主要内容：
宏观电磁现象的实验定律真空中的 Maxwell方程组介质的极化和磁化介质中的 Maxwell方程组电磁场的边界条件第二章 宏观电磁场的基本规律
§ 2.1 电荷与电流
1 电荷守恒定律宏观实验表明：一个孤立系统的电荷总量是保持不变的，即在任何时刻，系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变。称之为电荷守恒定律。电荷守恒定律表明，如果孤立系统中某处在一个物理过程中产生（或消灭）了某种符号的电荷，那么必有相等量的异号电荷伴随产生（或消灭）；
如果孤立系统中总的电荷量增加（或减小），必有等量的电荷进入（或离开）该孤立系统。
单位时间内，通过界面进入 V内部的电荷量为：
该电荷量等于 V内单位时间内的电荷增加量，即：
s
dq sJ
dVdtddq
Vs
sJ
V
s
n
J
§ 2.1 电荷与电流
0 t?J
孤立系统
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
1 Coulomb定律真空中任意两个静止点电荷 q1 和 q2之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，
与两电荷距离的平方成反比；方向沿 q1 和
q2连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。
3
120
1221
12 4 R
qq
RF?
实验还证明，真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间的作用力，
不受其它电荷存在与否的影响。多个电荷体系中某个电荷受到的作用力是其余电荷与该电荷单独存在时作用力之矢量代数和，满足线性叠加原理。
ij ij
ijji
i R
qq
3
04
R
F
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
qi
2 电场强度实验证明，任何电荷在其所在空间激发出对置于其中的电荷有力作用的物理量，称为电场。由静止电荷激发的电场称为静电场。人们正是通过对电磁中电荷受力的特性认识和研究电场的。电荷之间的作用力是通过电场来传递的。因此电场对电荷的作用力可以用于定义电场。
§ 2.2 Coulomb定律与静电场空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力：
根据上述定义很容易得到真空中静止点电荷
q激发的电场为：
000
lim q
q
rFrE
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
3
04 R
q
RrE?
如果电荷是连续分布，密度为 。它在空间任意一点产生的电场为：
)(r?
dV
R
R
V
V
i i
ii
'
i
3
0
'
1
3
0
4
)(
4
)(
)(
Rr
Rr
rE
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
i'i V?)(r?
小体积元中的电荷产生的电场
3 静电场的性质性质 1 静电场是有散矢量场，
电荷是静电场的通量源。利用 Gauss定理得到称为静电场的 Gauss定律。静电场的 Gauss定律表明静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷 。在没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。
0?
rrE
dVddV
VV s
rsrEE
0
1
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
§ 2.2 Coulomb定律与静电场性质 2 静电场是无旋场
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
01
4
1
4
1
0
3
0
dV
R
dV
R
V
'
V
r
r
R
rE '
由于标量场的梯度是无旋场，所以静电场又可以表示为某个标量场的梯度。
，
rrE
1 Ampere定律
Ampere对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821～ 1825年之间,设 计 并完成了四个关于电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式,称为 Ampere定律。
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
1 2
3
12
1211220
12 4
l l R
dIdI RllF
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
I0d l
Vj j
jj dI
R
IddId r
rr
rrrJlRllF d
44 3
0
03
0
0?
实验进一步证明，电流体对于置其中的电流元 有力的作用，电流元 受到的作用力是电流体中所有电流与电流元作用的叠加。
I0d l
I0d l
I0d l
2 Biot— Savart 定律与磁感应强度实验证明，任一恒定电流元 Idl在其周围空间激发出对另一恒定电流元（或磁铁）具有力作用的物理量，称为磁场。恒定电流元之间的相互作用力是通过磁场传递的，
对恒定电流有力的作用是磁场的基本特性
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场区域 V上的磁感应强度的数值为检验电流元受到作用力最大值与检验电流元比值的极限磁感应强度的方向垂直电流元与电流元受力方向所构成的平面，
三者满足右手螺旋法则。
ldI FdB
l 0
m a x
0d
lim
r
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
rBlF dId 0
dF
I0 dl B
dVR
V
304 RrJrB
'
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
3 磁矢位如果记磁感应强度矢量可表示为：
称为磁矢位。
rA
rJ
rJrB
'
'
dV
R
dV
R
V
V
4
1
4
0
0
dVR
V
'rJ
rA4 0
rA
4 磁场的基本性质
（ 1) 恒定电流的磁场是无散场，即：
所以这说明磁场力线是闭合的，没有起点也没有终点。
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
0 rArB
0 srBrB ddV
sV
（ 2) 恒定电流的磁场是有旋场，电流是磁场的涡旋源。
rJB 0
Iddd
ss l
00 sJlBsB
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
5 磁场对运动带电粒子的作用力电荷运动形成电流，磁场对电流的作用力实际上是对运动电荷的作用力。从而得到称为称为 Lorentz力 。磁场对运动带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直，这说明磁场对带电粒子不做功，它只改变粒子的运动方向，而不改变粒子运动速度的大小。
BvBvBlF
dqdt
dt
dqId
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
1 Faraday电磁感应定律
Faraday从 1820年开始探索磁场产生电场的可能性，经过 11年的努力，终于在 1831
年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，
感应电流的方向总是以自己产生的磁通量对抗原来磁通量的改变。
进一步的实验还证明，只要闭合曲线内磁通量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回路上，也同样存在于非导体回路上，并满足如下定量关系式：
sl t
sBlE d
d
dd
曲面磁通量改变率回路电动势
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
Faraday电磁感应实验定律表明：
变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。
因此静态场方程必须加以修正，才能正确描述更为一般的电磁现象。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
2 位移电流概念将 Biot—Savart定律应用到如图所表示的环路 L，同样以 L为边界的两个不同曲面 S1和
S2，其旋涡源的通量有两个不同的结果：
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
l
S
S
I
2
1
0d
d
d
0
00
sJ
sJ
lB
存在变化电场
Maxwell认为，在时变电磁场问题中，电荷密度 一般是时间的函数，它对于时间的微分不一定为零，即：
而另一方面，
出现了相互矛盾的结果。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
0 J－t?
(电荷守恒定律）
0)( 0 JB?
相互矛盾的结果在 Maxwell所处的时代，磁力线的闭合特性被实验所证明，因此他认为是正确的。如果要使
0)( B
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
0 J－t? 0)( 0 JB?与一致，必须对电流 J 进行改造和推广 。
Maxwell认为电流由两个部分组成，其中一部分为传导电流，另一部分被他称之为位移电流,即：
为了获得位移电流表达式,Maxwell认为静电场的
Gauss定律和电荷守恒定律是实验的总结,应予以保留 。 利用这两个定律,他对电流的形式进行了如下的推广：
0 总位移传导总 JJJJJJ D
tD?
EJJJJ
0?＋＋总
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组推广的位移电流表达式有多种可能的选择。 Maxwell
选定这一表达式首先是 Faraday电磁感应实验定律证明了变化的磁场能够激发电场，那么变化的电场能够激发磁场，是人们把电磁场作为一个相互联系物理现象的合理假设。此外这一假设形式最简单，解决了恒定情况下 Biot-Savart定律在非恒定情况下的矛盾。
同时又保证了电荷守恒定律和 Gauss定律的成立。当然其正确性仍然依赖于试验的验证。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
3 真空中的 Maxwell方程组电场的 Gauss定律：
Maxwell认为电场 Gauss定律对时变电磁场也应成立。直接推广到一般情形，即：
磁场 Gauss定律：
Maxwell认为恒定电流磁场的 Gauss定律可以直接推广到一般情形，即：
0 t,rB
0?
t,t,rrE Vt,t,
Vs
d1d
0
rsrE
0d srB
s
t,
Faraday电磁感应定律：
Maxwell认为变化的磁场产生感应电场，不仅存在于导体构成的环路，也存在于任何物质空间的任意点。他对 Faraday电磁感应定律的内涵进行了推广，但保留数学表达式，即：
广义 Biot-Savart定律,
Maxwell引入位移电流，对恒定电流情况下的 Biot-
Savart定律进行了修正，即,
t t,t, rBrE
sl t
sBlE dddd
)(0 DJJB s Dl sJJlB d)(d 0?
t
t,
t,t,
t
t,
t,
t,
t,
t,
rE
rJrB
rB
rE
rB
r
rE
000
0
0
sl
sl
s
Vs
t
dt
d
V
s
E
JlB
sBlE
sB
sE
d)(d
dd
0d
d
1
d
00
0
上述四组方程称为真空中的 Maxwell方程组，它描述了真空中宏观电磁场与源、电场与磁场的相互作用和联系的规律。上述四个方程并非都是独立的，只有两个是独立的。
Maxwell建立了宏观电磁场现象的统一理论，奠定了无线电技术理论基础。在时变电磁场中，变化的磁场激发旋涡电场；而变化的电场同样可以激发涡旋磁场。电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而发生。电场与磁场的相互联系，
相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，
这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形态。
他的这一预言在 Maxwell去世后（ 1879年）不到 10
年的时间内，由德国科学家 Hertz通过实验证实。
从而证明了 Maxwell的假设和推广的正确性。
电磁波
1 介质的基本概念介质是物质的一种统称，物质由原子或原子团、分子或分子团组成，而原子或分子内部有带正电的原子核电的原子核和带负电的电子。一方面，介质内部大量带电粒子的不规则的运动，在微观尺度上产生变化电磁场，这些随机的电磁场宏观上相互抵消，介质呈中性。另一方面，当介质在外部宏观电磁场作用之下，介质中带电粒子产生宏观的规则运动或排列，形成宏观上的电荷堆集或定向运动，从而产生宏观上附加的电磁场。
§ 2.5介质中的 Maxwell方程在外场中，介质中带电粒子产生位移或附加的运动，宏观上主要表现出如下三种形态：
①介质的极化 (Polarization)
介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列
§ 2.5介质中的 Maxwell方程
② 介质的磁化 (Magnetization)
介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩没有外加磁场
③ 传导电流 (Conduction current)
介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，
导致带电粒子的定向运动，形成电流
§ 2.5介质中的 Maxwell方程
2 极化强度概念极化强度矢量 P，定义为单位体积中分子或原子团的电偶极矩的叠加
V
i
V?
pP
0
lim
§ 2.5介质中的 Maxwell方程 pi = p P = n p
分子或者原子团的电偶极矩的大小和方向与外加电场强度的大小和方向有关，所以极化强度 P是外加电场强度的函数，其关系一般比较复杂。但对于线性均匀介质,P与外加电场成正比。另一方面，空间不同点处分子或者原子团构成不同，极化强度也不同,P
还可能是空间的函数。如果外加电磁场是时变的，极化强度 P还可能是时间的函数。
由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移，
体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部，
同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷。
sPspsl ddd nnq
S V
p Vdd?sP
Pp?
（ 2）不均匀介质或由多种不同结构物质混合而成的介质，可出现极化电荷。
（ 1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入的电荷相等，不出现极化电荷分布。
（ 3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种物质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。
对交界面上的一个薄层，取如图所示扁圆盒，考虑扁圆盒的厚度很小，求得极化面电荷密度为：
12 PP n?sp?
§ 2.5介质中的 Maxwell方程如果外加电磁场是随时间变化的，极化强度矢量
P 和极化电荷也随时间变化，并在一定的范围内发生运动（其物理实质是正负电荷位移的距离量随时间变化），从而形成极化电流,它们同样满足电荷守恒定律。应用电荷守恒定律，得到极化电流的表达式为：
0 t pp?J
tp?
PJ
极化电流与传导电流的区别在于：前者是由带电粒子在微小区域内的运动，后者可在宏观区域上运动
3 电位移矢量、介质中的 Gauss定律无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的 Coulomb定律和 Gauss定律。介质的极化过程包括两个方面：一方面外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；另一方面，极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。因此介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加。应用 Gauss定理得到：
V
V
p
s
d)(1d
0
sE p E0
自由电荷和极化电荷共同激发的结果由于束缚电荷密度是很难通过直接测量获得，
将 束缚电荷体密度表达式 代入上式，引入辅助的电位移矢量电场的 Gauss定律变为：
PED 0?
V
Vs
ddsD D
Pp?
它表示任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和介质中的电场的最终求解必须知道电场 E和电位移矢量 D之间的关系（物质的本构关系）。
这种关系有两种途径可以获得：
1)直接测量出 P 和 E之间的关系
2)用理论方法计算 P 和 E之间的关系对于线性均匀各向同性介质，极化强度 P 和电场强度 E 有简单的线性关系
EP e 0? EEED 00 )1( re
00 )1( re ＝
介质有多种不同的分类方法，如：
均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质最简单的线性均匀各向同性介质，分二种情况：
线性均匀各向同性时不变介质；
线性均匀各向同性时变介质（色散介质）
为了描述介质在外加磁场作用下磁化程度，引入磁化强度 M，定义为单位体积中的磁偶极矩的矢量和：
5,磁化强度与磁化电流密度
V
i
V
mM
0lim
mi=m
M=n m
磁化的宏观效应，在与外加磁感应强度矢量 B 垂直的横截面上，存在数量巨大的分子电流环。如果这些分子电流大小相等，在相邻电流环的交界线上因电流的方向相反，大小相等，不出现剩余的电流。如果这些分子电流大小不同，在相邻环的交界线上尽管电流的方向相反，
但大小不等，将出现剩余的电流，这种因磁化在介质空间出现的电流为磁化电流。
在选取横截面的边界线上，
总存在磁化电流。
IM
LMLSJ ddd
LLS
MM anII
其中 n为单位体积中分子电流的数量
MJM
0)( MJ M
在介质交界面上的一个薄的层内，存在面磁化电流分布
Lt?dLN?LN?hd
L
sMMh
S
M 10l i m MMLMJJSJ 2
12 MMJ n?sM
n?N?t?,N?t?n?,t?n?N
6 介质中的 Biot-Savart定律,磁场强度外加电磁场使介质发生极化和磁化，极化和磁化导致磁化和极化电流。磁化和极化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度 B应是所有电流源激励的结果：
分别是传导、位移、极化和磁化电流
MPD JJJJB 0?
s
MPD
l
sJJJJlB dd 0?
MPD JJJJ,、、
引入辅助矢量 H，称为磁场强度，定义如下：
对于线性均匀各向同性介质，磁化强度与磁场之间存在简单的线性关系：
介质中的广义 Biot-Savart定律为：
MBH
0?
MHB 0?
t?
DJH
sl t
d sDJlH d)(
HM M 0? HHB )1(0 M
7 传导电流存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电介质。
在外场作用下，导电介质将形成定向移动电流。导电介质中原子核或晶格在空间形成固定点阵，核外自由电子除无规则运动外，外场作用力将使电子产生定向运动。运动的电子经常与原子核或晶格点阵发生碰撞。碰撞过程使电子改变运动方向，并将部分能量转嫁给原子核或晶格，转变为热效应，使外场作用下的电子定向运动速度与外加电场强度成正比，此即 ohm定律，其表达式为：
EJ 晶格带电粒子
8 介质中 Maxwell方程组在介质中，真空中的电场
Gauss定律推广为介质中的
Gauss定律；磁场 Gauss定律和 Faraday电磁感应定律保持不变，真空中的 Biot-
Savart定律推广为介质中的
Biot-Savart 定律。因此介质中的 Maxwell方程组如下：
t
t,
t,t,
t
t,
t,
t,
t,t,
rD
rJrH
rB
rE
rB
rrD
0
sl
sl
s
Vs
t
dt
d
V
s
D
JlH
sBlE
sB
sD
d)(d
dd
0d
dd?
9 介质中 Maxwell方程的完备性数学上讲，给定的方程和条件能唯一求解的方程称为完备的；反之，是不完备的。在给定电荷和电流分布的情况下，真空中 Maxwell方程是完备的。介质中的 Maxwell方程组是不完备的。
必须附加其它条件才能对方程求解。介质中电场、磁场、电位移矢量和磁感应强度之间通过介质的电磁特性建立起联系，并不完全独立。
称联系电磁场量与介质之间关系的方程为介质的本构方程。
HHB
EED
)1(
)1(
0
0
M
e
§ 2.6 电磁场的边界条件
1 边界上的电磁场问题实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
所谓边界条件，即电磁场场在边界上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所要满足的约束关系。这一关系可以通过曲面在该点的切向和法向分量满足的约束关系给出。由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以 Maxwell方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件 。
2 电磁场量的法向边界条件把积分 Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。根据 Gauss定理，让 h→ 0，场在扁平圆盘壁上的通量为零，得到：
sn )( 12 DD 0)( 12 n?BB
3 电磁场量的切向边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用电磁感应定律、推广的 Biot-Savart定律积分公式
ss n?N?N?n? JHHJHH )()( 1212
0)( 12 EEn?
s
s
n?
n?
n?
n?
JHH
EE
BB
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12
12
12
12
0
0)(
)(?
0
0
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0)(
12
12
12
12
HH
EE
BB
DD
n?
n?
n?
n?
s
s
n?
n?
n?
n?
JH
E
B
D
0
0
边界条件一般表达式理想介质边界条件表达式一侧为导的边界条件表达式介质 1
介质 2
n?
宏观电磁现象的实验定律真空中的 Maxwell方程组介质的极化和磁化介质中的 Maxwell方程组电磁场的边界条件第二章 宏观电磁场的基本规律
§ 2.1 电荷与电流
1 电荷守恒定律宏观实验表明：一个孤立系统的电荷总量是保持不变的，即在任何时刻，系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变。称之为电荷守恒定律。电荷守恒定律表明，如果孤立系统中某处在一个物理过程中产生（或消灭）了某种符号的电荷，那么必有相等量的异号电荷伴随产生（或消灭）；
如果孤立系统中总的电荷量增加（或减小），必有等量的电荷进入（或离开）该孤立系统。
单位时间内，通过界面进入 V内部的电荷量为：
该电荷量等于 V内单位时间内的电荷增加量，即：
s
dq sJ
dVdtddq
Vs
sJ
V
s
n
J
§ 2.1 电荷与电流
0 t?J
孤立系统
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
1 Coulomb定律真空中任意两个静止点电荷 q1 和 q2之间作用力的大小与两电荷的电荷量成正比，
与两电荷距离的平方成反比；方向沿 q1 和
q2连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引。
3
120
1221
12 4 R
RF?
实验还证明，真空中多个点电荷构成的电荷体系，两两间的作用力，
不受其它电荷存在与否的影响。多个电荷体系中某个电荷受到的作用力是其余电荷与该电荷单独存在时作用力之矢量代数和，满足线性叠加原理。
ij ij
ijji
i R
3
04
R
F
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
qi
2 电场强度实验证明，任何电荷在其所在空间激发出对置于其中的电荷有力作用的物理量，称为电场。由静止电荷激发的电场称为静电场。人们正是通过对电磁中电荷受力的特性认识和研究电场的。电荷之间的作用力是通过电场来传递的。因此电场对电荷的作用力可以用于定义电场。
§ 2.2 Coulomb定律与静电场空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力：
根据上述定义很容易得到真空中静止点电荷
q激发的电场为：
000
lim q
q
rFrE
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
3
04 R
q
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如果电荷是连续分布，密度为 。它在空间任意一点产生的电场为：
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dV
R
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V
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4
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Rr
Rr
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§ 2.2 Coulomb定律与静电场
i'i V?)(r?
小体积元中的电荷产生的电场
3 静电场的性质性质 1 静电场是有散矢量场，
电荷是静电场的通量源。利用 Gauss定理得到称为静电场的 Gauss定律。静电场的 Gauss定律表明静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷 。在没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。
0?
rrE
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VV s
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0
1
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
§ 2.2 Coulomb定律与静电场性质 2 静电场是无旋场
§ 2.2 Coulomb定律与静电场
01
4
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dV
R
dV
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V
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由于标量场的梯度是无旋场，所以静电场又可以表示为某个标量场的梯度。
，
rrE
1 Ampere定律
Ampere对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在 1821～ 1825年之间,设 计 并完成了四个关于电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式,称为 Ampere定律。
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
1 2
3
12
1211220
12 4
l l R
dIdI RllF
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
I0d l
Vj j
jj dI
R
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44 3
0
03
0
0?
实验进一步证明，电流体对于置其中的电流元 有力的作用，电流元 受到的作用力是电流体中所有电流与电流元作用的叠加。
I0d l
I0d l
I0d l
2 Biot— Savart 定律与磁感应强度实验证明，任一恒定电流元 Idl在其周围空间激发出对另一恒定电流元（或磁铁）具有力作用的物理量，称为磁场。恒定电流元之间的相互作用力是通过磁场传递的，
对恒定电流有力的作用是磁场的基本特性
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场区域 V上的磁感应强度的数值为检验电流元受到作用力最大值与检验电流元比值的极限磁感应强度的方向垂直电流元与电流元受力方向所构成的平面，
三者满足右手螺旋法则。
ldI FdB
l 0
m a x
0d
lim
r
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
rBlF dId 0
dF
I0 dl B
dVR
V
304 RrJrB
'
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
3 磁矢位如果记磁感应强度矢量可表示为：
称为磁矢位。
rA
rJ
rJrB
'
'
dV
R
dV
R
V
V
4
1
4
0
0
dVR
V
'rJ
rA4 0
rA
4 磁场的基本性质
（ 1) 恒定电流的磁场是无散场，即：
所以这说明磁场力线是闭合的，没有起点也没有终点。
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
0 rArB
0 srBrB ddV
sV
（ 2) 恒定电流的磁场是有旋场，电流是磁场的涡旋源。
rJB 0
Iddd
ss l
00 sJlBsB
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
5 磁场对运动带电粒子的作用力电荷运动形成电流，磁场对电流的作用力实际上是对运动电荷的作用力。从而得到称为称为 Lorentz力 。磁场对运动带电粒子的作用力与粒子运动的方向垂直，这说明磁场对带电粒子不做功，它只改变粒子的运动方向，而不改变粒子运动速度的大小。
BvBvBlF
dqdt
dt
dqId
§ 2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
1 Faraday电磁感应定律
Faraday从 1820年开始探索磁场产生电场的可能性，经过 11年的努力，终于在 1831
年实验发现，当穿过闭合线圈的磁通量发生变化时，闭合导线中有感应电流产生，
感应电流的方向总是以自己产生的磁通量对抗原来磁通量的改变。
进一步的实验还证明，只要闭合曲线内磁通量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回路上，也同样存在于非导体回路上，并满足如下定量关系式：
sl t
sBlE d
d
dd
曲面磁通量改变率回路电动势
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
Faraday电磁感应实验定律表明：
变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。
因此静态场方程必须加以修正，才能正确描述更为一般的电磁现象。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
2 位移电流概念将 Biot—Savart定律应用到如图所表示的环路 L，同样以 L为边界的两个不同曲面 S1和
S2，其旋涡源的通量有两个不同的结果：
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
l
S
S
I
2
1
0d
d
d
0
00
sJ
sJ
lB
存在变化电场
Maxwell认为，在时变电磁场问题中，电荷密度 一般是时间的函数，它对于时间的微分不一定为零，即：
而另一方面，
出现了相互矛盾的结果。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
0 J－t?
(电荷守恒定律）
0)( 0 JB?
相互矛盾的结果在 Maxwell所处的时代，磁力线的闭合特性被实验所证明，因此他认为是正确的。如果要使
0)( B
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
0 J－t? 0)( 0 JB?与一致，必须对电流 J 进行改造和推广 。
Maxwell认为电流由两个部分组成，其中一部分为传导电流，另一部分被他称之为位移电流,即：
为了获得位移电流表达式,Maxwell认为静电场的
Gauss定律和电荷守恒定律是实验的总结,应予以保留 。 利用这两个定律,他对电流的形式进行了如下的推广：
0 总位移传导总 JJJJJJ D
tD?
EJJJJ
0?＋＋总
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组推广的位移电流表达式有多种可能的选择。 Maxwell
选定这一表达式首先是 Faraday电磁感应实验定律证明了变化的磁场能够激发电场，那么变化的电场能够激发磁场，是人们把电磁场作为一个相互联系物理现象的合理假设。此外这一假设形式最简单，解决了恒定情况下 Biot-Savart定律在非恒定情况下的矛盾。
同时又保证了电荷守恒定律和 Gauss定律的成立。当然其正确性仍然依赖于试验的验证。
§ 2.4 真空中的 Maxwell方程组
3 真空中的 Maxwell方程组电场的 Gauss定律：
Maxwell认为电场 Gauss定律对时变电磁场也应成立。直接推广到一般情形，即：
磁场 Gauss定律：
Maxwell认为恒定电流磁场的 Gauss定律可以直接推广到一般情形，即：
0 t,rB
0?
t,t,rrE Vt,t,
Vs
d1d
0
rsrE
0d srB
s
t,
Faraday电磁感应定律：
Maxwell认为变化的磁场产生感应电场，不仅存在于导体构成的环路，也存在于任何物质空间的任意点。他对 Faraday电磁感应定律的内涵进行了推广，但保留数学表达式，即：
广义 Biot-Savart定律,
Maxwell引入位移电流，对恒定电流情况下的 Biot-
Savart定律进行了修正，即,
t t,t, rBrE
sl t
sBlE dddd
)(0 DJJB s Dl sJJlB d)(d 0?
t
t,
t,t,
t
t,
t,
t,
t,
t,
rE
rJrB
rB
rE
rB
r
rE
000
0
0
sl
sl
s
Vs
t
dt
d
V
s
E
JlB
sBlE
sB
sE
d)(d
dd
0d
d
1
d
00
0
上述四组方程称为真空中的 Maxwell方程组，它描述了真空中宏观电磁场与源、电场与磁场的相互作用和联系的规律。上述四个方程并非都是独立的，只有两个是独立的。
Maxwell建立了宏观电磁场现象的统一理论，奠定了无线电技术理论基础。在时变电磁场中，变化的磁场激发旋涡电场；而变化的电场同样可以激发涡旋磁场。电场与磁场之间的相互激发可以脱离电荷和电流而发生。电场与磁场的相互联系，
相互激发，时间上周而复始，空间上交链重复，
这一过程预示着波动是电磁场的基本运动形态。
他的这一预言在 Maxwell去世后（ 1879年）不到 10
年的时间内，由德国科学家 Hertz通过实验证实。
从而证明了 Maxwell的假设和推广的正确性。
电磁波
1 介质的基本概念介质是物质的一种统称，物质由原子或原子团、分子或分子团组成，而原子或分子内部有带正电的原子核电的原子核和带负电的电子。一方面，介质内部大量带电粒子的不规则的运动，在微观尺度上产生变化电磁场，这些随机的电磁场宏观上相互抵消，介质呈中性。另一方面，当介质在外部宏观电磁场作用之下，介质中带电粒子产生宏观的规则运动或排列，形成宏观上的电荷堆集或定向运动，从而产生宏观上附加的电磁场。
§ 2.5介质中的 Maxwell方程在外场中，介质中带电粒子产生位移或附加的运动，宏观上主要表现出如下三种形态：
①介质的极化 (Polarization)
介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移，形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用下形成规则排列
§ 2.5介质中的 Maxwell方程
② 介质的磁化 (Magnetization)
介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极矩没有外加磁场
③ 传导电流 (Conduction current)
介质中可自由移动的带电粒子，在外场力作用下，
导致带电粒子的定向运动，形成电流
§ 2.5介质中的 Maxwell方程
2 极化强度概念极化强度矢量 P，定义为单位体积中分子或原子团的电偶极矩的叠加
V
i
V?
pP
0
lim
§ 2.5介质中的 Maxwell方程 pi = p P = n p
分子或者原子团的电偶极矩的大小和方向与外加电场强度的大小和方向有关，所以极化强度 P是外加电场强度的函数，其关系一般比较复杂。但对于线性均匀介质,P与外加电场成正比。另一方面，空间不同点处分子或者原子团构成不同，极化强度也不同,P
还可能是空间的函数。如果外加电磁场是时变的，极化强度 P还可能是时间的函数。
由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移，
体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部，
同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此体积元内部有可能出现净余的电荷。
sPspsl ddd nnq
S V
p Vdd?sP
Pp?
（ 2）不均匀介质或由多种不同结构物质混合而成的介质，可出现极化电荷。
（ 1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入的电荷相等，不出现极化电荷分布。
（ 3）在两种不同均匀介质交界面上的一个很薄的层内，由于两种物质的极化强度不同，存在极化面电荷分布。
对交界面上的一个薄层，取如图所示扁圆盒，考虑扁圆盒的厚度很小，求得极化面电荷密度为：
12 PP n?sp?
§ 2.5介质中的 Maxwell方程如果外加电磁场是随时间变化的，极化强度矢量
P 和极化电荷也随时间变化，并在一定的范围内发生运动（其物理实质是正负电荷位移的距离量随时间变化），从而形成极化电流,它们同样满足电荷守恒定律。应用电荷守恒定律，得到极化电流的表达式为：
0 t pp?J
tp?
PJ
极化电流与传导电流的区别在于：前者是由带电粒子在微小区域内的运动，后者可在宏观区域上运动
3 电位移矢量、介质中的 Gauss定律无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的 Coulomb定律和 Gauss定律。介质的极化过程包括两个方面：一方面外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；另一方面，极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。因此介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加。应用 Gauss定理得到：
V
V
p
s
d)(1d
0
sE p E0
自由电荷和极化电荷共同激发的结果由于束缚电荷密度是很难通过直接测量获得，
将 束缚电荷体密度表达式 代入上式，引入辅助的电位移矢量电场的 Gauss定律变为：
PED 0?
V
Vs
ddsD D
Pp?
它表示任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和介质中的电场的最终求解必须知道电场 E和电位移矢量 D之间的关系（物质的本构关系）。
这种关系有两种途径可以获得：
1)直接测量出 P 和 E之间的关系
2)用理论方法计算 P 和 E之间的关系对于线性均匀各向同性介质，极化强度 P 和电场强度 E 有简单的线性关系
EP e 0? EEED 00 )1( re
00 )1( re ＝
介质有多种不同的分类方法，如：
均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质最简单的线性均匀各向同性介质，分二种情况：
线性均匀各向同性时不变介质；
线性均匀各向同性时变介质（色散介质）
为了描述介质在外加磁场作用下磁化程度，引入磁化强度 M，定义为单位体积中的磁偶极矩的矢量和：
5,磁化强度与磁化电流密度
V
i
V
mM
0lim
mi=m
M=n m
磁化的宏观效应，在与外加磁感应强度矢量 B 垂直的横截面上，存在数量巨大的分子电流环。如果这些分子电流大小相等，在相邻电流环的交界线上因电流的方向相反，大小相等，不出现剩余的电流。如果这些分子电流大小不同，在相邻环的交界线上尽管电流的方向相反，
但大小不等，将出现剩余的电流，这种因磁化在介质空间出现的电流为磁化电流。
在选取横截面的边界线上，
总存在磁化电流。
IM
LMLSJ ddd
LLS
MM anII
其中 n为单位体积中分子电流的数量
MJM
0)( MJ M
在介质交界面上的一个薄的层内，存在面磁化电流分布
Lt?dLN?LN?hd
L
sMMh
S
M 10l i m MMLMJJSJ 2
12 MMJ n?sM
n?N?t?,N?t?n?,t?n?N
6 介质中的 Biot-Savart定律,磁场强度外加电磁场使介质发生极化和磁化，极化和磁化导致磁化和极化电流。磁化和极化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度 B应是所有电流源激励的结果：
分别是传导、位移、极化和磁化电流
MPD JJJJB 0?
s
MPD
l
sJJJJlB dd 0?
MPD JJJJ,、、
引入辅助矢量 H，称为磁场强度，定义如下：
对于线性均匀各向同性介质，磁化强度与磁场之间存在简单的线性关系：
介质中的广义 Biot-Savart定律为：
MBH
0?
MHB 0?
t?
DJH
sl t
d sDJlH d)(
HM M 0? HHB )1(0 M
7 传导电流存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电介质。
在外场作用下，导电介质将形成定向移动电流。导电介质中原子核或晶格在空间形成固定点阵，核外自由电子除无规则运动外，外场作用力将使电子产生定向运动。运动的电子经常与原子核或晶格点阵发生碰撞。碰撞过程使电子改变运动方向，并将部分能量转嫁给原子核或晶格，转变为热效应，使外场作用下的电子定向运动速度与外加电场强度成正比，此即 ohm定律，其表达式为：
EJ 晶格带电粒子
8 介质中 Maxwell方程组在介质中，真空中的电场
Gauss定律推广为介质中的
Gauss定律；磁场 Gauss定律和 Faraday电磁感应定律保持不变，真空中的 Biot-
Savart定律推广为介质中的
Biot-Savart 定律。因此介质中的 Maxwell方程组如下：
t
t,
t,t,
t
t,
t,
t,
t,t,
rD
rJrH
rB
rE
rB
rrD
0
sl
sl
s
Vs
t
dt
d
V
s
D
JlH
sBlE
sB
sD
d)(d
dd
0d
dd?
9 介质中 Maxwell方程的完备性数学上讲，给定的方程和条件能唯一求解的方程称为完备的；反之，是不完备的。在给定电荷和电流分布的情况下，真空中 Maxwell方程是完备的。介质中的 Maxwell方程组是不完备的。
必须附加其它条件才能对方程求解。介质中电场、磁场、电位移矢量和磁感应强度之间通过介质的电磁特性建立起联系，并不完全独立。
称联系电磁场量与介质之间关系的方程为介质的本构方程。
HHB
EED
)1(
)1(
0
0
M
e
§ 2.6 电磁场的边界条件
1 边界上的电磁场问题实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
所谓边界条件，即电磁场场在边界上服从的条件，也可以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的约束条件。边界条件是完整的表示需要导出界面两侧相邻点电磁场矢量所要满足的约束关系。这一关系可以通过曲面在该点的切向和法向分量满足的约束关系给出。由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。所以 Maxwell方程组的微分形式在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续可微）。而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件 。
2 电磁场量的法向边界条件把积分 Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界面的扁平圆盘。根据 Gauss定理，让 h→ 0，场在扁平圆盘壁上的通量为零，得到：
sn )( 12 DD 0)( 12 n?BB
3 电磁场量的切向边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用电磁感应定律、推广的 Biot-Savart定律积分公式
ss n?N?N?n? JHHJHH )()( 1212
0)( 12 EEn?
s
s
n?
n?
n?
n?
JHH
EE
BB
DD
12
12
12
12
0
0)(
)(?
0
0
0)(
0)(
12
12
12
12
HH
EE
BB
DD
n?
n?
n?
n?
s
s
n?
n?
n?
n?
JH
E
B
D
0
0
边界条件一般表达式理想介质边界条件表达式一侧为导的边界条件表达式介质 1
介质 2
n?
