大学物理习题解答
湖南大学物理与微电子科学学院
第一章 质点运动学
P23．
1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]（1）质点在第1s末的位移大小为
x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为
x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
=Δx/Δt = 4(m·s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为
v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a(1) = 12 - 12×1 = 0，
第2s内的平均加速度为
= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，
根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t,(1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)
（1）平方之后除以（2）式证得
．
计算得加速度为
= 0.4(m·s-2)．
1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2 - v02 = 2as，
可得上升的最大高度为
h1 = vy02/2g = 30.94(m)．
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为
h2 = h1 + h = 100.94(m)．
根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为
= 4.49(s)．
因此他飞越的时间为
t = t1 + t2 = 6.98(s)．
他飞越的水平速度为
vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，
所以矿坑的宽度为
x = vx0t = 419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy = gt = 69.8(m·s-1)，
落地速度为
v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)，
与水平方向的夹角为
φ = arctan(vy/vx) = 49.30o，
方向斜向下．
方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程
，
解得
．
这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t = 6.98(s)．
由此可以求解其他问题．
1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]（1）分离变量得，
积分 ，
可得 ．
（2）公式可化为，
由于v = dx/dt，所以
积分 ．
因此 ,证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．
由于a = d2x/dt2，
而 dx/dt = v，
所以 a = dv/dt，
分离变量得方程
，
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则
dv/dt = -kvn．
（1）如果n = 1，则得
，
积分得
lnv = -kt + C．
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此
lnv/v0 = -kt，
得速度为
v = v0e-kt．
而dv = v0e-ktdt，积分得
．
当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此
．
（2）如果n≠1，则得，积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以，因此
．
如果n = 2，就是本题的结果．
如果n≠2，可得
，
读者不妨自证．
1．5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]（1）角速度为
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，
法向加速度为
an = rω2 = 230.4(m·s-2)；
角加速度为
β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，
切向加速度为
at = rβ = 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即
．
由此得，
即 ，
解得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ = rω2，
即 24t = (12t2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，
v0y = v0sinθ．
加速度的大小为
ax = acosα,
ay = asinα,
运动方程为
，
．
即 ,
．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）；(s)．
将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
1．7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att = 0.6(m·s-1)，
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
= 0.36(m·s-2)．
1．8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h = h1 - h2，所以
，
解得时间为
= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1．9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．
（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．
（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为
．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为
,证毕．
1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，
即 ,证毕．
方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以
，
即 ．
方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t，
h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求,证毕．
第二章 质点力学的运动定律守恒定律
P91．
2.1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
，
这是抛物线方程．
2.2桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力
Nm = mg = 19.6(N)，
这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为
fm = ma = 2(N)，
这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力
NM = (m + M)g = 29.4(N)，
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为
fM = μkNM = 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
f =μsmg = ma`，
可得 a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g = Ma`，
即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
= (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2，
F – T1 – μm1g = m1a1．
可以解得m2的加速度为
= 4.78(m·s-2)，
绳对它的拉力为
= 1.35(N)．
2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以
F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此 ，即．
（2）由于弹簧并联，所以
F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．
2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
（2）小车以加速度沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg，
所以 θ = arctan(a/g)；
绳子张力等于摆所受的拉力
．
（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以
θ = φ；
T = mgcosφ．
（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：
，
因此角度为
；
而张力为
．
（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
2．6 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：
（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？
（2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为
，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为
，
因此
，
即 vdv = -glsinθdθ,（1）
取积分 ，
得 ，
解得
= 2.21(m·s-1)．
由于，
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
，
当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，
因此速度为
．
切向加速度为
at = gsinθ；
法向加速度为
．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为
TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．
（3）当 θ = 60o时，切向加速度为
= 8.49(m·s-2)，
法向加速度为
an = 0，
绳子的拉力
T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
小球的运动方程为
，
s表示弧长．
由于，所以
，
因此 vdv = gcosθds = gdh，
h表示石下落的高度．
积分得 ，
当h = 0时，v = 0，所以C = 0，
因此速率为 ．
2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v = dx/dt，可得
，
因此方程变为
，
积分得
．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
，
即 ,证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -k/xn，则得
．
（1）当n = 1时，可得
．
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，
即 ．
（2）如果n≠1，可得
．
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，
因此 ，
即 ．
当n = 2时，即证明了本题的结果．
2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得
，
积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以
，
因此
，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dx/dt，所以
，
即
，
积分得
，
当t = 0时，x = 0，所以
，
因此
．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即
N = mv2/R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得
，
即 ．
积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以
，
因此 ．
解得 ．
由于
，
积分得
，
当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此
．
*2．11
2．12 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据向心力公式得
F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
可得
，
解得 ．
2．13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt，
积分得冲量为
，
方法二：利用动量定理．小球的速度为
v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1 = mv1 = 0，
末动量为
p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为
I = p2 – p1 = -mωA，
可以证明k =mω2，因此
I = -kA/ω．
2．14 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
得，
由此可作矢量三角形，可得
．
因此向心力给予小球的的冲量大小为
= 1.41(N·s)．
[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv，
其分量大小分别为
Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fy = Fsinθ = Fsinωt，
给小球的冲量大小为
dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
dIy = Fydt = Fsinωtdt，
积分得
，
，
合冲量为
，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2．15 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为
= 14(m·s-1)，
其速度的增量为
= 24.4(m·s-1)．
棒给球冲量为
I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）
F = I/t = 366.2(N)．
2．16 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程
T = Ma，
联立方程可得
a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式
s = v0t + at2/2，
可得B拉C之前的运动时间
= 0.4(s)．
此时B的速度大小为
v = at = 2(m·s-1)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
2．17 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ，
方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得
，
所以 v` = v/cos45° = ．
2．18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds = Rdθ．
重力的大小为
G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
，
积分得重力所做的功为
．
摩擦力的大小为
f = μkN = μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为
，
积分得摩擦力所做的功为
．
要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ，
或者 ．
拉力的功元为
,
拉力所做的功为
．
由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2．19 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
[解答] （1）质点的初动能为
E1 = mv02/2，
末动能为
E2 = mv2/2 = mv02/8，
动能的增量为
ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于
dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ，
积分得
．
由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为
．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为
at = f/m = -μkg，
根据公式vt2 – vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为
，
圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs = ΔE k，
可得 s = -ΔE k/f，
由此也能计算弧长和圈数。
2．20 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
，
整理和一元二次方程
，
解得
= 0.24(m)（取正根）．
2．21 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
，
即 ；
根据动量守恒得
，
其中各动量的大小为
p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，
对矢量式两边同时平方并利用
得
，
即
化简得
，
结合机械能守恒公式得
2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以
θ = π/2，
即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
证毕．
2．22 如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为
．
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
，
．
整理得
．
将上式除以下式得
v1 + v1` = v2`，
代入整理的下式得
，
解得 ．
碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
= 0.36(m)．
[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
，
．
同理可得
．
从而解得
，
或者
；
将下标1和2对调得
，
或者．
后一公式很好记忆，其中代表质心速度．
2．23 一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
（3）物体到达B时对槽的压力．
[解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
，
根据动量守恒定律得
0 = mv + MV．
因此
，
解得
，
从而解得
．
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量
．
（3）物体在槽底相对于槽的速度为
，
物体受槽的支持力为N，则
，
因此物体对槽的压力为
．
2．24 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得
4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，
因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
，
因此
，
所以最近距离为
．
2．25 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为
．
2．26 证明行星在轨道上运动的总能量为．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为
（1）
和 ,（2）
它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2，
即 v1r1 = v2r2,(3)
将（1）式各项同乘以r12得
Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1,(4)
将（2）式各项同乘以r22得
Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2,(5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得
E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1),(6)
由于r1不等于r2，所以
（r2 + r1)E = -GMm，
故 ,证毕．
2．27已知某双原子分子的原子间相互作用的势能函数为
其中、为常量，为两原子间的距离、试求原子间作用力的函数式及原子间相互作用力为零的距离。
[解答] 原子间作用力为
2．28 质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
[解答]设圆柱体的高为H，其体积为
V = π(R22 – R12)h，
体密度为
ρ = M/V．
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr，
其质量为
dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr，
总转动惯量为
．
2．29 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：
（1）薄板对OX轴的转动惯量为
；
（2）薄板对OZ轴的转动惯量为．
[证明] 薄板的面积为
S = ab，
质量面密度为
σ = M/S．
（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为
dS = ady，
其质量为
dm =σdS，
绕X轴的转动惯量为
dIOX = y2dm = σay2dy，
积分得薄板对OX轴的转动惯量为
．
同理可得薄板对OY轴的转动惯量为
．
（2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为
dS = bdx，
质量为
dm = σdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量
dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为
dIOZ = x2dm + dIO`Z`
= σbx2dx + b2dm/12，
积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
．
方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为
dIOZ = r2dm．
由于r2 = x2 + y2，所以
dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，
因此板绕OZ轴的转动惯量为
．
2．30 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．
[解答]半圆的长度为
C = πR，
质量的线密度为
λ = M/C．
在半圆上取一弧元
ds = Rdθ，
其质量为
dm = λds，
到AA`轴的距离为
r = Rsinθ，
绕此轴的转动惯量为
dI = r2dm = λR3sin2θdθ，
半圆绕AA`轴的转动惯量为
2．31 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
[解答]大圆的面积为
S = πR2，
质量的面密度为
σ = M/S．
大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为
IM = MR2/2．
小圆的面积为
s = πr2，
质量为
m = σs，
绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为
IC = mr2/2，
根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为
Im = IC + m(R/2)2．
，
剩余部分的转动惯量为
．
2．32 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？
（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？
[解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有
0.5N` – 1.25F = 0，
所以
N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为
N = N`= 250(N)，
与飞轮之间摩擦力为
f = μN = 100(N)，
摩擦力产生的力矩为
M = fR．
飞轮的转动惯量为
I = mR2/2，
角加速度大小为
β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
飞轮的初角速度为
ω0 = 30π(rad·s-1)．
根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，
t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为
θ = -ω02/2β = 333(rad)，
转过的圈数为
n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为
β = -ω0/2t = -7.5π．
力矩为
M = -Iβ，
摩擦力为
f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π．
闸瓦对飞轮的压力为
N = f/μ，
需要的制动力为
F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．
2．33 一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．
[解答]（1）恒力的力矩为
M = Fr = 19.6(N·m)，
对飞轮产生角加速度为
β = M/I = 39.2(rad·s-2)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为
θ = s/r = 25(rad)，
由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为
= 44.27(rad·s-1)；
飞轮的转动动能为
Ek = Iω2/2 = 490(J)．
方法二：用动力学定理．拉力的功为
W = Fs = 490(J)，
根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为
= 44.27(rad·s-1)．
(3)物体的质量为
m = P/g = 10(kg)．
设绳子的张力为T，则
P – T = ma，Tr = Iβ．
由于a = βr，可得
Pr = mr2β + Iβ，
解得角加速度为
= 21.8(rad·s-2)．
绳子的张力为
= 54.4(N)．
张力所做的功为
W` = Ts = 272.2(J)，
这就是飞轮此时的转动动能E`k．
飞轮的角速度为
= 33(rad·s-1)．
2．34 质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为
N = mg，
压在水平面上的面积为
S = πR2，
压强为
p = N/S = mg/πR2．
当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为
dS = rdθdr，
对水平面的压力为
dN = pdS = prdrdθ，
所受的摩擦力为
df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
．
圆盘的转动惯量为
I = mR2/2，
角加速度大小为
，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
根据转动公式ω2 = ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为
，
转过的圈数为
．
[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样计算力矩等更简单。
2．35 一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如力产所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．
[解答]根据机械能守恒定律可列方程
，
其中I = mr2/2，ω = v/r，可得
2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2，
解得
= 1.48(m·s-1)．
2．36 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？
[解答]圆轮A对B的压力为
N = M1g，
两轮之间的摩擦力大小为
f = μN = μM1g，
摩擦力对A的力矩大小为
MA = fR1 = μM1gR1，
摩擦力对B的力矩大小为
MB = fR2 = μM1gR2，
设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定理得方程
MA = IAβA，
即 βA = MA/IA．
同理可得
βB = MB/IB．
当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为
ωA = v/R1，
B的角速度为
ωB = v/R2．
根据转动运动学的公式得
ωA – ω = -βAt，ωB = βBt，
即 v/R1 – ω = -βAt，v/R2 = βBt，
化得
v - ωR1 = -βAR1t，v = βBR2t，
将后式减前式得
ωR1 = (R1βA + R2βB)t，
解得
经过的时间为
．
[注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律．
如果A轮的轮面放在B轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样的问题时，既可以用转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解．
当它们之间没有滑动时，角动量为ω`，根据角动量守恒定律得
IAω = (IA+IB)ω`，
因此得
ω` = IAω/(IA + IB)．
（1）设R1≦R2，那么A轮压在B轮上的面积为
S = πR12，
压强为
p = M1g/S = M1g/πR12．
当A轮在B轮上产生滑动时，在A轮上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为
dS = rdθdr，
对B轮的压力为
dN = pdS = prdrdθ，
所受的摩擦力为
df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
．
这是A轮所受的力矩，也是B轮所受的力矩．根据转动定理得B轮的角加速度为
βB = M/IB．
根据转动公式ω` = βBt，得时间为
，
即 ．
（2）如果R1≧R2，那么A轮压在B轮上的面积为
S = πR22，
压强为
p = M1g/S = M1g/πR22．
同样在A轮上取一面积元，力矩的积分上限就是R2．总力矩为
，
由此求得时间就变为
．
只有当R1 = R2时，两个时间才是相同的：．
2．37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．
[解答]在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为
dS = bdr．
当板的角速度ω时，面积元的速率为
v = ωr，
所受的阻力为
df = kv2dS = kω2r2bdr，
阻力产生的力矩为
dM = rdf = kω2r3bdr，
因此合力矩为
．
板绕转轴的转动惯量为I = ma2/3，其角加速度为
，
负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．
由于β = dω/dt，可得转动的微分方程
，
分离变量得
，
积分得
．
当t = 0时，ω = ω0，所以C = -1/ω0，因此转动方程为
．
当ω = ω0/2时，解得时间为
．
2．38 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
（1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
[解答]（1）碎片上抛的初速度为
v0 = ωR，
根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh，
可得碎片上升的高度为
h = v02/2g =ω2R2/2g．
（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有
，
所以角动量为
L = Iω = R2(M/2 – m)ω．
转动动能为
．
2．39 两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA = 60kg，mB = 70kg，它们速率分别为vA = 7m·s-1，vB = 6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时：
（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；
（2）系统的角速度；
（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？
[解答]（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有
rA + rB = r，
根据质心的概念可得
mArA = mBrB，
解方程组得
，．
两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为
= 630(kg·m2·s-1)．
（2）根据角动量守恒定律得
L = (IA + IB)ω，
其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量
IA = mArA2和IB = mBrB2．
角速度为
ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1)．
（3）两人拉手前的总动能就是平动动能
= 2730(J)；
拉手后的总动能是绕质心的转动动能：
= 2730(J)，
可见：这一过程能量是守恒的．
[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为
，
角速度为
可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．
（2）损失的能量．两人的转动动能为
，
因此动能的变化量为
ΔE = Ek2 – Ek1
简化得
，
负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的．
2．40．一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．
[解答]以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．
棒绕质心的转动惯量为
Ic = ml2/12，
根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为
,
根据角动量守恒定律得
mv0l/4 = Iω0，
所以角速度为
．
第三章 狭义相对论
P143．
3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？
[解答]地球的半径约为
R = 6400千米 = 6.4×106(m)，
自转一圈的时间是
T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，
赤道上钟的线速度为
v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时
Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
，
可求得B钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时
Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
，
可求得A钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差
，
由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
3．2 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
，
因此
，
可得夹角为
．
3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
，
即 ，
可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为
Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3．4 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为．若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为
3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
，
,（1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
，
．（2）
由（2）之上式得它们的相对速度为
,（3）
将（2）之下式除以（2）之上式得
，
所以
= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度．
3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
和，
飞船上观察运动员的运动距离为
≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为
≈16.67(s)．
在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
3．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
≈6.67(s)．
空间间隔为
≈-1.6×109(m)．
3．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应，可得杆的本征长度为
= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
= 0.99796c．
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
= 3.363(m)．
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为
= 4(s)．
3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为
ux = 0，uy = c．
星光在S`系中的速度分量为
星光在S`系中的速度为
，
即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船．
3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为
Ek = m0v2/2，
相对论动能为
E`k = mc2 – m0c2，
其中m为运动质量
．
根据题意得
，
设x = (v/c)2，方程可简化为
，
或 ，
平方得
1 = (1 – x2)(1 - x)，
化简得
x(x2 – x -1) = 0．
由于x不等于0，所以
x2 – x -1 = 0．
解得
，
取正根得速率为
= 0.786c．
（2）粒子的非相对论动量为
p = m0v，
相对论动量为
，
根据题意得方程
．
很容易解得速率为
= 0.866c．
3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek，
静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为
，
所以
，
由此得粒子的运动时为
．
还可得
，
解得速率为
．
粒子能够通过的距离为
= 24167.4(m)．
3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：．
[证明]根据上题的过程已得
，
将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
3．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为
Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)，
取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)．
如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = 3.549977×10-13(J)．
湖南大学物理与微电子科学学院
第一章 质点运动学
P23．
1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]（1）质点在第1s末的位移大小为
x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．
在第2s末的位移大小为
x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．
在第2s内的位移大小为
Δx = x(2) – x(1) = 4(m)，
经过的时间为Δt = 1s，所以平均速度大小为
=Δx/Δt = 4(m·s-1)．
（2）质点的瞬时速度大小为
v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，
因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，
v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a(t) = dv/dt = 12 - 12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a(1) = 12 - 12×1 = 0，
第2s内的平均加速度为
= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt = nvo，
根据速度公式vt = vo + at，得
a = (n – 1)vo/t,(1)
根据速度与位移的关系式vt2 = vo2 + 2as，得
a = (n2 – 1)vo2/2s，(2)
（1）平方之后除以（2）式证得
．
计算得加速度为
= 0.4(m·s-2)．
1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt - v0 = at，
这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为
t1 = vy0/g = 2.49(s)．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2 - v02 = 2as，
可得上升的最大高度为
h1 = vy02/2g = 30.94(m)．
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为
h2 = h1 + h = 100.94(m)．
根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为
= 4.49(s)．
因此他飞越的时间为
t = t1 + t2 = 6.98(s)．
他飞越的水平速度为
vx0 = v0cosθ = 60.05(m·s-1)，
所以矿坑的宽度为
x = vx0t = 419.19(m)．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy = gt = 69.8(m·s-1)，
落地速度为
v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(m·s-1)，
与水平方向的夹角为
φ = arctan(vy/vx) = 49.30o，
方向斜向下．
方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程
，
解得
．
这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t = 6.98(s)．
由此可以求解其他问题．
1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]（1）分离变量得，
积分 ，
可得 ．
（2）公式可化为，
由于v = dx/dt，所以
积分 ．
因此 ,证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma．
由于a = d2x/dt2，
而 dx/dt = v，
所以 a = dv/dt，
分离变量得方程
，
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则
dv/dt = -kvn．
（1）如果n = 1，则得
，
积分得
lnv = -kt + C．
当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此
lnv/v0 = -kt，
得速度为
v = v0e-kt．
而dv = v0e-ktdt，积分得
．
当t = 0时，x = 0，所以C` = v0/k，因此
．
（2）如果n≠1，则得，积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以，因此
．
如果n = 2，就是本题的结果．
如果n≠2，可得
，
读者不妨自证．
1．5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t3．求：
（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]（1）角速度为
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1)，
法向加速度为
an = rω2 = 230.4(m·s-2)；
角加速度为
β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2)，
切向加速度为
at = rβ = 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，
当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即
．
由此得，
即 ，
解得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）当at = an时，可得rβ = rω2，
即 24t = (12t2)2，
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
1．6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ，
v0y = v0sinθ．
加速度的大小为
ax = acosα,
ay = asinα,
运动方程为
，
．
即 ,
．
令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0（舍去）；(s)．
将t代入x的方程求得x = 9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
1．7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt = 2.0s内下降的距离h = 0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at = 2h/Δt2 = 0.2(m·s-2)．
物体下降3s末的速度为
v = att = 0.6(m·s-1)，
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
= 0.36(m·s-2)．
1．8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h = h1 - h2，所以
，
解得时间为
= 0.705(s)．
算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程
h = (a + g)t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1．9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．
（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v．
（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为
．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为
,证毕．
1．10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα = l/h．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα，
其中v3 = v⊥/cosα，而v⊥ = v2cosθ，
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα，
即 ,证毕．
方法二：利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以
，
即 ．
方法三：利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l = (v1 – v2sinθ)t，
h = v2cosθ?t．
两式消去时间t即得所求,证毕．
第二章 质点力学的运动定律守恒定律
P91．
2.1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度运动，的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t，．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
，
这是抛物线方程．
2.2桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
（1）今以水平力拉板，使两者一起以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力
Nm = mg = 19.6(N)，
这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为
fm = ma = 2(N)，
这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于其重力
NM = (m + M)g = 29.4(N)，
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为
fM = μkNM = 7.35(N)．
这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为a`的运动，物体的运动方程为
f =μsmg = ma`，
可得 a` =μsg．
板的运动方程为
F – f – μk(m + M)g = Ma`，
即 F = f + Ma` + μk(m + M)g
= (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
因此要将板从物体下面抽出，至少需要16.17N的力．
2．3 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2，
F – T1 – μm1g = m1a1．
可以解得m2的加速度为
= 4.78(m·s-2)，
绳对它的拉力为
= 1.35(N)．
2．4 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以
F = F1 = F2，x = x1 + x2，
因此 ，即．
（2）由于弹簧并联，所以
F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．
2．5 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
（2）小车以加速度沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
（5）以同样大小的加速度（b2 = b），将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg．
（2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于
tanθ = ma/mg，
所以 θ = arctan(a/g)；
绳子张力等于摆所受的拉力
．
（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以
θ = φ；
T = mgcosφ．
（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，θ角的对边是mbcosφ，邻边是mg + mbsinφ，由此可得：
，
因此角度为
；
而张力为
．
（5）与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了．
2．6 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：
（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？
（2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？
[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为
，
其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为
，
因此
，
即 vdv = -glsinθdθ,（1）
取积分 ，
得 ，
解得
= 2.21(m·s-1)．
由于，
所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
，
当 θ = 60o时，vC = 0，所以C = -lg/2，
因此速度为
．
切向加速度为
at = gsinθ；
法向加速度为
．
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为
TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)．
（3）当 θ = 60o时，切向加速度为
= 8.49(m·s-2)，
法向加速度为
an = 0，
绳子的拉力
T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
小球的运动方程为
，
s表示弧长．
由于，所以
，
因此 vdv = gcosθds = gdh，
h表示石下落的高度．
积分得 ，
当h = 0时，v = 0，所以C = 0，
因此速率为 ．
2．8 质量为m的物体，最初静止于x0，在力(k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v = dx/dt，可得
，
因此方程变为
，
积分得
．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
，
即 ,证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -k/xn，则得
．
（1）当n = 1时，可得
．
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 ，
即 ．
（2）如果n≠1，可得
．
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，
因此 ，
即 ．
当n = 2时，即证明了本题的结果．
2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得
，
积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以
，
因此
，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dx/dt，所以
，
即
，
积分得
，
当t = 0时，x = 0，所以
，
因此
．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即
N = mv2/R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得
，
即 ．
积分得
．
当t = 0时，v = v0，所以
，
因此 ．
解得 ．
由于
，
积分得
，
当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此
．
*2．11
2．12 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据向心力公式得
F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
可得
，
解得 ．
2．13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt，
积分得冲量为
，
方法二：利用动量定理．小球的速度为
v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1 = mv1 = 0，
末动量为
p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为
I = p2 – p1 = -mωA，
可以证明k =mω2，因此
I = -kA/ω．
2．14 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
得，
由此可作矢量三角形，可得
．
因此向心力给予小球的的冲量大小为
= 1.41(N·s)．
[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv，
其分量大小分别为
Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fy = Fsinθ = Fsinωt，
给小球的冲量大小为
dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
dIy = Fydt = Fsinωtdt，
积分得
，
，
合冲量为
，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2．15 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为
= 14(m·s-1)，
其速度的增量为
= 24.4(m·s-1)．
棒给球冲量为
I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）
F = I/t = 366.2(N)．
2．16 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程
T = Ma，
联立方程可得
a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式
s = v0t + at2/2，
可得B拉C之前的运动时间
= 0.4(s)．
此时B的速度大小为
v = at = 2(m·s-1)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
2．17 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ，
方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得
，
所以 v` = v/cos45° = ．
2．18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds = Rdθ．
重力的大小为
G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
，
积分得重力所做的功为
．
摩擦力的大小为
f = μkN = μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为
，
积分得摩擦力所做的功为
．
要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即 ，
或者 ．
拉力的功元为
,
拉力所做的功为
．
由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2．19 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
[解答] （1）质点的初动能为
E1 = mv02/2，
末动能为
E2 = mv2/2 = mv02/8，
动能的增量为
ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于
dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ，
积分得
．
由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为
．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为
at = f/m = -μkg，
根据公式vt2 – vo2 = 2ats，可得质点运动的弧长为
，
圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs = ΔE k，
可得 s = -ΔE k/f，
由此也能计算弧长和圈数。
2．20 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
，
整理和一元二次方程
，
解得
= 0.24(m)（取正根）．
2．21 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
，
即 ；
根据动量守恒得
，
其中各动量的大小为
p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2，
对矢量式两边同时平方并利用
得
，
即
化简得
，
结合机械能守恒公式得
2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以
θ = π/2，
即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
证毕．
2．22 如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为
．
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
，
．
整理得
．
将上式除以下式得
v1 + v1` = v2`，
代入整理的下式得
，
解得 ．
碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
= 0.36(m)．
[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
，
．
同理可得
．
从而解得
，
或者
；
将下标1和2对调得
，
或者．
后一公式很好记忆，其中代表质心速度．
2．23 一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
（3）物体到达B时对槽的压力．
[解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
，
根据动量守恒定律得
0 = mv + MV．
因此
，
解得
，
从而解得
．
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量
．
（3）物体在槽底相对于槽的速度为
，
物体受槽的支持力为N，则
，
因此物体对槽的压力为
．
2．24 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得
4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，
因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
，
因此
，
所以最近距离为
．
2．25 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩l不变；由于角动量L = mvl，所以角动量不守恒．
（2）当单摆逆时针运动时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为
．
2．26 证明行星在轨道上运动的总能量为．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
[证明]设行星在近日点和远日点的速度分别为v1和v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为
（1）
和 ,（2）
它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2，
即 v1r1 = v2r2,(3)
将（1）式各项同乘以r12得
Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1,(4)
将（2）式各项同乘以r22得
Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2,(5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得
E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1),(6)
由于r1不等于r2，所以
（r2 + r1)E = -GMm，
故 ,证毕．
2．27已知某双原子分子的原子间相互作用的势能函数为
其中、为常量，为两原子间的距离、试求原子间作用力的函数式及原子间相互作用力为零的距离。
[解答] 原子间作用力为
2．28 质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
[解答]设圆柱体的高为H，其体积为
V = π(R22 – R12)h，
体密度为
ρ = M/V．
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr，
其质量为
dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr，
总转动惯量为
．
2．29 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：
（1）薄板对OX轴的转动惯量为
；
（2）薄板对OZ轴的转动惯量为．
[证明] 薄板的面积为
S = ab，
质量面密度为
σ = M/S．
（1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为
dS = ady，
其质量为
dm =σdS，
绕X轴的转动惯量为
dIOX = y2dm = σay2dy，
积分得薄板对OX轴的转动惯量为
．
同理可得薄板对OY轴的转动惯量为
．
（2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩形元，其面积为
dS = bdx，
质量为
dm = σdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量
dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为
dIOZ = x2dm + dIO`Z`
= σbx2dx + b2dm/12，
积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
．
方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为
dIOZ = r2dm．
由于r2 = x2 + y2，所以
dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，
因此板绕OZ轴的转动惯量为
．
2．30 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．
[解答]半圆的长度为
C = πR，
质量的线密度为
λ = M/C．
在半圆上取一弧元
ds = Rdθ，
其质量为
dm = λds，
到AA`轴的距离为
r = Rsinθ，
绕此轴的转动惯量为
dI = r2dm = λR3sin2θdθ，
半圆绕AA`轴的转动惯量为
2．31 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
[解答]大圆的面积为
S = πR2，
质量的面密度为
σ = M/S．
大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为
IM = MR2/2．
小圆的面积为
s = πr2，
质量为
m = σs，
绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为
IC = mr2/2，
根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为
Im = IC + m(R/2)2．
，
剩余部分的转动惯量为
．
2．32 飞轮质量m = 60kg，半径R = 0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ = 0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F = 100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？
（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？
[解答]设飞轮对闸瓦的支持力为N`，以左端为转动轴，在力矩平衡时有
0.5N` – 1.25F = 0，
所以
N`=2.5F = 250(N)．
闸瓦对飞轮的压力为
N = N`= 250(N)，
与飞轮之间摩擦力为
f = μN = 100(N)，
摩擦力产生的力矩为
M = fR．
飞轮的转动惯量为
I = mR2/2，
角加速度大小为
β = -M/I = -2f/mR = -40/3(rad·s-2)，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
飞轮的初角速度为
ω0 = 30π(rad·s-1)．
根据公式ω = ω0 + βt，当ω = 0时，
t = -ω0/β = 7.07(s)．
再根据公式ω2 = ω02 + 2βθ，可得飞轮转过的角度为
θ = -ω02/2β = 333(rad)，
转过的圈数为
n = θ/2π = 53r．
[注意]圈数等于角度的弧度数除以2π．
（2）当t = 2s，ω = ω0/2时，角加速度为
β = -ω0/2t = -7.5π．
力矩为
M = -Iβ，
摩擦力为
f = M/R = -mRβ/2 = (7.5)2π．
闸瓦对飞轮的压力为
N = f/μ，
需要的制动力为
F = N/2.5 = (7.5)2π = 176.7(N)．
2．33 一轻绳绕于r = 0.2m的飞轮边缘，以恒力F = 98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I = 0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P = 98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．
[解答]（1）恒力的力矩为
M = Fr = 19.6(N·m)，
对飞轮产生角加速度为
β = M/I = 39.2(rad·s-2)．
（2）方法一：用运动学公式．飞轮转过的角度为
θ = s/r = 25(rad)，
由于飞轮开始静止，根据公式ω2 = 2βθ，可得角速度为
= 44.27(rad·s-1)；
飞轮的转动动能为
Ek = Iω2/2 = 490(J)．
方法二：用动力学定理．拉力的功为
W = Fs = 490(J)，
根据动能定理，这就是飞轮的转动动能Ek．
根据公式Ek = Iω2/2，得角速度为
= 44.27(rad·s-1)．
(3)物体的质量为
m = P/g = 10(kg)．
设绳子的张力为T，则
P – T = ma，Tr = Iβ．
由于a = βr，可得
Pr = mr2β + Iβ，
解得角加速度为
= 21.8(rad·s-2)．
绳子的张力为
= 54.4(N)．
张力所做的功为
W` = Ts = 272.2(J)，
这就是飞轮此时的转动动能E`k．
飞轮的角速度为
= 33(rad·s-1)．
2．34 质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
[解答]圆盘对水平面的压力为
N = mg，
压在水平面上的面积为
S = πR2，
压强为
p = N/S = mg/πR2．
当圆盘滑动时，在盘上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为
dS = rdθdr，
对水平面的压力为
dN = pdS = prdrdθ，
所受的摩擦力为
df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
．
圆盘的转动惯量为
I = mR2/2，
角加速度大小为
，
负号表示其方向与角速度的方向相反．
根据转动公式ω2 = ω02 + 2βθ，当圆盘停止下来时ω = 0，所以圆盘转过的角度为
，
转过的圈数为
．
[注意]在圆盘上取一个细圆环，其面积为ds = 2πrdr，这样计算力矩等更简单。
2．35 一个轻质弹簧的倔强系数为k = 2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1 = 80g的物体相连，如力产所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r = 0.05m，质量为m = 100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h = 0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．
[解答]根据机械能守恒定律可列方程
，
其中I = mr2/2，ω = v/r，可得
2m1gh – kh2 = m1v2 + mv2/2，
解得
= 1.48(m·s-1)．
2．36 均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？
[解答]圆轮A对B的压力为
N = M1g，
两轮之间的摩擦力大小为
f = μN = μM1g，
摩擦力对A的力矩大小为
MA = fR1 = μM1gR1，
摩擦力对B的力矩大小为
MB = fR2 = μM1gR2，
设A和B的角加速度大小分别为βA和βB，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定理得方程
MA = IAβA，
即 βA = MA/IA．
同理可得
βB = MB/IB．
当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为
ωA = v/R1，
B的角速度为
ωB = v/R2．
根据转动运动学的公式得
ωA – ω = -βAt，ωB = βBt，
即 v/R1 – ω = -βAt，v/R2 = βBt，
化得
v - ωR1 = -βAR1t，v = βBR2t，
将后式减前式得
ωR1 = (R1βA + R2βB)t，
解得
经过的时间为
．
[注意]在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律．
如果A轮的轮面放在B轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样的问题时，既可以用转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解．
当它们之间没有滑动时，角动量为ω`，根据角动量守恒定律得
IAω = (IA+IB)ω`，
因此得
ω` = IAω/(IA + IB)．
（1）设R1≦R2，那么A轮压在B轮上的面积为
S = πR12，
压强为
p = M1g/S = M1g/πR12．
当A轮在B轮上产生滑动时，在A轮上取一半径为r、对应角为dθ面积元，其面积为
dS = rdθdr，
对B轮的压力为
dN = pdS = prdrdθ，
所受的摩擦力为
df = μdN = μprdrdθ，
其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为
dM = rdf = μpr2drdθ，
总力矩为
．
这是A轮所受的力矩，也是B轮所受的力矩．根据转动定理得B轮的角加速度为
βB = M/IB．
根据转动公式ω` = βBt，得时间为
，
即 ．
（2）如果R1≧R2，那么A轮压在B轮上的面积为
S = πR22，
压强为
p = M1g/S = M1g/πR22．
同样在A轮上取一面积元，力矩的积分上限就是R2．总力矩为
，
由此求得时间就变为
．
只有当R1 = R2时，两个时间才是相同的：．
2．37 均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．
[解答]在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为
dS = bdr．
当板的角速度ω时，面积元的速率为
v = ωr，
所受的阻力为
df = kv2dS = kω2r2bdr，
阻力产生的力矩为
dM = rdf = kω2r3bdr，
因此合力矩为
．
板绕转轴的转动惯量为I = ma2/3，其角加速度为
，
负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反．
由于β = dω/dt，可得转动的微分方程
，
分离变量得
，
积分得
．
当t = 0时，ω = ω0，所以C = -1/ω0，因此转动方程为
．
当ω = ω0/2时，解得时间为
．
2．38 一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
（1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
[解答]（1）碎片上抛的初速度为
v0 = ωR，
根据匀变速直线运动公式v2 – v02 = -2gh，
可得碎片上升的高度为
h = v02/2g =ω2R2/2g．
（2）余下部分的角速度仍为ω，但是转动惯量只有
，
所以角动量为
L = Iω = R2(M/2 – m)ω．
转动动能为
．
2．39 两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA = 60kg，mB = 70kg，它们速率分别为vA = 7m·s-1，vB = 6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时：
（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；
（2）系统的角速度；
（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？
[解答]（1）设质心距A的平行线为rA，距B的平行线为rB，则有
rA + rB = r，
根据质心的概念可得
mArA = mBrB，
解方程组得
，．
两运动员绕质心的角动量的方向相同，他们的总角动量为
= 630(kg·m2·s-1)．
（2）根据角动量守恒定律得
L = (IA + IB)ω，
其中IA和IB分别是两绕质心的转动惯量
IA = mArA2和IB = mBrB2．
角速度为
ω = L/(IA + IB) = 8.67(rad·s-1)．
（3）两人拉手前的总动能就是平动动能
= 2730(J)；
拉手后的总动能是绕质心的转动动能：
= 2730(J)，
可见：这一过程能量是守恒的．
[讨论]（1）角动量．根据上面的推导过程可得两人绕质心的总转动惯量为
，
角速度为
可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．
（2）损失的能量．两人的转动动能为
，
因此动能的变化量为
ΔE = Ek2 – Ek1
简化得
，
负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的．
2．40．一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．
[解答]以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．
棒绕质心的转动惯量为
Ic = ml2/12，
根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为
,
根据角动量守恒定律得
mv0l/4 = Iω0，
所以角速度为
．
第三章 狭义相对论
P143．
3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？
[解答]地球的半径约为
R = 6400千米 = 6.4×106(m)，
自转一圈的时间是
T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，
赤道上钟的线速度为
v = 2πR/T = 4.652×102(m·s-1)．
将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．
南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时
Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
，
可求得B钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时
Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)．
A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
，
可求得A钟的本征时为
，
因此时间差为
=1.898×105(s)．
在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差
，
由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
3．2 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
，
因此
，
可得夹角为
．
3．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
，
即 ，
可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为
Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
3．4 一个“光钟”由两个相距为L0的平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为．若将这个光钟横放在一个以速度行驶的火车上，使两镜面都与垂直，两镜面中心的连线与平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为
3．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
，
,（1）
由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
，
．（2）
由（2）之上式得它们的相对速度为
,（3）
将（2）之下式除以（2）之上式得
，
所以
= -0.577×10-8(s)．
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式，计算它们的相对速度．
3．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
和，
飞船上观察运动员的运动距离为
≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为
≈16.67(s)．
在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
3．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
≈6.67(s)．
空间间隔为
≈-1.6×109(m)．
3．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应，可得杆的本征长度为
= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
= 0.99796c．
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
= 3.363(m)．
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式，可得时间间隔为
= 4(s)．
3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为
ux = 0，uy = c．
星光在S`系中的速度分量为
星光在S`系中的速度为
，
即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船．
3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为
Ek = m0v2/2，
相对论动能为
E`k = mc2 – m0c2，
其中m为运动质量
．
根据题意得
，
设x = (v/c)2，方程可简化为
，
或 ，
平方得
1 = (1 – x2)(1 - x)，
化简得
x(x2 – x -1) = 0．
由于x不等于0，所以
x2 – x -1 = 0．
解得
，
取正根得速率为
= 0.786c．
（2）粒子的非相对论动量为
p = m0v，
相对论动量为
，
根据题意得方程
．
很容易解得速率为
= 0.866c．
3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek，
静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为
，
所以
，
由此得粒子的运动时为
．
还可得
，
解得速率为
．
粒子能够通过的距离为
= 24167.4(m)．
3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：．
[证明]根据上题的过程已得
，
将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
3．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为
Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)，
取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)．
如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΔE = 3.549977×10-13(J)．
