第十章 气体分子运动论
P352
10．1 已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数．
[解答]根据气体压强公式
p = nkT，
其中k = 1.38×10-23J·K-1称为玻尔兹曼常数．
当T = 300K时，气体单位体积内的分子数为
n = p/kT = 2.415×1025(m-3)．
10．2 一个温度为17℃、容积11.2×10-3m3的真空系统已抽到其真空度为1.33×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来．烘烤后容器内压强为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？
[解答]烘烤前容器内单位体积内的分子为
n1 = p1/kT1 = 3.32×1017(m-3)，
烘烤后容器内单位体积内的分子为
n2 = p2/kT2 = 1.68×1020(m-3)．
器壁原来吸附的分子数为
N = (n2 – n1)V = 1.88×1018．
10．3 已知275K和1.00×103Pa条件下气体的密度ρ = 1.24×10-5g·cm-3，求：
（1）气体的方均根速率；
（2）气体的摩尔质量μ，并指出是什么气体．
[解答]（1）气体的密度为
ρ = 1.24×10-2(kg·m-3)，
根据气体压强和能量的公式，得气体的方均根速度为
= 491.87(m·s-1)．
（2）根据理想气体状态方程
，
由于气体密度为ρ = M/V，所以方程可变为
，
气体的摩尔质量为
μ = ρRT/p = 0.0283(kg)．
这种气体是氮气N2．
10．4 当温度为0℃时，求：
（1）N2分子的平均平动动能和平均转动动能；
（2）7gN2气体的内能．、
[解答]（1）N2分子有t = 3个平动自由度，其平均平动动能为
= 5.65×10-21(J)．
将N2分子当作刚体，它就还有r = 2个转动自由度，其平均转动动能为
= 3.77×10-21(J)．
（2）N2分子的摩尔质量为μ = 0.028kg，
质量M = 0.007kg的N2分子的摩尔数为
n0 = M/μ = 0.25，
分子总数为
N = n0NA，
其中NA = 6.02×1023为阿佛伽德罗常数，
而气体普适常量
R = kNA = 8.31(J·K-1·mol-1)．
N2分子的自由度为i = t + r = 5，
气体的内能为
= 1.417×103(J)．
10．5 一个能量为1.6×10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？
[解答]氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自由度为
i = t = 3．
当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式可得气体升高的温度为
= 1.28×10-6(K)．
10．6 某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求：
（1）质子的平均动能是多少？
（2）质子的方均根速率多大？
[解答]（1）质子的平动自由度为 t = 3，平均平动动能为
= 2.07×10-15(J)．
（2）质子的质量为
mp = 1.67261×1027(kg)，
由于，所以质子的方均根速率为
= 1.573×106(m·s-1)．
10．7 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K．两种气体的压强均为p0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？
[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自由度为i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为i2 = 5．
隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为
，．
隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为
．
这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有
i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T．
由于压强
，
所以
；
同理可得
．
将N1和N2的公式代入上面公式可得
，
约去公因子，可得混合气体的温度为
= 284.4(K)．
混合气体的压强为
= 1.0275 p0．
10．8 将（10.19）式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x = v/vp，若已知，试计算：
（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？
（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？
（3）参照表11.1，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间．
[解答] 理想气体分子数占分子总数的比率为
dN/N = f(v)dv，
其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数：
．
设x = v/vp，其中，则
dv = vpdx，
因此速率分为
dN/N = g(x)dx，
其中．
（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为
，
设，则
即 ，
所以
= 0.4276 = 42.76%．
（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为
= 0.5724 = 57.24%．
（3）对于氧气分子，速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为
，
其中m表示氧分子的质量．用m`表示氢分子的质量，则m = 16m`，对于氢分子的同一比率则有
，
取v` = 4v，可得
，
可见：氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同．
从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α2倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同．
10．9,由10．8题结果，求速率在0.99vp到1.01vp之间的分子数占分子总数的百分比．
[解答] 分子数比率为
，
其中．
利用中值定理得
= 0.0166 = 1.66%．
10.10暂略
10．11 已知f(v)是麦克斯韦分子速率分布函数，说明以下各式物理意义．
（1）f(v)dv；
（2）nf(v)dv，n为分子数密度；
（3）；
（4），vp为最可几速率；
（5）．
[解答]（1）由公式dN/N = f(v)dv可知：f(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数的比率dN/N．
（2）由于n = N/V，可得ndN/N = dN/V，因此nf(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数密度．
（3）表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率．
（4）表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率．
（5）表示分子速率大于最可几速率的速率平方的平均值．
10．12 质量为6.2×10-14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1.4cm·s-1．由这些结果计算阿佛加德罗常数NA．
[解答]当粒子平动时，其平均平动动能为
，
由此得阿氏常数为
= 6.1545×1023(mol-1)．
10.13暂略
10．14 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%．设空气温度为0℃，空气的平均摩尔质量为0.028 9kg·mol-1．
[解答] 根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系
．
其中m是一个分子的质量．
用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为μ = NAm，气体的普适常数为R = k.NA．压强公式可表示为
．
高度为
= 2304(m)．
10.15,10.16暂略
10．17 在标准状态下CO2气体分子的平均自由程= 6.29×10-8m，求两次碰撞之间的平均时间和CO2气体分子的有效直径．
[解答] C的原子量是12，O的原子量是16，CO2的分子量是44，摩尔质量为μ = 0.044kg·mol-1，其平均速率为
= 362.3(m·s-1)．
两次碰撞之间的平均时间为
= 1.736×10-10(s)．
根据公式，可得CO2气体分子的有效直径为
= 3.648×10-10(m)．
10.18,10.19暂略
10．20 容器贮有O2气，其压强为1.013×105Pa，温度为27℃，有效直径为d = 2.9×10-10m，求：
（1）单位体积中的分子数n；
（2）氧分子质量m；
（3）气体密度ρ；
（4）分子间平均距离l；
（5）最可几速率vp；
（6）平均速率；
（7）方均根速率；
（8）分子的平均总动能；
（9）分子平均碰撞频率；
（10）分子平均自由程．
[解答]（1）由p = nkT得单位体积中的分子数为
n = p/kT = 2.45×10-25(m-3)．
（2）氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 1.66055×10-27kg，分子的质量为
m = 32u = 5.31×10-26(kg),
（3）根据理想气体状态方程，氧的摩尔质量μ = 0.032 kg·mol-1，其密度为
= 1.30(kg·m-3)．
（4）一个分子占有体积为v = 1/ n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为
l = (1/n)1/3 = 3.445×10-9(m)．
（5）最可几速率为
= 394.7(m·s-1)．
（6）平均速率为
= 445.4(m·s-1)．
（7）方均根速率为
= 483.5(m·s-1)．
（8）分子的自由度为i = 5，平均总动能为
= 1.035×10-20(J)．
（9）分子平均碰撞频率为
= 4.07×109(s-1)．
（10）分子平均自由程为
= 1.09×10-7(m)．
10．21 设氢的范德瓦耳斯常量b值为1mol气体体积总和的4倍．将气体分子看作刚球，试计算H2分子的直径．（对于H2，b = 2.66×10-5m3·mol-1）．
[解答] 1mol气体有NA = 6.02×1023个分子，设分子直径为d，将分子当作刚性球体，则有，可解得分子直径为
= 2.76×10-10(m)．
10．22 1mol气体在0℃时的体积为0.55L，试用范德瓦耳斯方程计算它的压强．再将它看作理想气体，压强又为多少？（a = 0.364Pa·m6·mol-1，b = 4.27×10-5m3·mol-1）
[解答]气体体积为v = 0.55×10-3m-3．根据范氏方程
，
可得压强为
= 3.67×106(Pa)．
而理想气体的压强为
= 4.12×106(Pa)．
第11章 热力学基本原理
P390
11．1 一系统由如图所示的状态a沿abc到达c，有350J热量传入系统，而系统对外做功126J．
（1）经adc，系统对外做功42J，问系统吸热多少？
（2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？
[解答]（1）当系统由状态a沿abc到达c时，根据热力学第一定律，吸收的热量Q和对外所做的功A的关系是
Q = ΔE + A，
其中ΔE是内能的增量．Q和A是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而ΔE是状态量，与系统经历的过程无关．
当系统沿adc路径变化时，可得
Q1 = ΔE1 + A1，
这两个过程的内能的变化是相同的，即
ΔE1 = ΔE，
将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为
Q1 = Q + A1 - A = 266(J)．
（2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，可得
Q2 = ΔE2 + A2，
其中，ΔE2 = -ΔE，A2 = -84(J)，可得
Q2 = -(Q – A) + A2 = -308(J)，
可见：系统放射热量，传递热量的大小为308J．
11．2 1mol氧气由状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次沿1→m→2路径，另一次沿1→2直线路径．试分别求出这两个过程中系统吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2 - E1．
[解答]根据理想气体状态方程pV = RT，可得气体在状态1和2的温度分别为
T1 = p1V1/R和T2 = p2V2．
氧气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以其状态从1到2不论从经过什么路径，内能的变化都是
= 7.5×103(J)．
系统状态从1→m的变化是等压变化，对外所做的功为
= 8.0×103(J)．
系统状态从m→2的变化是等容变化，对外不做功．因此系统状态沿1→m→2路径变化时，对外做功为8.0×103J；吸收的热量为
Q = ΔE + A = 1.55×104(J)．
系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积，即
= 6.0×103(J)．
吸收的热量为
Q = ΔE + A = 1.35×104(J)．
11．3 1mol范氏气体，通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2，求气体在此过程中所做的功？
[解答] 1mol范氏气体的方程为
，
通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2时气体所做的功为
．
11．4 1mol氢在压强为1.013×105Pa，温度为20℃时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态：
（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；
（2）先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80℃．
试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量．将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果．
[解答]氢气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是
= 1.2465×103(J)．
（1）气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为
= 2.0333×103(J)，
所吸收的热量为
Q2 = ΔE + A2 = 3.2798×103(J)．
（2）气体先做等温变化时，对外所做的功为
= 1.6877×103(J)，
所吸收的热量为
Q1 = ΔE + A1 = 2.9242×103(J)．
如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些．
11．5 为了测定气体的γ（γ=Cp/CV），可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0，V0和p0．用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样．第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，p1；第二次保持压强p0不变，而温度和体积则变为T2，V2，证明：
．
[证明]定容摩尔热容为
，
在本题中为
CV = ΔQ/(T1 – T0)；
定压摩尔热容为
，
在本题中为
Cp = ΔQ/(T2 – T0)．
对于等容过程有
p1/T1 = p0/T0，
所以
T1 = T0p1/p0；
对于等压过程有
V2/T2 = V0/T0，
所以
T2 = T0V2/V0．
因此
,证毕．
11.6暂略
11．7 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn = 常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数．
（1）说明n = 0，1，γ和∞各是什么过程．
（2）证明：多方过程中理想气体对外做功：．
（3）证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为：，
并就此说明（1）中各过程的值．
（1）[说明]当n = 0时，p为常数，因此是等压过程；
当n = 1时，根据理想气体状态方程pV = RT，温度T为常数，因此是等温过程；
当n = γ时表示绝热过程；
当n =∞时，则有p1/nV = 常数，表示等容过程．
（2）[证明]对于多方过程有
pVn = p1V1n = p2V2n = C(常数)，
理想气体对外所做的功为
．证毕．
（2）[证明]对于一摩尔理想气体有
pV = RT，
因此气体对外所做的功可表示为
，
气体吸收的热量为
Q = ΔE + A
= ,
摩尔热容量为
．证毕．
11．8 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，，气体温度升高1℃．试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？
[解答]单原子分子的自由度为i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为
= 12.465(J)，
10mol气体内能的增量为124.65J．
气体对外所做的功为A = - 209J，所以气体吸收的热量为
Q = ΔE + A = -84.35(J)．
1摩尔气体所吸收的热量为热容为-8.435J，所以摩尔热容为
C = -8.435(J·mol-1·K-1)．
11．9 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压过程回到状态A．
（1）A→B，B→C，C→A，各过程中系统对外所做的功A，内能的增量ΔE以及所吸收的热量Q．
（2）整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量（各过程吸热的代数和）．
[解答]单原子分子的自由度i = 3．
（1）在A→B的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即
AAB = (pA + pB)(VB – VA)/2 = 200(J)，
内能的增量为
= 750(J)．
吸收的热量为
QAB = ΔEAB + AAB = 950(J)．
B→C是等容过程，系统对外不做功．内能的增量为
= -600(J)．
吸收的热量为
QBC = ΔEBC + ABC = -600(J)，
就是放出600J的热量．
C→A是等压过程，系统对外做的功为
ACA = pA(VA – VC) = -100(J)．
内能的增量为
= -150(J)．
吸收的热量为
QCA = ΔECA + ACA = -250(J)，
也就是放出250J的热量．
（2）对外做的总功为
A = AAB + ABC + ACA = 100(J)．
吸收的总热量为
Q = QAB + QBC + QCA = 100(J)．
由此可见：当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功．
11．10 1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的的可逆循环，连接ac两点的曲线Ⅲ的方程为p = p0V2/V02，a点的温度为T0．
（1）以T0，R表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ过程中气体吸收的热量．
（2）求此循环的效率．
[解答]由题可知：p0V0 = RT0．
（1）I是等容过程，系统不对外做功，内能的变化为
．
吸收的热量为
QI = ΔEI = 12RT0．
II是等容过程，根据III的方程，当pc = 9p0时，Vc = 3V0．系统对外所做的功为
AII = pb(Vc - Vb) = 9p02V0 = 18RT0．
内能的变化为
．
吸收的热量为
QII = ΔEII + AII = 45RT0．
在过程III中，系统对外所做的功为
．
内能的变化为
．
吸收的热量为
QIII = ΔEIII + AIII = -143RT0/3．
（2）系统对外做的总功为
A = AI + AII + AIII = 28RT0/3，
系统从高温热源吸收的热量为
Q1 = QI + QII = 57RT0，
循环效率为
= 16.37%．
11．11 1mol理想气体在400K和300K之间完成卡诺循环．在400K等温线上，初始体积为1×10-3m3，最后体积为5×10-3m3．试计算气体在此循环中所做的功及从高温热源所吸收的热量和向低温热源放出的热量．
[解答] 卡诺循环由气体的四个变化过程组成，等温膨胀过程，绝热膨胀过程，等温压缩过程，绝热压缩过程．
气体在等温膨胀过程内能不改变，所吸收的热量全部转化为对外所做的功，即
= 5.35×103(J)．
气体在等温压缩过程内能也不改变，所放出的热量是由外界对系统做功转化来的，即
，
利用两个绝热过程，可以证明
V4/V3 = V2/V1，
可得
Q2 = 4.01×103(J)．
气体在整个循环过程中所做的功为
A = Q1 - Q2 = 1.34×103(J)．
11.12暂略
11．13 一热机在1000K和300K的两热源之间工作，如果
（1）高温热源提高100K，
（2）低温热源降低100K，
从理论上说，哪一种方案提高的热效率高一些？为什么？
[解答]（1）热机效率为
η = 1 – T2/T1，
提高高温热源时，效率为
η1 = 1 – T2/(T1 + ΔT)，
提高的效率为
= 2.73%．
（2）降低低温热源时，效率为
η2 = 1 – (T2 - ΔT)/T1，
提高的效率为
= ΔT/T = 10%．
可见：降低低温热源更能提高热机效率．对于温度之比T2/T1，由于T2 < T1，显然，分子减少一个量比分母增加同一量要使比值降得更大，因而效率提得更高．
11．14 使用一制冷机将1mol，105Pa的空气从20℃等压冷却至18℃，对制冷机必须提供的最小机械功是多少？设该机向40℃的环境放热，将空气看作主要由双原子分子组成．
[解答]空气对外所做的功为
= p(V2 – V1) = R(T2 – T1)，
其中T2 = 291K，T1 = 293K．空气内能的增量为
，
其中i表示双原子分子的自由度：i = 5．空气吸收的热量为
Q = ΔE + A == -58.17(J)．
负号表示空气放出热量．因此，制冷机从空气中吸收的热量为
Q2 = -Q = 58.17(J)．
空气是低温热源，为了简化计算，取平均温度为
T`2 = (T2 + T1)/2 = 292(K)；
环境是高温热源，温度为
T`1 = 313(K)．
欲求制冷机提供的最小机械功，就要将制冷当作可逆卡诺机，根据卡诺循环中的公式
，
可得该机向高温热源放出的热量为
= 62.35(J)，
因此制冷机提供的最小机械功为
W = Q1 - Q2 = 4.18(J)．
[注意]由于低温热源的温度在变化，所以向高温热源放出的热量的微元为
，
其中，因此
，
积分得制冷机向高温热源放出的热量为
= 62.35(J)，
与低温热源取温度的平均值的计算结果相同（不计小数点后面2位以后的数字）．
2003-5-17拟
2003-5-29改
P352
10．1 已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数．
[解答]根据气体压强公式
p = nkT，
其中k = 1.38×10-23J·K-1称为玻尔兹曼常数．
当T = 300K时，气体单位体积内的分子数为
n = p/kT = 2.415×1025(m-3)．
10．2 一个温度为17℃、容积11.2×10-3m3的真空系统已抽到其真空度为1.33×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来．烘烤后容器内压强为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？
[解答]烘烤前容器内单位体积内的分子为
n1 = p1/kT1 = 3.32×1017(m-3)，
烘烤后容器内单位体积内的分子为
n2 = p2/kT2 = 1.68×1020(m-3)．
器壁原来吸附的分子数为
N = (n2 – n1)V = 1.88×1018．
10．3 已知275K和1.00×103Pa条件下气体的密度ρ = 1.24×10-5g·cm-3，求：
（1）气体的方均根速率；
（2）气体的摩尔质量μ，并指出是什么气体．
[解答]（1）气体的密度为
ρ = 1.24×10-2(kg·m-3)，
根据气体压强和能量的公式，得气体的方均根速度为
= 491.87(m·s-1)．
（2）根据理想气体状态方程
，
由于气体密度为ρ = M/V，所以方程可变为
，
气体的摩尔质量为
μ = ρRT/p = 0.0283(kg)．
这种气体是氮气N2．
10．4 当温度为0℃时，求：
（1）N2分子的平均平动动能和平均转动动能；
（2）7gN2气体的内能．、
[解答]（1）N2分子有t = 3个平动自由度，其平均平动动能为
= 5.65×10-21(J)．
将N2分子当作刚体，它就还有r = 2个转动自由度，其平均转动动能为
= 3.77×10-21(J)．
（2）N2分子的摩尔质量为μ = 0.028kg，
质量M = 0.007kg的N2分子的摩尔数为
n0 = M/μ = 0.25，
分子总数为
N = n0NA，
其中NA = 6.02×1023为阿佛伽德罗常数，
而气体普适常量
R = kNA = 8.31(J·K-1·mol-1)．
N2分子的自由度为i = t + r = 5，
气体的内能为
= 1.417×103(J)．
10．5 一个能量为1.6×10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？
[解答]氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自由度为
i = t = 3．
当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式可得气体升高的温度为
= 1.28×10-6(K)．
10．6 某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求：
（1）质子的平均动能是多少？
（2）质子的方均根速率多大？
[解答]（1）质子的平动自由度为 t = 3，平均平动动能为
= 2.07×10-15(J)．
（2）质子的质量为
mp = 1.67261×1027(kg)，
由于，所以质子的方均根速率为
= 1.573×106(m·s-1)．
10．7 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K．两种气体的压强均为p0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？
[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自由度为i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为i2 = 5．
隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为
，．
隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为
．
这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有
i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T．
由于压强
，
所以
；
同理可得
．
将N1和N2的公式代入上面公式可得
，
约去公因子，可得混合气体的温度为
= 284.4(K)．
混合气体的压强为
= 1.0275 p0．
10．8 将（10.19）式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x = v/vp，若已知，试计算：
（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？
（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？
（3）参照表11.1，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间．
[解答] 理想气体分子数占分子总数的比率为
dN/N = f(v)dv，
其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数：
．
设x = v/vp，其中，则
dv = vpdx，
因此速率分为
dN/N = g(x)dx，
其中．
（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为
，
设，则
即 ，
所以
= 0.4276 = 42.76%．
（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为
= 0.5724 = 57.24%．
（3）对于氧气分子，速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为
，
其中m表示氧分子的质量．用m`表示氢分子的质量，则m = 16m`，对于氢分子的同一比率则有
，
取v` = 4v，可得
，
可见：氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同．
从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α2倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同．
10．9,由10．8题结果，求速率在0.99vp到1.01vp之间的分子数占分子总数的百分比．
[解答] 分子数比率为
，
其中．
利用中值定理得
= 0.0166 = 1.66%．
10.10暂略
10．11 已知f(v)是麦克斯韦分子速率分布函数，说明以下各式物理意义．
（1）f(v)dv；
（2）nf(v)dv，n为分子数密度；
（3）；
（4），vp为最可几速率；
（5）．
[解答]（1）由公式dN/N = f(v)dv可知：f(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数的比率dN/N．
（2）由于n = N/V，可得ndN/N = dN/V，因此nf(v)dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数密度．
（3）表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率．
（4）表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率．
（5）表示分子速率大于最可几速率的速率平方的平均值．
10．12 质量为6.2×10-14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为1.4cm·s-1．由这些结果计算阿佛加德罗常数NA．
[解答]当粒子平动时，其平均平动动能为
，
由此得阿氏常数为
= 6.1545×1023(mol-1)．
10.13暂略
10．14 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%．设空气温度为0℃，空气的平均摩尔质量为0.028 9kg·mol-1．
[解答] 根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系
．
其中m是一个分子的质量．
用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为μ = NAm，气体的普适常数为R = k.NA．压强公式可表示为
．
高度为
= 2304(m)．
10.15,10.16暂略
10．17 在标准状态下CO2气体分子的平均自由程= 6.29×10-8m，求两次碰撞之间的平均时间和CO2气体分子的有效直径．
[解答] C的原子量是12，O的原子量是16，CO2的分子量是44，摩尔质量为μ = 0.044kg·mol-1，其平均速率为
= 362.3(m·s-1)．
两次碰撞之间的平均时间为
= 1.736×10-10(s)．
根据公式，可得CO2气体分子的有效直径为
= 3.648×10-10(m)．
10.18,10.19暂略
10．20 容器贮有O2气，其压强为1.013×105Pa，温度为27℃，有效直径为d = 2.9×10-10m，求：
（1）单位体积中的分子数n；
（2）氧分子质量m；
（3）气体密度ρ；
（4）分子间平均距离l；
（5）最可几速率vp；
（6）平均速率；
（7）方均根速率；
（8）分子的平均总动能；
（9）分子平均碰撞频率；
（10）分子平均自由程．
[解答]（1）由p = nkT得单位体积中的分子数为
n = p/kT = 2.45×10-25(m-3)．
（2）氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 1.66055×10-27kg，分子的质量为
m = 32u = 5.31×10-26(kg),
（3）根据理想气体状态方程，氧的摩尔质量μ = 0.032 kg·mol-1，其密度为
= 1.30(kg·m-3)．
（4）一个分子占有体积为v = 1/ n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为
l = (1/n)1/3 = 3.445×10-9(m)．
（5）最可几速率为
= 394.7(m·s-1)．
（6）平均速率为
= 445.4(m·s-1)．
（7）方均根速率为
= 483.5(m·s-1)．
（8）分子的自由度为i = 5，平均总动能为
= 1.035×10-20(J)．
（9）分子平均碰撞频率为
= 4.07×109(s-1)．
（10）分子平均自由程为
= 1.09×10-7(m)．
10．21 设氢的范德瓦耳斯常量b值为1mol气体体积总和的4倍．将气体分子看作刚球，试计算H2分子的直径．（对于H2，b = 2.66×10-5m3·mol-1）．
[解答] 1mol气体有NA = 6.02×1023个分子，设分子直径为d，将分子当作刚性球体，则有，可解得分子直径为
= 2.76×10-10(m)．
10．22 1mol气体在0℃时的体积为0.55L，试用范德瓦耳斯方程计算它的压强．再将它看作理想气体，压强又为多少？（a = 0.364Pa·m6·mol-1，b = 4.27×10-5m3·mol-1）
[解答]气体体积为v = 0.55×10-3m-3．根据范氏方程
，
可得压强为
= 3.67×106(Pa)．
而理想气体的压强为
= 4.12×106(Pa)．
第11章 热力学基本原理
P390
11．1 一系统由如图所示的状态a沿abc到达c，有350J热量传入系统，而系统对外做功126J．
（1）经adc，系统对外做功42J，问系统吸热多少？
（2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？
[解答]（1）当系统由状态a沿abc到达c时，根据热力学第一定律，吸收的热量Q和对外所做的功A的关系是
Q = ΔE + A，
其中ΔE是内能的增量．Q和A是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而ΔE是状态量，与系统经历的过程无关．
当系统沿adc路径变化时，可得
Q1 = ΔE1 + A1，
这两个过程的内能的变化是相同的，即
ΔE1 = ΔE，
将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为
Q1 = Q + A1 - A = 266(J)．
（2）当系统由状态c沿曲线ac回到状态a时，可得
Q2 = ΔE2 + A2，
其中，ΔE2 = -ΔE，A2 = -84(J)，可得
Q2 = -(Q – A) + A2 = -308(J)，
可见：系统放射热量，传递热量的大小为308J．
11．2 1mol氧气由状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次沿1→m→2路径，另一次沿1→2直线路径．试分别求出这两个过程中系统吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2 - E1．
[解答]根据理想气体状态方程pV = RT，可得气体在状态1和2的温度分别为
T1 = p1V1/R和T2 = p2V2．
氧气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以其状态从1到2不论从经过什么路径，内能的变化都是
= 7.5×103(J)．
系统状态从1→m的变化是等压变化，对外所做的功为
= 8.0×103(J)．
系统状态从m→2的变化是等容变化，对外不做功．因此系统状态沿1→m→2路径变化时，对外做功为8.0×103J；吸收的热量为
Q = ΔE + A = 1.55×104(J)．
系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积，即
= 6.0×103(J)．
吸收的热量为
Q = ΔE + A = 1.35×104(J)．
11．3 1mol范氏气体，通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2，求气体在此过程中所做的功？
[解答] 1mol范氏气体的方程为
，
通过准静态等温过程，体积由V1膨胀至V2时气体所做的功为
．
11．4 1mol氢在压强为1.013×105Pa，温度为20℃时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态：
（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；
（2）先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80℃．
试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量．将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果．
[解答]氢气是双原子气体，自由度i = 5，由于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是
= 1.2465×103(J)．
（1）气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为
= 2.0333×103(J)，
所吸收的热量为
Q2 = ΔE + A2 = 3.2798×103(J)．
（2）气体先做等温变化时，对外所做的功为
= 1.6877×103(J)，
所吸收的热量为
Q1 = ΔE + A1 = 2.9242×103(J)．
如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些．
11．5 为了测定气体的γ（γ=Cp/CV），可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0，V0和p0．用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样．第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，p1；第二次保持压强p0不变，而温度和体积则变为T2，V2，证明：
．
[证明]定容摩尔热容为
，
在本题中为
CV = ΔQ/(T1 – T0)；
定压摩尔热容为
，
在本题中为
Cp = ΔQ/(T2 – T0)．
对于等容过程有
p1/T1 = p0/T0，
所以
T1 = T0p1/p0；
对于等压过程有
V2/T2 = V0/T0，
所以
T2 = T0V2/V0．
因此
,证毕．
11.6暂略
11．7 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn = 常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数．
（1）说明n = 0，1，γ和∞各是什么过程．
（2）证明：多方过程中理想气体对外做功：．
（3）证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为：，
并就此说明（1）中各过程的值．
（1）[说明]当n = 0时，p为常数，因此是等压过程；
当n = 1时，根据理想气体状态方程pV = RT，温度T为常数，因此是等温过程；
当n = γ时表示绝热过程；
当n =∞时，则有p1/nV = 常数，表示等容过程．
（2）[证明]对于多方过程有
pVn = p1V1n = p2V2n = C(常数)，
理想气体对外所做的功为
．证毕．
（2）[证明]对于一摩尔理想气体有
pV = RT，
因此气体对外所做的功可表示为
，
气体吸收的热量为
Q = ΔE + A
= ,
摩尔热容量为
．证毕．
11．8 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，，气体温度升高1℃．试计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？
[解答]单原子分子的自由度为i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为
= 12.465(J)，
10mol气体内能的增量为124.65J．
气体对外所做的功为A = - 209J，所以气体吸收的热量为
Q = ΔE + A = -84.35(J)．
1摩尔气体所吸收的热量为热容为-8.435J，所以摩尔热容为
C = -8.435(J·mol-1·K-1)．
11．9 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压过程回到状态A．
（1）A→B，B→C，C→A，各过程中系统对外所做的功A，内能的增量ΔE以及所吸收的热量Q．
（2）整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量（各过程吸热的代数和）．
[解答]单原子分子的自由度i = 3．
（1）在A→B的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即
AAB = (pA + pB)(VB – VA)/2 = 200(J)，
内能的增量为
= 750(J)．
吸收的热量为
QAB = ΔEAB + AAB = 950(J)．
B→C是等容过程，系统对外不做功．内能的增量为
= -600(J)．
吸收的热量为
QBC = ΔEBC + ABC = -600(J)，
就是放出600J的热量．
C→A是等压过程，系统对外做的功为
ACA = pA(VA – VC) = -100(J)．
内能的增量为
= -150(J)．
吸收的热量为
QCA = ΔECA + ACA = -250(J)，
也就是放出250J的热量．
（2）对外做的总功为
A = AAB + ABC + ACA = 100(J)．
吸收的总热量为
Q = QAB + QBC + QCA = 100(J)．
由此可见：当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功．
11．10 1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的的可逆循环，连接ac两点的曲线Ⅲ的方程为p = p0V2/V02，a点的温度为T0．
（1）以T0，R表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ过程中气体吸收的热量．
（2）求此循环的效率．
[解答]由题可知：p0V0 = RT0．
（1）I是等容过程，系统不对外做功，内能的变化为
．
吸收的热量为
QI = ΔEI = 12RT0．
II是等容过程，根据III的方程，当pc = 9p0时，Vc = 3V0．系统对外所做的功为
AII = pb(Vc - Vb) = 9p02V0 = 18RT0．
内能的变化为
．
吸收的热量为
QII = ΔEII + AII = 45RT0．
在过程III中，系统对外所做的功为
．
内能的变化为
．
吸收的热量为
QIII = ΔEIII + AIII = -143RT0/3．
（2）系统对外做的总功为
A = AI + AII + AIII = 28RT0/3，
系统从高温热源吸收的热量为
Q1 = QI + QII = 57RT0，
循环效率为
= 16.37%．
11．11 1mol理想气体在400K和300K之间完成卡诺循环．在400K等温线上，初始体积为1×10-3m3，最后体积为5×10-3m3．试计算气体在此循环中所做的功及从高温热源所吸收的热量和向低温热源放出的热量．
[解答] 卡诺循环由气体的四个变化过程组成，等温膨胀过程，绝热膨胀过程，等温压缩过程，绝热压缩过程．
气体在等温膨胀过程内能不改变，所吸收的热量全部转化为对外所做的功，即
= 5.35×103(J)．
气体在等温压缩过程内能也不改变，所放出的热量是由外界对系统做功转化来的，即
，
利用两个绝热过程，可以证明
V4/V3 = V2/V1，
可得
Q2 = 4.01×103(J)．
气体在整个循环过程中所做的功为
A = Q1 - Q2 = 1.34×103(J)．
11.12暂略
11．13 一热机在1000K和300K的两热源之间工作，如果
（1）高温热源提高100K，
（2）低温热源降低100K，
从理论上说，哪一种方案提高的热效率高一些？为什么？
[解答]（1）热机效率为
η = 1 – T2/T1，
提高高温热源时，效率为
η1 = 1 – T2/(T1 + ΔT)，
提高的效率为
= 2.73%．
（2）降低低温热源时，效率为
η2 = 1 – (T2 - ΔT)/T1，
提高的效率为
= ΔT/T = 10%．
可见：降低低温热源更能提高热机效率．对于温度之比T2/T1，由于T2 < T1，显然，分子减少一个量比分母增加同一量要使比值降得更大，因而效率提得更高．
11．14 使用一制冷机将1mol，105Pa的空气从20℃等压冷却至18℃，对制冷机必须提供的最小机械功是多少？设该机向40℃的环境放热，将空气看作主要由双原子分子组成．
[解答]空气对外所做的功为
= p(V2 – V1) = R(T2 – T1)，
其中T2 = 291K，T1 = 293K．空气内能的增量为
，
其中i表示双原子分子的自由度：i = 5．空气吸收的热量为
Q = ΔE + A == -58.17(J)．
负号表示空气放出热量．因此，制冷机从空气中吸收的热量为
Q2 = -Q = 58.17(J)．
空气是低温热源，为了简化计算，取平均温度为
T`2 = (T2 + T1)/2 = 292(K)；
环境是高温热源，温度为
T`1 = 313(K)．
欲求制冷机提供的最小机械功，就要将制冷当作可逆卡诺机，根据卡诺循环中的公式
，
可得该机向高温热源放出的热量为
= 62.35(J)，
因此制冷机提供的最小机械功为
W = Q1 - Q2 = 4.18(J)．
[注意]由于低温热源的温度在变化，所以向高温热源放出的热量的微元为
，
其中，因此
，
积分得制冷机向高温热源放出的热量为
= 62.35(J)，
与低温热源取温度的平均值的计算结果相同（不计小数点后面2位以后的数字）．
2003-5-17拟
2003-5-29改
