1
振动与波动习题分析
2
例 1,在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆,
角位移很小时,是否可以看成是简谐振动?
l
ma
mg
s
ma
q
[解 ] 非惯性系中列牛顿方程
2
2
2
2
)(
,s i n
s i ns i n
dt
d
mlagm
lS
dt
Sd
mmamg
q
q
qqq
qq
02
2
qq l agdtd
对比 02
2
2
xdt xd?,可知是简谐振动,
切向,(应考虑惯性力 -ma )
3
例 2,横截面均匀光滑的 U形管中,有总长度为 L
的液体,若液面上下有微小起伏,问是否是简谐振动?(液体不能看成质点 )
[解 ]
看是否符合简谐振动的定义式,
如图,高出的液体段受重力
gySgVW 2)(
它正是整个液体受的合力,
方法一,对比动力学方程
4
2
2
2
2
2
dt
yd
SL
dt
yd
mSg y
由牛顿运动定律,
对比
022
2
xdt xd? 可知是简谐振动,
而且知
L
g2
0
2
2
2
y
L
g
dt
yd
5
方法二,对比能量的特征 ------能量法设液体在平衡位置时,
重力势能为零,
液体在如图位置时,
相当于将右边高为 y的液体移到了左边,重心上移了 y.
液体有了势能 22
2
1 ygsygysE
P
----- 221 yk?因为光滑,无能量损耗
,co n s tEEE
PK 可知是简谐振动,
6
因为 gsk?2?
所以
L
g
Ls
gs
m
k 22
结果相同,
7
例 3,一平面简谐波在媒质 1中向 +x方向传播,
已知,x = -d 处的 a点的振动表达式为
tAa c o s?,在原点右侧 l处有在媒质 1,2中波速为 u1,u2,且?1u1<?2u2
并设波的振幅都是 A.
一厚度为 D的媒质 2(如图所示 ),
试,(1)写出 I区沿 +x方向传播的波的波函数
(2)写出 S1面上反射波的波函数
(3)写出 S2面上反射波在 I区的波函数
(4)若要使两列反射波在 I区内叠加后的合振幅为最大,媒质 2的厚度至少应多大?
8
[解 ] (1)写出 I 区沿 +x 方向传播的波的波函数
)2c o s (
1
,
dxtA
I
入射
)(c o s
1
,u
dxtA
I
入射或
I 区 II 区 III 区
D
x
1u1? 2u2
S1 S2
l0-d
a
1u1
ll
区 区 区
x
9
I 区 II 区 III 区
D
x
1u1? 2u2
S1 S2
l0-d
a
1u1
ll
先写出波在 S1面上引起质点振动的表达式
)(co s
1
1 u
dltA
S
在 S1面上反射的波有半波损失，故反射波的波函数为
)(c o s
11
,?
u
lx
u
dltA
I 反射
(2)写出 S1面上反射波的波函数
10
先写出波在 S2面上引起质点振动的表达式 )(c o s 212 u
D
u
dltA
S?
因为在 S2面上的反射波无半波损失，
再进入 S1面透射到
I区也无半波损失。
)(co s
1221
,u
lx
u
D
u
D
u
dltA
I
反射
I 区 II 区 III 区
D
x
1u1? 2u2
S1 S2
l0-d
a
1u1
ll
(3)写出 S2面上反射波在 I区的波函数
11
(4) 若要使两列反射波在 I区内叠加后的合振幅为最大,媒质 2的厚度至少应多大?
反射反射 与,,II
合振幅最大时满足的条件为：
在 I 区叠加，
两波的位相差 k2
12
)(
1221 u
lx
u
D
u
D
u
dlt
所以因为 )(c o s
11
,?
u
lx
u
dltA
I 反射
)(c o s
1221
,u
lx
u
D
u
D
u
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I
反射
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11?
u
lx
u
dl
t
k
u
D 22
2
13
,2,1,0212 2 kkuD
k
u
D 22
2
当 k=0时,2 2m i n uDD
即当第二种媒质的厚度等于?2/4时，
从它的两个表面反射的波干涉加强！
此结论对 Z1>Z2;Z1<Z2都是对的。
想想为什么？
讨论：
4222
222
m i n
u
DD
4
2
m i n
D
结束
振动与波动习题分析
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例 1,在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆,
角位移很小时,是否可以看成是简谐振动?
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3
例 2,横截面均匀光滑的 U形管中,有总长度为 L
的液体,若液面上下有微小起伏,问是否是简谐振动?(液体不能看成质点 )
[解 ]
看是否符合简谐振动的定义式,
如图,高出的液体段受重力
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方法二,对比能量的特征 ------能量法设液体在平衡位置时,
重力势能为零,
液体在如图位置时,
相当于将右边高为 y的液体移到了左边,重心上移了 y.
液体有了势能 22
2
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例 3,一平面简谐波在媒质 1中向 +x方向传播,
已知,x = -d 处的 a点的振动表达式为
tAa c o s?,在原点右侧 l处有在媒质 1,2中波速为 u1,u2,且?1u1<?2u2
并设波的振幅都是 A.
一厚度为 D的媒质 2(如图所示 ),
试,(1)写出 I区沿 +x方向传播的波的波函数
(2)写出 S1面上反射波的波函数
(3)写出 S2面上反射波在 I区的波函数
(4)若要使两列反射波在 I区内叠加后的合振幅为最大,媒质 2的厚度至少应多大?
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[解 ] (1)写出 I 区沿 +x 方向传播的波的波函数
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(2)写出 S1面上反射波的波函数
10
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11
(4) 若要使两列反射波在 I区内叠加后的合振幅为最大,媒质 2的厚度至少应多大?
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合振幅最大时满足的条件为：
在 I 区叠加，
两波的位相差 k2
12
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即当第二种媒质的厚度等于?2/4时，
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想想为什么？
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