电 磁 场 理 论
Electromagnetic Theory
武汉大学 柯亨玉第一讲序 论一、电磁场理论的主要研究领域二、磁场理论发展简史三、电磁场理论的主要研究对象四、学习的目的、方法及其要求作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观量子电动力学的研究 。
电磁场的主要研究领域 作为无线电技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。
一、电磁场理论的主要研究领域三大类应用问题：
电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。
电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。
电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、
目标特征的获取与重建、探测新技术等。
二、磁场理论发展简史
1．电磁场理论的早期研究电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也最早被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。
19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现象，没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究
（特别是伏打 1799年发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。
2．电磁场理论的建立
18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。
奥斯特是谢林的信徒，他从 1807年开始研究电磁之间的关系。 1820年，他发现电流以力作用于磁针。
安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。
法拉第在谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特 1820年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，
磁也一定能够对电产生影响。 1821年他开始探索磁生电的实验。 1831年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。
麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；
与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。
3．电磁场理论的应用和发展
1887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。
无线电报 1895年，意大利马可尼成功地进行了
2.5公里距离的无线电报传送实验。 1896年，波波夫进行了约 250米距离的类似试验,1899年,无线电报跨越英吉利海峡的试验成功； 1901年，跨越大西洋的 3200公里距离的试验成功。马可尼以其在无线电报等领域的成就，获得了 1909年的诺贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。
有线电话 1876年,美国 A.G.贝尔在美国建国
100周年博览会上展示了他所发明 的有线电话。
此后,有线电话便迅速普及开来。
广播 1906年，美国费森登用 50千赫频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。 1919年，第一个定时播发 语言和音乐的无线电广播电台在英国建成。次年,在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。
电视 1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想,1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西 洋中的船上。兹沃霄金在 1923和 1924
年相继发明了摄像管和显像管。 1931年，他组装成世界上 第一个全电子电视系统 。
雷达（ Radio Detection and Ranging）
二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。
英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。 1936年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。 1938年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。 1940年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。 1944
年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。 1945
年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术的发明,使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。
卫星通信技术 1958年,美国发射低轨的“斯科尔”
卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。 1964
年,借助定点同步通信卫星首次实现了美,欧、非三大洲的通信和电视转播。 1965年,第一颗商用定点同步卫星投入运行。 1969年,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经历 10年的发展，终趋于成熟 。
卫星定位技术 1957年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。 1958年底，美国开始研究实施这一计划，于 1964年研究成功子午仪卫星导航系统。 1973年美国提出了由 24颗卫星组成的实用系统新方案，即 GPS计划。它是英文 Navigation Satellite Timing and Ranging
/Global Positioning System 的字头缩写
NAVSTAR/GPS的简称，其含义是利用导航卫星进行测时和测距。 1990年最终的 GPS方案是由 21
颗工作卫星和 3颗在轨备用卫星组成。
三、电磁场理论的主要研究对象电磁场的基本属性及其运动规律波与物质的相互作用及信息的提取电磁场系统的计算方法，仿真技术工程技术应用中的电磁场理论问题四、学习的目的、方法及其要求掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理训练分析问题、归纳问题的科学方法培养用数学解决实际问题的能力独立完成作业，做好课堂笔记精读一至二本教学参考书五、主要参考书
【 1】 J,D,Kraus,Electromagnetism with
Application（ Fifth Edition）
【 2】 毕德显，电磁场理论，电子工业出版社
【 3】 郭硕鸿，电动力学（第二版）
【 4】 王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社
【 5】 谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社第一章 矢量分析与场论基础主要内容,
矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
矢量场的 Helmholtz定理
§ 1.1 正交曲线坐标系
1,正交曲线坐标三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量
§ 1.1 正交曲线坐标系
2,正交曲线坐标变换三维空间中同一位置可以用不同的正交曲线坐标系描述 。 因此不同坐标系之间存在相互变换的关系,且这种变换关系只能是一一对应的
xyxqq
xyxqq
xyxqq
,,
,,
,,
33
22
11＝
321
321
321
,,
,,
,,
qqqzz
qqqyy
qqqxx ＝
在任何正交曲线坐标系中,存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的,
圆柱坐标系中的 等 。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。
§ 1.1 正交曲线坐标系
zyx eee?,?,?
zeee?,?,
Cx,y,xqq ii?＝
222
z
x,y,xq
y
x,y,xq
x
x,y,xq
z
x,y,xq
e?
y
x,y,xq
e?
x
x,y,xq
e?
e?
iii
i
z
i
y
i
x
q i
§ 1.1 正交曲线坐标系
3 坐标系中的弧长在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的 弧长 是：
在正交曲线坐标系中，坐标变量 的相邻两点的微小变化弧长
222 dzdydxds
222 dzdydxds |
iii dqqq
iii dqqq
其中称为 Lame系数
iii
iii
dqhdq
q
z
q
y
q
xdzdydxds?
222
222 ＋
222
iii
i q
z
q
y
q
xh ＋
§ 1.3 标量场的梯度
1 场的概念在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，
我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
第二讲如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。静态标量场和矢量场可分别表示为：
，
时变标量场和矢量场可分别表示为：
，
（ 1)场的基本性质及其分析方法
（ 2)场与源的关系及其相互作用
（ 3)场的相互作用
z,y,xuz,y,xF
tz,y,xu,t,z,y,xF
§ 1.3 标量场的梯度
2 标量场的等值面为了直观表示场在空间的变化，经常使用场的等值面来直观。
所谓等值面是标量场为同一数值各点在空间形成的曲面。
Cz,y,xu?
导体等电位面
3 方向导数在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
§ 1.3 标量场的梯度方向性导数表示场沿方向的空间变化率 。
l?
M（ r）
M（ r＋ Δ L）
c o sc o sc o s
1
lim
0
0
z
u
y
u
x
u
dl
dze?dye?dxe?
z
u
e?
y
u
e?
x
u
e?
dl
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
l
u
l
u
zyx
zyx
l
M
|
§ 1.3 标量场的梯度
co sco sco s,,为 的方向余弦l?
4 标量场的梯度在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值。
§ 1.3 标量场的梯度
z
ue?
y
ue?
x
ue?
l
un?u
zyxm a x|?
5 梯度的性质
标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
§ 1.3 标量场的梯度
标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
§ 1.3 标量场的梯度
标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
6 梯度运算的基本公式
uufuf
uvvuuv
vuvu
uccu
c
'
0
§ 1.3 标量场的梯度
7 正交曲线坐标系中梯度的表达式
332211
321 qh
ue?
qh
ue?
qh
ue?u
qqq?
321
321 s
ue?
s
ue?
s
ue?u
qqq?
§ 1.3 标量场的梯度
§ 1.4 矢量场的散度
1 矢量场与矢量线在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。
为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。
所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。
§ 1.4 矢量场的散度
z,y,xF
dz
z,y,xF
dy
z,y,xF
dx
zyx
矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够直观描述矢量场的大小。
矢量线方程：
§ 1.4 矢量场的散度
2 矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问题，引入通量的概念。在场区域的某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量。
s?z,y,xd ψ nF＝
z,y,xF
sd
M a x0
lim
ds
d ψ?z,y,x
s
nF
矢量场对于曲面 s
的通量为曲面 s上所有小面积元通的叠加：
§ 1.4 矢量场的散度
sF dz,y,xΨdψ
s
s?z,y,xd ψ nF＝
如果曲面 s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：
§ 1.4 矢量场的散度
0
0
0
＝sF dz,y,xQ
s
3 矢量场的散度物理上的场 (无论是矢量场，还是标量场）
都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源 。 矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。
§ 1.4 矢量场的散度
0?Q
表示通过闭合曲面有净的矢量线流出
0?Q
表示有净的矢量线流入
0?Q
表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限
z
F
y
F
x
Fz,y,x zyx
Fd iv
§ 1.4 矢量场的散度
V
dz,y,x
z,y,x s
V?
sF
F lim
0
d i v
4,散度与源的关系根据通量的物理意义，矢量场相对于小体积元的通量与体积元内的通量源成正比：
其中 为通量源密度。于是有：
κ为比例常数，一般由实验获得。
§ 1.4 矢量场的散度
Vz,y,xdz,y,x
sV
sF0l i m
z,y,x?
z,y,xz,y,x＝＝ FFd i v
5 积分的 Gauss定理直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分。
上式称为矢量场的 Gauss定理。
Vs
dVd FsF?
§ 1.4 矢量场的散度
6 散度的有关公式在任意正交曲线坐标系中，矢量场的散度表达式为：
§ 1.4 矢量场的散度
213
3
312
2
321
1321
1 hhF
qhhFqhhFqhhhF
GFGF
FFF
FF
CC
CCC
d i v
d i v
为常量d i v
d i v
为常矢量0d i v
fff
ff
1 矢量场的环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。
但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
§ 1.5 矢量场的旋度第三讲
§ 1.5 矢量场的旋度如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：
上式建立了磁场与电流的关系。
sL
dz,y,xIdz,y,x sJLB 00
引入环量概念。矢量场对于闭合曲线 L的环量定义为该矢量对闭合曲线 L的线积分，记为：
（ 1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。
（ 2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，
称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。
0
0
L
dz,y,x LF
§ 1.5 矢量场的旋度
2 矢量场的旋度矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线
L所围的面积趋于零时，矢量场对回路 L的环量与旋涡源对于 L所围的面积的通量成正比，即：
§ 1.5 矢量场的旋度
sJlF
00
l i ml i m
s
l
s
d?
J
s?
Fn
引入矢量场旋度，定义为：矢量场在 M点处的旋度为一矢量，其数值为包含 M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：
M a x
0
limr o t
s
d
n? l
s
lF
F
§ 1.5 矢量场的旋度根据线积分的计算公式,不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为,
zzyyxx
xy
l
s
z
xz
l
s
y
yz
l
s
x
e?e?e?e?e?e?
s
d
e?
s
d
e?
s
d
e? xy
xy
xz
xz
yz
yz
FFF
lFlFlF
F
r o tr o tr o t
r o t limlimlim
000
§ 1.5 矢量场的旋度
zyx
zyx
xy
z
zx
y
yz
x
FFF
zyx
e?e?e?
y
F
x
F
e?
x
F
z
F
e?
z
F
y
F
e?
F
F
＝
r o t
3 面积分的 Stokes定理利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即 Stokes定理
ssl
s dz,y,xdd
s
sJsFlF?
§ 1.5 矢量场的旋度
sl
s
i
ii
i l
i ddsn?d
si
sFlFFlF r o tr o t＝
方向相反大小相等结果抵消
4 旋度的有关公式在任意正交曲线坐标系中,矢量场的旋度的表达式为：
332211
321321
1
11
1
22
21
1
33
3
11
313
22
2
33
32
321
3
21
1
1
11
r o t
FhFhFh
qqq
e?e?e?
hhh
q
Fh
q
Fh
hh
e?
q
Fh
q
Fh
hh
e?
q
Fh
q
Fh
hh
e?
qqq
q
qq
F
F
＝
GFFGGF
GFGF
FFF
CC
CC
＝
fff
ff
为常矢量0
§ 1.5 矢量场的旋度现在我们必需考虑如下问题：
（ 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？
（ 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？
（ 3）如何唯一的确定一个矢量场？
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
1 矢量场的 Helmholtz定理空间区域 V上的任意矢量场，如果它的散度、
旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即,
其中 为无散场,为无旋场。
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
rFrFrF le
rFerFl
Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：
另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
0 rF e
0 rF l
【 例 1-6】 证明一个标量场的梯度必无，一个矢量场的旋度必无散。
0＝＝
xyyx
e?
zxxz
e?
yzzy
e? xyx
l
rrF
0
y
A
x
A
zx
A
z
A
yz
A
y
A
x
xyzxyz
e rArF
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
Electromagnetic Theory
武汉大学 柯亨玉第一讲序 论一、电磁场理论的主要研究领域二、磁场理论发展简史三、电磁场理论的主要研究对象四、学习的目的、方法及其要求作为理论物理学的一个重要研究分支，主要致力于统一场理论和微观量子电动力学的研究 。
电磁场的主要研究领域 作为无线电技术的理论基础，集中于三大类应用问题的研究。
一、电磁场理论的主要研究领域三大类应用问题：
电磁场（或电磁波）作为能量的一种形式，是当今世界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的产生、储存、变换、传输和综合利用。
电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处理、再现和综合利用。
电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、
目标特征的获取与重建、探测新技术等。
二、磁场理论发展简史
1．电磁场理论的早期研究电、磁现象是大自然最重要的往来现象，也最早被科学家们关心和研究的物理现象，其中贡献最大的有来顿、富兰克林、伏打等科学家。
19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现象，没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究
（特别是伏打 1799年发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。
2．电磁场理论的建立
18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热是相互联系的。
奥斯特是谢林的信徒，他从 1807年开始研究电磁之间的关系。 1820年，他发现电流以力作用于磁针。
安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。
法拉第在谢林的影响下，相信电、磁、光、热是相互联系的。奥斯特 1820年发现电流以力作用于磁针后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生作用，
磁也一定能够对电产生影响。 1821年他开始探索磁生电的实验。 1831年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。
麦克斯韦深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，发展了场的概念。在法拉第实验的基础上，总结了宏观电磁现象的规律，引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；
与变化着的磁场产生电场相对应。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。
3．电磁场理论的应用和发展
1887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言，这一重要的实验导致了后来无线电报的发明。从此开始了电磁场理论应用与发展时代，并且发展成为当代最引人注目的学科之一。
无线电报 1895年，意大利马可尼成功地进行了
2.5公里距离的无线电报传送实验。 1896年，波波夫进行了约 250米距离的类似试验,1899年,无线电报跨越英吉利海峡的试验成功； 1901年，跨越大西洋的 3200公里距离的试验成功。马可尼以其在无线电报等领域的成就，获得了 1909年的诺贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。
有线电话 1876年,美国 A.G.贝尔在美国建国
100周年博览会上展示了他所发明 的有线电话。
此后,有线电话便迅速普及开来。
广播 1906年，美国费森登用 50千赫频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。 1919年，第一个定时播发 语言和音乐的无线电广播电台在英国建成。次年,在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。
电视 1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想,1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西 洋中的船上。兹沃霄金在 1923和 1924
年相继发明了摄像管和显像管。 1931年，他组装成世界上 第一个全电子电视系统 。
雷达（ Radio Detection and Ranging）
二次世界大战前夕，飞机成为主要进攻武器。
英、美、德、法等国竞相研制一类能够早期警戒飞机的装置。 1936年，英国的瓦特设计的警戒雷达最先投入了运行。有效地警戒了来自德国的轰炸机。 1938年，美国研制成第一部能指挥火炮射击的火炮控制雷达。 1940年，多腔磁控管的发明，微波雷达的研制成为可能。 1944
年，能够自动跟踪飞机的雷达研制成功。 1945
年，能消除背景干扰显示运动目标的显示技术的发明,使雷达更加完善。在整个第二次世界大战期间,雷达成了电磁场理论最活跃的部分。
卫星通信技术 1958年,美国发射低轨的“斯科尔”
卫星成功,这是第一颗用于通信的试验卫星。 1964
年,借助定点同步通信卫星首次实现了美,欧、非三大洲的通信和电视转播。 1965年,第一颗商用定点同步卫星投入运行。 1969年,大西洋、太平洋和印度洋上空均已有定点同步通信卫星,卫星地球站已遍布世界各国，这些卫星地球站又和本国或本地区的通信网接通。卫星通信经历 10年的发展，终趋于成熟 。
卫星定位技术 1957年卫星发射成功后，人们试图将雷达引入卫星，实现以卫星为基地对地球表面及近地空间目标的定位和导航。 1958年底，美国开始研究实施这一计划，于 1964年研究成功子午仪卫星导航系统。 1973年美国提出了由 24颗卫星组成的实用系统新方案，即 GPS计划。它是英文 Navigation Satellite Timing and Ranging
/Global Positioning System 的字头缩写
NAVSTAR/GPS的简称，其含义是利用导航卫星进行测时和测距。 1990年最终的 GPS方案是由 21
颗工作卫星和 3颗在轨备用卫星组成。
三、电磁场理论的主要研究对象电磁场的基本属性及其运动规律波与物质的相互作用及信息的提取电磁场系统的计算方法，仿真技术工程技术应用中的电磁场理论问题四、学习的目的、方法及其要求掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律掌握宏观电磁场问题的基本求解方法了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理训练分析问题、归纳问题的科学方法培养用数学解决实际问题的能力独立完成作业，做好课堂笔记精读一至二本教学参考书五、主要参考书
【 1】 J,D,Kraus,Electromagnetism with
Application（ Fifth Edition）
【 2】 毕德显，电磁场理论，电子工业出版社
【 3】 郭硕鸿，电动力学（第二版）
【 4】 王蔷等，电磁场理论基础，清华大学出版社
【 5】 谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社第一章 矢量分析与场论基础主要内容,
矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
矢量场的 Helmholtz定理
§ 1.1 正交曲线坐标系
1,正交曲线坐标三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量
§ 1.1 正交曲线坐标系
2,正交曲线坐标变换三维空间中同一位置可以用不同的正交曲线坐标系描述 。 因此不同坐标系之间存在相互变换的关系,且这种变换关系只能是一一对应的
xyxqq
xyxqq
xyxqq
,,
,,
,,
33
22
11＝
321
321
321
,,
,,
,,
qqqzz
qqqyy
qqqxx ＝
在任何正交曲线坐标系中,存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的,
圆柱坐标系中的 等 。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。
§ 1.1 正交曲线坐标系
zyx eee?,?,?
zeee?,?,
Cx,y,xqq ii?＝
222
z
x,y,xq
y
x,y,xq
x
x,y,xq
z
x,y,xq
e?
y
x,y,xq
e?
x
x,y,xq
e?
e?
iii
i
z
i
y
i
x
q i
§ 1.1 正交曲线坐标系
3 坐标系中的弧长在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的 弧长 是：
在正交曲线坐标系中，坐标变量 的相邻两点的微小变化弧长
222 dzdydxds
222 dzdydxds |
iii dqqq
iii dqqq
其中称为 Lame系数
iii
iii
dqhdq
q
z
q
y
q
xdzdydxds?
222
222 ＋
222
iii
i q
z
q
y
q
xh ＋
§ 1.3 标量场的梯度
1 场的概念在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，
我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
第二讲如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。静态标量场和矢量场可分别表示为：
，
时变标量场和矢量场可分别表示为：
，
（ 1)场的基本性质及其分析方法
（ 2)场与源的关系及其相互作用
（ 3)场的相互作用
z,y,xuz,y,xF
tz,y,xu,t,z,y,xF
§ 1.3 标量场的梯度
2 标量场的等值面为了直观表示场在空间的变化，经常使用场的等值面来直观。
所谓等值面是标量场为同一数值各点在空间形成的曲面。
Cz,y,xu?
导体等电位面
3 方向导数在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。
§ 1.3 标量场的梯度方向性导数表示场沿方向的空间变化率 。
l?
M（ r）
M（ r＋ Δ L）
c o sc o sc o s
1
lim
0
0
z
u
y
u
x
u
dl
dze?dye?dxe?
z
u
e?
y
u
e?
x
u
e?
dl
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
l
u
l
u
zyx
zyx
l
M
|
§ 1.3 标量场的梯度
co sco sco s,,为 的方向余弦l?
4 标量场的梯度在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值。
§ 1.3 标量场的梯度
z
ue?
y
ue?
x
ue?
l
un?u
zyxm a x|?
5 梯度的性质
标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
§ 1.3 标量场的梯度
标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
§ 1.3 标量场的梯度
标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
6 梯度运算的基本公式
uufuf
uvvuuv
vuvu
uccu
c
'
0
§ 1.3 标量场的梯度
7 正交曲线坐标系中梯度的表达式
332211
321 qh
ue?
qh
ue?
qh
ue?u
qqq?
321
321 s
ue?
s
ue?
s
ue?u
qqq?
§ 1.3 标量场的梯度
§ 1.4 矢量场的散度
1 矢量场与矢量线在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。
为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。
所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。
§ 1.4 矢量场的散度
z,y,xF
dz
z,y,xF
dy
z,y,xF
dx
zyx
矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够直观描述矢量场的大小。
矢量线方程：
§ 1.4 矢量场的散度
2 矢量场的通量为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问题，引入通量的概念。在场区域的某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量。
s?z,y,xd ψ nF＝
z,y,xF
sd
M a x0
lim
ds
d ψ?z,y,x
s
nF
矢量场对于曲面 s
的通量为曲面 s上所有小面积元通的叠加：
§ 1.4 矢量场的散度
sF dz,y,xΨdψ
s
s?z,y,xd ψ nF＝
如果曲面 s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：
§ 1.4 矢量场的散度
0
0
0
＝sF dz,y,xQ
s
3 矢量场的散度物理上的场 (无论是矢量场，还是标量场）
都是相应的源作用的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源 。 矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。
§ 1.4 矢量场的散度
0?Q
表示通过闭合曲面有净的矢量线流出
0?Q
表示有净的矢量线流入
0?Q
表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限
z
F
y
F
x
Fz,y,x zyx
Fd iv
§ 1.4 矢量场的散度
V
dz,y,x
z,y,x s
V?
sF
F lim
0
d i v
4,散度与源的关系根据通量的物理意义，矢量场相对于小体积元的通量与体积元内的通量源成正比：
其中 为通量源密度。于是有：
κ为比例常数，一般由实验获得。
§ 1.4 矢量场的散度
Vz,y,xdz,y,x
sV
sF0l i m
z,y,x?
z,y,xz,y,x＝＝ FFd i v
5 积分的 Gauss定理直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分。
上式称为矢量场的 Gauss定理。
Vs
dVd FsF?
§ 1.4 矢量场的散度
6 散度的有关公式在任意正交曲线坐标系中，矢量场的散度表达式为：
§ 1.4 矢量场的散度
213
3
312
2
321
1321
1 hhF
qhhFqhhFqhhhF
GFGF
FFF
FF
CC
CCC
d i v
d i v
为常量d i v
d i v
为常矢量0d i v
fff
ff
1 矢量场的环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。
但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。
§ 1.5 矢量场的旋度第三讲
§ 1.5 矢量场的旋度如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：
上式建立了磁场与电流的关系。
sL
dz,y,xIdz,y,x sJLB 00
引入环量概念。矢量场对于闭合曲线 L的环量定义为该矢量对闭合曲线 L的线积分，记为：
（ 1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。
（ 2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，
称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。
0
0
L
dz,y,x LF
§ 1.5 矢量场的旋度
2 矢量场的旋度矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线
L所围的面积趋于零时，矢量场对回路 L的环量与旋涡源对于 L所围的面积的通量成正比，即：
§ 1.5 矢量场的旋度
sJlF
00
l i ml i m
s
l
s
d?
J
s?
Fn
引入矢量场旋度，定义为：矢量场在 M点处的旋度为一矢量，其数值为包含 M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：
M a x
0
limr o t
s
d
n? l
s
lF
F
§ 1.5 矢量场的旋度根据线积分的计算公式,不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为,
zzyyxx
xy
l
s
z
xz
l
s
y
yz
l
s
x
e?e?e?e?e?e?
s
d
e?
s
d
e?
s
d
e? xy
xy
xz
xz
yz
yz
FFF
lFlFlF
F
r o tr o tr o t
r o t limlimlim
000
§ 1.5 矢量场的旋度
zyx
zyx
xy
z
zx
y
yz
x
FFF
zyx
e?e?e?
y
F
x
F
e?
x
F
z
F
e?
z
F
y
F
e?
F
F
＝
r o t
3 面积分的 Stokes定理利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即 Stokes定理
ssl
s dz,y,xdd
s
sJsFlF?
§ 1.5 矢量场的旋度
sl
s
i
ii
i l
i ddsn?d
si
sFlFFlF r o tr o t＝
方向相反大小相等结果抵消
4 旋度的有关公式在任意正交曲线坐标系中,矢量场的旋度的表达式为：
332211
321321
1
11
1
22
21
1
33
3
11
313
22
2
33
32
321
3
21
1
1
11
r o t
FhFhFh
qqq
e?e?e?
hhh
q
Fh
q
Fh
hh
e?
q
Fh
q
Fh
hh
e?
q
Fh
q
Fh
hh
e?
qqq
q
F
F
＝
GFFGGF
GFGF
FFF
CC
CC
＝
fff
ff
为常矢量0
§ 1.5 矢量场的旋度现在我们必需考虑如下问题：
（ 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？
（ 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？
（ 3）如何唯一的确定一个矢量场？
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
1 矢量场的 Helmholtz定理空间区域 V上的任意矢量场，如果它的散度、
旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即,
其中 为无散场,为无旋场。
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
rFrFrF le
rFerFl
Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：
另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
0 rF e
0 rF l
【 例 1-6】 证明一个标量场的梯度必无，一个矢量场的旋度必无散。
0＝＝
xyyx
e?
zxxz
e?
yzzy
e? xyx
l
rrF
0
y
A
x
A
zx
A
z
A
yz
A
y
A
x
xyzxyz
e rArF
§ 1.6 矢量场的 Helmholtz定理
