第 2章 谓词逻辑
2.1 谓词逻辑基本概念
2.2 谓词公式及其解释
2.3 谓词逻辑等值式
2.4 一阶逻辑的推理理论第 2章 谓词逻辑原子命题是命题逻辑研究的基本单位，没有对原子命题的内容结构及其逻辑关系进行讨论，在实际思维中，仅有命题逻辑工具是不够的,例如，著名的苏格拉底三段论：
大前提：所有的人都是要死的,
小前提：苏格拉底是人,
结论：所以，苏哥拉底是要死的,
这个推理的有效性在命题逻辑中无法证明，因为上面的每个命题都是原子命题，可以分别用 p,q,r表示，然而（ p∧ q）
r在命题逻辑中是无效推理,
之所以出现这种推理本身是正确的，但无法证明其有效的问题，是因为没有对原子命题的内部形式结构及其逻辑关系进行讨论，这正是谓词逻辑首先要研究的内容,
本书讨论的谓词逻辑又称为一阶逻辑,
2.1 谓词逻辑基本概念
2.1.1 个体词和谓词的相关概念
2.1.2 量词
2.1.3 命题符号化
2.1.1 个体词和谓词的相关概念定义 2.1-1 所谓个体词是指可以独立存在的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念,
例如，张三、玫瑰花、桌子、自然数、思想、定义等都可以作为个体词,
定义 2.1-2 谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词,
例如,(1) 根号 2是无理数,
(2) x是有理数,
(3) 张三与李四等高,
2.1.1 个体词和谓词的相关概念定义 2.1-3 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项,表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项,
无论是谓词常项或谓词变项都用大写英文字母 F，
G,H,… 表示，可根据上下文区分,在上面 3个命题中,(1),(2),(3)中谓词 F,G,H是常项,一般的，用
F(a)表示个体常项 a具有性质 F(F是谓词常项或谓词变项 )，用 F(x)表示个体变项 x具有性质 F.而用 F(a,b)表示个体常项 a,b具有关系 F，用 F(x,y)表示个体变项 x，
y具有关系 F.
2.1.2 量词在很多情况下，经常需要分析下列类型的命题：
所有的人都是要死的,
有些狗是白色的,
任意的素数都是整数,
存在着有理数是奇数,
在上述命题中，分别含有“所有的”、“有些”、
“任意的”、“存在着”等表示数量的词,为了对它们进行符号化，在谓词逻辑中，除了引进个体词和谓词外，还需引进“量词”这一新概念,
2.1.2 量词定义 2.1-4 称表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词,量词可分为两种,
1,全称量词
2,存在量词
2.1.3 命题符号化与命题逻辑中的命题的符号化不同，我们是在谓词逻辑或一阶逻辑中将命题符号化，它要求必须使用谓词,
在谓词逻辑中将命题符号化，首先找出所给命题中的所有个体常量，并用 ai,bi,ci,… 表示；其次是确定在给定个体域中应该选用的所有谓词，
特别注意特性谓词的选取；再次是确定量词；最后通过找出联结词将所给命题符号化,
在谓词逻辑中将命题符号化是本章的重点内容之一，这种形式化方法和技巧在软件测试、软件工程及软件理论等研究中是至关重要的,
2.1.3 命题符号化将命题符号化的思路：在谓词逻辑中的命题,除了要分清是原子命题还是复合命题外，在命题符号化中还要明确个体域,在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样，如果事先没有给出个体域就认为全总个体域，此时要引入谓词以指明个体的取值范围,一般地，对命题符号化时，对全称量词，引入谓词常做条件式的前件；对存在量词，引入谓词常取合取式,
2.2 谓词公式及其解释
2.2.1 谓词公式
2.2.2 解释
2.2.1 谓词公式定义 2.2-1 把不含任何联结词和量词的简单命题函数称为原子公式,
定义 2.2-2 合式公式（谓词公式）的递归定义：
(1) 每个原子公式都是合式公式,
(2) 若 A是合式公式，则 ﹁ A,A∧ B,A∨ B、
A→B,A? B也是合式公式,
(3) 若 A是合式公式,x是 A中的个体变元，则
xA和? xA也是合式公式,
(4) 当且仅当有限次地使用规则 (1),(2),(3)
得到的公式才是合式公式,
2.2.1 谓词公式定义 2.2-3 在谓词公式中形如?xA(x)或
xA(x)，称 x为指导变项，称 A为相应量词的辖域,在辖域中,x的所有出现称为 x的约束出现（即 x受相应量词指导变项的约束）,
当 x的出现不是约束出现时，称 x的出现是自由出现,因此，公式中约束出现的变元是约束变元，自由出现的变元是自由变元,我们可把自由变元看做是公式中的参数,
2.2.2 解释定义 2.2-4 设 A为任一公式，若 A中无自由出现的个体变项，则称 A是封闭的合式公式，简称闭式,
由闭式定义可知，闭式中所有个体变元均为约束出现,例如,?x(P(x)→Q(x)) 和
x? y(p(x)∨ Q(x,y))是闭式，而
x(P(x)→Q(x,y)) 和? y? z(x,y,z)不是闭式,
2.2.2 解释定义 2.2-5 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未曾出现过的个体变项的符号，公式中其余部分不变,
定义 2.2-6 代替规则：对某个自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替,
2.2.2 解释定义 2.2-7 一个解释 I由下面 4部分组成：
(1)非空个体域 D；
(2)D中一部分特定元素；
(3)D上一些特定的函数；
(4)D上一些特定的谓词,
在使用一个解释 I解释一个公式 A时，将
A中的个体常项用 I中的特定常项代替，函数和谓词用 I中的特定函数和谓词代替,
2.2.2 解释定义 2.2-8 设 A为一公式（谓词公式），
如果 A在任何解释下都是真的，则称 A为逻辑有效式（或称永真式）；如果 A在任何解释下都是假的，则称 A是矛盾式（或称永假式）；若至少存在一个解释使 A为真，则称
A是可满足式,
从上述定义可知三种特殊公式之间的关系：
（ 1）逻辑有效式的否定为矛盾式；矛盾式的否定为逻辑有效式,
（ 2）逻辑有效式一定为可满足公式,
2.2.2 解释定义 2.2-9 设 A0是含命题变项
p1,p2,…,p n的命题公式,A1,A2,…,An是 n个谓词公式，用 Ai(1≤i≤n)处处代换 pi，所得公式 A称为 A0的代换实例,
注意到命题公式中重言式、矛盾式的代换实例在谓词公式中仍是重言式 (逻辑有效式 )、矛盾式,
2.3 谓词逻辑等值式
2.3.1 等值式的概念
2.3.2 基本的等值式
2.3.3 前束范式
2.3.1 等值式的概念定义 2.3-1 设 A,B是一阶逻辑中任意的两公式，若 A? B为逻辑有效式，则称
A与 B是等值的，记作 A B，称 A B为等值式,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3 1量词否定等值式：
(1)﹁? xA(x)?x ﹁ A(x);
(2)﹁? xA(x)?x ﹁ A(x),
其中,A(x)是任意的公式,
当个体域 D是有限集时，比如
D=｛ a1,a2,…,a n｝，上述定理中的两个等值式是容易验证的,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3-2 量词辖域收缩与扩张等值式：
(1)
①? x(A(x)∨ B) (? xA(x)∨ B)；
②? x(A(x)∧ B) (? xA(x)∧ B)；
③? x(A(x)→B) (? xA(x)→B) ；
④? x(B→A(x)) (B→? xA(x)).
(2)
①? x(A(x)∨ B) (? xA(x)∨ B)；
②? x(A(x)∧ B) (? xA(x)∧ B)；
③? x(A(x)→B) (? xA(x)→B) ；
④? x(B→A(x)) (B→? xA(x)).
在以上公式中,A(x)是含 x自由出现的任意的公式，而
B中不含有 x的出现,当个体域 D=｛ a1,a2,…,a n｝时，以上各公式的验证是容易的,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3-3 量词分配等值式：
（ 1）?x(A(x)∧ B(x)) (?xA(x)∧?xB(x))；
（ 2）? x(A(x)∨ B(x)) (? xA(x)∨?
xB(x)).
我们称 (1)为?对 ∧ 的分配；（ 2）为?
∨ 的分配,但注意?对 ∨ 及?对 ∧ 都不存在分配等值式,
BA?
2.3.3 前束范式在命题逻辑里，每一个公式都有与之等值的析取（合取）范式，对谓词逻辑公式来说，也有范式，其中前束范式与原公式等值，而其他范式与原公式有较弱的关系,
前束范式的优点在于它的量词全部集中在公式的首部，
公式的其余部分实际上是一个命题演算公式，这就为谓词公式提供了一种范式的形式，从而将公式形式的范围缩小，
给研究工作提供了一定的方便,但前束范式的不足之处是首部比较杂乱无章，全称量词与存在量词无一定的排列规则,
定义 2.3-2 设 A为一谓词公式，如果 A具有如下形式：
Q1x1Q2x2…Q kxkB,
则称 A是前束范式,其中 Qi(1≤i≤k)为?或?,B为不含量词的谓词公式,
2.4 一阶逻辑的推理理论
2.4.1 量词分配定律
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
2.4.1 量词分配定律定义逻辑有效蕴涵式称为推理定律，即若 A1∧ A2∧ … ∧ Ak→B 为逻辑有效式，则称推理正确，记为 A1∧ A2∧ … ∧ Ak B.
2.4.1 量词分配定律
1.命题逻辑推理定律的代换实例
xF(x)∧? yG(x)? xF(x),
xF(x)? xF(x)∨? yG(y)
为化简式，附加式的代换实例,
2.4.1 量词分配定律
2.基本等值式生成的推理定律
xQ(x)? xQ(x),
﹁ ﹁? xQ(x)? xQ(x),
﹁? xA(x)? x﹁ A(x),
x﹁ A(x)? xA(x),
x(A(x)∨ B)? xA(x)∨ B,
xA(x)∨ B? x(A(x)∨ B),
分别由双重否定律、量词交换律和量词收缩扩张律生成,
2.4.1 量词分配定律
3.几个重要的推理定律定理
(1)(? xA(x)∨? xB(x))? x(A(x)∨ B(x));
(2)? x(A(x)∧ B(x))? xA(x)∧? xB(x);
(3)? x(A(x)→B(x))?xA(x)→? xB(x);
(4)? x(A(x)→B(x))? xA(x)→? xB(x).
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
1.全称量词消去规则（ UI规则）
xA(x)? xA(x)
或所以 A（ y） 所以 A(c)
成立的条件为
(1)x为 A(x)中自由出现的个体变项；
(2)第一式中的 y是任意的不在 A(x)中约束出现的个体变项；
(3)第二式中的 c是任意的个体常项；
(4)在构造证明时是用第一式还是第二式要根据具体情况而定,
形式,?xA(x) A(c)，其中 c为不在 A(x)中出现过的个体常项；
xA(x) A(y)，其中 y不在 A(x)中约束出现 ;
说明：使用时要全部替代,
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
2.全称量词引入规则 (UG规则 )
A(y)
xA(x)
上式成立的条件为
(1)y在 A(y)中自由出现，且 y取个体域中任何值时,A均为真；
(2)取代 y的 x不能在 A(y)中约束出现,
形式,A(y)? xA(x).
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
3.存在量词消去规则 (EI规则 )
xA(x)
所以 A(c)
上式成立的条件为
(1)c是使 A为真的特定的个体常项；
(2)c不在 A（ x）中出现过；
(3)A(x)中除 x外，不能有另外的自由出现的个体变项,
形式,? xA（ x A（ c），其中 c使 A(x)真,
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
4.存在量词引入规则 (EG规则 )
A(c)
所以? xA(x)
上式成立的条件为
(1)c为特定的使 A为真的个体常项；
(2)取代 c的 x不能已在 A(c)中出现过,
形式,A(c)? xA(x)，其中 c是个体常项,
本章小结本章主要讨论了：
（ 1）个体词、谓词、量词的有关概念，一阶逻辑中的命题符号化,
（ 2）谓词公式的概念及其分类；量词的辖域，
约束变项，自由变项的概念；换名规则，代替规则；解释的概念；代换实例；判断谓词公式的类型,
（ 3）基本等值式 (量词否定等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式 )的内容；使用基本等值式进行等值演算,
（ 4）量词分配定律,4个与量词有关的推理规则；如何运用它们,
2.1 谓词逻辑基本概念
2.2 谓词公式及其解释
2.3 谓词逻辑等值式
2.4 一阶逻辑的推理理论第 2章 谓词逻辑原子命题是命题逻辑研究的基本单位，没有对原子命题的内容结构及其逻辑关系进行讨论，在实际思维中，仅有命题逻辑工具是不够的,例如，著名的苏格拉底三段论：
大前提：所有的人都是要死的,
小前提：苏格拉底是人,
结论：所以，苏哥拉底是要死的,
这个推理的有效性在命题逻辑中无法证明，因为上面的每个命题都是原子命题，可以分别用 p,q,r表示，然而（ p∧ q）
r在命题逻辑中是无效推理,
之所以出现这种推理本身是正确的，但无法证明其有效的问题，是因为没有对原子命题的内部形式结构及其逻辑关系进行讨论，这正是谓词逻辑首先要研究的内容,
本书讨论的谓词逻辑又称为一阶逻辑,
2.1 谓词逻辑基本概念
2.1.1 个体词和谓词的相关概念
2.1.2 量词
2.1.3 命题符号化
2.1.1 个体词和谓词的相关概念定义 2.1-1 所谓个体词是指可以独立存在的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念,
例如，张三、玫瑰花、桌子、自然数、思想、定义等都可以作为个体词,
定义 2.1-2 谓词是用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词,
例如,(1) 根号 2是无理数,
(2) x是有理数,
(3) 张三与李四等高,
2.1.1 个体词和谓词的相关概念定义 2.1-3 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项,表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项,
无论是谓词常项或谓词变项都用大写英文字母 F，
G,H,… 表示，可根据上下文区分,在上面 3个命题中,(1),(2),(3)中谓词 F,G,H是常项,一般的，用
F(a)表示个体常项 a具有性质 F(F是谓词常项或谓词变项 )，用 F(x)表示个体变项 x具有性质 F.而用 F(a,b)表示个体常项 a,b具有关系 F，用 F(x,y)表示个体变项 x，
y具有关系 F.
2.1.2 量词在很多情况下，经常需要分析下列类型的命题：
所有的人都是要死的,
有些狗是白色的,
任意的素数都是整数,
存在着有理数是奇数,
在上述命题中，分别含有“所有的”、“有些”、
“任意的”、“存在着”等表示数量的词,为了对它们进行符号化，在谓词逻辑中，除了引进个体词和谓词外，还需引进“量词”这一新概念,
2.1.2 量词定义 2.1-4 称表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词,量词可分为两种,
1,全称量词
2,存在量词
2.1.3 命题符号化与命题逻辑中的命题的符号化不同，我们是在谓词逻辑或一阶逻辑中将命题符号化，它要求必须使用谓词,
在谓词逻辑中将命题符号化，首先找出所给命题中的所有个体常量，并用 ai,bi,ci,… 表示；其次是确定在给定个体域中应该选用的所有谓词，
特别注意特性谓词的选取；再次是确定量词；最后通过找出联结词将所给命题符号化,
在谓词逻辑中将命题符号化是本章的重点内容之一，这种形式化方法和技巧在软件测试、软件工程及软件理论等研究中是至关重要的,
2.1.3 命题符号化将命题符号化的思路：在谓词逻辑中的命题,除了要分清是原子命题还是复合命题外，在命题符号化中还要明确个体域,在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样，如果事先没有给出个体域就认为全总个体域，此时要引入谓词以指明个体的取值范围,一般地，对命题符号化时，对全称量词，引入谓词常做条件式的前件；对存在量词，引入谓词常取合取式,
2.2 谓词公式及其解释
2.2.1 谓词公式
2.2.2 解释
2.2.1 谓词公式定义 2.2-1 把不含任何联结词和量词的简单命题函数称为原子公式,
定义 2.2-2 合式公式（谓词公式）的递归定义：
(1) 每个原子公式都是合式公式,
(2) 若 A是合式公式，则 ﹁ A,A∧ B,A∨ B、
A→B,A? B也是合式公式,
(3) 若 A是合式公式,x是 A中的个体变元，则
xA和? xA也是合式公式,
(4) 当且仅当有限次地使用规则 (1),(2),(3)
得到的公式才是合式公式,
2.2.1 谓词公式定义 2.2-3 在谓词公式中形如?xA(x)或
xA(x)，称 x为指导变项，称 A为相应量词的辖域,在辖域中,x的所有出现称为 x的约束出现（即 x受相应量词指导变项的约束）,
当 x的出现不是约束出现时，称 x的出现是自由出现,因此，公式中约束出现的变元是约束变元，自由出现的变元是自由变元,我们可把自由变元看做是公式中的参数,
2.2.2 解释定义 2.2-4 设 A为任一公式，若 A中无自由出现的个体变项，则称 A是封闭的合式公式，简称闭式,
由闭式定义可知，闭式中所有个体变元均为约束出现,例如,?x(P(x)→Q(x)) 和
x? y(p(x)∨ Q(x,y))是闭式，而
x(P(x)→Q(x,y)) 和? y? z(x,y,z)不是闭式,
2.2.2 解释定义 2.2-5 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未曾出现过的个体变项的符号，公式中其余部分不变,
定义 2.2-6 代替规则：对某个自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替,
2.2.2 解释定义 2.2-7 一个解释 I由下面 4部分组成：
(1)非空个体域 D；
(2)D中一部分特定元素；
(3)D上一些特定的函数；
(4)D上一些特定的谓词,
在使用一个解释 I解释一个公式 A时，将
A中的个体常项用 I中的特定常项代替，函数和谓词用 I中的特定函数和谓词代替,
2.2.2 解释定义 2.2-8 设 A为一公式（谓词公式），
如果 A在任何解释下都是真的，则称 A为逻辑有效式（或称永真式）；如果 A在任何解释下都是假的，则称 A是矛盾式（或称永假式）；若至少存在一个解释使 A为真，则称
A是可满足式,
从上述定义可知三种特殊公式之间的关系：
（ 1）逻辑有效式的否定为矛盾式；矛盾式的否定为逻辑有效式,
（ 2）逻辑有效式一定为可满足公式,
2.2.2 解释定义 2.2-9 设 A0是含命题变项
p1,p2,…,p n的命题公式,A1,A2,…,An是 n个谓词公式，用 Ai(1≤i≤n)处处代换 pi，所得公式 A称为 A0的代换实例,
注意到命题公式中重言式、矛盾式的代换实例在谓词公式中仍是重言式 (逻辑有效式 )、矛盾式,
2.3 谓词逻辑等值式
2.3.1 等值式的概念
2.3.2 基本的等值式
2.3.3 前束范式
2.3.1 等值式的概念定义 2.3-1 设 A,B是一阶逻辑中任意的两公式，若 A? B为逻辑有效式，则称
A与 B是等值的，记作 A B，称 A B为等值式,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3 1量词否定等值式：
(1)﹁? xA(x)?x ﹁ A(x);
(2)﹁? xA(x)?x ﹁ A(x),
其中,A(x)是任意的公式,
当个体域 D是有限集时，比如
D=｛ a1,a2,…,a n｝，上述定理中的两个等值式是容易验证的,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3-2 量词辖域收缩与扩张等值式：
(1)
①? x(A(x)∨ B) (? xA(x)∨ B)；
②? x(A(x)∧ B) (? xA(x)∧ B)；
③? x(A(x)→B) (? xA(x)→B) ；
④? x(B→A(x)) (B→? xA(x)).
(2)
①? x(A(x)∨ B) (? xA(x)∨ B)；
②? x(A(x)∧ B) (? xA(x)∧ B)；
③? x(A(x)→B) (? xA(x)→B) ；
④? x(B→A(x)) (B→? xA(x)).
在以上公式中,A(x)是含 x自由出现的任意的公式，而
B中不含有 x的出现,当个体域 D=｛ a1,a2,…,a n｝时，以上各公式的验证是容易的,
BA?
2.3.2 基本的 等值式定理 2.3-3 量词分配等值式：
（ 1）?x(A(x)∧ B(x)) (?xA(x)∧?xB(x))；
（ 2）? x(A(x)∨ B(x)) (? xA(x)∨?
xB(x)).
我们称 (1)为?对 ∧ 的分配；（ 2）为?
∨ 的分配,但注意?对 ∨ 及?对 ∧ 都不存在分配等值式,
BA?
2.3.3 前束范式在命题逻辑里，每一个公式都有与之等值的析取（合取）范式，对谓词逻辑公式来说，也有范式，其中前束范式与原公式等值，而其他范式与原公式有较弱的关系,
前束范式的优点在于它的量词全部集中在公式的首部，
公式的其余部分实际上是一个命题演算公式，这就为谓词公式提供了一种范式的形式，从而将公式形式的范围缩小，
给研究工作提供了一定的方便,但前束范式的不足之处是首部比较杂乱无章，全称量词与存在量词无一定的排列规则,
定义 2.3-2 设 A为一谓词公式，如果 A具有如下形式：
Q1x1Q2x2…Q kxkB,
则称 A是前束范式,其中 Qi(1≤i≤k)为?或?,B为不含量词的谓词公式,
2.4 一阶逻辑的推理理论
2.4.1 量词分配定律
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
2.4.1 量词分配定律定义逻辑有效蕴涵式称为推理定律，即若 A1∧ A2∧ … ∧ Ak→B 为逻辑有效式，则称推理正确，记为 A1∧ A2∧ … ∧ Ak B.
2.4.1 量词分配定律
1.命题逻辑推理定律的代换实例
xF(x)∧? yG(x)? xF(x),
xF(x)? xF(x)∨? yG(y)
为化简式，附加式的代换实例,
2.4.1 量词分配定律
2.基本等值式生成的推理定律
xQ(x)? xQ(x),
﹁ ﹁? xQ(x)? xQ(x),
﹁? xA(x)? x﹁ A(x),
x﹁ A(x)? xA(x),
x(A(x)∨ B)? xA(x)∨ B,
xA(x)∨ B? x(A(x)∨ B),
分别由双重否定律、量词交换律和量词收缩扩张律生成,
2.4.1 量词分配定律
3.几个重要的推理定律定理
(1)(? xA(x)∨? xB(x))? x(A(x)∨ B(x));
(2)? x(A(x)∧ B(x))? xA(x)∧? xB(x);
(3)? x(A(x)→B(x))?xA(x)→? xB(x);
(4)? x(A(x)→B(x))? xA(x)→? xB(x).
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
1.全称量词消去规则（ UI规则）
xA(x)? xA(x)
或所以 A（ y） 所以 A(c)
成立的条件为
(1)x为 A(x)中自由出现的个体变项；
(2)第一式中的 y是任意的不在 A(x)中约束出现的个体变项；
(3)第二式中的 c是任意的个体常项；
(4)在构造证明时是用第一式还是第二式要根据具体情况而定,
形式,?xA(x) A(c)，其中 c为不在 A(x)中出现过的个体常项；
xA(x) A(y)，其中 y不在 A(x)中约束出现 ;
说明：使用时要全部替代,
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
2.全称量词引入规则 (UG规则 )
A(y)
xA(x)
上式成立的条件为
(1)y在 A(y)中自由出现，且 y取个体域中任何值时,A均为真；
(2)取代 y的 x不能在 A(y)中约束出现,
形式,A(y)? xA(x).
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
3.存在量词消去规则 (EI规则 )
xA(x)
所以 A(c)
上式成立的条件为
(1)c是使 A为真的特定的个体常项；
(2)c不在 A（ x）中出现过；
(3)A(x)中除 x外，不能有另外的自由出现的个体变项,
形式,? xA（ x A（ c），其中 c使 A(x)真,
2.4.2 四个与量词有关的推理规则
4.存在量词引入规则 (EG规则 )
A(c)
所以? xA(x)
上式成立的条件为
(1)c为特定的使 A为真的个体常项；
(2)取代 c的 x不能已在 A(c)中出现过,
形式,A(c)? xA(x)，其中 c是个体常项,
本章小结本章主要讨论了：
（ 1）个体词、谓词、量词的有关概念，一阶逻辑中的命题符号化,
（ 2）谓词公式的概念及其分类；量词的辖域，
约束变项，自由变项的概念；换名规则，代替规则；解释的概念；代换实例；判断谓词公式的类型,
（ 3）基本等值式 (量词否定等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式 )的内容；使用基本等值式进行等值演算,
（ 4）量词分配定律,4个与量词有关的推理规则；如何运用它们,
