二、长期趋势的测定和分析
（一）研究长期趋势的目的和意义
（二）测定长期趋势的基本方法
1.移动平均法
2.方程拟合法
（一）研究长期趋势的目的和意义
1,认识和掌握现象随时间演变的 趋势和规律,为制定 相关政策 和进行 管理 提供依据；
2,通过对现象过去变动规律的认识,对事物的未来发展趋势做出 预计和推测 ；
3,测定出趋势因素后,便于从原时间数列中 剔除趋势因素,更好地分解,研究其他因素 。
（二）测定长期趋势的基本方法 ——
1,移动平均法 (Moving Average Method)
⑴基本原理：
移动平均，是选择一定的平均项数（常用 N 表示），采用 逐项递移 的方法对原时间数列计算一系列 序时平均值 ；
这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。
移动平均法 (实例 )
表 5- 6 1981-1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
【 例 】 已知 1981～
1998年我汽车产量数据如表 4 -6。 分别计算三年和五年移动平均趋势值,
以及三项和五项移动中位数,并作图与原序列比较
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
---
20.39
25.08
33.11
37.45
42.63
49.54
56.67
58.07
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
60.39
76.50
102.65
124.4
137.27
143.16
150.35
156.26
---
移动平均趋势值 年 份产量
（万辆）
移动平均趋势值年 份产量
（万辆）
表 5- 7 汽车产量三项移动趋势值移动平均法 (实例 )
移动平均法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量三项移动平均趋势值三项移动中位数汽车产量
（万辆）
图 5-1 汽车产量移动平均趋势图
（年份）
⑵ 特点 (应注意的问题 )
1,移动平均对数列具有平滑修匀作用,平均项数（ N） 越大,对数列的平滑修匀作用越强；
2,移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；
当 N 为奇数,只需一次移动平均；
当 N为偶数,需再进行二项移动平均即移正平均（ 或中心化 ） ；
[例 ] 原数列 移动平均（步长 N=4） 移正平均
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
4 43211 aaaaa
4 54322
aaaaa
2
211 aaa
(续 )
3.移动间隔的长度应长短适中
若数列包含周期性变动,为了消除周期变动而只反映 T,应以周期长度作为移动间隔的长度,即：
N=周期长度
若是季度资料,应采用 4项移动平均
若为月份资料,应采用 12项移动平均
（续）
4,新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。
N越大，缺项越多。
N为奇数时，新数列首尾各少（ N-1） /2项；
N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少
N/2 项。
（续）
5,移动平均法可以呈现出现象的长期趋势,但本身不能进行外推预测 。 只有当 T为水平趋势时,
才可用移动平均值作为最近一期的预测值 。
2,趋势方程拟合法
——利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示数列长期趋势的一种方法。
在只包含 T,I中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。
趋势方程的选择
1,定性分析,利用有关理论知识,结合现象变化的性质特点进行判断；
2,绘制观测值散点图或折线图,这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型,是最常用也是比较有效的一种方法 。
3,根据数列的数据特征加以判断,常用的判断方法有：
若数列各项数据的 K次差 （ K级增长量 ） 大致为一常数,可相应的对该数列拟合 K次曲线；若数列的环比发展速度大致为一常数,可对该数列拟合指数曲线 。
⑴ 直线趋势方程
① 判别,逐期增量大致相同（数值分析、散点图等）。
[ 例 ] 某厂有关产量资料如下表所示年份 时间代码 t 产量 y
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1
2
3
4
5
6
7
12.4
13.8
15.7
17.6
19.0
20.8
22.7
例 某厂有关产量资料如下表所示时间代码 Y
t
Y
t? 1
—
1.4
1.9
1.9
1.4
1.8
1.9
( ) 0yy
直线方程,
tbay c
2()tQ y y
最小值 2)( btay
t
y
B、附带条件
C、由基本条件可知 Q是 a,b的非负二次函数
② 拟合原理
),( 11 yt
,,00 最小值时若 Qbbaa
.0/,/ 00 bQaQ则
$yt=a+bt? 趋势线（方程）
$yt,（长期） 趋势值、预测（估计）值
t：时间代码 y：真实值。
2?( ) m i nyy
A、基本条件
0))((2
0)1)((2
tbtay
b
Q
btay
a
Q
2tbtaty
tbnay
最小值 2)( btayQ
解得,
tbYa
ttn
YttYn
b
22
计算得：
a=10.55,b=1.72?
yc=a+bt=10.55+1.72t
a：第 0期（ 1989年）的趋势值（最初水平）；
b,年 平均增长量。
年份 t 产量 y 逐期增量 ty t
2
y? y
c
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1
2
3
4
5
6
7
12.4
13.8
15.7
17.6
19.0
20.8
22.7
—
1.4
1.9
1.9
1.4
1.8
1.9
12.4
27.6
47.1
70.4
95
124.8
158.9
1
4
9
16
25
36
49
0.13
-0.19
-0.01
0.17
-0.15
-0.07
0.11
合计 28 122 536.2 140 -0.01
⑵非线性方程（曲线）
①抛物线型
1,现象的发展趋势为抛物线形态
2,一般形式为
a,b,c 为未知常数
根据最小二乘法求得
2?
tY a b t c t
多元回归最小二乘法
2,取时间序列的中间时期为原点时有
4322
32
2
tctbtaYt
tctbtatY
tctbnaY
422
2
2
tctaYt
tbtY
tcnaY
1,根据最小二乘法得到求解 a,b,c 的标准方程为抛物线 (实例 )
【 例 】 已知我国
1978～ 1992年针织内衣零售量数据如表 11-9。 试配合抛物线,计算出 1978～ 1992
年零售量的趋势值,并预测 1993
年的零售量,作图与原序列比较表 5- 9 1978-1992年针织内衣零售量年 份 零售量 (亿件 ) 年 份 零售量 (亿件 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
抛物线 (计算过程 )
表 5-10 针织内衣零售量抛物线计算表年份 时间标号 t 零售量 (亿件 )Y tY t 2 t 2Y t4 趋势值
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
-49.0
-54.6
-48.5
-43.2
-35.1
-24.2
-13.1
0
14.4
29.6
45.0
49.2
56.0
56.4
62.3
49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
343.0
327.6
242.5
172.8
105.3
48.4
13.1
0
14.4
59.2
135.0
196.8
280.0
338.4
436.1
2401
1296
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
1296
2401
6.5
8.4
10.0
11.3
12.3
13.2
13.7
14.0
14.0
13.8
13.3
12.6
11.6
10.3
8.8
合计 0 173.8 45.2 280 2712.6 9352 173.8
抛物线
（计算结果）
根据计算表得 a,b,c 的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为
$Yt = 13.9924 + 0.16143 t – 0.128878 t2
$Y1993= 13.9924 + 0.16143 × 8 – 0.128878 × 82
= 7.03 ( 亿件 )
1993年零售量的预测值为
1 2 8 8 7 8.0
1 6 1 4 3.0
9 9 2 4.13
9 3 5 22806.2 7 1 2
2802.45
280158.173
c
b
a
ca
b
ca
抛物线
(趋势图 )
0
4
8
12
16
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
零售量趋势值零售量
（亿件）
图 5-3 针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
1,用于描述以几何级数递增或递减的现象
2,一般形式为
② 指数曲线型
(Exponential curve)
a,b为未知常数
若 b>1,增长率随着时间 t的增加而增加
若 b<1,增长率随着时间 t的增加而降低
若 a>0,b<1,趋势值逐渐降低到以 0为极限
ttY ab?
指数曲线
(a,b 的求解方法 )
3,取时间序列的中间时期为原点,上式可化简为
2lglglg
lglglg
tbtaYt
tbanY
2lglg
lglg
tbYt
anY
1,采取,线性化,手段将其化为对数直线形式
2,根据最小二乘法,得到求解 lga,lgb 的标准方程为指数曲线
(实例 )
【 例 】 根据表 4-
6中的资料,确定 1981～ 1998
年我国汽车产量的指数曲线方程,求出各年汽车产量的趋势值,并预测 20 0 0年的汽车产量,作图与原序列比较表 4- 6 1981-1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
计算结果
1 4 6 9 8.1
2 8 0 5.17
lg2 1 0 9lg1712 2 3 2 8 6.337
lg171lg184 5 9 8 9 6.32
b
a
ba
ba
汽车产量的指数曲线方程为
2000年汽车产量的预测值为
ttY )14698.1(2805.17
（万辆）33.268)14698.1(2805.17? 202000Y
指数曲线
(趋势图 )
0
50
100
150
200
250
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 5-4 汽车产量指数曲线趋势 （年份）
汽车产量
（万辆）
第三节 季节变动分析
1,季节变动
现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动；
各年变化强度大体相同,且每年重现；
扩展概念：对一年内由于社会,政治,经济,自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动；
时间序列的又一个主要构成要素 。
2,测定目的
确定现象过去的季节变化规律,帮助决策
对未来现象季节变动作出预测
消除时间序列中的季节因素二,测定 季节变动的 基本方法
—— 1,原资料平均法
⑴ 假定,Y=a.S.I 即假定时间数列为水平趋势 （ T=a,为常数 ） 且无循环波动 。
⑵ 根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素,计算 季节比率 S
（ 或称为 指数季节 ） 。 也可称为同期平均法 。
原资料平均法计算季节比率的 步骤：
1.计算 同期平均数 =各年（或各季节周期）第期数据的平均；相当于
%100%100)( yyS ii 总平均数同期平均数季节比率
iy
i iiy a S
2.计算全部数据的 总平均数 （ 相当于 a）；
3.计算各期（季节）的 季节比率,
y
1
100%/L iii
i i
yyS L o r S
y y L?
(季节比率 计算表 )
年 份 社会商品零售额 (亿元 )一季度 二季度 三季度 四季度
1
2
3
4
5
6
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
合计 456.5 644.3 582.4 439.8 2123.0
同季平均 76.08 107.38 97.07 73.30 88.46
季节比率 (%) 86.01 121.39 109.73 82.86 100.00
例,已知某地最近几 年社会商品零售额的数据如下表 。
293.7
324.0
346.0
347.5
388.5
423.3
2123.0
88.46
全年合计
2,趋势剔除法假定,Y=T.S.I
基本思想：先将数列中的趋势予以消除，再计算季节指数,其 步骤：
1,计算长期趋势值 T
—— 常用移动平均值作为 T（ 平均项数 N=季节变动的周期长度,所以平均值中不含 S,I）
—— 也可用方程拟合法计算长期趋势值 。
趋势剔除法（续）
2,从原数列中剔除趋势值,得季节变动和不规则变动相对数 ——Y/T=S.I
3,消除不规则变动 I,得季节比率 S——
S=各年同期的 （ S.I） 的平均 。
4,调整季节比率,使季节比率的平均 =1。
否则,计算一个调整系数 （ =1/季节比率的平均数 ）,各期的季节比率乘以该调整系数,
即得调整后的季节比率 。
趋势 _循环剔除法
假定,Y=T.S.C.I
计算长期趋势值 TC
常用移动平均值作为 TC（ 平均项数 N=季节变动的周期长度,
所以平均值中不含 S,I,只含 TC ）
从原数列中剔除趋势 -循环值,得季节变动和不规则变动相对数 ——Y/T=S.I
消除不规则变动 I,得季节比率 S——
S=各年同期的 （ S.I） 的平均 。
调整季节比率,使季节比率的平均 =1
(续前例,趋势剔除法 计算表 )
先计算四项移动平均值，再求得下表的趋势剔除值（单位,%）
年 份销售额的趋势剔除值一季度 二季度 三季度 四季度 全年合 计
1
2
3
4
5
6
—
90.91
87.42
87.63
91.07
84.94
—
118.51
122.85
122.26
122.42
125.65
106.12
108.71
111.27
108.70
110.29
—
83.59
82.57
78.97
77.11
79.08
—
合计 441.98 611.70 545.09 401.33 2000.10
同季平均 88.40 122.34 109.02 80.27 100.005
季节比率 88.39 122.33 109.01 80.26 100.00
第四节 循环变动分析
（一）研究循环周期的目的、意义
（二）循环周期的测定方法
（一）研究循环变动的目的和意义循环变动 —— 人口周期,产品寿命周期,经济周期 （ 经济危机 ） … 等,就属于一种循环变动 。
探索现象循环周期的变动规律性；
预测周期变动的影响,作好应对准备 …
补充,循环周期的类型
1,按经济活动的绝对水平是否下降，循环周期可分为古典型周期和增长型周期。
古典型周期 ——指绝对水平上表现出涨落 （ 峰谷 ）
相间或扩张与紧缩相交替的波动 。
增长型周期 ——在经济活动的绝对水平上不一定下降,但增长率上有明显的涨落 （ 峰谷 ） 相间或扩张与紧缩相交替的波动 。
2,按周期持续时间长短的不同,循环周期可分为：
短周期
中周期
中长周期
长周期几种类型
（二）循环变动的 测定方法
1,分解法 （ 剩余法 ）
测定古典型周期；
具体计算步骤为：
先消去季节变动,求得无季节性资料 （ TCI） ；
再剔除趋势值 T,求得循环及不规则波动相对数 （
C.I）
将结果进行移动平均 ( MA ),以消除不规则波动,
即得循环波动值,C = MA ( C,I )
2,增长率法
测定增长型周期；
指数 =环比发展速度 （ 对于年度数据 ）
or,=年距发展速度 （ 月度,季度数据 ）
简便易行,能比较直观的反映现象增长率的波动特点 。
但 由于其对比基础为上年或上年同期的数值,容易受随机波动的影响,难以真实反映出循环波动的峰谷等特征 。
（一）研究长期趋势的目的和意义
（二）测定长期趋势的基本方法
1.移动平均法
2.方程拟合法
（一）研究长期趋势的目的和意义
1,认识和掌握现象随时间演变的 趋势和规律,为制定 相关政策 和进行 管理 提供依据；
2,通过对现象过去变动规律的认识,对事物的未来发展趋势做出 预计和推测 ；
3,测定出趋势因素后,便于从原时间数列中 剔除趋势因素,更好地分解,研究其他因素 。
（二）测定长期趋势的基本方法 ——
1,移动平均法 (Moving Average Method)
⑴基本原理：
移动平均，是选择一定的平均项数（常用 N 表示），采用 逐项递移 的方法对原时间数列计算一系列 序时平均值 ；
这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。
移动平均法 (实例 )
表 5- 6 1981-1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
【 例 】 已知 1981～
1998年我汽车产量数据如表 4 -6。 分别计算三年和五年移动平均趋势值,
以及三项和五项移动中位数,并作图与原序列比较
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
---
20.39
25.08
33.11
37.45
42.63
49.54
56.67
58.07
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
60.39
76.50
102.65
124.4
137.27
143.16
150.35
156.26
---
移动平均趋势值 年 份产量
（万辆）
移动平均趋势值年 份产量
（万辆）
表 5- 7 汽车产量三项移动趋势值移动平均法 (实例 )
移动平均法
(趋势图 )
0
50
100
150
200
1981 1985 1989 1993 1997
产量三项移动平均趋势值三项移动中位数汽车产量
（万辆）
图 5-1 汽车产量移动平均趋势图
（年份）
⑵ 特点 (应注意的问题 )
1,移动平均对数列具有平滑修匀作用,平均项数（ N） 越大,对数列的平滑修匀作用越强；
2,移动平均的数值应放在所平均时间的中间位置；
当 N 为奇数,只需一次移动平均；
当 N为偶数,需再进行二项移动平均即移正平均（ 或中心化 ） ；
[例 ] 原数列 移动平均（步长 N=4） 移正平均
5
4
3
2
1
a
a
a
a
a
4 43211 aaaaa
4 54322
aaaaa
2
211 aaa
(续 )
3.移动间隔的长度应长短适中
若数列包含周期性变动,为了消除周期变动而只反映 T,应以周期长度作为移动间隔的长度,即：
N=周期长度
若是季度资料,应采用 4项移动平均
若为月份资料,应采用 12项移动平均
（续）
4,新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。
N越大，缺项越多。
N为奇数时，新数列首尾各少（ N-1） /2项；
N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少
N/2 项。
（续）
5,移动平均法可以呈现出现象的长期趋势,但本身不能进行外推预测 。 只有当 T为水平趋势时,
才可用移动平均值作为最近一期的预测值 。
2,趋势方程拟合法
——利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示数列长期趋势的一种方法。
在只包含 T,I中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。
趋势方程的选择
1,定性分析,利用有关理论知识,结合现象变化的性质特点进行判断；
2,绘制观测值散点图或折线图,这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型,是最常用也是比较有效的一种方法 。
3,根据数列的数据特征加以判断,常用的判断方法有：
若数列各项数据的 K次差 （ K级增长量 ） 大致为一常数,可相应的对该数列拟合 K次曲线；若数列的环比发展速度大致为一常数,可对该数列拟合指数曲线 。
⑴ 直线趋势方程
① 判别,逐期增量大致相同（数值分析、散点图等）。
[ 例 ] 某厂有关产量资料如下表所示年份 时间代码 t 产量 y
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1
2
3
4
5
6
7
12.4
13.8
15.7
17.6
19.0
20.8
22.7
例 某厂有关产量资料如下表所示时间代码 Y
t
Y
t? 1
—
1.4
1.9
1.9
1.4
1.8
1.9
( ) 0yy
直线方程,
tbay c
2()tQ y y
最小值 2)( btay
t
y
B、附带条件
C、由基本条件可知 Q是 a,b的非负二次函数
② 拟合原理
),( 11 yt
,,00 最小值时若 Qbbaa
.0/,/ 00 bQaQ则
$yt=a+bt? 趋势线（方程）
$yt,（长期） 趋势值、预测（估计）值
t：时间代码 y：真实值。
2?( ) m i nyy
A、基本条件
0))((2
0)1)((2
tbtay
b
Q
btay
a
Q
2tbtaty
tbnay
最小值 2)( btayQ
解得,
tbYa
ttn
YttYn
b
22
计算得：
a=10.55,b=1.72?
yc=a+bt=10.55+1.72t
a：第 0期（ 1989年）的趋势值（最初水平）；
b,年 平均增长量。
年份 t 产量 y 逐期增量 ty t
2
y? y
c
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1
2
3
4
5
6
7
12.4
13.8
15.7
17.6
19.0
20.8
22.7
—
1.4
1.9
1.9
1.4
1.8
1.9
12.4
27.6
47.1
70.4
95
124.8
158.9
1
4
9
16
25
36
49
0.13
-0.19
-0.01
0.17
-0.15
-0.07
0.11
合计 28 122 536.2 140 -0.01
⑵非线性方程（曲线）
①抛物线型
1,现象的发展趋势为抛物线形态
2,一般形式为
a,b,c 为未知常数
根据最小二乘法求得
2?
tY a b t c t
多元回归最小二乘法
2,取时间序列的中间时期为原点时有
4322
32
2
tctbtaYt
tctbtatY
tctbnaY
422
2
2
tctaYt
tbtY
tcnaY
1,根据最小二乘法得到求解 a,b,c 的标准方程为抛物线 (实例 )
【 例 】 已知我国
1978～ 1992年针织内衣零售量数据如表 11-9。 试配合抛物线,计算出 1978～ 1992
年零售量的趋势值,并预测 1993
年的零售量,作图与原序列比较表 5- 9 1978-1992年针织内衣零售量年 份 零售量 (亿件 ) 年 份 零售量 (亿件 )
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
抛物线 (计算过程 )
表 5-10 针织内衣零售量抛物线计算表年份 时间标号 t 零售量 (亿件 )Y tY t 2 t 2Y t4 趋势值
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
7.0
9.1
9.7
10.8
11.7
12.1
13.1
14.3
14.4
14.8
15.0
12.3
11.2
9.4
8.9
-49.0
-54.6
-48.5
-43.2
-35.1
-24.2
-13.1
0
14.4
29.6
45.0
49.2
56.0
56.4
62.3
49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
343.0
327.6
242.5
172.8
105.3
48.4
13.1
0
14.4
59.2
135.0
196.8
280.0
338.4
436.1
2401
1296
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
1296
2401
6.5
8.4
10.0
11.3
12.3
13.2
13.7
14.0
14.0
13.8
13.3
12.6
11.6
10.3
8.8
合计 0 173.8 45.2 280 2712.6 9352 173.8
抛物线
（计算结果）
根据计算表得 a,b,c 的结果如下针织内衣零售量的二次曲线方程为
$Yt = 13.9924 + 0.16143 t – 0.128878 t2
$Y1993= 13.9924 + 0.16143 × 8 – 0.128878 × 82
= 7.03 ( 亿件 )
1993年零售量的预测值为
1 2 8 8 7 8.0
1 6 1 4 3.0
9 9 2 4.13
9 3 5 22806.2 7 1 2
2802.45
280158.173
c
b
a
ca
b
ca
抛物线
(趋势图 )
0
4
8
12
16
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
零售量趋势值零售量
（亿件）
图 5-3 针织内衣零售量二次曲线趋势
（年份）
1,用于描述以几何级数递增或递减的现象
2,一般形式为
② 指数曲线型
(Exponential curve)
a,b为未知常数
若 b>1,增长率随着时间 t的增加而增加
若 b<1,增长率随着时间 t的增加而降低
若 a>0,b<1,趋势值逐渐降低到以 0为极限
ttY ab?
指数曲线
(a,b 的求解方法 )
3,取时间序列的中间时期为原点,上式可化简为
2lglglg
lglglg
tbtaYt
tbanY
2lglg
lglg
tbYt
anY
1,采取,线性化,手段将其化为对数直线形式
2,根据最小二乘法,得到求解 lga,lgb 的标准方程为指数曲线
(实例 )
【 例 】 根据表 4-
6中的资料,确定 1981～ 1998
年我国汽车产量的指数曲线方程,求出各年汽车产量的趋势值,并预测 20 0 0年的汽车产量,作图与原序列比较表 4- 6 1981-1998年我国汽车产量数据年 份 产量 (万辆 ) 年份 产量 (万辆 )
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
17.56
19.63
23.98
31.64
43.72
36.98
47.18
64.47
58.35
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
51.40
71.42
106.67
129.85
136.69
145.27
147.52
158.25
163.00
计算结果
1 4 6 9 8.1
2 8 0 5.17
lg2 1 0 9lg1712 2 3 2 8 6.337
lg171lg184 5 9 8 9 6.32
b
a
ba
ba
汽车产量的指数曲线方程为
2000年汽车产量的预测值为
ttY )14698.1(2805.17
（万辆）33.268)14698.1(2805.17? 202000Y
指数曲线
(趋势图 )
0
50
100
150
200
250
1981 1985 1989 1993 1997
汽车产量趋势值图 5-4 汽车产量指数曲线趋势 （年份）
汽车产量
（万辆）
第三节 季节变动分析
1,季节变动
现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动；
各年变化强度大体相同,且每年重现；
扩展概念：对一年内由于社会,政治,经济,自然因素影响,形成的以一定时期为周期的有规则的重复变动；
时间序列的又一个主要构成要素 。
2,测定目的
确定现象过去的季节变化规律,帮助决策
对未来现象季节变动作出预测
消除时间序列中的季节因素二,测定 季节变动的 基本方法
—— 1,原资料平均法
⑴ 假定,Y=a.S.I 即假定时间数列为水平趋势 （ T=a,为常数 ） 且无循环波动 。
⑵ 根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素,计算 季节比率 S
（ 或称为 指数季节 ） 。 也可称为同期平均法 。
原资料平均法计算季节比率的 步骤：
1.计算 同期平均数 =各年（或各季节周期）第期数据的平均；相当于
%100%100)( yyS ii 总平均数同期平均数季节比率
iy
i iiy a S
2.计算全部数据的 总平均数 （ 相当于 a）；
3.计算各期（季节）的 季节比率,
y
1
100%/L iii
i i
yyS L o r S
y y L?
(季节比率 计算表 )
年 份 社会商品零售额 (亿元 )一季度 二季度 三季度 四季度
1
2
3
4
5
6
62.6
71.5
74.8
75.9
85.2
86.5
88.0
95.3
106.3
106.0
117.6
131.1
79.1
88.5
96.4
95.7
107.3
115.4
64.0
68.7
68.5
69.9
78.4
90.3
合计 456.5 644.3 582.4 439.8 2123.0
同季平均 76.08 107.38 97.07 73.30 88.46
季节比率 (%) 86.01 121.39 109.73 82.86 100.00
例,已知某地最近几 年社会商品零售额的数据如下表 。
293.7
324.0
346.0
347.5
388.5
423.3
2123.0
88.46
全年合计
2,趋势剔除法假定,Y=T.S.I
基本思想：先将数列中的趋势予以消除，再计算季节指数,其 步骤：
1,计算长期趋势值 T
—— 常用移动平均值作为 T（ 平均项数 N=季节变动的周期长度,所以平均值中不含 S,I）
—— 也可用方程拟合法计算长期趋势值 。
趋势剔除法（续）
2,从原数列中剔除趋势值,得季节变动和不规则变动相对数 ——Y/T=S.I
3,消除不规则变动 I,得季节比率 S——
S=各年同期的 （ S.I） 的平均 。
4,调整季节比率,使季节比率的平均 =1。
否则,计算一个调整系数 （ =1/季节比率的平均数 ）,各期的季节比率乘以该调整系数,
即得调整后的季节比率 。
趋势 _循环剔除法
假定,Y=T.S.C.I
计算长期趋势值 TC
常用移动平均值作为 TC（ 平均项数 N=季节变动的周期长度,
所以平均值中不含 S,I,只含 TC ）
从原数列中剔除趋势 -循环值,得季节变动和不规则变动相对数 ——Y/T=S.I
消除不规则变动 I,得季节比率 S——
S=各年同期的 （ S.I） 的平均 。
调整季节比率,使季节比率的平均 =1
(续前例,趋势剔除法 计算表 )
先计算四项移动平均值，再求得下表的趋势剔除值（单位,%）
年 份销售额的趋势剔除值一季度 二季度 三季度 四季度 全年合 计
1
2
3
4
5
6
—
90.91
87.42
87.63
91.07
84.94
—
118.51
122.85
122.26
122.42
125.65
106.12
108.71
111.27
108.70
110.29
—
83.59
82.57
78.97
77.11
79.08
—
合计 441.98 611.70 545.09 401.33 2000.10
同季平均 88.40 122.34 109.02 80.27 100.005
季节比率 88.39 122.33 109.01 80.26 100.00
第四节 循环变动分析
（一）研究循环周期的目的、意义
（二）循环周期的测定方法
（一）研究循环变动的目的和意义循环变动 —— 人口周期,产品寿命周期,经济周期 （ 经济危机 ） … 等,就属于一种循环变动 。
探索现象循环周期的变动规律性；
预测周期变动的影响,作好应对准备 …
补充,循环周期的类型
1,按经济活动的绝对水平是否下降，循环周期可分为古典型周期和增长型周期。
古典型周期 ——指绝对水平上表现出涨落 （ 峰谷 ）
相间或扩张与紧缩相交替的波动 。
增长型周期 ——在经济活动的绝对水平上不一定下降,但增长率上有明显的涨落 （ 峰谷 ） 相间或扩张与紧缩相交替的波动 。
2,按周期持续时间长短的不同,循环周期可分为：
短周期
中周期
中长周期
长周期几种类型
（二）循环变动的 测定方法
1,分解法 （ 剩余法 ）
测定古典型周期；
具体计算步骤为：
先消去季节变动,求得无季节性资料 （ TCI） ；
再剔除趋势值 T,求得循环及不规则波动相对数 （
C.I）
将结果进行移动平均 ( MA ),以消除不规则波动,
即得循环波动值,C = MA ( C,I )
2,增长率法
测定增长型周期；
指数 =环比发展速度 （ 对于年度数据 ）
or,=年距发展速度 （ 月度,季度数据 ）
简便易行,能比较直观的反映现象增长率的波动特点 。
但 由于其对比基础为上年或上年同期的数值,容易受随机波动的影响,难以真实反映出循环波动的峰谷等特征 。
