主要内容：
静态的场唯一性定理分离变量方法
Green函数方法镜像原理第四章 静态电磁场求解
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。
恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的基本特性。
① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场，
数学上满足同一类方程（ Poisson方程）
rr 2 κ 为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有无旋特性，可以用标量函数（称为位函数或势函数）的梯度来表示，即
③ 在介质的分界面上，位函数满足
rrF
s
SS
SS
nn
||
21
21 rr
静态电磁场的定解问题为：
M
n
M ||?
＝，或边界边界
r
r
r
r2
rr?
n
2 唯一性定理设在区域 V内源已知，在区域的边界 S上：
或 已知（ M为边界上的变点）。则在区域 V内存在唯一的解，
它在该区域内满足 Poisson方程；在区域的边界上满给定的边界条件。称为静态电磁场的唯一性定理。
M|边界rMn |边界r
311 rA rrE 322 rA rrE?
tt EE 21?
nn DD 21?
212211 π2ddd
21
QAQ
SSS
SESESD
设两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为 Q，
外导体球壳接地。
分离变量方法又称为 Fourier级数方法。其实质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为含有待定参数的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表示待求函数；把求待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出问题的解
4.2 分离变量方法
C
A
B
0
2
,,,00,,
0,,,0,0,
0,,,0,,0
0
Cyxyx
zBxzx
zyAzy
r
【 例 4-1】 长方形盒的长为 A、宽为 B、高为 C，上盖电位为,其余接地,求盒内的电位分布。
0?
0000
0000
0000
0
d
d1
d
d1
d
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2
2
2
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1
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C mm
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16
22
2
0?
上述求解过程，归纳分离变量方法的基本程序如下：
① 提炼出定解问题的数学表达式，即方程和边界条件；
② 根据边界条件选取适合变量分离的正交坐标系；
③ 把方程和边界条件进行变量分离，得到本征值方程；
④ 求解本征值方程，确定本征值和本征函数；
⑤ 根据线性叠加原理，由本征函数构造定解问题的解；
⑥ 利用边界条件确定展开系数,验证解的正确性。
【 例 4-2】 无穷长导体圆筒，半径为 a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，
相互绝缘。其中的一半的电位为,另一半电位为,求圆筒内的电位分布。
0V
0V?
0V
0V?
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0
11
0
0
2
2
2
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,V,a
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k
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4.3 Green 函数方法
'''' VV rrrrrrr π4 1dπ4 dd
小电荷元在 r 点产生的电位
V上体电荷在空间产生的电位是全体电荷元产生电位的叠加，表示为：
VGV '
VV
d
π4
d rrr,
rr
rr '
'
'
以电荷产生电位为例
1 Green 函数方法的基本思想上述分析说明，只要点电荷元 在空间的电位求得，任意电荷分布的电位即可知。
此即 Green函数的基本思想 。因此一个复杂的静电场问题就可以通过先求解小电荷元的电位而获得最终的。而小电荷元的电位的求解又归结为单位点电荷的电位，即 Green函数的 求解。
V dr?
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2 Poisson方程的 Green函数
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M
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r?
把 还原,又可表示为，以静电场为例'rh
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V
'
d)()()()(d ' '''' rr,rrrr,rr,rr
区域内体电荷对电位的贡献区域边界面上电荷对电位的贡献区域边界面上电偶极矩贡献
ns?
'
s' GGn? rr,Prr,r
两个特例：
（ 1)第一类边界条件的 Green函数
MM
rr2
0
12
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'
,G
,G
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物理模型
r?
r
Green函数其物理意义是：
接地导体壳内单位点电荷产生的电位
（ 2)第二类边界条件的 Green函数
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物理模型
r?
r
Green函数其物理意义是：
封闭绝热边界条件下区域内部单位热源产生的恒定的温度场，这是一个与物理原理相矛盾的结果绝热边界条件：
不与外界交换能量的边界条件
3 Green函数的对称性在应用 Green函数方法求解静态电磁场问题的一般解时，为了解决表达式中源点与场点出现矛盾的问题，有一个重要的假设：
0
0
''
'
n
)(G
n
)(G
GG
'
''
rr,r,r
rr,r,r
物理意义：
点的源在 r 点产生的场等于 r 点的源在 点 产生的场，具有互易性 。
r?
r?
",rrGrr,G
Green函数的求解：
Green函数本身也是一个数学物理方程，所有关于数学物理方程的求解方法也是 Green
函数的求解方法，包括：
分离变量方法、积分变换方法静电 镜像方法、复变函数方法积分公式方法,Fourier级数方法
【 例 4-3】 求一无穷长矩形金属壳内单位线源的单位，
导体壳接地。
100
s ins in
m,n nm
yamxanAy,x|y,xG设：
（ x0,y0）
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4.4 镜像方法
1 镜像方法的基本思想以静电场 Green函数满足的方程为例：
物理上它表示接地导体壳内单位点电荷的电位，它由单位电荷在直接激发的电位和边界感应电荷激发的电位两个部分叠加而成。
0
12
|s'
'
,G
,G
rr
rrrr '
感应面电荷上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已知道，因此方程的求解最终归结为求出边界感应电荷产生的电位。为了得到感应电荷及其产生的电位，人们试图寻找一个或者多个想象的点电荷来等效边界面上感应电荷对电位的贡献，这个想象的一个或者多个点电荷称为像电荷。这一方法称为镜像方法。
无穷大接地导体平板上方单位点电荷在上半空间的电位。定解问题是：
0
01
0
0
2
| z'
'
,G
z,,G
rr
rrrr '?
导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导体平板面上感应电荷的贡献的叠加。如果能找到一个与导体平板感应电荷在上半空间产生电位等效的像电荷 Q`来代替导体平板上的感应电荷，那么导体平板上方的电位可以表示为
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1
R
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R1
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0
2 1
在上半空间等效
① 像电荷的位置不在上半空间
② 像电荷 在 原电荷与感应电荷中心的连线上
③ 像电荷与原电荷的符号相反
④ 像与原电荷在平面 xoy上的电位为零原电荷像电荷所以,fe?
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上半空间的 Green函数
(1) 镜像原理的基本思想是寻找一个或几个想象的电荷等效边界感应电荷的贡献
(2) 像电荷须在区域的外部，并且与区域原电荷符号相反
(3) 像电荷在界面感应电荷与原点电荷连线的延长线上。理论证明，区域外部像电荷位置与区域内原电荷的位置互为共轭点对。利用边界条件确定像电荷大小和位置。
接地导体球壳外部空间的 Green函数
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4.5 势函数的多极矩展开
1,无界空间中势函数需要计算：
上述体积分的精确计算是困难的，其原因在于被积函数中包含了场点变量在内。今天，利用数值计算的方法，
借助计算机能够给出空间任意场点的数值，但希望对于数值结果的理解有一个简洁而又清楚的物理图像，以便建立相应的物理模型。
V'
V
dπ4 1
0 r'r
rr?
2 电位函数多极矩展开由于激励源所在区域的尺度远小于源到场点的距离，将 Taylor展开公式应用于 得到：
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n
n
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1
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n
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所以：
利用得到其中
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n
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321321
j,izx,yx,xx
xxxx,x,xxxD
V
jiij
，其中
3 展开式各项的意义
— 电多极矩概念零级展开项：
表示电荷全部集中于坐标原点时在远处产生的电位。它是忽略电荷体中不同电荷元到场点距离差别的直接结果
r
Q
0
0
π4r
VQ
V
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一级展开项：
是小电荷体中电荷分布的非均匀性所对应的电偶极矩的电位。
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0
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是小电荷体系的电四极矩产生的电位
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静态的场唯一性定理分离变量方法
Green函数方法镜像原理第四章 静态电磁场求解
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。
恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的基本特性。
① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场，
数学上满足同一类方程（ Poisson方程）
rr 2 κ 为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有无旋特性，可以用标量函数（称为位函数或势函数）的梯度来表示，即
③ 在介质的分界面上，位函数满足
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静态电磁场的定解问题为：
M
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＝，或边界边界
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2 唯一性定理设在区域 V内源已知，在区域的边界 S上：
或 已知（ M为边界上的变点）。则在区域 V内存在唯一的解，
它在该区域内满足 Poisson方程；在区域的边界上满给定的边界条件。称为静态电磁场的唯一性定理。
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QAQ
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设两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为 Q，
外导体球壳接地。
分离变量方法又称为 Fourier级数方法。其实质是通过变量分离将原来的偏微分方程变为含有待定参数的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表示待求函数；把求待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出问题的解
4.2 分离变量方法
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【 例 4-1】 长方形盒的长为 A、宽为 B、高为 C，上盖电位为,其余接地,求盒内的电位分布。
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上述求解过程，归纳分离变量方法的基本程序如下：
① 提炼出定解问题的数学表达式，即方程和边界条件；
② 根据边界条件选取适合变量分离的正交坐标系；
③ 把方程和边界条件进行变量分离，得到本征值方程；
④ 求解本征值方程，确定本征值和本征函数；
⑤ 根据线性叠加原理，由本征函数构造定解问题的解；
⑥ 利用边界条件确定展开系数,验证解的正确性。
【 例 4-2】 无穷长导体圆筒，半径为 a，厚度可以忽略不计。圆筒分成相等的两个半片，
相互绝缘。其中的一半的电位为,另一半电位为,求圆筒内的电位分布。
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4.3 Green 函数方法
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小电荷元在 r 点产生的电位
V上体电荷在空间产生的电位是全体电荷元产生电位的叠加，表示为：
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以电荷产生电位为例
1 Green 函数方法的基本思想上述分析说明，只要点电荷元 在空间的电位求得，任意电荷分布的电位即可知。
此即 Green函数的基本思想 。因此一个复杂的静电场问题就可以通过先求解小电荷元的电位而获得最终的。而小电荷元的电位的求解又归结为单位点电荷的电位，即 Green函数的 求解。
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区域内体电荷对电位的贡献区域边界面上电荷对电位的贡献区域边界面上电偶极矩贡献
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两个特例：
（ 1)第一类边界条件的 Green函数
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物理模型
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Green函数其物理意义是：
接地导体壳内单位点电荷产生的电位
（ 2)第二类边界条件的 Green函数
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物理模型
r?
r
Green函数其物理意义是：
封闭绝热边界条件下区域内部单位热源产生的恒定的温度场，这是一个与物理原理相矛盾的结果绝热边界条件：
不与外界交换能量的边界条件
3 Green函数的对称性在应用 Green函数方法求解静态电磁场问题的一般解时，为了解决表达式中源点与场点出现矛盾的问题，有一个重要的假设：
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物理意义：
点的源在 r 点产生的场等于 r 点的源在 点 产生的场，具有互易性 。
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Green函数的求解：
Green函数本身也是一个数学物理方程，所有关于数学物理方程的求解方法也是 Green
函数的求解方法，包括：
分离变量方法、积分变换方法静电 镜像方法、复变函数方法积分公式方法,Fourier级数方法
【 例 4-3】 求一无穷长矩形金属壳内单位线源的单位，
导体壳接地。
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yamxanAy,x|y,xG设：
（ x0,y0）
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4.4 镜像方法
1 镜像方法的基本思想以静电场 Green函数满足的方程为例：
物理上它表示接地导体壳内单位点电荷的电位，它由单位电荷在直接激发的电位和边界感应电荷激发的电位两个部分叠加而成。
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感应面电荷上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已知道，因此方程的求解最终归结为求出边界感应电荷产生的电位。为了得到感应电荷及其产生的电位，人们试图寻找一个或者多个想象的点电荷来等效边界面上感应电荷对电位的贡献，这个想象的一个或者多个点电荷称为像电荷。这一方法称为镜像方法。
无穷大接地导体平板上方单位点电荷在上半空间的电位。定解问题是：
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rr
rrrr '?
导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导体平板面上感应电荷的贡献的叠加。如果能找到一个与导体平板感应电荷在上半空间产生电位等效的像电荷 Q`来代替导体平板上的感应电荷，那么导体平板上方的电位可以表示为
2010 π4π4
1
R
'Q
RG
'
rr,
R1
R2
0
01
0
0
2
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'
,G
z,,G
rr
rrrr '
"' 'Q,G rrrrrr '
0
2 1
在上半空间等效
① 像电荷的位置不在上半空间
② 像电荷 在 原电荷与感应电荷中心的连线上
③ 像电荷与原电荷的符号相反
④ 像与原电荷在平面 xoy上的电位为零原电荷像电荷所以,fe?
z"r
0?'Q
2222220
11
4
1
hzyxhzyx
G 'rr,
0π4π4 1
020100
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'
R
'Q
RGrr,
he? zr
hf?
上半空间的 Green函数
(1) 镜像原理的基本思想是寻找一个或几个想象的电荷等效边界感应电荷的贡献
(2) 像电荷须在区域的外部，并且与区域原电荷符号相反
(3) 像电荷在界面感应电荷与原点电荷连线的延长线上。理论证明，区域外部像电荷位置与区域内原电荷的位置互为共轭点对。利用边界条件确定像电荷大小和位置。
接地导体球壳外部空间的 Green函数
0
01
0
2
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'
,G
rr,,G
rr
rrrr ',?
2010 π4π4
1
R
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c o s2 12121 addrRc o s2 22222 addrR
01
21
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'Q
R
0)'(c o s2)(')( 212212222 ddQadaQda?
00)()( 212212222 dd'Q,da'Qda
1
2
2 d
ad?
1
'
d
aQ
4.5 势函数的多极矩展开
1,无界空间中势函数需要计算：
上述体积分的精确计算是困难的，其原因在于被积函数中包含了场点变量在内。今天，利用数值计算的方法，
借助计算机能够给出空间任意场点的数值，但希望对于数值结果的理解有一个简洁而又清楚的物理图像，以便建立相应的物理模型。
V'
V
dπ4 1
0 r'r
rr?
2 电位函数多极矩展开由于激励源所在区域的尺度远小于源到场点的距离，将 Taylor展开公式应用于 得到：
rrrr fnf
n
n
!
1
'
1
rr?
rnrrr
n
n 1
'!11'!211'1'1 2 rrrrr －
所以：
利用得到其中
r.nV n
n
n
V
1
!
1d
π4
1
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rrrQ 1:611π4 1
0
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V
V
VQ
V
V
V
d3
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d
r'r'r'D
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r'
rr'rrrrrr fff,'''' 2
333231
232221
131211
d3
De?e?De?e?De?e?
De?e?De?e?De?e?
De?e?De?e?De?e?
V'''
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
V
rrrD?
31
ddd3
321
321321
j,izx,yx,xx
xxxx,x,xxxD
V
jiij
，其中
3 展开式各项的意义
— 电多极矩概念零级展开项：
表示电荷全部集中于坐标原点时在远处产生的电位。它是忽略电荷体中不同电荷元到场点距离差别的直接结果
r
Q
0
0
π4r
VQ
V
dr'?
一级展开项：
是小电荷体中电荷分布的非均匀性所对应的电偶极矩的电位。
3
0
0
1
π4
1
d
π4
1
r
r
V'
V
)(
rP
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0
π4 0
0
r
Q
r
3
0
1
π4 r
)(
rPr
LQz?V'
V
dr'rP?
二级展开项：
是小电荷体系的电四极矩产生的电位
r:!)( 131π4 1
0
2 Dr?
0
π4 0
0
r
Q
r
0
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1
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r
r
V'
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0
2
0
( 2 )
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1
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e?e?
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Drr
