第 5章 函数
5.1基本概念
5.2函数的复合
5.3特殊性质的函数
5.4鸽洞原理第 5章 函数函数是数学中最重要的概念之一,在数学的各个分支中，它起着十分重要的作用,本章将用集合论的语言讨论函数概念的本质,函数也可以称作映射，它是一种特殊的二元关系,通常，函数可以认为是一种输入和输出之间的关系，即对每一个输入或自变量，函数能够产生一个输出或函数值,以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数完全适用,
5.1 基本概念定义 5.1-1 设 F为二元关系，若对任意的
x∈ domF都存在唯一的 y∈ ranF，使得 xFy成立，
则称 F为函数,如果〈 x,y〉 ∈ 函数 F，则记为 F（ x）
=y，称 y是 F在 x的函数值,
定义 5.1-2 设 F,G是函数，如果它们满足：
(1) domF=domG；
(2)? x∈ domF=domG都有 F(x)=G(x)，
则称 F与 G相等，记为 F=G.
换句话说就是，因为函数是集合，所以，两个函数 F和 G相等就是它们的集合表达式相等,
5.1 基本概念定义 5.1-3 设 A,B是集合，如果函数 f满足以下条件：
(1) domf=A；
(2) ranf B，
则称 f是从 A到 B的函数，记作 f:A→B.
定义 5.1-4 对于函数 f:A→B,如果
〈 x,y〉 ∈ f，则称 x为自变量,y为函数 f在 x处的值,
也称 y为在 f作用下 x的像，而称 x为 y的一个像源，
通常也用 y=f(x)表示 〈 x,y〉 ∈ f.
5.1 基本概念定义 5.1-5 设 f:A→B,A′ A，则 A′在 f下的像是
f(A′)={f(x)|x∈ A′}=f［ A′］,
当 A′=A时，称 f(A′)=f(A)=ranf是函数的像,
定义 5.1-6 设 f是从集合 A到集合 B的关系,A′
A，如果对每个 x∈ A′，存在唯一的 y∈ B，使
〈 x,y〉 ∈ f，则称 f为 X到 Y的偏函数,记为 f:X→Y.
由偏函数的定义可知，对任意的 x∈ X-X′,f(x)
的值没有定义,为了区别偏函数和函数，有时把函数称为全函数,通常所说的函数即指全函数,
5.2 函数的复合函数是特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成，以前给出的有关关系合成的所有定理都适合于函数的复合,
定义 5.2-1 设 f:X→Y 和 g:Y→Z 是两个函数,复合关系：
g o f={〈 x,z〉 |(x∈ X)∧ (z∈ Z)∧
(? y)(y∈ Y∧ y=f(x)∧ z=g(y))}
称为函数和的复合,
函数的复合采用记号 g o f来代替关系复合中采用的记号 f o g.这主要是因为，当写一个变换时，通常把先执行的运算放在第二个位置上，例如，微积分中大家熟悉的复合函数 sin(lnx)的记号,
5.2 函数的复合定理 5.2-1 设 f:X→Y,g:Y→Z,则函数的复合 g o f是一个从 X到 Z的函数，且对所有的 x∈ X,(g o f)(x)=g(f(x)).
定义 5.2-2 A上的恒等关系 IA就是 A上的恒等函数，对于所有的 x∈ A都有 IA(x)=x.
定理 5.2-2 IX和 IY是恒等函数，函数
f:X→Y,则 f o IX=IY o f=f.
5.2 函数的复合定理 5.2-3 设有函数 f:X→Y,g:Y→Z 及
h:Z→W,则函数的复合具有可结合性，即
h o (g o f)=(h o g) o f=h o g o f.
定义 5.2-3 若 f:X→X,则函数 f能够对自身复合任意多次,用于 f对其自身的多次复合归纳定义如下：
(1) f (a)=IX，
(2) f (a)=f(f (a)).
另外，函数的定义域可以是集合的 n阶笛卡儿乘积子集，具有这样定义的函数称为多元函数,F
在 〈 x1,x2,…,x n〉 处的值表示为 f(x1,x2,…,x n).
0
n+1 n
5.3 特殊性质的函数本节将讨论具有特殊性质的函数，并给出一些有关的术语,
定义 5.3-1 设一个函数 f:X→Y,
(1) 若对于每个 y∈ Y，都存在 x且有 y=f(x)，则称 f是满射的，即
f y∈ Y→? x(x∈ X∧ f(x)=y).
(2) 若对任意的 x1,x2∈ X有 f(x1)=f(x2) x1=x2，则称 f是单射的，即
f x1∈ X∧ x2∈ X∧ f(x1)=f(x2)→x 1=x2.
(3) 若 f既是满射的又是单射的，则称 f是双射的,
具有上述特征的函数分别称为满射函数，单射函数，
双射函数,
5.3 特殊性质的函数定理 5.3-1 设 f:B→C,g:A→B.
(1) 如果 f,g是满射的，则 f o g:A→C 也是满射的,
(2) 如果 f,g是单射的，则 f o g:A→C 也是单射的,
(3) 如果 f,g是双射的，则 f o g:A→C 也是双射的,
定义 5.3-2 设函数 f:X→Y,如果对于所有的 x∈ X，
存在某一个 y∈ Y，使得 f(x)=y，即 f(x)={y}，则称 f为常值函数,
定义 5.3-3 设 f:X→Y 是双射函数，它的反函数是 f
的逆关系，记为 f,
定理 5.3-2 设 f:X→Y 是双射函数，则其逆关系 f 也是双射函数，并且 f,Y→X.
-1
-1
-1
5.3 特殊性质的函数定理 5.3-3 如果 f:X→Y 是可逆的，则
f o f=IX及 f o f =IY.
定理 5.3-4 设 f:X→Y 及 g:Y→X,g=f
当且仅当 g o f=IX及 f o g=IY.
定理 5.3-5 设 f:X→Y 及 g:Y→Z,且 f和 g
都是双射函数，则有 (f o g) 也是双射函数，
且有 (g o f) =f o g,-1 -1
-1
-1
-1-1
-1
5.4 鸽洞原理研究有限集到有限集的离散函数，鸽洞原理是重要的理论依据,
简单明了的事实：
有 n只鸽子和 m个鸽洞，所有鸽子都住在鸽洞里，如果 n>m，那么至少有二只鸽子必须住在同一鸽洞里,
函数观点：
把鸽子看成是定义域 A中元素 a1，鸽洞看成是值域 B
中的元素 b1，鸽子住鸽洞作为函数关系,
定理 (鸽洞原理 ) 设 f是从有限集 A到有限集 B的函数，
若 |A|＞ |B|，则必有 a1,a2∈ A,a1≠a2,使 f(a1)=f(a2)=b∈ Bf
B（ Bf是像域）,
本章小结本章主要介绍了：
（ 1）函数的概念及与关系的区别，函数相等、偏函数等,
（ 2）函数的复合及性质,
（ 3）单射函数、满射函数、双射函数和反函数的定义及性质,
（ 4）鸽洞原理及应用,
5.1基本概念
5.2函数的复合
5.3特殊性质的函数
5.4鸽洞原理第 5章 函数函数是数学中最重要的概念之一,在数学的各个分支中，它起着十分重要的作用,本章将用集合论的语言讨论函数概念的本质,函数也可以称作映射，它是一种特殊的二元关系,通常，函数可以认为是一种输入和输出之间的关系，即对每一个输入或自变量，函数能够产生一个输出或函数值,以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数完全适用,
5.1 基本概念定义 5.1-1 设 F为二元关系，若对任意的
x∈ domF都存在唯一的 y∈ ranF，使得 xFy成立，
则称 F为函数,如果〈 x,y〉 ∈ 函数 F，则记为 F（ x）
=y，称 y是 F在 x的函数值,
定义 5.1-2 设 F,G是函数，如果它们满足：
(1) domF=domG；
(2)? x∈ domF=domG都有 F(x)=G(x)，
则称 F与 G相等，记为 F=G.
换句话说就是，因为函数是集合，所以，两个函数 F和 G相等就是它们的集合表达式相等,
5.1 基本概念定义 5.1-3 设 A,B是集合，如果函数 f满足以下条件：
(1) domf=A；
(2) ranf B，
则称 f是从 A到 B的函数，记作 f:A→B.
定义 5.1-4 对于函数 f:A→B,如果
〈 x,y〉 ∈ f，则称 x为自变量,y为函数 f在 x处的值,
也称 y为在 f作用下 x的像，而称 x为 y的一个像源，
通常也用 y=f(x)表示 〈 x,y〉 ∈ f.
5.1 基本概念定义 5.1-5 设 f:A→B,A′ A，则 A′在 f下的像是
f(A′)={f(x)|x∈ A′}=f［ A′］,
当 A′=A时，称 f(A′)=f(A)=ranf是函数的像,
定义 5.1-6 设 f是从集合 A到集合 B的关系,A′
A，如果对每个 x∈ A′，存在唯一的 y∈ B，使
〈 x,y〉 ∈ f，则称 f为 X到 Y的偏函数,记为 f:X→Y.
由偏函数的定义可知，对任意的 x∈ X-X′,f(x)
的值没有定义,为了区别偏函数和函数，有时把函数称为全函数,通常所说的函数即指全函数,
5.2 函数的复合函数是特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成，以前给出的有关关系合成的所有定理都适合于函数的复合,
定义 5.2-1 设 f:X→Y 和 g:Y→Z 是两个函数,复合关系：
g o f={〈 x,z〉 |(x∈ X)∧ (z∈ Z)∧
(? y)(y∈ Y∧ y=f(x)∧ z=g(y))}
称为函数和的复合,
函数的复合采用记号 g o f来代替关系复合中采用的记号 f o g.这主要是因为，当写一个变换时，通常把先执行的运算放在第二个位置上，例如，微积分中大家熟悉的复合函数 sin(lnx)的记号,
5.2 函数的复合定理 5.2-1 设 f:X→Y,g:Y→Z,则函数的复合 g o f是一个从 X到 Z的函数，且对所有的 x∈ X,(g o f)(x)=g(f(x)).
定义 5.2-2 A上的恒等关系 IA就是 A上的恒等函数，对于所有的 x∈ A都有 IA(x)=x.
定理 5.2-2 IX和 IY是恒等函数，函数
f:X→Y,则 f o IX=IY o f=f.
5.2 函数的复合定理 5.2-3 设有函数 f:X→Y,g:Y→Z 及
h:Z→W,则函数的复合具有可结合性，即
h o (g o f)=(h o g) o f=h o g o f.
定义 5.2-3 若 f:X→X,则函数 f能够对自身复合任意多次,用于 f对其自身的多次复合归纳定义如下：
(1) f (a)=IX，
(2) f (a)=f(f (a)).
另外，函数的定义域可以是集合的 n阶笛卡儿乘积子集，具有这样定义的函数称为多元函数,F
在 〈 x1,x2,…,x n〉 处的值表示为 f(x1,x2,…,x n).
0
n+1 n
5.3 特殊性质的函数本节将讨论具有特殊性质的函数，并给出一些有关的术语,
定义 5.3-1 设一个函数 f:X→Y,
(1) 若对于每个 y∈ Y，都存在 x且有 y=f(x)，则称 f是满射的，即
f y∈ Y→? x(x∈ X∧ f(x)=y).
(2) 若对任意的 x1,x2∈ X有 f(x1)=f(x2) x1=x2，则称 f是单射的，即
f x1∈ X∧ x2∈ X∧ f(x1)=f(x2)→x 1=x2.
(3) 若 f既是满射的又是单射的，则称 f是双射的,
具有上述特征的函数分别称为满射函数，单射函数，
双射函数,
5.3 特殊性质的函数定理 5.3-1 设 f:B→C,g:A→B.
(1) 如果 f,g是满射的，则 f o g:A→C 也是满射的,
(2) 如果 f,g是单射的，则 f o g:A→C 也是单射的,
(3) 如果 f,g是双射的，则 f o g:A→C 也是双射的,
定义 5.3-2 设函数 f:X→Y,如果对于所有的 x∈ X，
存在某一个 y∈ Y，使得 f(x)=y，即 f(x)={y}，则称 f为常值函数,
定义 5.3-3 设 f:X→Y 是双射函数，它的反函数是 f
的逆关系，记为 f,
定理 5.3-2 设 f:X→Y 是双射函数，则其逆关系 f 也是双射函数，并且 f,Y→X.
-1
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5.3 特殊性质的函数定理 5.3-3 如果 f:X→Y 是可逆的，则
f o f=IX及 f o f =IY.
定理 5.3-4 设 f:X→Y 及 g:Y→X,g=f
当且仅当 g o f=IX及 f o g=IY.
定理 5.3-5 设 f:X→Y 及 g:Y→Z,且 f和 g
都是双射函数，则有 (f o g) 也是双射函数，
且有 (g o f) =f o g,-1 -1
-1
-1
-1-1
-1
5.4 鸽洞原理研究有限集到有限集的离散函数，鸽洞原理是重要的理论依据,
简单明了的事实：
有 n只鸽子和 m个鸽洞，所有鸽子都住在鸽洞里，如果 n>m，那么至少有二只鸽子必须住在同一鸽洞里,
函数观点：
把鸽子看成是定义域 A中元素 a1，鸽洞看成是值域 B
中的元素 b1，鸽子住鸽洞作为函数关系,
定理 (鸽洞原理 ) 设 f是从有限集 A到有限集 B的函数，
若 |A|＞ |B|，则必有 a1,a2∈ A,a1≠a2,使 f(a1)=f(a2)=b∈ Bf
B（ Bf是像域）,
本章小结本章主要介绍了：
（ 1）函数的概念及与关系的区别，函数相等、偏函数等,
（ 2）函数的复合及性质,
（ 3）单射函数、满射函数、双射函数和反函数的定义及性质,
（ 4）鸽洞原理及应用,
