1
振动与波动
2
第一章 振动
(vibration)
(自学后的小结 )
3
一,简谐振动
1.定义,
(1)弹性力
(2)运动学方程
(3)动力学方程
(4)能量特征简谐振动是小振幅实际振动的理想化模型,
E
r0
EP
例,双原子分子两个原子之间的振动
kxF
xdt xd 22
2
)c o s ( tAx
.
2
1 2
c o n s tEEE
kxE
KP
P
4
2.特征量
(1)角频率?
m
k 系统的固有性质 (弹性,惯性 )
与初始条件无关,与振幅无关 !
与何时开始计时有关 !x
t
T0’’ t0 0’
0?/2,
位相差与时间差的关系：
tT 2
0
0ta n
x
v
(3)初相?
2
2
02
0?
vxA
k
EA 02?
或(2)振幅 A
5
作简谐振动的物体，其速度，加速度也有简谐振动的特征
)c o s (
)
2
c o s (
)c o s (
2
tAa
tAv
tAx
或落后 23?
或落 后?
3,表示法
(1)解析法
(2)曲线法
(3)旋转矢量法
A
t
x0
=0
av
2
A
A
t
x x
t
0
6
4,同一直线上同频率 SHM的合成
(1)两个,例
)c o s (
)c o s (
222
111 tAx tAx
合成仍为 SHM )c o s ( tAx
重要的特例,同相
21
12
21
12
)2,1,0()12(
)2,1,0(2
AAA
kk
AAA
kk
反相
(2) n个,振幅相等,初相依次差常量?
)1(c o s
)2c o s (
)c o s (
)c o s (
3
2
1
ntax
tax
tax
tax
n
7
合成 ( 仍 SHM) )c o s ( tAx
2
1
2
s i n
2
s i n
n
n
aA
o
a
A
重要的特例,
)2,1,0(2 kk
用洛必达法则,可得 naA?
(1)各分振动同相即
8
(2)各分振动的初相差
n
k,2?
,k 为 不 等 于 nk 的整数 )(
这时 0?A 封闭多边形 !
例,n?4 时?7,6,5),4(,3,2,1),0(,?k
k?=1
k?=3
k?=2
5,同一 直线上不同频率 SHM 的合成
9
例,
)c o s (
)c o s (
22
11 tAx tAx
合成为
ttA
xxx
2
c o s
2
c o s2 1212
21
变化快变化慢
(起调制作用 )
重要特例,若?1,?2 均较大，而差值较小，则合振动的振幅时而大，时而小，称为“拍”。
拍频
12拍
（可测频，或得到更低频振动）
10
6,相互垂直的 SHM 的合成
(1) 同频率
)(c o s
)(c o s
22
11 tAy tAx
轨迹的旋转矢量作图法,
以 4
12
为例 (补图 )
y 位相领先,则为右旋 !
位相领先,则为左旋 !x
412 则为斜椭圆
212 则为正椭圆
212 而且 则为圆21 AA?
11
(2) 不同频率,但有简单整数比则合成运动又具有稳定的封闭轨迹,称为李萨如图,
例如,
达到最大值的次数达到最大值的次数
y
x
T
T
x
y
y
x
)(c o s
)(c o s
yyy
xxx tAy tAx
具体的图形与
yx,
有关,(补图 )
当两个频率有微小差别时,位相在缓慢变化,
轨迹形状也会缓慢变化,不稳定,
（可利用示波器测定某个交变电压的频率）,
12
二,阻尼振动
)c o s ( 00 teAx t
为衰减因子te
1.弱阻尼
2.过阻尼
3.临界阻尼三,强迫振动 共振当系统受弹性力,阻力外,还受周期性策动力 tHF?co s?
其稳定振动解为
13
( )
( )
22
0
2
1
22
2
22
0
2
t a n
4
c o s
h
A
tAx
式中注意,此解与简谐振动很相似,但很不一样 !
是策动力的角频率 (与系统本身的性质无关 )
,A 是,,,0h 的函数 (与初始条件无关 )
在弱阻尼 时,
0
22
0 2
振幅 A为最大值,这 称为共振,
14
共振时,振动系统能最大限度地从外界获得能量,
因为此时
2
t a n
即策动力与速度同相,策动力总是作正功,
系统就能最大限度从外界获得能量,振幅可达最大值
(荡秋千 )
共振现象有利有弊,(图片 )
)2(tan 22
0
)c o s (
)
2
c o s (
tA
tA
dt
dx
所以
15
四,谐振分析任何一个复杂的振动都可以分解为许多 SHM 之和,
例如,一个锯齿形的振动曲线的分解 （补图）。
通过对乐器声音的频谱分析，
可以作成电子琴。
结束
振动与波动
2
第一章 振动
(vibration)
(自学后的小结 )
3
一,简谐振动
1.定义,
(1)弹性力
(2)运动学方程
(3)动力学方程
(4)能量特征简谐振动是小振幅实际振动的理想化模型,
E
r0
EP
例,双原子分子两个原子之间的振动
kxF
xdt xd 22
2
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.
2
1 2
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kxE
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4
2.特征量
(1)角频率?
m
k 系统的固有性质 (弹性,惯性 )
与初始条件无关,与振幅无关 !
与何时开始计时有关 !x
t
T0’’ t0 0’
0?/2,
位相差与时间差的关系：
tT 2
0
0ta n
x
v
(3)初相?
2
2
02
0?
vxA
k
EA 02?
或(2)振幅 A
5
作简谐振动的物体，其速度，加速度也有简谐振动的特征
)c o s (
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2
c o s (
)c o s (
2
tAa
tAv
tAx
或落后 23?
或落 后?
3,表示法
(1)解析法
(2)曲线法
(3)旋转矢量法
A
t
x0
=0
av
2
A
A
t
x x
t
0
6
4,同一直线上同频率 SHM的合成
(1)两个,例
)c o s (
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222
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合成仍为 SHM )c o s ( tAx
重要的特例,同相
21
12
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)2,1,0(2
AAA
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AAA
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反相
(2) n个,振幅相等,初相依次差常量?
)1(c o s
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3
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2
1
2
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A
重要的特例,
)2,1,0(2 kk
用洛必达法则,可得 naA?
(1)各分振动同相即
8
(2)各分振动的初相差
n
k,2?
,k 为 不 等 于 nk 的整数 )(
这时 0?A 封闭多边形 !
例,n?4 时?7,6,5),4(,3,2,1),0(,?k
k?=1
k?=3
k?=2
5,同一 直线上不同频率 SHM 的合成
9
例,
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22
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变化快变化慢
(起调制作用 )
重要特例,若?1,?2 均较大，而差值较小，则合振动的振幅时而大，时而小，称为“拍”。
拍频
12拍
（可测频，或得到更低频振动）
10
6,相互垂直的 SHM 的合成
(1) 同频率
)(c o s
)(c o s
22
11 tAy tAx
轨迹的旋转矢量作图法,
以 4
12
为例 (补图 )
y 位相领先,则为右旋 !
位相领先,则为左旋 !x
412 则为斜椭圆
212 则为正椭圆
212 而且 则为圆21 AA?
11
(2) 不同频率,但有简单整数比则合成运动又具有稳定的封闭轨迹,称为李萨如图,
例如,
达到最大值的次数达到最大值的次数
y
x
T
T
x
y
y
x
)(c o s
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具体的图形与
yx,
有关,(补图 )
当两个频率有微小差别时,位相在缓慢变化,
轨迹形状也会缓慢变化,不稳定,
（可利用示波器测定某个交变电压的频率）,
12
二,阻尼振动
)c o s ( 00 teAx t
为衰减因子te
1.弱阻尼
2.过阻尼
3.临界阻尼三,强迫振动 共振当系统受弹性力,阻力外,还受周期性策动力 tHF?co s?
其稳定振动解为
13
( )
( )
22
0
2
1
22
2
22
0
2
t a n
4
c o s
h
A
tAx
式中注意,此解与简谐振动很相似,但很不一样 !
是策动力的角频率 (与系统本身的性质无关 )
,A 是,,,0h 的函数 (与初始条件无关 )
在弱阻尼 时,
0
22
0 2
振幅 A为最大值,这 称为共振,
14
共振时,振动系统能最大限度地从外界获得能量,
因为此时
2
t a n
即策动力与速度同相,策动力总是作正功,
系统就能最大限度从外界获得能量,振幅可达最大值
(荡秋千 )
共振现象有利有弊,(图片 )
)2(tan 22
0
)c o s (
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所以
15
四,谐振分析任何一个复杂的振动都可以分解为许多 SHM 之和,
例如,一个锯齿形的振动曲线的分解 （补图）。
通过对乐器声音的频谱分析，
可以作成电子琴。
结束
