第 3章 集合
3.1 集合的概念及其表示
3.2 集合间的关系
3.3 集合的运算
3.4 集合中元素的计数第 3章 集合集合是数学最基本的概念之一,集合论是一门研究数学基础的学科，它试图从一个比“数”更简单的概念 —— 集合（ sets）出发，定义数及其运算，进而发展到整个数学,在这一点上它取得了极大的成功,我们介绍集合论则不仅为此，还因为计算机科学及应用的研究，也和集合论理论有着极密切的关系,集合不仅可用来表示数及其运算，
更可以用于非数值信息的表示和处理,像数据的删节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组织和查询等，都很难用传统的数值计算来处理，
但却可以用集合运算来实现,集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个分支以及计算机科学等现代科技的研究领域都有着密切联系,本章主要介绍了集合论的基本内容,
3.1 集合的概念及其表示
3.1.1 集合的概念
3.1.2 集合的表示方法
3.1.1 集合的概念在中学数学中，我们给出了集合定义，“某些指定的对象集在一起就形成一个集合”,例如，
全体大写英文字母，教室里的桌子，世界上所有的哺乳动物等，这些都是集合,
一般而言，集合是指确定的、可以互相区别的一些事物所构成的整体,
严格地说这算不得集合的定义，因为在集合论中，集合是一个不作定义的原始概念（就像几何学中的点、线、面等概念）,不过，上述关于集合概念的描述，有益于对它的内涵作直观的理解和认识,
3.1.1 集合的概念组成集合的对象称为集合的元素,请注意，这里“对象”
的概念是相当普遍的，可以是任何具体的或抽象的客体，
还可以是集合,
通常用大写不带标号或带标号的英文字母 A，
B,…,C 1,… 表示集合，用小写不带标号或带标号的英文字母 a,b,…,c 1,… 表示集合的元素,元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念,当个体 a是集合 A的元素时，称
a属于 A，记为 a∈ A；当个体 a不是集合 A的元素时，称 a不属于 A，记为 a? A.
对任何对象 a和任何集合 A，或者 a∈ A或者 a? A,两者恰居其一,这正是集合对其元素的“确定性”要求,
3.1.1 集合的概念有一些集合，我们在本书以后的章节将常常用到，现列举如下：
N:全体自然数的集合，,0,1,2,3,…,；
Z:全体整数的集合，,…,-2,-1,0,1,2,…,；
Z+:全体正整数的集合，,1,2,…,；
Q:全体有理数的集合；
R:全体实数数的集合；
C:全体复数的集合,
当一个集合 A中有有限个元素时，我们称集合 A是有限集，否则为无限集,有限集 A中元素的个数称为集合 A的基，
记为 |A|，如 A={a,b,c}，则 |A|=3.
3.1.2 集合的 表示方法为了表示一个集合由哪些元素组成，集合有多种表示方法，通常用以下 3种方法：
1.列举法：规定一个集合 A时，将 A中元素一一列举，
或列出足够多的元素以反映 A中成员的特征，表示形如
A＝｛ a,b,c,d｝或 A1=｛ 1,2,3,4,… ｝,
2.描述法：规定一个集合 A时，将 A中元素的特征用一个条件公式来描述，表示形如
A=｛ a|P(a)｝,
其意义为：集合 A当且仅当由满足条件公式 P(a)的对象所组成，即 a∈ A当且仅当 P(a)真,例如，集合 A1可表示为
A1={x|x≥1且 x∈ Z}.
3.1.2 集合的 表示方法
3.文氏图法：用圆（或者封闭曲线组成的图形）表示集合，集合中的点表示集合的元素，称此类图为文氏图,
3.2 集合间的关系定义 3.2-1 设有两个集合 A和 B，如果 A的每一个元素都是 B的元素，即若 x∈ A必有 x∈ B，则称集合 A
是集合 B的子集，表示为 A B（或 B A），读作
,A包含于 B”（或,B包含 A”）,符号化表示为
A B? x(x∈ A→x ∈ B).
定义 3.2-2 若 A B，且 A≠B，则称集合 A是集合
B的真子集，表示为 A B（或 B A），读作,A真包含于 B”（或,B真包含 A”）,符号化表示为
A B? x(x∈ A→x ∈ B)∧? x(x∈ B→x? A).
定义 3.2-3 两个集合 A和 B相等当且仅当它们具有相同的元素,即 A＝ B当且仅当 A B且 B A.符号化表示为
A=B?x(x∈ A? x∈ B).
3.2 集合间的关系定义 3.2-4 不含任何元素的集合称为空集，记作 φ,
定义 3.2-5 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，
记作 U（或 E）,
全集是一个相对性的概念，只要求包含我们所讨论的集合,所以，根据我们所研究的问题不同，
可以有不同的全集,例如，在研究自然数的问题时，
可以取自然数集 N为全集,在研究实数的问题时，
可以取实数集 R为全集,
3.2 集合间的关系定理 3.2-1 对任意集合 A,φ A，即空集是一切集合的子集,
定理 3.2-2 设 A为一有限集合,|A|=n，
那么 A的子集个数为 2n.
定义 3.2-6 设一个集合 A，把 A的所有子集构成的集合称为集 A的幂集，记作
P(A)={x|x A }.
3.1 集合的运算
3.3.1 并运算
3.3.2 交运算
3.3.3 差运算
3.3.4 补运算
3.3.5 对称差
3.3.1 并运算集合运算指以集合为运算对象、以集合为值的运算,
定义 3.3-1 任意两个集合 A和 B的并集记作 A∪ B，是由属于 A或属于 B的所有元素组成的集合,即
A∪ B＝｛ x|x∈ A或 x∈ B｝，
A∪ B称为并运算,
3.3.2 交运算定义 3.3-2 任意两个集合 A和 B的交集记作 A∩B，是由属于 A和 B的所有共同的元素组成的集合,即
A∩B=｛ x|x∈ A且 x∈ B｝，
A∩B称为交运算,
3.3.3 差运算定义 3.3-3 任意两个集合 A和 B的差集记作 A-B，是由所有属于 A而不属于 B的元素组成的集合，即
A-B＝｛ x|x∈ A且 x?B｝，
A-B也叫集合 B关于集合 A的相对补集，
A-B称为差运算,
3.3.4 补运算定义 3.3-4 设 U是全集,A U，则称 U-
A是 A的绝对补集（简称补集），记作 A.即
A=U-A=｛ x|x∈ U且 x?A｝，
A称为补运算，它是一元运算，是差运算的特例，其文氏图如 下 图所示,
3.3.5 对称差定义 3.3-5 任意两个集合 A和 B的对称差 A?B是一个集合，其元素或属于 A，或属于 B，但不能是由既属于 A又属于 B的元素组成的集合,即
A?B=(A-B)∪ (B-A)
={x|(x∈ A)∧ x? B)∨ (x∈ B∧ x? A)},
集合的对称差可以用文氏图表示，如 下页 图所示,
3.3.5 对称差
3.4 集合中元素的计数集合的元素的个数称为该集合的基数,如，
A={a,b,c,…,z} 有 26个元素，就说 A的基数是 26，
计作 |A|=26.显然 |φ|=0.
定义 3.4-1 由有限个元素组成的集合叫有限集，由无限个元素组成的集合叫无限集,
显然，集合 A是有限集当且仅当存在自然数 n，
使得 |A|=n.例如,A={1,2,3}是有限集，而 N,Z，
R,C都是无限集,
有限集的基数容易确定，无限集的基数比较复杂,我们只讨论有限集的计算问题,
3.4 集合中元素的计数定理 3.4-1 设 A,B是有限集，若 A∩B=φ,
则 |A∪ B|=|A|+|B|.
推论 若 A1,A2,…,An凡两两不交，则有 ∏Ai=∑|Ai|.
定理 3.4-2 设 A,B是有限集，若 A B≠ φ,所以 |B-A|=|B|-|A|.
n
1
n
1
3.4 集合中元素的计数定理 3.4-2 设 A,B是有限集，若 A B≠ φ,
所以 |B-A|=|B|-|A|.
定理 3.4 3设 A,B为有限集合，其元素个数分别为 |A|,|B|，则
|A∪ B|＝ |A|+|B|-|A∩B|.
这个定理常称作包含排斥原理,
本章小结本章主要讨论了：
（ 1）集合和元素的概念，集合与元素之间的关系，集合及元素的表示,
（ 2）集合的相等与包含，子集合的概念，集合的幂集的概念,
（ 3）集合的基本运算，如交、并、差 (相对补 )、补 (绝对补 )、对称差的概念及性质，运算规律，文氏图及应用,
（ 4）有限集与无限集的概念，有限集合的计数问题,
3.1 集合的概念及其表示
3.2 集合间的关系
3.3 集合的运算
3.4 集合中元素的计数第 3章 集合集合是数学最基本的概念之一,集合论是一门研究数学基础的学科，它试图从一个比“数”更简单的概念 —— 集合（ sets）出发，定义数及其运算，进而发展到整个数学,在这一点上它取得了极大的成功,我们介绍集合论则不仅为此，还因为计算机科学及应用的研究，也和集合论理论有着极密切的关系,集合不仅可用来表示数及其运算，
更可以用于非数值信息的表示和处理,像数据的删节、插入、排序，数据间关系的描述，数据的组织和查询等，都很难用传统的数值计算来处理，
但却可以用集合运算来实现,集合论是现代数学的基础，几乎与现代数学的各个分支以及计算机科学等现代科技的研究领域都有着密切联系,本章主要介绍了集合论的基本内容,
3.1 集合的概念及其表示
3.1.1 集合的概念
3.1.2 集合的表示方法
3.1.1 集合的概念在中学数学中，我们给出了集合定义，“某些指定的对象集在一起就形成一个集合”,例如，
全体大写英文字母，教室里的桌子，世界上所有的哺乳动物等，这些都是集合,
一般而言，集合是指确定的、可以互相区别的一些事物所构成的整体,
严格地说这算不得集合的定义，因为在集合论中，集合是一个不作定义的原始概念（就像几何学中的点、线、面等概念）,不过，上述关于集合概念的描述，有益于对它的内涵作直观的理解和认识,
3.1.1 集合的概念组成集合的对象称为集合的元素,请注意，这里“对象”
的概念是相当普遍的，可以是任何具体的或抽象的客体，
还可以是集合,
通常用大写不带标号或带标号的英文字母 A，
B,…,C 1,… 表示集合，用小写不带标号或带标号的英文字母 a,b,…,c 1,… 表示集合的元素,元素对于集合的隶属关系是集合论的另一基本概念,当个体 a是集合 A的元素时，称
a属于 A，记为 a∈ A；当个体 a不是集合 A的元素时，称 a不属于 A，记为 a? A.
对任何对象 a和任何集合 A，或者 a∈ A或者 a? A,两者恰居其一,这正是集合对其元素的“确定性”要求,
3.1.1 集合的概念有一些集合，我们在本书以后的章节将常常用到，现列举如下：
N:全体自然数的集合，,0,1,2,3,…,；
Z:全体整数的集合，,…,-2,-1,0,1,2,…,；
Z+:全体正整数的集合，,1,2,…,；
Q:全体有理数的集合；
R:全体实数数的集合；
C:全体复数的集合,
当一个集合 A中有有限个元素时，我们称集合 A是有限集，否则为无限集,有限集 A中元素的个数称为集合 A的基，
记为 |A|，如 A={a,b,c}，则 |A|=3.
3.1.2 集合的 表示方法为了表示一个集合由哪些元素组成，集合有多种表示方法，通常用以下 3种方法：
1.列举法：规定一个集合 A时，将 A中元素一一列举，
或列出足够多的元素以反映 A中成员的特征，表示形如
A＝｛ a,b,c,d｝或 A1=｛ 1,2,3,4,… ｝,
2.描述法：规定一个集合 A时，将 A中元素的特征用一个条件公式来描述，表示形如
A=｛ a|P(a)｝,
其意义为：集合 A当且仅当由满足条件公式 P(a)的对象所组成，即 a∈ A当且仅当 P(a)真,例如，集合 A1可表示为
A1={x|x≥1且 x∈ Z}.
3.1.2 集合的 表示方法
3.文氏图法：用圆（或者封闭曲线组成的图形）表示集合，集合中的点表示集合的元素，称此类图为文氏图,
3.2 集合间的关系定义 3.2-1 设有两个集合 A和 B，如果 A的每一个元素都是 B的元素，即若 x∈ A必有 x∈ B，则称集合 A
是集合 B的子集，表示为 A B（或 B A），读作
,A包含于 B”（或,B包含 A”）,符号化表示为
A B? x(x∈ A→x ∈ B).
定义 3.2-2 若 A B，且 A≠B，则称集合 A是集合
B的真子集，表示为 A B（或 B A），读作,A真包含于 B”（或,B真包含 A”）,符号化表示为
A B? x(x∈ A→x ∈ B)∧? x(x∈ B→x? A).
定义 3.2-3 两个集合 A和 B相等当且仅当它们具有相同的元素,即 A＝ B当且仅当 A B且 B A.符号化表示为
A=B?x(x∈ A? x∈ B).
3.2 集合间的关系定义 3.2-4 不含任何元素的集合称为空集，记作 φ,
定义 3.2-5 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，
记作 U（或 E）,
全集是一个相对性的概念，只要求包含我们所讨论的集合,所以，根据我们所研究的问题不同，
可以有不同的全集,例如，在研究自然数的问题时，
可以取自然数集 N为全集,在研究实数的问题时，
可以取实数集 R为全集,
3.2 集合间的关系定理 3.2-1 对任意集合 A,φ A，即空集是一切集合的子集,
定理 3.2-2 设 A为一有限集合,|A|=n，
那么 A的子集个数为 2n.
定义 3.2-6 设一个集合 A，把 A的所有子集构成的集合称为集 A的幂集，记作
P(A)={x|x A }.
3.1 集合的运算
3.3.1 并运算
3.3.2 交运算
3.3.3 差运算
3.3.4 补运算
3.3.5 对称差
3.3.1 并运算集合运算指以集合为运算对象、以集合为值的运算,
定义 3.3-1 任意两个集合 A和 B的并集记作 A∪ B，是由属于 A或属于 B的所有元素组成的集合,即
A∪ B＝｛ x|x∈ A或 x∈ B｝，
A∪ B称为并运算,
3.3.2 交运算定义 3.3-2 任意两个集合 A和 B的交集记作 A∩B，是由属于 A和 B的所有共同的元素组成的集合,即
A∩B=｛ x|x∈ A且 x∈ B｝，
A∩B称为交运算,
3.3.3 差运算定义 3.3-3 任意两个集合 A和 B的差集记作 A-B，是由所有属于 A而不属于 B的元素组成的集合，即
A-B＝｛ x|x∈ A且 x?B｝，
A-B也叫集合 B关于集合 A的相对补集，
A-B称为差运算,
3.3.4 补运算定义 3.3-4 设 U是全集,A U，则称 U-
A是 A的绝对补集（简称补集），记作 A.即
A=U-A=｛ x|x∈ U且 x?A｝，
A称为补运算，它是一元运算，是差运算的特例，其文氏图如 下 图所示,
3.3.5 对称差定义 3.3-5 任意两个集合 A和 B的对称差 A?B是一个集合，其元素或属于 A，或属于 B，但不能是由既属于 A又属于 B的元素组成的集合,即
A?B=(A-B)∪ (B-A)
={x|(x∈ A)∧ x? B)∨ (x∈ B∧ x? A)},
集合的对称差可以用文氏图表示，如 下页 图所示,
3.3.5 对称差
3.4 集合中元素的计数集合的元素的个数称为该集合的基数,如，
A={a,b,c,…,z} 有 26个元素，就说 A的基数是 26，
计作 |A|=26.显然 |φ|=0.
定义 3.4-1 由有限个元素组成的集合叫有限集，由无限个元素组成的集合叫无限集,
显然，集合 A是有限集当且仅当存在自然数 n，
使得 |A|=n.例如,A={1,2,3}是有限集，而 N,Z，
R,C都是无限集,
有限集的基数容易确定，无限集的基数比较复杂,我们只讨论有限集的计算问题,
3.4 集合中元素的计数定理 3.4-1 设 A,B是有限集，若 A∩B=φ,
则 |A∪ B|=|A|+|B|.
推论 若 A1,A2,…,An凡两两不交，则有 ∏Ai=∑|Ai|.
定理 3.4-2 设 A,B是有限集，若 A B≠ φ,所以 |B-A|=|B|-|A|.
n
1
n
1
3.4 集合中元素的计数定理 3.4-2 设 A,B是有限集，若 A B≠ φ,
所以 |B-A|=|B|-|A|.
定理 3.4 3设 A,B为有限集合，其元素个数分别为 |A|,|B|，则
|A∪ B|＝ |A|+|B|-|A∩B|.
这个定理常称作包含排斥原理,
本章小结本章主要讨论了：
（ 1）集合和元素的概念，集合与元素之间的关系，集合及元素的表示,
（ 2）集合的相等与包含，子集合的概念，集合的幂集的概念,
（ 3）集合的基本运算，如交、并、差 (相对补 )、补 (绝对补 )、对称差的概念及性质，运算规律，文氏图及应用,
（ 4）有限集与无限集的概念，有限集合的计数问题,
