Copyright?Zhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University
第十三章 期权的定价第一节 期权价格的特性一,内在价值和时间价值
期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。
（一）期权的内在价值
期权的内在价值（ Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。
欧式看涨期权的内在价值为 (ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-D- Xe-r(T-t)。
无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,
其内在价值也就等于 S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于 S-D- Xe-r(T-t)。
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无收益资产欧式看跌期权的内在价值为 X e-r(T-
t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为 X
e-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于 X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于
X+D-S。
当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于 0。
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（二）期权的时间价值
期权的时间价值（ Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当 S=X e-r(T-t)
时，期权的时间价值最大。当 S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图
13.1所示。
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二,期权价格的影响因素
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格
（二）期权的有效期
（三）标的资产价格的波动率
（四）无风险利率
（五）标的资产的收益
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三、期权价格的上、下限
（一）期权价格 的上限
1．看涨期权价格的上限
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于 对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（ 13.1）
其中,c代表欧式看涨期权价格,C代表美式看涨期权价格,S代表标的资产价格。
c S C S和
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2．看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（ X），因此，美式看跌期权价格（ P）的上限为 X：
（ 13.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（ T时刻）执行，在 T
时刻，其最高价值为 X，因此，欧式看跌期权价格（ p）
不能超过 X的现值：
（ 13.3）
其中,r代表 T时刻到期的无风险利率,t代表现在时刻 。
PX?
()r T tp Xe
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（二）期权价格的下限
1,欧式看涨期权价格的下限
（ 1） 无收益资产欧式看涨期权价格的下限
为了推导出期权价格下限,我们 考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金；
组合 B：一单位标的资产
T时刻,组合 A 的价值为：
而组合 B的价值为 ST。
m a x(,)TSX
()r T tXe
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由于,因此,在 t时刻组合 A的价值也应大于等于组合 B,即,c+Xe-r(T-t)≥S
所以 c≥S-Xe-r(T-t)
由于期权的价值一定为正,因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为
（ 13.4）
（ 2） 有收益资产欧式看涨期权价格的下限
我们只要将上述组合 A的现金改为 +D,并经过类似的推导,就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（ 13.5）
()m a x [,0 ]r T tc S X e
m a x (,)TTS X S?
()m a x[,0]r T tc S D X e
()r T tXe
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2,欧式看跌期权价格的下限
（ 1） 无收益资产欧式看跌期权价格的下限
考虑以下两种组合：
组合 C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合 D：金额为 的现金
在 T时刻,组合 C的价值为,max（ ST,X）
假定组合 D的现金以无风险利率投资,则在 T时刻组合 D的价值为 X。 由于组合 C的价值在 T时刻大于等于组合 D,因此组合 C的价值在 t时刻也应大于等于组合 D,即：
()
()
r T t
r T t
p S X e
p X e S
()r T tXe
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由于期权价值一定为正,因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（ 13.6）
（ 2） 有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合 D的现金改为 +D
就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（ 13.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
()m a x [,0 ]r T tp X e S
()m a x [,0 ]r T tp D X e S
()r T tXe
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四,提前执行美式期权的合理性
（ 一 ） 提前执行无收益资产美式期权的合理性
1,看涨期权
由于现金会产生收益,而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益,再加上美式期权的时间价值总是为正的,因此我们可以直观地判断提前执行是不明智的 。
为了精确地推导这个结论,我们考虑如下两个组合：
组合 A：一份美式看涨期权加上金额为 的现金组合 B：一单位标的资产
T时刻组合 A的价值为 max（ ST,X）,而组合 B的价值为 ST,可见组合 A在 T时刻的价值一定大于等于组合 B。
即如果不提前执行,组合 A的价值一定大于等于组合 B。
()r T tXe
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若在 时刻提前执行,则此时组合 A的价值为：
,而组合 B的价值为 。
由于 因此即：若提前执行美式期权,组合 A的价值将小于组合 B。
比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的 。 因此,同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的,即：
C=c （ 13.8）
根据 （ 13.4）,我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：
（ 13.9）
()rTS X X e S
,0Tr ()r T tX e X
()m a x [,0 ]r T tC S X e
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2,看跌期权
为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理,我们考察如下两种组合：
组合 A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合 B：金额为 的现金
若不提前执行,则到 T时刻,组合 A的价值为
max（ X,ST）,组合 B的价值为 X,组合 A的价值大于等于组合 B。
若在 t时刻提前执行,则组合 A的价值为 X,组合
B的价值为 Xe-(T-τ),因此组合 A的价值也高于组合 B。
()r T tXe
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故：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权,
主要取决于期权的实值额 （ X-S）,无风险利率水平等因素 。 一般来说,只有当 S相对于 X来说较低,或者 r较高时,提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 。
由于美式期权可提前执行,因此其下限比
（ 13.6） 更严格：
（ 13.10）
P X S
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（ 二 ） 提前执行有收益资产美式期权的合理性
1,看涨期权
由于在无收益的情况下,不应提前执行美式看涨期权,据此可知：在有收益情况下,只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的 。
我们先来考察在最后一个除权日 （ tn） 提前执行的条件 。 如果在 tn时刻提前执行,则期权多方获得 Sn-X的收益 。 若不提前执行,则标的资产价格将由于除权降到 Sn-Dn。
根据式 （ 13.5）,在 tn时刻期权的价值 （ Cn）
()m a x[,0]nr T tn n n nC c S D Xe
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因此,如果：
即：
（ 13.11）
则在 tn提前执行是不明智的 。
相反,如果
（ 13.12）
则在 tn提前执行有可能是合理的 。 实际上,只有当 tn时刻标的资产价格足够大时,提前执行美式看涨期权才是合理的 。
同样,在 ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
（ 13.13）
由于存在提前执行更有利的可能性,有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权,其下限为：
（ 13.14）
() nr T tn n nS D Xe S X
()[1 ]nr T tnD X e
()[ 1 ]nr T tnD X e
1()[ 1 ]iir t tiD X e
()m a x [,0 ]r T tC c S D X e
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2,看跌期权
由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权,因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小,但还不能排除提前执行的可能性 。
通过同样的分析,我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：
由于美式看跌期权有提前执行的可能性,因此其下限为：
（ 13.15）
1()
()
[1 ]
[1 ]
ii
n
r t t
i
r T t
n
D X e
D X e
m a x (,0 )P D X S
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五,期权价格曲线的形状
（ 一 ） 看涨期权价格曲线
无收益资产看涨期权价格曲线如图 13-2所示 。
有收益资产看涨期权价格曲线与图 13.2类似,只是把 X
e-r(T-t)换成 X e-r(T-t)+D。
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（ 二 ） 看跌期权价格曲线
1,欧式看跌期权价格曲线
无收益资产欧式看跌期权价格曲线如图 13-3所示 。
图 13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线
有收益资产期权价格曲线与图 13.3相似,只是把换为()r T tXe ()r T tD X e
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2,美式看跌期权价格曲线
无收益资产美式看跌期权价格曲线如图 13-4所示 。
有收益美式看跌期权价格曲线与图 13.4相似,只是把 X
换成 D+X。
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六,看涨期权与看跌期权之间的平价关系
（ 一 ） 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系
1,无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产
在期权到期时,两个组合的价值均为 max(ST,X)。 由于欧式期权不能提前执行,因此两组合在时刻 t必须具有相等的价值,即：
（ 13.16）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 。 它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来,反之亦然 。
如果式 （ 13.16） 不成立,则存在无风险套利机会 。 套利活动将最终促使式 （ 13.16） 成立 。
()r T tXe
()r T tc Xe p S
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2．有收益资产欧式期权
在标的资产有收益的情况下,我们只要把前面的组合 A中的现金改为 +D,我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：
（ 13.17）
()r T tc D X e p S
()r T tXe
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（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
1,无收益资产美式期权 。
由于 P>p,从式 （ 13.16） 中我们可得：
对于无收益资产看涨期权来说,由于 c=C,因此：
（ 13.18）
为了推出 C和 P更严密的关系,我们考虑以下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 X的现金组合 B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产
如果美式期权没有提前执行,则在 T时刻组合 B的价值为
max(ST,X),而此时组合 A的价值为 。 因此组合 A的价值大于组合 B。
如果美式期权在 τ 时刻提前执行,则在 τ 时刻,组合 B的价值为 X,而此时组合 A的价值大于等于 X。 因此组合 A的价值也大于组合 B。
()r T tP c X e S
()r T tP C X e S
()r T tC P S X e
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这就是说,无论美式组合是否提前执行,组合 A的价值都高于组合 B,因此在 t时刻,组合 A的价值也应高于组合 B,即：
C+X>P+S
由于 c=C,因此,
C+X>P+S
C-P>S-X
结合式 （ 13.18）,我们可得：
（ 13.19）
由于美式期权可能提前执行,因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系,但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式 （ 13.19） 的不等式 。
()r T tS X C P S X e
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2．有收益资产美式期权
同样,我们只要把组合 A的现金改为 D+X,就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：
S-D-X?C-P?S-D-Xe-r（ T-t）
（ 13.20）
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第二节 期权组合的盈亏分布
期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。
投资者可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险 --收益偏好，选择最适合自己的期权组合。
在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。
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一、标的资产与期权组合
通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但位置不同的盈亏图，如图 13.5表示。
图 13.5（ a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权（ Covered
Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相反。
图 13.5（ b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合的盈亏图刚好相反。从图 13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。
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二,差价组合差价（ Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。
1,牛市差价（ Bull Spreads）组合。
牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。
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牛市差价组合
牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表 13.2表示。
表 13.2 牛市差价期权的盈亏状况
表 13.2结果可用图 13.6表示，从图可看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故称牛市差价组合。
标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST?X2 ST―X 1―c 1 X2―S T+c2 X2―X 1+c2―c 1
X1<ST<X2 ST―X 1―c 1 c2 ST―X 1+c2―c 1
ST?X1 -c1 c2 c2― c1
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通过比较标的资产现价与协议价格的关系，我们可以把牛市差价期权分为三类,?两虚值期权组合，指两个协议价格均比现货价格高；?多头实值期权加空头虚值期权组合，指多头期权的协议价格比现货价格低，而空头期权的协议价格比现货价格高；?两实值期权组合，指两个协议价格均比现货价格低。
此外，一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组合也是牛市差价组合，
如图 13.7所示。
比较看涨期权的牛市差价与看跌期权的牛市差价组合可以看，前者期初现金流为负，后者为正，
但前者的最终收益可能大于后者。
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2,熊市差价组合
熊市差价（ Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，它可以由一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头组成（如图 13.8所示）也可以由一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头组成（如图 13.9所示）。
看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。
通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而
“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和
“高”是指协议价格。两者的图形刚好与 X轴对称。
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3,蝶式差价组合蝶式差价（ Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。
若 X1 < X2 < X3，且 X2=（ X1+X3） /2，则蝶式差价组合有如下四种：
看涨期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看涨期权多头和两份协议价格为 X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图 13.10所示；
看涨期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看涨期权空头和两份协议价格为 X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好与图 13,10相反；
看跌期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看跌期权多头和两份协议价格为 X2的看跌期权空头组成，其盈亏图如图 13.11所示。
看跌期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看跌期权空头和两份协议价格为 X2的看跌期权多头组成，其盈亏图与图 13.11刚好相反。
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图 13.10 看涨期权的正向蝶式差价组合 图 13.11 看跌期权的正向蝶式差价组合
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三,差期组合
差期（ Calendar Spreads）组合是由两份相同协议价格、
不同期限的同种期权的不同头寸组成的组合。它有四种类型：
一份看涨期权多头与一份期限较短的看涨期权空头的组合，称看涨期权的正向差期组合。
一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。
一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权空头的组合，称看跌期权的正向差期组合。
一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。
看涨期权的正向差期组合的盈亏分布情况见表 13.3。
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表 13.3看涨期权的正向差期组合的盈亏状况
根据表 13.3，我们可以画出看涨期权正向差期组合的盈亏分布图如图 13.12所示。
ST的范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST 趋近 ST―X―c 1 X―S T+c2 趋近 c2―c 1
ST=X c1T―c 1 c2 c2―c 1+c1T
ST?0 趋近 -c1 c2 趋近 c2― c1
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用同样的分析法我们可以画出看跌期权正向差期组合的盈亏分布图如图 13.13所示。看跌期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图 13.13相反，也从略。
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四、对角组合对角组合（ Diagonal Spreads）是指由两份协议价格不同
（ X1和 X2，且 X1<X2）、期限也不同（ T和 T*，且 T<T*）
的同种期权的不同头寸组成。它有八种类型：
1,看涨期权的（ X1,T*）多头加（ X2,T）空头组合。
表 13.4 看涨期权的正向差价和差期组合
根据表 13.4，我们可以画出看涨期权的正向差价和差期组合的盈亏分布图如图 13.14所示。
2.看涨期权的（ X1,T*）空头加（ X2,T）多头组合。其盈亏图与图 13.14刚好相反
ST的范围 (X1,T*)多头的盈亏 (X2,T)空头的盈亏 总盈亏
ST 趋近于 ST―X 1―c 1 X2―S T+c2 趋近 X2―X 1+c2－ c1
ST=X2 X2―X 1+c1T―c 1 c2 X2―X 1+c2 ―c 1+c1T
ST?0 趋近 -c1 c2 趋近 c2― c1
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3,看涨期权的（ X2,T*）多头加（ X1,T）空头组合。
4,看涨期权的（ X2,T*）空头加（ X1,T）多头组合，
其盈亏分布图与图 13.15刚好相反。
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5,看跌期权的（ X1,T*）多头加（ X2,T）空头组合，
其盈亏图如图 13.16所示。
6,看跌期权的（ X1,T*）空头加（ X2,T）多头组合，
其盈亏图与图 13.16刚好相反。
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7,看跌期权的（ X2,T*）多头加（ X1,T）空头组合，其盈亏图如图 13.17所示。
8,看跌期权的（ X2,T*）空头加（ X1,T）多头组合，其盈亏图与图 13.17刚好相反。
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五、混合期权
1,跨式组合（ Straddle）：由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和一份看跌期权组成。跨式组合分为两种：底部跨式组合和顶部跨式组合。前者由两份多头组成，后者由两份空头组成。
底部跨式组合的盈亏图如图 13.18所示，顶部跨式组合的盈亏图与图 13.18刚好相反。
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2,条式组合和带式组合
条式组合（ Strip）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和两份看跌期权组成。条式组合也分底部和顶部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。
底部条式组合的盈亏图如图 13.19所示，顶部条式组合的盈亏图刚好相反。
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带式组合（ Strap）由具有相同协议价格、相同期限的资产的两份看涨期权和一份看跌期权组成，带式组合也分底部和预部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。
底部带式组合的盈亏图如图 13.20所示，顶部带式组合的盈亏图刚好相反。
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3,宽跨式组合。
宽跨式组合（ Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌期权组成，其中看涨期权的协议价格高于看跌期权。宽跨式组合也分底部和顶部，前者由多头组成，后者由空头组成。前者的盈亏图如图 13.21所示。
后者的盈亏图刚好相反。
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第三节 期权定价的理论基础一,弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年,法玛 （ E?F?Fama） 提出了著名的效率市场假说 。 该假说认为,投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反映全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平,
而与新信息相应的价格变动是相互独立的,或称随机的,因此效率市场假说又称随机漫步理论 。
效率市场假说可分为三类：弱式,半强式和强式 。
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弱式效率市场假说认为,证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益 。
半强式效率市场假说认为,证券价格会迅速,准确地根据可获得的所有公开信息调整,因此 以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选出价格被高估或低估的证券 。
强式效率市场假说认为,不仅是已公布的信息,而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中,因此任何信息
（ 包括,内幕信息,） 对挑选证券都没有用处 。
效率市场假说提出后,许多学者运用各种数据对此进行了实证分析 。 结果发现,发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 。
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弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （ Markov
Stochastic Process） 来表述 。
所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 。 根据时间是否连续,随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程,前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程,后者指变量可以在连续的时间段变化的过程 。 根据变量取值范围是否连续划分,随机过程可分为离散变量随机过程和连续变量随机过程,前者指变量只能取某些离散值,而后者指变量可以在某一范围内取任意值 。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 。 在这个过程中,只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 。
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（ 一 ） 标准布朗运动
设 代表一个小的时间间隔长度,代表变量 z在时间内的变化,遵循标准布朗运动的具有两种特征：
特征 1,和 的关系满足
＝ （ 13.21）
特征 2：对于任何两个不同时间间隔,
的值相互独立 。
从特征 1可知,本身也具有正态分布特征,其均值为 0，
标准差为,方差为 。
从特征 2可知,标准布朗运动符合马尔可夫过程,因此是马尔可夫过程的一种特殊形式 。
t? t?
t?
t?
z?
z?
z?t?
t?
t?z
z?
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现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量 z在一段较长时间
T中的变化情形 。 我们用 z（ T） － z(0)表示变量 z在 T中的变化量,它可被看作是在 N个长度为 的小时间间隔中 z的变化总量,其中 N=T/,因此,
（ 13.22 ）
其中 (i=1,2,…… N） 是标准正态分布的随机抽样值 。
从特征 2可知,是相互独立的,因此 z（ T） -z（ 0） 也具有正态分布特征,其均值为 0,方差为 N?t=T,标准差为 。
由此我们可以发现两个特征,?在任意长度的时间间隔 T中,
遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为 0,标准差为的正态分布 。对于相互独立的正态分布,方差具有可加性,而标准差不具有可加性 。
当?0时,我们就可以得到极限的标准布朗运动：
（ 13.23）
t?
1
( ) ( 0 )
N
i
i
z T z t?
i?
t?
T
d z d t
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（二）普通布朗运动
为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率（ Drift Rate）是指单位时间内变量 z均值的变化值。
方差率（ Variance Rate）是指单位时间的方差。
标准布朗运动的漂移率为 0，方差率为 1.0。漂移率为 0意味着在未来任意时刻 z的均值都等于它的当前值。方差率为 1.0意味着在一段长度为 T的时间段后,z的方差为 1.0?T。我们令漂移率的期望值为 a,方差率的期望值为 b2，就可得到变量 x 的普通布朗运动：
从式 （ 13.21） 和 （ 13.24） 可知,在短时间后,x值的变化值为：
因此,Δx也具有正态分布特征，其均值为,标准差为,
方差为 。同样，在任意时间长度 T后 x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为,方差为 b2T。
d x a d t b d z
x a t b t
at? bt?
2bt?
bT
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三、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此我们可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：
（ 13.25）
其中 S表示证券价格,μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率 （ 又称预期收益率 ）,表示证券收益率单位时间的方差,表示证券收益率单位时间的标准差,简称证券价格的波动率 （ Volatility）,
dz遵循标准布朗运动 。
从 （ 13.21） 和上式可知,在短时间后,证券价格比率的变化值为：
则可得 （ 13.26）
我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。相反，证券价格的波动率对于衍生证券的定价则是相当重要的。
应该注意的是，由于比例变化不具有可加性,因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度 T后证券价格比例变化的标准差为 。
dS d t d z
S
2
t?
S tt
S
~ (,)S ttS
T?
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四、伊藤过程和伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x
的漂移率和方差率当作变量 x和时间 t的函数，我们可以从公式（ 13.24）得到伊藤过程（ Ito Process）：
（ 13.27）
其中,dz是一个标准布朗运动,a,b是变量 x和 t的函数，
变量 x的漂移率为 a，方差率为 b2。
在伊藤过程的基础上,伊藤进一步推导出：若变量 x遵循伊藤过程,则变量 x和 t的函数 G将遵循如下过程：
（ 13.28）
公式（ 13.28）就是著名的伊藤引理。
(,) (,)d x a x t d t b x t d z
2
2
2
1()
2
G G G Gd G a b d t b
x t x x
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从式 （ 13.25） 中,我们可得：
（ 13.29）
我们知道,衍生证券的价格是标的证券价格 S和时间 t
的函数 。 根据伊藤引理,衍生证券的价格 G应遵循如下过程：
（ 13.30）
比较式（ 13.29）和 (13.30)可看出，衍生证券价格 G和标的证券价格 S都受同一个基本的不确定性来源 dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。
d S S d t S d z
2
22
2
1()
2
G G G Gd G S S d t S d z
S t S S
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五、证券价格自然对数变化过程
我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数 lnS变化所遵循的随机过程。
令我们就可得出证券价格对数 G所遵循的随机过程为：
令 t时刻 G的值为 lnS,T时刻 G的值为 lnST，其中 S表示 t
时刻（当前时刻）的证券价格,ST表示 T时刻（将来时刻）的证券价格，则在 T－ t期间 G的变化为,lnST- lnS
这意味着,（ 13.31）
根据正态分布的特性，从式（ 13.31）可以得到：
（ 13.32）
lnGS?
2()
2dG dt dz
22l n l n ~ [ ( ) ( ),TS S T t T t
22l n ~ [ l n ( ) ( ),]TS S T t T t
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这表明 ST服从对数正态分布。 lnST的标准差与成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）与我们考虑的未来时间的长度的平方根成正比。这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。
根据式 （ 13.32） 和对数正态分布的特性,可知
ST的期望值 E(ST)为：
这与作为预期收益率的定义相符 。 ST的方差
var(ST)为,
()() TtTE S S e
2 ()2 2 ( )v a r ( ) [ 1 ]TtTt
TS S e e
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第四节 布莱克 —— 舒尔斯期权定价模型一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程需要用到如下假设：
证券价格遵循几何布朗过程,即和为常数；
允许卖空标的证券；
没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的；
在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；
不存在无风险套利机会；
证券交易是连续的,价格变动也是连续的；
在衍生证券有效期内,无风险利率 r为常数 。
实际上，有些假设条件我们可以放松，如、和 r可以是 t
的函数。
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（一）布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导
（ 13.35）
（ 13.36）
我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。
令?代表该投资组合的价值，则：
（ 13.37）
在时间后，该投资组合的价值变化为：
在没有套利机会的条件下,
我们代入 和,则可得著名的布莱克 —— 舒尔斯微分分程,
S S t S z
2
22
2
1()
2
f f f ff S S t S z
S t S S
fsfS
f
S
fsfS
rt
f? S?
2
22
2
1
2
f f frS S rf
t S S?
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布莱克 —— 舒尔斯微分分程适用于其价格取决于标的证券价格 S的所有衍生证券的定价。
应该注意的是，当 S和 t变化时,的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据 的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心 中的变化。
f
s
t?
f
s
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（二）风险中性定价原理
从上可以看出受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f的值产生影响。
于是，我们就可以利用布莱克 —— 舒尔斯微分方程所揭示的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
这就是风险中性定价原理。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 （见书）
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二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（ T时刻）
的期望值为：
根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格 c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：
（ 13.41）
对式（ 13.41）右边求值是一种积分过程，结果为：
其中，
由于欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系,可得
[ m a x (,0 ) ]TE S X
() [ m a x (,0 ) ]r T t Tc e E S X
()12( ) ( )r T tc S N d X e N d
2
1
2
21
l n ( / ) ( / 2 ) ( )
l n ( / ) ( / 2 ) ( )
S X r T t
d
Tt
S X r T t
d d T t
Tt
() 21( ) ( )r T tp X e N d S N d
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SN(d1)是 Asset-or-noting call option的价值,-e-rTXN(d2)
是 X份 cash-or-nothing看涨期权空头的价值。
N(d2)是在风险中性世界中期权被执行的概率，或者说 ST大于 X的概率,e-rTXN(d2)是 X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)是得到 ST的风险中性期望值的现值。
是复制交易策略中股票的数量,SN
（ d1)就是股票的市值,-e-rTXN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
)( 1dN
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三、有收益资产的期权定价公式
（一）有收益资产欧式期权的定价公式
在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。
当标的证券已知收益的现值为 I时，我们只要用（ S－
I）代替 S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q
（单位为年）时，我们只要将代替 S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格，从而使布莱克 —— 舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。
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对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：
其中，
例子见书,
() 12[ ( ) ( ) ]r T tc e F N d X N d
() 21[ ( ) ( ) ]r T tp e X N d F N d
2
1
2
2
1
l n( / ) ( / 2)( )
l n( / ) ( / 2)( )
F X T t
d
Tt
F X T t
d
Tt
d T t
M
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（二）有收益资产美式期权的定价
1．美式看涨期权
当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，其方法我们在本章第一节已论述过。若不合理，则按欧式期权处理；若在 tn
提前执行有可能是合理的，则要分别计算在 T时刻和 tn
时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。
2．美式看跌期权
由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，
但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。
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第五节 二叉树期权定价摸型
由于美式看跌期权无法用布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式进行精确定价，因此要用其它替代方法，如二叉树期权定价模型，该模型是由科克斯（ J.Cox）、罗斯 (S.Ross)和鲁宾斯坦 (M.Rubinstein)于
1979年首先提出的。
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一、无收益资产期权的定价
二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格从开始的 S运动到两个新值 Su和 Sd中的一个，如图 13.22所示。其中，
u>1,d<1，且 u=1/d
图 13.22?T时间内证券价格的变动
为了对期权进行定价，二叉树模型也应用风险中性定价原理并假定：
（ 1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
（ 2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现来计算现值。
S0u
u
S0d
d
S0
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（一）参数 p,u和 d的确定
参数 p,u和 d的值必须满足这个要求，即：
根据本章第 2节的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是 。根据方差的定义，变量 X的方差等于 X2的期望值与 X期望值平方之差，因此：
由上可得，
( 1 )rtSe pS u p Sd
( 1 )rte p u p d
22St
2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) [ ( 1 ) ]S t p S u p S d S p u p d
2 2 2( 1 ) ( 1 )t p u p d p u p d
rted
p ud
tue tde
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（二）证券价格的树型结构
应用二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图 13.23所示。
图 13.23 证券价格的树型结构
当时间为 0时，证券价格为 S。 时间为?t时，证券价格要么上涨到 Su，要么下降到 Sd；时间为 2?t时，证券价格就有三种可能：
Su2,Sud（等于 S）和 Sd2，以此类推。一般而言，在时刻 i?t,
证券价格有 i+1种可能，它们可用符号表示为：
其中 j=0,1,2,……,ij i jS u d?
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（三）倒推定价法
由于在 T时刻的期权价值是已知的。 所以 在二叉树模型中，期权定价从树型结构图的末端 T时刻开始，采用倒推法定价。
例,S0 = 50; X = 50; r =10%;? = 40%;
T = 5 months = 0.4167;
t = 1 month = 0.0833
则可得,u = 1.1224; d = 0.8909;
a = 1.0084; p = 0.5076
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如下图：
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在时刻，股票在第 j个结点（ j=0,1,2,……i ）的价格等于。例如,F结点（ i=4,j=1）的股价等于。在最后那些结点处，期权价值等于。例如，
G结点的期权价格等于 50－ 35.36=14.64。
从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。
首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是时间内期权价值期望值的现值。 如 E结点处的期权价值等于：
而 F结点处的期权价值等于：
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在 E结点，提前执行将使期权价值为 0,所以不应提前执行。 而在 F结点，如果提前执行，期权价值等于 50.00－ 39.69元，等于 10.31元，大于上述的 9.90元。因此，若股价到达 F结点，就应提前执行。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为 4.48元。
0,1 0,0 8 3 3( 0,5 0 7 6 0 0,4 9 2 4 5,4 5 ) 2,6 6e 元
0,1 0,0 8 3 3( 0,5 0 7 6 5,4 5 0,4 9 2 4 1 4,6 4 ) 9,9 0e 元
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（四）美式看跌期权的定价公式其中 j=0,1,2,……,N
假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比较，由此可得：
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，
或者说当每一区间?t趋于 0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成 30个就可得到较为理想的结果。
,m a x(,0)j N jNf j X Su d
1 1,,1[ ( 1 ) ]
rt
i j i i jjf e p f p f
1 1,,1m a x {,[ ( 1 ) ] }
j i j r t
i j i i jjf X S u d e p f p f
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二、有收益资产期权的定价
（一）支付连续复利收益率资产的期权定价
当标的资产支付连续复利收益率 q的收益时，在风险中性条件下，
证券价格的增长率应该为 r－ q,因此可得：
对于股价指数期权来说,q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说,q为国外无风险利率，因此上式也可用于股价指数和外汇的美式看跌期权的定价。
对于期货期权来说，布莱克曾证明，在对期货期权定价时期货的价格可以和支付连续红利率 r的证券同样对待，因此对于期货期权而言,q=r，即：
因此，也 就可用于美式期货看跌期权的定价。
() ( 1 )r q te p u p d
()r q ted
p ud
1 dp
ud
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（二）支付已知收益资产的期权定价
1．已知红利率
若标的资产在未来某一确定时间将支付已知收益率?，我们只要调整在各个结点上的证券价格就可算出期权价格。
调整方法如下：
如果时刻 i?t在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
如果时刻 i?t在除权日之后,则结点处证券价格相应调整为,j=0,1,……,i
对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若 δi为 0时刻到时刻之间所有除权日的红利支付率，则时刻结点的相应的证券价格为：
,0,1,,j i jS u d j i
( 1 ) j i jS u d
( 1 ) j i jS u d
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2．已知红利额
若标的资产在未来某一确定日期将支付已知数额的收益，则除权后树枝将不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额收益的话。
为了简化起见，我们仍可以把证券价格分为两个部分：
一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一个除息日?,而且
x时刻不确定部分的价值 S* 为：
当 x>?时当 x<=?时
( 1 )k t k t
* ( ) ( )S x S x?
* ( )( ) ( ) rxS x S x D e
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其中 D表示收益金额。设 为 S*的标准差，假设 是常数，这样就可用通常的方法构造出模拟 S*的二叉树了 。 通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟 S的二叉树。在 i?t时刻，当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0,1,2……,i
当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0,1,2……,i
it
* ( )() j i j r i tS t u d D e
it
* () j i jS t u d?
第十三章 期权的定价第一节 期权价格的特性一,内在价值和时间价值
期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。
（一）期权的内在价值
期权的内在价值（ Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。
欧式看涨期权的内在价值为 (ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于 S-D- Xe-r(T-t)。
无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,
其内在价值也就等于 S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于 S-D- Xe-r(T-t)。
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无收益资产欧式看跌期权的内在价值为 X e-r(T-
t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为 X
e-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于 X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于
X+D-S。
当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于 0。
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（二）期权的时间价值
期权的时间价值（ Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当 S=X e-r(T-t)
时，期权的时间价值最大。当 S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图
13.1所示。
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二,期权价格的影响因素
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格
（二）期权的有效期
（三）标的资产价格的波动率
（四）无风险利率
（五）标的资产的收益
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三、期权价格的上、下限
（一）期权价格 的上限
1．看涨期权价格的上限
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于 对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（ 13.1）
其中,c代表欧式看涨期权价格,C代表美式看涨期权价格,S代表标的资产价格。
c S C S和
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2．看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（ X），因此，美式看跌期权价格（ P）的上限为 X：
（ 13.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（ T时刻）执行，在 T
时刻，其最高价值为 X，因此，欧式看跌期权价格（ p）
不能超过 X的现值：
（ 13.3）
其中,r代表 T时刻到期的无风险利率,t代表现在时刻 。
PX?
()r T tp Xe
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（二）期权价格的下限
1,欧式看涨期权价格的下限
（ 1） 无收益资产欧式看涨期权价格的下限
为了推导出期权价格下限,我们 考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金；
组合 B：一单位标的资产
T时刻,组合 A 的价值为：
而组合 B的价值为 ST。
m a x(,)TSX
()r T tXe
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由于,因此,在 t时刻组合 A的价值也应大于等于组合 B,即,c+Xe-r(T-t)≥S
所以 c≥S-Xe-r(T-t)
由于期权的价值一定为正,因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为
（ 13.4）
（ 2） 有收益资产欧式看涨期权价格的下限
我们只要将上述组合 A的现金改为 +D,并经过类似的推导,就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（ 13.5）
()m a x [,0 ]r T tc S X e
m a x (,)TTS X S?
()m a x[,0]r T tc S D X e
()r T tXe
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2,欧式看跌期权价格的下限
（ 1） 无收益资产欧式看跌期权价格的下限
考虑以下两种组合：
组合 C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合 D：金额为 的现金
在 T时刻,组合 C的价值为,max（ ST,X）
假定组合 D的现金以无风险利率投资,则在 T时刻组合 D的价值为 X。 由于组合 C的价值在 T时刻大于等于组合 D,因此组合 C的价值在 t时刻也应大于等于组合 D,即：
()
()
r T t
r T t
p S X e
p X e S
()r T tXe
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由于期权价值一定为正,因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（ 13.6）
（ 2） 有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合 D的现金改为 +D
就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（ 13.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
()m a x [,0 ]r T tp X e S
()m a x [,0 ]r T tp D X e S
()r T tXe
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四,提前执行美式期权的合理性
（ 一 ） 提前执行无收益资产美式期权的合理性
1,看涨期权
由于现金会产生收益,而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益,再加上美式期权的时间价值总是为正的,因此我们可以直观地判断提前执行是不明智的 。
为了精确地推导这个结论,我们考虑如下两个组合：
组合 A：一份美式看涨期权加上金额为 的现金组合 B：一单位标的资产
T时刻组合 A的价值为 max（ ST,X）,而组合 B的价值为 ST,可见组合 A在 T时刻的价值一定大于等于组合 B。
即如果不提前执行,组合 A的价值一定大于等于组合 B。
()r T tXe
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若在 时刻提前执行,则此时组合 A的价值为：
,而组合 B的价值为 。
由于 因此即：若提前执行美式期权,组合 A的价值将小于组合 B。
比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的 。 因此,同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的,即：
C=c （ 13.8）
根据 （ 13.4）,我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：
（ 13.9）
()rTS X X e S
,0Tr ()r T tX e X
()m a x [,0 ]r T tC S X e
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2,看跌期权
为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理,我们考察如下两种组合：
组合 A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合 B：金额为 的现金
若不提前执行,则到 T时刻,组合 A的价值为
max（ X,ST）,组合 B的价值为 X,组合 A的价值大于等于组合 B。
若在 t时刻提前执行,则组合 A的价值为 X,组合
B的价值为 Xe-(T-τ),因此组合 A的价值也高于组合 B。
()r T tXe
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故：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权,
主要取决于期权的实值额 （ X-S）,无风险利率水平等因素 。 一般来说,只有当 S相对于 X来说较低,或者 r较高时,提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 。
由于美式期权可提前执行,因此其下限比
（ 13.6） 更严格：
（ 13.10）
P X S
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（ 二 ） 提前执行有收益资产美式期权的合理性
1,看涨期权
由于在无收益的情况下,不应提前执行美式看涨期权,据此可知：在有收益情况下,只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的 。
我们先来考察在最后一个除权日 （ tn） 提前执行的条件 。 如果在 tn时刻提前执行,则期权多方获得 Sn-X的收益 。 若不提前执行,则标的资产价格将由于除权降到 Sn-Dn。
根据式 （ 13.5）,在 tn时刻期权的价值 （ Cn）
()m a x[,0]nr T tn n n nC c S D Xe
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因此,如果：
即：
（ 13.11）
则在 tn提前执行是不明智的 。
相反,如果
（ 13.12）
则在 tn提前执行有可能是合理的 。 实际上,只有当 tn时刻标的资产价格足够大时,提前执行美式看涨期权才是合理的 。
同样,在 ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
（ 13.13）
由于存在提前执行更有利的可能性,有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权,其下限为：
（ 13.14）
() nr T tn n nS D Xe S X
()[1 ]nr T tnD X e
()[ 1 ]nr T tnD X e
1()[ 1 ]iir t tiD X e
()m a x [,0 ]r T tC c S D X e
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2,看跌期权
由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权,因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小,但还不能排除提前执行的可能性 。
通过同样的分析,我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：
由于美式看跌期权有提前执行的可能性,因此其下限为：
（ 13.15）
1()
()
[1 ]
[1 ]
ii
n
r t t
i
r T t
n
D X e
D X e
m a x (,0 )P D X S
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五,期权价格曲线的形状
（ 一 ） 看涨期权价格曲线
无收益资产看涨期权价格曲线如图 13-2所示 。
有收益资产看涨期权价格曲线与图 13.2类似,只是把 X
e-r(T-t)换成 X e-r(T-t)+D。
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（ 二 ） 看跌期权价格曲线
1,欧式看跌期权价格曲线
无收益资产欧式看跌期权价格曲线如图 13-3所示 。
图 13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线
有收益资产期权价格曲线与图 13.3相似,只是把换为()r T tXe ()r T tD X e
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2,美式看跌期权价格曲线
无收益资产美式看跌期权价格曲线如图 13-4所示 。
有收益美式看跌期权价格曲线与图 13.4相似,只是把 X
换成 D+X。
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六,看涨期权与看跌期权之间的平价关系
（ 一 ） 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系
1,无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金组合 B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产
在期权到期时,两个组合的价值均为 max(ST,X)。 由于欧式期权不能提前执行,因此两组合在时刻 t必须具有相等的价值,即：
（ 13.16）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 。 它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来,反之亦然 。
如果式 （ 13.16） 不成立,则存在无风险套利机会 。 套利活动将最终促使式 （ 13.16） 成立 。
()r T tXe
()r T tc Xe p S
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2．有收益资产欧式期权
在标的资产有收益的情况下,我们只要把前面的组合 A中的现金改为 +D,我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：
（ 13.17）
()r T tc D X e p S
()r T tXe
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（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
1,无收益资产美式期权 。
由于 P>p,从式 （ 13.16） 中我们可得：
对于无收益资产看涨期权来说,由于 c=C,因此：
（ 13.18）
为了推出 C和 P更严密的关系,我们考虑以下两个组合：
组合 A：一份欧式看涨期权加上金额为 X的现金组合 B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产
如果美式期权没有提前执行,则在 T时刻组合 B的价值为
max(ST,X),而此时组合 A的价值为 。 因此组合 A的价值大于组合 B。
如果美式期权在 τ 时刻提前执行,则在 τ 时刻,组合 B的价值为 X,而此时组合 A的价值大于等于 X。 因此组合 A的价值也大于组合 B。
()r T tP c X e S
()r T tP C X e S
()r T tC P S X e
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这就是说,无论美式组合是否提前执行,组合 A的价值都高于组合 B,因此在 t时刻,组合 A的价值也应高于组合 B,即：
C+X>P+S
由于 c=C,因此,
C+X>P+S
C-P>S-X
结合式 （ 13.18）,我们可得：
（ 13.19）
由于美式期权可能提前执行,因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系,但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式 （ 13.19） 的不等式 。
()r T tS X C P S X e
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2．有收益资产美式期权
同样,我们只要把组合 A的现金改为 D+X,就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：
S-D-X?C-P?S-D-Xe-r（ T-t）
（ 13.20）
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第二节 期权组合的盈亏分布
期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。
投资者可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险 --收益偏好，选择最适合自己的期权组合。
在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。
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一、标的资产与期权组合
通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但位置不同的盈亏图，如图 13.5表示。
图 13.5（ a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权（ Covered
Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相反。
图 13.5（ b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合的盈亏图刚好相反。从图 13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。
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二,差价组合差价（ Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。
1,牛市差价（ Bull Spreads）组合。
牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。
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牛市差价组合
牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表 13.2表示。
表 13.2 牛市差价期权的盈亏状况
表 13.2结果可用图 13.6表示，从图可看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故称牛市差价组合。
标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST?X2 ST―X 1―c 1 X2―S T+c2 X2―X 1+c2―c 1
X1<ST<X2 ST―X 1―c 1 c2 ST―X 1+c2―c 1
ST?X1 -c1 c2 c2― c1
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通过比较标的资产现价与协议价格的关系，我们可以把牛市差价期权分为三类,?两虚值期权组合，指两个协议价格均比现货价格高；?多头实值期权加空头虚值期权组合，指多头期权的协议价格比现货价格低，而空头期权的协议价格比现货价格高；?两实值期权组合，指两个协议价格均比现货价格低。
此外，一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组合也是牛市差价组合，
如图 13.7所示。
比较看涨期权的牛市差价与看跌期权的牛市差价组合可以看，前者期初现金流为负，后者为正，
但前者的最终收益可能大于后者。
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2,熊市差价组合
熊市差价（ Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，它可以由一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头组成（如图 13.8所示）也可以由一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头组成（如图 13.9所示）。
看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。
通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而
“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和
“高”是指协议价格。两者的图形刚好与 X轴对称。
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3,蝶式差价组合蝶式差价（ Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。
若 X1 < X2 < X3，且 X2=（ X1+X3） /2，则蝶式差价组合有如下四种：
看涨期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看涨期权多头和两份协议价格为 X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图 13.10所示；
看涨期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看涨期权空头和两份协议价格为 X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好与图 13,10相反；
看跌期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看跌期权多头和两份协议价格为 X2的看跌期权空头组成，其盈亏图如图 13.11所示。
看跌期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为 X1
和 X3的看跌期权空头和两份协议价格为 X2的看跌期权多头组成，其盈亏图与图 13.11刚好相反。
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图 13.10 看涨期权的正向蝶式差价组合 图 13.11 看跌期权的正向蝶式差价组合
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三,差期组合
差期（ Calendar Spreads）组合是由两份相同协议价格、
不同期限的同种期权的不同头寸组成的组合。它有四种类型：
一份看涨期权多头与一份期限较短的看涨期权空头的组合，称看涨期权的正向差期组合。
一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。
一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权空头的组合，称看跌期权的正向差期组合。
一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。
看涨期权的正向差期组合的盈亏分布情况见表 13.3。
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表 13.3看涨期权的正向差期组合的盈亏状况
根据表 13.3，我们可以画出看涨期权正向差期组合的盈亏分布图如图 13.12所示。
ST的范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST 趋近 ST―X―c 1 X―S T+c2 趋近 c2―c 1
ST=X c1T―c 1 c2 c2―c 1+c1T
ST?0 趋近 -c1 c2 趋近 c2― c1
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用同样的分析法我们可以画出看跌期权正向差期组合的盈亏分布图如图 13.13所示。看跌期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图 13.13相反，也从略。
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四、对角组合对角组合（ Diagonal Spreads）是指由两份协议价格不同
（ X1和 X2，且 X1<X2）、期限也不同（ T和 T*，且 T<T*）
的同种期权的不同头寸组成。它有八种类型：
1,看涨期权的（ X1,T*）多头加（ X2,T）空头组合。
表 13.4 看涨期权的正向差价和差期组合
根据表 13.4，我们可以画出看涨期权的正向差价和差期组合的盈亏分布图如图 13.14所示。
2.看涨期权的（ X1,T*）空头加（ X2,T）多头组合。其盈亏图与图 13.14刚好相反
ST的范围 (X1,T*)多头的盈亏 (X2,T)空头的盈亏 总盈亏
ST 趋近于 ST―X 1―c 1 X2―S T+c2 趋近 X2―X 1+c2－ c1
ST=X2 X2―X 1+c1T―c 1 c2 X2―X 1+c2 ―c 1+c1T
ST?0 趋近 -c1 c2 趋近 c2― c1
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3,看涨期权的（ X2,T*）多头加（ X1,T）空头组合。
4,看涨期权的（ X2,T*）空头加（ X1,T）多头组合，
其盈亏分布图与图 13.15刚好相反。
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5,看跌期权的（ X1,T*）多头加（ X2,T）空头组合，
其盈亏图如图 13.16所示。
6,看跌期权的（ X1,T*）空头加（ X2,T）多头组合，
其盈亏图与图 13.16刚好相反。
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7,看跌期权的（ X2,T*）多头加（ X1,T）空头组合，其盈亏图如图 13.17所示。
8,看跌期权的（ X2,T*）空头加（ X1,T）多头组合，其盈亏图与图 13.17刚好相反。
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五、混合期权
1,跨式组合（ Straddle）：由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和一份看跌期权组成。跨式组合分为两种：底部跨式组合和顶部跨式组合。前者由两份多头组成，后者由两份空头组成。
底部跨式组合的盈亏图如图 13.18所示，顶部跨式组合的盈亏图与图 13.18刚好相反。
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2,条式组合和带式组合
条式组合（ Strip）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和两份看跌期权组成。条式组合也分底部和顶部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。
底部条式组合的盈亏图如图 13.19所示，顶部条式组合的盈亏图刚好相反。
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带式组合（ Strap）由具有相同协议价格、相同期限的资产的两份看涨期权和一份看跌期权组成，带式组合也分底部和预部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。
底部带式组合的盈亏图如图 13.20所示，顶部带式组合的盈亏图刚好相反。
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3,宽跨式组合。
宽跨式组合（ Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌期权组成，其中看涨期权的协议价格高于看跌期权。宽跨式组合也分底部和顶部，前者由多头组成，后者由空头组成。前者的盈亏图如图 13.21所示。
后者的盈亏图刚好相反。
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第三节 期权定价的理论基础一,弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年,法玛 （ E?F?Fama） 提出了著名的效率市场假说 。 该假说认为,投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反映全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平,
而与新信息相应的价格变动是相互独立的,或称随机的,因此效率市场假说又称随机漫步理论 。
效率市场假说可分为三类：弱式,半强式和强式 。
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弱式效率市场假说认为,证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益 。
半强式效率市场假说认为,证券价格会迅速,准确地根据可获得的所有公开信息调整,因此 以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选出价格被高估或低估的证券 。
强式效率市场假说认为,不仅是已公布的信息,而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中,因此任何信息
（ 包括,内幕信息,） 对挑选证券都没有用处 。
效率市场假说提出后,许多学者运用各种数据对此进行了实证分析 。 结果发现,发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说 。
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弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （ Markov
Stochastic Process） 来表述 。
所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 。 根据时间是否连续,随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程,前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程,后者指变量可以在连续的时间段变化的过程 。 根据变量取值范围是否连续划分,随机过程可分为离散变量随机过程和连续变量随机过程,前者指变量只能取某些离散值,而后者指变量可以在某一范围内取任意值 。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 。 在这个过程中,只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 。
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（ 一 ） 标准布朗运动
设 代表一个小的时间间隔长度,代表变量 z在时间内的变化,遵循标准布朗运动的具有两种特征：
特征 1,和 的关系满足
＝ （ 13.21）
特征 2：对于任何两个不同时间间隔,
的值相互独立 。
从特征 1可知,本身也具有正态分布特征,其均值为 0，
标准差为,方差为 。
从特征 2可知,标准布朗运动符合马尔可夫过程,因此是马尔可夫过程的一种特殊形式 。
t? t?
t?
t?
z?
z?
z?t?
t?
t?z
z?
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现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量 z在一段较长时间
T中的变化情形 。 我们用 z（ T） － z(0)表示变量 z在 T中的变化量,它可被看作是在 N个长度为 的小时间间隔中 z的变化总量,其中 N=T/,因此,
（ 13.22 ）
其中 (i=1,2,…… N） 是标准正态分布的随机抽样值 。
从特征 2可知,是相互独立的,因此 z（ T） -z（ 0） 也具有正态分布特征,其均值为 0,方差为 N?t=T,标准差为 。
由此我们可以发现两个特征,?在任意长度的时间间隔 T中,
遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为 0,标准差为的正态分布 。对于相互独立的正态分布,方差具有可加性,而标准差不具有可加性 。
当?0时,我们就可以得到极限的标准布朗运动：
（ 13.23）
t?
1
( ) ( 0 )
N
i
i
z T z t?
i?
t?
T
d z d t
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（二）普通布朗运动
为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率（ Drift Rate）是指单位时间内变量 z均值的变化值。
方差率（ Variance Rate）是指单位时间的方差。
标准布朗运动的漂移率为 0，方差率为 1.0。漂移率为 0意味着在未来任意时刻 z的均值都等于它的当前值。方差率为 1.0意味着在一段长度为 T的时间段后,z的方差为 1.0?T。我们令漂移率的期望值为 a,方差率的期望值为 b2，就可得到变量 x 的普通布朗运动：
从式 （ 13.21） 和 （ 13.24） 可知,在短时间后,x值的变化值为：
因此,Δx也具有正态分布特征，其均值为,标准差为,
方差为 。同样，在任意时间长度 T后 x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为,方差为 b2T。
d x a d t b d z
x a t b t
at? bt?
2bt?
bT
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三、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此我们可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：
（ 13.25）
其中 S表示证券价格,μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率 （ 又称预期收益率 ）,表示证券收益率单位时间的方差,表示证券收益率单位时间的标准差,简称证券价格的波动率 （ Volatility）,
dz遵循标准布朗运动 。
从 （ 13.21） 和上式可知,在短时间后,证券价格比率的变化值为：
则可得 （ 13.26）
我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。相反，证券价格的波动率对于衍生证券的定价则是相当重要的。
应该注意的是，由于比例变化不具有可加性,因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度 T后证券价格比例变化的标准差为 。
dS d t d z
S
2
t?
S tt
S
~ (,)S ttS
T?
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四、伊藤过程和伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x
的漂移率和方差率当作变量 x和时间 t的函数，我们可以从公式（ 13.24）得到伊藤过程（ Ito Process）：
（ 13.27）
其中,dz是一个标准布朗运动,a,b是变量 x和 t的函数，
变量 x的漂移率为 a，方差率为 b2。
在伊藤过程的基础上,伊藤进一步推导出：若变量 x遵循伊藤过程,则变量 x和 t的函数 G将遵循如下过程：
（ 13.28）
公式（ 13.28）就是著名的伊藤引理。
(,) (,)d x a x t d t b x t d z
2
2
2
1()
2
G G G Gd G a b d t b
x t x x
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从式 （ 13.25） 中,我们可得：
（ 13.29）
我们知道,衍生证券的价格是标的证券价格 S和时间 t
的函数 。 根据伊藤引理,衍生证券的价格 G应遵循如下过程：
（ 13.30）
比较式（ 13.29）和 (13.30)可看出，衍生证券价格 G和标的证券价格 S都受同一个基本的不确定性来源 dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。
d S S d t S d z
2
22
2
1()
2
G G G Gd G S S d t S d z
S t S S
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五、证券价格自然对数变化过程
我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数 lnS变化所遵循的随机过程。
令我们就可得出证券价格对数 G所遵循的随机过程为：
令 t时刻 G的值为 lnS,T时刻 G的值为 lnST，其中 S表示 t
时刻（当前时刻）的证券价格,ST表示 T时刻（将来时刻）的证券价格，则在 T－ t期间 G的变化为,lnST- lnS
这意味着,（ 13.31）
根据正态分布的特性，从式（ 13.31）可以得到：
（ 13.32）
lnGS?
2()
2dG dt dz
22l n l n ~ [ ( ) ( ),TS S T t T t
22l n ~ [ l n ( ) ( ),]TS S T t T t
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这表明 ST服从对数正态分布。 lnST的标准差与成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）与我们考虑的未来时间的长度的平方根成正比。这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。
根据式 （ 13.32） 和对数正态分布的特性,可知
ST的期望值 E(ST)为：
这与作为预期收益率的定义相符 。 ST的方差
var(ST)为,
()() TtTE S S e
2 ()2 2 ( )v a r ( ) [ 1 ]TtTt
TS S e e
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第四节 布莱克 —— 舒尔斯期权定价模型一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程需要用到如下假设：
证券价格遵循几何布朗过程,即和为常数；
允许卖空标的证券；
没有交易费用和税收,所有证券都是完全可分的；
在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；
不存在无风险套利机会；
证券交易是连续的,价格变动也是连续的；
在衍生证券有效期内,无风险利率 r为常数 。
实际上，有些假设条件我们可以放松，如、和 r可以是 t
的函数。
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（一）布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导
（ 13.35）
（ 13.36）
我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。
令?代表该投资组合的价值，则：
（ 13.37）
在时间后，该投资组合的价值变化为：
在没有套利机会的条件下,
我们代入 和,则可得著名的布莱克 —— 舒尔斯微分分程,
S S t S z
2
22
2
1()
2
f f f ff S S t S z
S t S S
fsfS
f
S
fsfS
rt
f? S?
2
22
2
1
2
f f frS S rf
t S S?
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布莱克 —— 舒尔斯微分分程适用于其价格取决于标的证券价格 S的所有衍生证券的定价。
应该注意的是，当 S和 t变化时,的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据 的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心 中的变化。
f
s
t?
f
s
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（二）风险中性定价原理
从上可以看出受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f的值产生影响。
于是，我们就可以利用布莱克 —— 舒尔斯微分方程所揭示的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
这就是风险中性定价原理。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。 （见书）
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二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（ T时刻）
的期望值为：
根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格 c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：
（ 13.41）
对式（ 13.41）右边求值是一种积分过程，结果为：
其中，
由于欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系,可得
[ m a x (,0 ) ]TE S X
() [ m a x (,0 ) ]r T t Tc e E S X
()12( ) ( )r T tc S N d X e N d
2
1
2
21
l n ( / ) ( / 2 ) ( )
l n ( / ) ( / 2 ) ( )
S X r T t
d
Tt
S X r T t
d d T t
Tt
() 21( ) ( )r T tp X e N d S N d
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SN(d1)是 Asset-or-noting call option的价值,-e-rTXN(d2)
是 X份 cash-or-nothing看涨期权空头的价值。
N(d2)是在风险中性世界中期权被执行的概率，或者说 ST大于 X的概率,e-rTXN(d2)是 X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)是得到 ST的风险中性期望值的现值。
是复制交易策略中股票的数量,SN
（ d1)就是股票的市值,-e-rTXN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
)( 1dN
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三、有收益资产的期权定价公式
（一）有收益资产欧式期权的定价公式
在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。
当标的证券已知收益的现值为 I时，我们只要用（ S－
I）代替 S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q
（单位为年）时，我们只要将代替 S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格，从而使布莱克 —— 舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。
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对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：
其中，
例子见书,
() 12[ ( ) ( ) ]r T tc e F N d X N d
() 21[ ( ) ( ) ]r T tp e X N d F N d
2
1
2
2
1
l n( / ) ( / 2)( )
l n( / ) ( / 2)( )
F X T t
d
Tt
F X T t
d
Tt
d T t
M
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（二）有收益资产美式期权的定价
1．美式看涨期权
当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，其方法我们在本章第一节已论述过。若不合理，则按欧式期权处理；若在 tn
提前执行有可能是合理的，则要分别计算在 T时刻和 tn
时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。
2．美式看跌期权
由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，
但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。
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第五节 二叉树期权定价摸型
由于美式看跌期权无法用布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式进行精确定价，因此要用其它替代方法，如二叉树期权定价模型，该模型是由科克斯（ J.Cox）、罗斯 (S.Ross)和鲁宾斯坦 (M.Rubinstein)于
1979年首先提出的。
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一、无收益资产期权的定价
二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格从开始的 S运动到两个新值 Su和 Sd中的一个，如图 13.22所示。其中，
u>1,d<1，且 u=1/d
图 13.22?T时间内证券价格的变动
为了对期权进行定价，二叉树模型也应用风险中性定价原理并假定：
（ 1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
（ 2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现来计算现值。
S0u
u
S0d
d
S0
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（一）参数 p,u和 d的确定
参数 p,u和 d的值必须满足这个要求，即：
根据本章第 2节的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是 。根据方差的定义，变量 X的方差等于 X2的期望值与 X期望值平方之差，因此：
由上可得，
( 1 )rtSe pS u p Sd
( 1 )rte p u p d
22St
2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) [ ( 1 ) ]S t p S u p S d S p u p d
2 2 2( 1 ) ( 1 )t p u p d p u p d
rted
p ud
tue tde
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（二）证券价格的树型结构
应用二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图 13.23所示。
图 13.23 证券价格的树型结构
当时间为 0时，证券价格为 S。 时间为?t时，证券价格要么上涨到 Su，要么下降到 Sd；时间为 2?t时，证券价格就有三种可能：
Su2,Sud（等于 S）和 Sd2，以此类推。一般而言，在时刻 i?t,
证券价格有 i+1种可能，它们可用符号表示为：
其中 j=0,1,2,……,ij i jS u d?
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（三）倒推定价法
由于在 T时刻的期权价值是已知的。 所以 在二叉树模型中，期权定价从树型结构图的末端 T时刻开始，采用倒推法定价。
例,S0 = 50; X = 50; r =10%;? = 40%;
T = 5 months = 0.4167;
t = 1 month = 0.0833
则可得,u = 1.1224; d = 0.8909;
a = 1.0084; p = 0.5076
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如下图：
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在时刻，股票在第 j个结点（ j=0,1,2,……i ）的价格等于。例如,F结点（ i=4,j=1）的股价等于。在最后那些结点处，期权价值等于。例如，
G结点的期权价格等于 50－ 35.36=14.64。
从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。
首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是时间内期权价值期望值的现值。 如 E结点处的期权价值等于：
而 F结点处的期权价值等于：
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在 E结点，提前执行将使期权价值为 0,所以不应提前执行。 而在 F结点，如果提前执行，期权价值等于 50.00－ 39.69元，等于 10.31元，大于上述的 9.90元。因此，若股价到达 F结点，就应提前执行。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为 4.48元。
0,1 0,0 8 3 3( 0,5 0 7 6 0 0,4 9 2 4 5,4 5 ) 2,6 6e 元
0,1 0,0 8 3 3( 0,5 0 7 6 5,4 5 0,4 9 2 4 1 4,6 4 ) 9,9 0e 元
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（四）美式看跌期权的定价公式其中 j=0,1,2,……,N
假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比较，由此可得：
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，
或者说当每一区间?t趋于 0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成 30个就可得到较为理想的结果。
,m a x(,0)j N jNf j X Su d
1 1,,1[ ( 1 ) ]
rt
i j i i jjf e p f p f
1 1,,1m a x {,[ ( 1 ) ] }
j i j r t
i j i i jjf X S u d e p f p f
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二、有收益资产期权的定价
（一）支付连续复利收益率资产的期权定价
当标的资产支付连续复利收益率 q的收益时，在风险中性条件下，
证券价格的增长率应该为 r－ q,因此可得：
对于股价指数期权来说,q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说,q为国外无风险利率，因此上式也可用于股价指数和外汇的美式看跌期权的定价。
对于期货期权来说，布莱克曾证明，在对期货期权定价时期货的价格可以和支付连续红利率 r的证券同样对待，因此对于期货期权而言,q=r，即：
因此，也 就可用于美式期货看跌期权的定价。
() ( 1 )r q te p u p d
()r q ted
p ud
1 dp
ud
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（二）支付已知收益资产的期权定价
1．已知红利率
若标的资产在未来某一确定时间将支付已知收益率?，我们只要调整在各个结点上的证券价格就可算出期权价格。
调整方法如下：
如果时刻 i?t在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
如果时刻 i?t在除权日之后,则结点处证券价格相应调整为,j=0,1,……,i
对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若 δi为 0时刻到时刻之间所有除权日的红利支付率，则时刻结点的相应的证券价格为：
,0,1,,j i jS u d j i
( 1 ) j i jS u d
( 1 ) j i jS u d
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2．已知红利额
若标的资产在未来某一确定日期将支付已知数额的收益，则除权后树枝将不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额收益的话。
为了简化起见，我们仍可以把证券价格分为两个部分：
一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一个除息日?,而且
x时刻不确定部分的价值 S* 为：
当 x>?时当 x<=?时
( 1 )k t k t
* ( ) ( )S x S x?
* ( )( ) ( ) rxS x S x D e
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其中 D表示收益金额。设 为 S*的标准差，假设 是常数，这样就可用通常的方法构造出模拟 S*的二叉树了 。 通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟 S的二叉树。在 i?t时刻，当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0,1,2……,i
当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0,1,2……,i
it
* ( )() j i j r i tS t u d D e
it
* () j i jS t u d?
