第十四章 稳恒电流的磁场
P117．
14．1 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B =？
[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：
，
圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁感应强度大小为
，
由于
dl = adφ，
积分得
．
OA和OD方向的直线在O点产生的磁感应强度为零．在AC段，电流元在O点产生的磁感应强度为
，
由于
l = bcot(π - θ) = -bcotθ，
所以
dl = bdθ/sin2θ；
又由于
r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，
可得
，
积分得
同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B3 = B2．O点总磁感应强度为
．
[讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为
，
当时，可得
．
（2）有限长直导线产生的磁感应大小为
．
对于AC段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于CD段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得
．
如果不用毕-萨定律，可直接引用由毕-萨定律所得出的结果．
14．2 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处．求圆心O处的磁感应强度B =？
[解答]在直线电流的磁感应强度公式中：
，
令θ1 = 0、θ2 = π/2，或者θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导线在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度
．
两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = μ0I/2πR．
半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为
Bx = μ0I/4R．
O点的磁感应强度为
．
场强大小为
，
与X轴的夹角为
．
14．3 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中心O处的磁感应强度B =？
[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁感应强度公式：
，
令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD在O产生的场强为
，
O点的磁感应强度为
，
方向垂直纸面向里．
14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场．
[证明]方法一：用二阶导数．一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：
．
设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为
，
．
方向相同，总场强为B = B1 + B2．
一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．
设k = μ0IR2/2，则
B对x求一阶导数得
，
求二阶导数得
，
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以
2a = R．
x = 0处的场强为
．
方法二：用二项式展开．将B1展开得
．
设，则
．
同理可得
．
当x很小时，二项式展开公式为
．
将B1和B2按二项式展开，保留二次项，总场强为
令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得
，
可知：O点附近为均强磁场．
14．5 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(h<<R)的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为i，求轴线上的磁感应强度B =？
[解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与i相同的电流补上了长缝，与i相反的电流大小为I = ih．
在轴线上产生的磁感应强度为
．
方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x坐标轴平分角α，α = h/R．
电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元
ds = Rdθ，
无限长直线电流为
dI = ids = iRdθ，
在轴线产生的磁感应强度大小为
，
两个分量分别为
，
．
积分得
；
．
By的方向沿着y方向．By的大小和方向正是无限长直线电流ih产生的磁感应强度．
14．6 在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B =？
[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外．
半圆的周长为
C = πR，
面电流线密度为
i = I/C = IπR．
在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为
dI = idl = Idφ/π，
在轴线上产生的磁感应强度为
，
方向与径向垂直．dB的两个分量为
dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．
积分得
，
．
由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度
B = By = 6.4×10-5(T)，
方向沿着y正向．
14．7 如图所示，宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布．求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度．
[解答]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流的线密度为
δ = I/a，
以板的下边缘为原点，在薄板上取一宽度为dl的通电导线，电流强度为
dI = δdl，
在P点产生磁感应强度为
，
磁场方向垂直纸面向外．由于每根电流产生的磁场方向相同，总磁场为
．
[讨论]当a趋于零时，薄板就变成直线，因此
，
这就是直线电流产生的磁感应强度的公式．
14．8 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B =？
[解答]四分之一圆的弧长为
C = πR/2，
单位弧长上线圈匝数为
n = N/C = 2N/πR．
在四分之一圆上取一弧元
dl = Rdθ，
线圈匝数为
dN = ndl = nRdθ，
环电流大小为
dI = IdN = nIRdθ．
环电流的半径为
y = Rsinθ，
离O点的距离为
x = Rcosθ，
在O点产生的磁感应强度为
，
方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为
．
14．9 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1 < R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动，里面圆环以每称n1转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为σ，求n1和n2的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零．
[解答]半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为
B = μ0I/2r．
在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为
dS = 2πrdr，
所带的电量为
dq = σdS = 2πσrdr，
圆环转动的周期为
T1 = 1/n1，
形成的电流元为
dI = dq/T1 = 2πn1σrdr．
薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为
dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1σdr，
圆环在圆心产生磁感应强度为
B1 = πμ0n1σ(R2-R1)．
同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为
B2 = πμ0n2σ(R4-R3)．
由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即：
πμ0n1σ(R2-R1) = πμ0n2σ(R4-R3)，
解得比值为
．
14．10 半径为R的无限长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不均匀，电流密度δ = kr，求：导体内磁感应强度？
[解答]在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，其面积为
dS = 2πrdr，
电流元为
dI = δdS = 2πkr2dr，
从0到r积分得薄环包围的电流强度为
Ir = 2πkr3/3；
从0到R积分得全部电流强度
I = 2πkR3/3，
因此Ir/I = r3/R3．
根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度
．
14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心O的磁感应强度B =？
[解答]圆盘面积为
S = πa2，
面电荷密度为
σ = Q/S = Q/πa2．
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为
dS = 2πrdr，
所带的电量为
dq = σdS = 2πσrdr．
薄圆环转动的周期为
T = 2π/ω，
形成的电流元为
dI = dq/T = ωσrdr．
薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2，
从0到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为
B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa．
如果圆盘带正电，则磁场方向向上．
14．12 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量．
[解答]电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为
．
在矩形中取一面积元
dS = ldx，
通过面积元的磁通量为
dΦ = BdS = Bldx，
通过线圈的磁通量为
=2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)．
14．13 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？
[解答]电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克．
电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：
f = evB = mv2/R，
所以
B = mv/eR．
电子轨道所包围的面积为
S = πR2，
磁通量为
Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)．
14．14 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流I从一导体流入，从另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示．求：
（1）磁感应强度B的分布；
（2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？
[解答]（1）导体圆柱的面积为
S = πR12，
面电流密度为
δ = I/S = I/πR12．
在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为
Sr = πr2，
包围的电流是
Ir = δSr = Ir2/R12．
根据安培环路定理
，
由于B与环路方向相同，积分得
2πrB = μ0Ir，
所以磁感应强度为
B = μ0Ir/2πR12，(0 < r < R1)．
在两导体之间作一半径为r的圆形环中，所包围的电流为I，根据安培环中定理可得
B = μ0I/2πr，(R1 < r < R2)．
在圆筒之外作一半径为r的圆形环中，由于圆柱和圆筒通过的电流相反，所包围的电流为零，根据安培环中定理可得
B = 0，(r > R2)．
（2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为
dS = ldr = dr，
方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为
dΦ = BdS = Bdr，
总磁通量为
．
14．15 如图所示，一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R – a，导体截有均匀分布的电流I．
（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；
（2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？
（1）[证明]导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为
．
长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．
如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为
S = πr2，
包围的电流为
ΣI = δS = πr2δ，
根据安培环路定理可得方程
2πrBr = μ0ΣI，
磁感应强度为
，
方向与矢径r垂直．
同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为
，
方向与矢径r'垂直．
设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为
．
根据余弦定理，如图可知：
，
由于φ = π - θ，所以
，
由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．
将δ和b代入公式得磁感应强度大小为
，
可以证明磁场的方向向上．
（2）[解答]长螺线管内部的场为
B =μ0nI，
与上式联立得
，
这就是a所满足的条件．
[注意]此题中的长孔中的磁场与习题12．13．中空腔中的电场情况非常类似．
14．16 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．
[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感应强度大小为
B = μ0I1/2πb，
作用力大小为
FAB = I2aB = μ0I1I2a/2πb，
方向向左．
三角形的三个内角
α = 60°，
在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为
dF = I2dlB，
两个分量分别为
dFx = dFcosα
dFy = dFsinα，
与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．
由于
dl = dr/sinα，
所以
dFx = I2drBcotα，
积分得
．
作用在三角形线圈上的力的大小为
F = FAB – 2Fx，
方向向左．
14．17 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．
[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．
电流元所受的力的大小为
dF = I2dlB，
其中
dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，
而
r = Rcosθ，
所以向右的分别为
dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，
积分得
，
电流I2所受的合力大小为
F = 4Fx = μ0I1I2，
方向向右．
14．18 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？
[解答]圆柱体的重力大小为
G = mg，
力臂为
L = Rsinθ，
重力矩为
Mg = GL = mgRsinθ，
方向垂直纸面向里．
线圈面积为
S = 2Rl，
磁矩大小为
pm = NIS，
方向与B成θ角，所以磁力矩大小为
Mm = |pm × B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ，
方向应该垂直纸面向外．
圆柱不滚动时，两力矩平衡，即
NI2RlBsinθ = mgRsinθ，
解得电流强度为
I = mg/2NlB = 5(A)．
14．19 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：
（1）O点的磁感应强度B；
（2）磁矩pm；
（3）若a>>b，求B0与pm．
[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω．
在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为
dq = λdr，
形成的圆电流元为
dI = dq/T = ωλdr/2π，
在圆心O点产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr，
整个直线在O点产生磁感应强度为
，
如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．
（2）圆电流元包含的面积为
S = πr2，
形成的磁矩为
dpm = SdI = ωλr2dr/2，
积分得
．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
，
所以
．
．
14．20 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：
（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？
（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．
[解答]（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为
S = πR2，
磁矩为
pm = NIS = πR2NI，
磁力矩为
M = pmBsinθ．
当θ = π/2时，磁力矩最大
Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)．
（2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得
sinθ = 0.5，θ = 30°或150°．
14．21 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求：
（1）电子的速度为多少？
（2）B的方向如何？
[解答]电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为
v1 = vcosθ，
垂直速度为
v2 = vsinθ．
由
R = mv2/eB，
得
v2 = eBR/m．
由
h = v1T，
得
v1 = h/T = heB/2πm，
因此速度为
= 7.75×106(m·s-1)；
由
= 2.51，
得
θ = 68.3° = 68°18′．
14．22 一银质条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B = 1.5T，如图所示．设电流强度I = 200A，自由电子数n = 7.4×1028个·m-3，试求：
（1）电子的漂移速度；
（2）霍尔电压为多少？
[解答]（1）电流密度为
δ = ρv，
其中电荷的体密度为
ρ = ne.
电流通过的横截面为
S = y1z1，
电流强度为
I =δS = neSv，
得电子的漂移速度为
=8.45×10-4(m·s-1)．
（2）霍尔系数为
= 8.44×10-11(m3·C-1)，
霍尔电压为
= 2.53×10-5(V)．
P117．
14．1 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B =？
[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定律：
，
圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁感应强度大小为
，
由于
dl = adφ，
积分得
．
OA和OD方向的直线在O点产生的磁感应强度为零．在AC段，电流元在O点产生的磁感应强度为
，
由于
l = bcot(π - θ) = -bcotθ，
所以
dl = bdθ/sin2θ；
又由于
r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，
可得
，
积分得
同理可得CD段在O点产生的磁感应强度B3 = B2．O点总磁感应强度为
．
[讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为
，
当时，可得
．
（2）有限长直导线产生的磁感应大小为
．
对于AC段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于CD段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得
．
如果不用毕-萨定律，可直接引用由毕-萨定律所得出的结果．
14．2 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处．求圆心O处的磁感应强度B =？
[解答]在直线电流的磁感应强度公式中：
，
令θ1 = 0、θ2 = π/2，或者θ1 = π/2、θ2 = π，就得半无限长导线在端点半径为R的圆心上产生的磁感应强度
．
两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = μ0I/2πR．
半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为
Bx = μ0I/4R．
O点的磁感应强度为
．
场强大小为
，
与X轴的夹角为
．
14．3 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中心O处的磁感应强度B =？
[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁感应强度公式：
，
令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD在O产生的场强为
，
O点的磁感应强度为
，
方向垂直纸面向里．
14．7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场．
[证明]方法一：用二阶导数．一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：
．
设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为
，
．
方向相同，总场强为B = B1 + B2．
一个线圈产生的磁感应强度的曲线是凸状，两边各有一个拐点．两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点．当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零．
设k = μ0IR2/2，则
B对x求一阶导数得
，
求二阶导数得
，
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以
2a = R．
x = 0处的场强为
．
方法二：用二项式展开．将B1展开得
．
设，则
．
同理可得
．
当x很小时，二项式展开公式为
．
将B1和B2按二项式展开，保留二次项，总场强为
令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得
，
可知：O点附近为均强磁场．
14．5 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(h<<R)的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为i，求轴线上的磁感应强度B =？
[解答]方法一：补缺法．导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零．割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与i相同的电流补上了长缝，与i相反的电流大小为I = ih．
在轴线上产生的磁感应强度为
．
方法二：积分法．在导体的截面上建立坐标，x坐标轴平分角α，α = h/R．
电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元
ds = Rdθ，
无限长直线电流为
dI = ids = iRdθ，
在轴线产生的磁感应强度大小为
，
两个分量分别为
，
．
积分得
；
．
By的方向沿着y方向．By的大小和方向正是无限长直线电流ih产生的磁感应强度．
14．6 在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B =？
[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外．
半圆的周长为
C = πR，
面电流线密度为
i = I/C = IπR．
在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为
dI = idl = Idφ/π，
在轴线上产生的磁感应强度为
，
方向与径向垂直．dB的两个分量为
dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．
积分得
，
．
由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度
B = By = 6.4×10-5(T)，
方向沿着y正向．
14．7 如图所示，宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布．求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度．
[解答]电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流的线密度为
δ = I/a，
以板的下边缘为原点，在薄板上取一宽度为dl的通电导线，电流强度为
dI = δdl，
在P点产生磁感应强度为
，
磁场方向垂直纸面向外．由于每根电流产生的磁场方向相同，总磁场为
．
[讨论]当a趋于零时，薄板就变成直线，因此
，
这就是直线电流产生的磁感应强度的公式．
14．8 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B =？
[解答]四分之一圆的弧长为
C = πR/2，
单位弧长上线圈匝数为
n = N/C = 2N/πR．
在四分之一圆上取一弧元
dl = Rdθ，
线圈匝数为
dN = ndl = nRdθ，
环电流大小为
dI = IdN = nIRdθ．
环电流的半径为
y = Rsinθ，
离O点的距离为
x = Rcosθ，
在O点产生的磁感应强度为
，
方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为
．
14．9 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1 < R2 < R3 < R4)，外面圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动，里面圆环以每称n1转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为σ，求n1和n2的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零．
[解答]半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为
B = μ0I/2r．
在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为
dS = 2πrdr，
所带的电量为
dq = σdS = 2πσrdr，
圆环转动的周期为
T1 = 1/n1，
形成的电流元为
dI = dq/T1 = 2πn1σrdr．
薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为
dB1 = μ0dI/2r = πμ0n1σdr，
圆环在圆心产生磁感应强度为
B1 = πμ0n1σ(R2-R1)．
同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为
B2 = πμ0n2σ(R4-R3)．
由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即：
πμ0n1σ(R2-R1) = πμ0n2σ(R4-R3)，
解得比值为
．
14．10 半径为R的无限长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不均匀，电流密度δ = kr，求：导体内磁感应强度？
[解答]在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，其面积为
dS = 2πrdr，
电流元为
dI = δdS = 2πkr2dr，
从0到r积分得薄环包围的电流强度为
Ir = 2πkr3/3；
从0到R积分得全部电流强度
I = 2πkR3/3，
因此Ir/I = r3/R3．
根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度
．
14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心O的磁感应强度B =？
[解答]圆盘面积为
S = πa2，
面电荷密度为
σ = Q/S = Q/πa2．
在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为
dS = 2πrdr，
所带的电量为
dq = σdS = 2πσrdr．
薄圆环转动的周期为
T = 2π/ω，
形成的电流元为
dI = dq/T = ωσrdr．
薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2，
从0到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为
B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa．
如果圆盘带正电，则磁场方向向上．
14．12 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量．
[解答]电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为
．
在矩形中取一面积元
dS = ldx，
通过面积元的磁通量为
dΦ = BdS = Bldx，
通过线圈的磁通量为
=2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)．
14．13 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？
[解答]电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克．
电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：
f = evB = mv2/R，
所以
B = mv/eR．
电子轨道所包围的面积为
S = πR2，
磁通量为
Φ = BS = πmvR/e =2.14×10-9(Wb)．
14．14 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流I从一导体流入，从另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示．求：
（1）磁感应强度B的分布；
（2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？
[解答]（1）导体圆柱的面积为
S = πR12，
面电流密度为
δ = I/S = I/πR12．
在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为
Sr = πr2，
包围的电流是
Ir = δSr = Ir2/R12．
根据安培环路定理
，
由于B与环路方向相同，积分得
2πrB = μ0Ir，
所以磁感应强度为
B = μ0Ir/2πR12，(0 < r < R1)．
在两导体之间作一半径为r的圆形环中，所包围的电流为I，根据安培环中定理可得
B = μ0I/2πr，(R1 < r < R2)．
在圆筒之外作一半径为r的圆形环中，由于圆柱和圆筒通过的电流相反，所包围的电流为零，根据安培环中定理可得
B = 0，(r > R2)．
（2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为
dS = ldr = dr，
方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为
dΦ = BdS = Bdr，
总磁通量为
．
14．15 如图所示，一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R – a，导体截有均匀分布的电流I．
（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；
（2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？
（1）[证明]导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为
．
长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．
如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为
S = πr2，
包围的电流为
ΣI = δS = πr2δ，
根据安培环路定理可得方程
2πrBr = μ0ΣI，
磁感应强度为
，
方向与矢径r垂直．
同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为
，
方向与矢径r'垂直．
设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为
．
根据余弦定理，如图可知：
，
由于φ = π - θ，所以
，
由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．
将δ和b代入公式得磁感应强度大小为
，
可以证明磁场的方向向上．
（2）[解答]长螺线管内部的场为
B =μ0nI，
与上式联立得
，
这就是a所满足的条件．
[注意]此题中的长孔中的磁场与习题12．13．中空腔中的电场情况非常类似．
14．16 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力．
[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感应强度大小为
B = μ0I1/2πb，
作用力大小为
FAB = I2aB = μ0I1I2a/2πb，
方向向左．
三角形的三个内角
α = 60°，
在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为
dF = I2dlB，
两个分量分别为
dFx = dFcosα
dFy = dFsinα，
与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反．
由于
dl = dr/sinα，
所以
dFx = I2drBcotα，
积分得
．
作用在三角形线圈上的力的大小为
F = FAB – 2Fx，
方向向左．
14．17 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．
[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．
电流元所受的力的大小为
dF = I2dlB，
其中
dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，
而
r = Rcosθ，
所以向右的分别为
dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，
积分得
，
电流I2所受的合力大小为
F = 4Fx = μ0I1I2，
方向向右．
14．18 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内．斜面倾角为θ，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上．如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？
[解答]圆柱体的重力大小为
G = mg，
力臂为
L = Rsinθ，
重力矩为
Mg = GL = mgRsinθ，
方向垂直纸面向里．
线圈面积为
S = 2Rl，
磁矩大小为
pm = NIS，
方向与B成θ角，所以磁力矩大小为
Mm = |pm × B| = pmBsinθ = NI2RlBsinθ，
方向应该垂直纸面向外．
圆柱不滚动时，两力矩平衡，即
NI2RlBsinθ = mgRsinθ，
解得电流强度为
I = mg/2NlB = 5(A)．
14．19 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：
（1）O点的磁感应强度B；
（2）磁矩pm；
（3）若a>>b，求B0与pm．
[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω．
在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为
dq = λdr，
形成的圆电流元为
dI = dq/T = ωλdr/2π，
在圆心O点产生的磁感应强度为
dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr，
整个直线在O点产生磁感应强度为
，
如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．
（2）圆电流元包含的面积为
S = πr2，
形成的磁矩为
dpm = SdI = ωλr2dr/2，
积分得
．
如果λ > 0，pm的方向垂直纸面向外．
（3）当a>>b时，因为
，
所以
．
．
14．20 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：
（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？
（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半．
[解答]（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为
S = πR2，
磁矩为
pm = NIS = πR2NI，
磁力矩为
M = pmBsinθ．
当θ = π/2时，磁力矩最大
Mm = pmB = πR2NIB = 0.18(N·m)．
（2）由于M = Mmsinθ，当M = Mm/2时，可得
sinθ = 0.5，θ = 30°或150°．
14．21 一个电子在B = 20×10-4T的磁场中，沿半径R = 2cm的螺旋线运动，螺距h = 5cm，如图所示，求：
（1）电子的速度为多少？
（2）B的方向如何？
[解答]电子带负电，设速度v的方向与磁力线的负方向成θ角，则沿着磁力线方向的速度为
v1 = vcosθ，
垂直速度为
v2 = vsinθ．
由
R = mv2/eB，
得
v2 = eBR/m．
由
h = v1T，
得
v1 = h/T = heB/2πm，
因此速度为
= 7.75×106(m·s-1)；
由
= 2.51，
得
θ = 68.3° = 68°18′．
14．22 一银质条带，z1 = 2cm，y1 = 1mm．银条置于Y方向的均匀磁场中B = 1.5T，如图所示．设电流强度I = 200A，自由电子数n = 7.4×1028个·m-3，试求：
（1）电子的漂移速度；
（2）霍尔电压为多少？
[解答]（1）电流密度为
δ = ρv，
其中电荷的体密度为
ρ = ne.
电流通过的横截面为
S = y1z1，
电流强度为
I =δS = neSv，
得电子的漂移速度为
=8.45×10-4(m·s-1)．
（2）霍尔系数为
= 8.44×10-11(m3·C-1)，
霍尔电压为
= 2.53×10-5(V)．
