
e E t z t z
2 m 0 0(,) c o s [ ( ) ( ) ]xE z t e E t z
合成波电场第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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1 2 m 0 0(,) (,) (,) 2 c o s ( ) c o s ( )xE z t E z t E z t e E t z t z
z
载波,速度 vp
包络波,速度 vg
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52
p
g
p
p
d
1
d
v
v
v
v
—— 无色散
—— 正常色散
—— 反常色散群速 vg,包络波的恒定相位点推进速度
p p p p
g p p p g
pp
d ( ) d d ddd
d d d d d d
v v v vv v v v v
vv
由相速 vp,载波的 恒定相位点推进速度
0
p
0
v00t z C
g 0
dl im
dv?
z c o n s tt
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
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例 5.3.2 载频为 f =100 kHz 的窄频带信号在海水中传播,试求群速 。
解,海水的参数,? = 4 S/m,?r = 81,?r = 1,当 f = 100 kHz
时,有
p
0
22( ) 6 3 1v
由
1,可视为良导体
1,2 6 r a d /m
5p 5 1 0 m / sv
vg > vp 反常色散媒质pd d 6 3 1 1(6 3 1 )
d d 2
v?
得
5
65
gp
p
5 1 0
1 0 m /s > 5 1 0 m /s
6 3 1 1
1
2
v
v
v
：群速第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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第五章 小结一,均匀平面波,等相位面上电场和磁场的方向,振幅都保持不变的平面波二、理想介质中的均匀平面波的传播特点电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（ TEM 波）。
无衰减,电场与磁场的振幅不变 。
波阻抗为实数,电场与磁场同相位 。
电磁波的相速与频率无关,无色散 。
电场能量密度等于磁场能量密度,能量的传输速度等于相速 。
媒质的本征阻抗
1
zH e E
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电磁场中的一些重要参数周期 T,时间相位变化 2π 的时间间隔，即角频率 ω,表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
频率 f,1 ( H z )
2 πf T
2 π (s )T
2πT
k 的大小等于空间距离 2π内所包含的波长数目，因此也称为 波数 。
2 π ( r a d /m )k
波长 λ,空间相位差为 2π的两个波阵面的间距，即相位常数 k,表示波传播单位距离的相位变化
2 π1 ( m )
k f
2πk
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)sm(1dd ktzv
相速 v,电磁波的等相位面在空间中的移动速度故 得到 均匀平面波的相速为相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关三,沿任意方向传播的均匀平面波
n j( )jmm( ) e e x y zk x k y k zk e rE r E E
n
1( ) ( )H r e E r
沿 传播方向的均匀平面波ne
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四,电磁波的极化
m c o s ( )y y yE E t k z
一般情况下，沿 +z 方向传播的均匀平面波,
其中
yyxx EeEeE
电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅之间和相位之间的关系，分为,线极化、圆极化、椭圆极化 。
m c o s ( ),x x xE E t k z
1、线极化
0 yx π?条件,或特点,合成波电场的大小随时间变化但其矢端轨 迹与 x 轴的夹角始终保持不变 。
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2,圆极化波
m m m π / 2x y x yE E E、
条件,
特点,合成波电场的大小不随时间改变,但方向却随时间变化,电场的矢端在一个圆上并以角速度 ω旋转 。
右旋圆极化波,若 φy－ φx＝－ π/2,则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系,称为右旋圆极化波左旋圆极化波,若 φy－ φx＝ π/2,则电场矢端的旋转方向电磁波传播方向成左手螺旋关系,称为左旋圆极化波第 5章 均匀平面波在无界媒质中的传播电磁场与电磁波电子科技大学 编写 高等教育出版社 & 高等教育 电子音像 出版社 出版
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其它情况下，令
yx
3,椭圆极化波特点,合成波电场的大小和方向都随时间改变,其端点在一个椭圆上旋转 。
线极化,?φ＝ 0,±? 。
φ＝ 0,在 1,3象限；?φ＝ ±?,在 2,4象限 。
椭圆极化,其它情况 。 0 <?φ <?,左旋；－?<?φ＜ 0,右旋 。
圆极化,?φ＝ ±?/2,Exm＝ Eym。
取,＋,,左旋 圆极化 ；取,－,,右旋圆极化 。
电磁波的极化状态取决于 Ex和 Ey 的振幅 Exm,Eym和相位差
φ＝ φy－ φx
对于 沿 + z 方向传播的均匀平面波：
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五,导电媒质中的均匀平面波
1,导电媒质中均匀平面波的传播特点：
电场强度 E,磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直,是横电磁波 （ TEM波 ） ；
媒质的本征阻抗为复数,电场与磁场不同相位,磁场滞后于电场?角 ；
在波的传播过程中,电场与磁场的振幅呈指数衰减；
波的传播速度 （ 相度 ） 不仅与媒质参数有关,而且与频率有关 （ 有色散 ） 。
平均磁场能量密度大于平均电场能量密度 。
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2,弱导电媒质中均匀平面波的特点相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；
衰减小；
电场和磁场之间存在较小的相位差 。
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1
良导体,
3,良导体中的均匀平面波良导体中的参数
2 π 2 π π2
π ff
波长,
2
π
v
f
相速,
π2 f
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趋肤深度 （?）,电磁波进入良导体后,其振幅下降到表面处振幅的 1/e 时所传播的距离。
oj 4 5
c
c
j2 ππe ( 1 j )ff
本征阻抗良导体中电磁波的 磁场强度的相位滞后于电场强度 45o。
11
π f
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六、色散与群速群速,载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就是群速。
—— 无色散
—— 正常色散
—— 反常色散群速 vg,包络波的恒定相位点推进速度相速 vp,载波的 恒定相位点推进速度
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
p
gp
d 0,
d
v vv
