ch7-68
§ 7.3 区间估计引例 已知 X ~ N (?,1),
不同样本算得的? 的估计值不同，
因此除了给出? 的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个 随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求,
的无偏、有效点估计为 X
随机变量常数
ch7-69
如引例中，要找一个区间,使其包含? 的真值的概率为 0.95,( 设 n = 5 )
5
1
,~?NX1,0~
5
1
N
X
取 05.0
查表得 96.12/z
ch7-70
这说明即称随机区间为未知参数? 的置信度为 0.95的置信区间,
95.05196.15196.1 XXP?
05.096.1
5
1
X
P
5196.1,5196.1 XX
ch7-71
反复抽取容量为 5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数
的真值,而包含真值的区间占 95%.
置信区间的意义若测得 一组样本值,
它可能包含 也可能不包含?的真值,反复则得一区间 (1.86 – 0.877,1.86 + 0.877)
抽样得到的区间中有 95%包含?的真值,
86.1?x算得
ch7-72
)51,51(
22
zXzX
当置信区间为 时区间的长度为
512 2?z
—— 达到最短
2/?z为何要取
ch7-73
97.3
)13.2(84.1
33
2 1


zz
92.3
)96.1(96.1
22
1


zz
-2 -1 1 2
0,1
0,2
0,3
0,4
3
2?z31z
-2 -1 1 2
0,1
0,2
0,3
0,4
2
z21z
取? = 0.05
ch7-74
设? 为待估参数,? 是一给定的数,
( 0<?<1),若能找到统计量
21,TT
,使
1)( 21 TTP
则称 ],[
21 TT 为? 的置信水平为 1 -? 的置信区间或区间估计,
置信下限置信上限置信区间的定义
1T
2T
ch7-75
反映了估计的可靠度,? 越小,越可靠,
置信区间的长度 反映了估计精度12 TT?
越小,1-? 越大,估计的可靠度越高,但
确定后,置信区间 的选取方法不唯一,
常选最小的一个,
几点说明越小,估计精度越高,12 TT?
这时,往往增大,因而估计精度降低,12 TT?
ch7-76
求参数置信区间保 证可靠性先提 高精 度再处理,可靠性与精度关系,的原则
ch7-77
寻找一个样本的函数
),,,,( 2?nx XXXg?
它含有待估参数,不含其它未知参数,
它的分布已知,且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ).
)5/1,(?NX ～
5/1
),,,,( 21
X
XXXg n?
例如求置信区间的步骤
— 称为 枢轴量
)1,0(~ N
取枢轴量
ch7-78
给定置信度 1,定出常数 a,b,使得
1)),,,(( 21 bXXXgaP n?
( 引例中 )96.1,96.1 ba
由 bXXXga
n ),,,( 21
解出得置信区间 ),(
21 TT
引例中
)5196.1,5196.1(),( 21 XXTT
21 TT
ch7-79
(一 ) 一个正态总体 X ~N (2)的情形置信区间常用公式
(1) 方差? 2已知,?的置信区间
)1(),(
22

n
zX
n
zX


推导
)1,0(~),,,,( 21 N
n
X
XXXg n

),(~
2
n
NX
由 选取枢轴量
ch7-80
由 确定

2
z
n
X
P
2
z
),( 00
22 n
zX
n
zX
解
2
z
n
X
得? 的置信度为 的置信区间为1
ch7-81
(2) 方差? 2未知,?的置信区间
)1(~?
nT
n
S
X
T
由?


)1(
2
nt
n
S
X
P 确定
)1(
2
nt
故? 的置信区间为?


n
SntX
n
SntX )1(,)1(
22

推导 选取枢轴量
)2()1(,)1(
22



n
SntX
n
SntX

ch7-82
(3) 当? 已知时,方差? 2 的 置信区间
)3(
)(
)(
,
)(
)(
2
1
1
2
2
1
2
22




n
X
n
X
n
i
i
n
i
i

)(~ 2
1
2
nXQ
n
i
i?


取枢轴量,
得? 2 的 置信度为 置信区间为1


1)(
)(
)(
2
2
1
2
2
1
22
n
X
nP
n
i
i
由概率
ch7-83
(4) 当? 未知时,方差? 2 的置信区间
-2 2 4 6 8 10
0,0 2 5
0,0 5
0,0 7 5
0,1
0,1 2 5
0,1 5
2
)1(~)1( 22
2
nSnK选取得? 2 的置信区间为
)4(
)1(
)1(
,
)1(
)1(
2
1
2
2
2
22

n
Sn
n
Sn

2
2
2?
2
1 2
1))1(( 22
2
2
1 22
SnP
则由
ch7-84
例 1 某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从解 (1) )6/06.0,(~?NX )01.0,(?N即
)1,0(~
1.0
NX 96.10 2 5.0
2
zz?
正态分布 N( 2),现从某天的产品中随机
(1) 若? 2=0.06,求? 的置信区间
(2) 若? 2未知,求? 的置信区间
(3) 求方差? 2的置信区间,
抽取 6 件,测得直径为
15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1
置信度均为 0.95
ch7-85
由给定数据算得 95.14
6
1 6
1

i
ixx
由公式 (1) 得? 的置信区间为
)15.15,75.14(
)1.096.195.14,1.096.195.14(

(2) 取 )5(~
6
t
S
X
T

5 7 0 6.2)5(0 2 5.0?t查表由给定数据算得 95.14?x
226.0.051.0)6(
5
1 26
1
22
sxxs
i
i
ch7-86
)187.15,71.14(
))5(
6
),5(
6
( 025.0025.0
t
s
xt
s
x
由公式 (4) 得? 2 的置信区间为
(3) 选取枢轴量 )5(~5 2
2
2
SK?
8 3 1.0)5(,8 3 3.12)5( 20 9 7 52 025.0
)3 0 6 9.0,0 1 9 9.0()
)5(
5,
)5(
5(
2
975.0
2
2
025.0
2

ss
查表得
.051.02?s
由公式 (2) 得? 的置信区间为
ch7-87
),,,( 21 nXXX? 为取自总体 N (?1 1
2 ) 的样本,
),,,( 21 mYYY? 为取自总体 N (?2 2
2 ) 的样本,
置信度为 1
2221,;,SYSX 分别表示两样本的均值与方差
(二 ) 两个正态总体的情形
ch7-88
),(~),,(~
2
2
2
2
1
1 mNYnNX
YX,相互独立,
21 的置信区间为
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
mn
YX


(1) 2
221, 已知,的置信区间21

mn
zYX
mn
zYX
2
2
2
1
2
2
2
1
22
)(,)(


)5(
ch7-89
)1,0(~
11
)()(
),(~
21
22
21
N
mn
YX
mn
NYX





)1(~)1( 22
2
1 nSn?
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21



mnt
mn
SmSn
mn
YX
2221, 22
221
(2) 未知 ( 但 ) 的置信区间21
)2(~)1()1( 22
2
2
2
2
1 mnSmSn?

)1(~)1( 22
2
2 mSm?
ch7-90
21 的置信区间为





1
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
2
1
21
t
mn
SmSn
mn
YX
P



2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2 mn
SmSn
mn
tYX?
)6(
ch7-91
YX,相互独立,

m
S
n
S
zYX
2
2
2
1
2
)(?
)1,0(~
)()(
2
2
2
1
21 N
m
S
n
S
YX

2221,(3) 未知,n,m > 50,的置信区间21
21
的置信区间为因此
m
S
n
S
mn
2
2
2
1
2
2
2
1
)7(
ch7-92
令 Zi = Xi -Yi,i = 1,2,…,n,可以将它们看成来自正态总体 Z ~ N (? 1 2,? 12 +? 22) 的样本仿单个 正态总体 公式 (2) 的置信区间为21


n
i
iiZ YXYXnS
1
22 )()(
1
1
2221,(4) 未知,但 n = m,的置信区间21

n
S
ntYX Z)1()(
2
)8(
,YXZ
ch7-93
取枢轴量
(5) 方差比 2
2
2
1
的置信区间 (?
1,?2 未知 )
)1,1(~
/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
mnF
S
S
S
S
F

因此,方差比 2
2
2
1
的置信区间为

)1,1(
1
,
)1,1(
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
mnFS
S
mnFS
S

)9(
ch7-94
取枢轴量 ),(~
)(
)(
)(
1
)(
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
Y
m
X
n
F
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i
(6) 方差比 2
2
2
1
的置信区间 (?
1,?2 已 知 )
ch7-95
因此,方差比
2
2
2
1
的置信区间为
),(
)(
)(
,
),(
)(
)(
22
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
mnF
Y
X
n
m
mnF
Y
X
n
m
m
j
j
n
i
i
m
j
j
n
i
i

)10(?
ch7-96
例 2 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱,现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为 13与 17的两个相互独立的样本
1321,,,XXX? 1721,,,YYY?
与已知
22
2
22
1 7.4,4.2
,5.9,6.10
gsgs
gygx


假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为? 1与? 2
ch7-97
(1) 若它们的方差相同,,22221求均值
(2) 若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为 0.95 的置信区间
21
的置信度为 0.95 的置信区间 ;差
ch7-98
)2(~
2
)1()1(11
)()(
2
2
2
1
21



mnt
mn
SmSn
mn
YX
解查表得 0484.2)28(
025.0?t
21
由公式 (6) 的置信区间为
)5 5 45.2,3 5 45.0(
2
)1()1(11
)(
2
2
2
1
2




mn
SmSn
mn
tYX?
(1) 取枢轴量
ch7-99
(2) 枢轴量为 )16,12(~/
/
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1 F
S
S
S
S
F


查表得
16.3
1
)12,16(
1
)16,12(
89.2)16,12(
025.0
975.0
025.0

F
F
F
2
2
2
1
由公式 (9)得方差比 的置信区间为
)6 1 3 6.1,1 7 6 7.0(
)1,1(
1
,
)1,1(
1
975.0
2
2
2
1
025.0
2
2
2
1
mnFS
S
mnFS
S
ch7-100
利用数学软件包求正态总体未知参数的置信区间的例题可见第十章 § 10.2 ( P.318)
ch7-101
(三 ) 单侧置信区间定义 对于给定的? (0 <? < 1),? 是待估参数
),,,( 21 nXXX? 是总体 X 的样本,
若能确定 一个统计量
),,,( 21 nXXX
使得 )1)((1)( PP 或则称 (,) ( (,) )或为置信度为 1 -? 的单侧置信区间,
)),,,( 21 nXXX或（
单侧置信下限? 单侧置信上限
ch7-102
例 3 已知灯泡寿命 X 服从正态分布,从中随机抽取 5 只作寿命试验,测得寿命为
1050,1100,1120,1250,1280 (小时 )
求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限,
解 22,,),(~NX 未知
.9950)5(
4
1 5
1
22
xxs
i
i
取,05.0
,1 1 6 0,5 xn
ch7-103
(1) 选取枢轴量 )4(~ t
n
S
X
1318.205.0 tt?
9.1064
505.0
stx?
(2) 选取枢轴量 )4(~)1( 2
2
2
Sn?
711.0)4(2 95.0
5 5 9 7 7
)4(
4
2
95.0
2
2
s
ch7-104
若总体 X 的分布未知,但样本容量很大,
由中心极限定理,可近似地视 ),(~
2
nNX

若?2已知,则?的置信度为 1 -? 的置信区间可取为
n
zX
2
若?2未知,则?的置信度为 1 -? 的置信区间可取为
n
S
tX
2

(四 ) 非正态总体均值的区间估计
ch7-105
例 4 设 X 服从参数为 p 的 0-1分布,样本为求 p 的置信度为 1 的置信区间解 ),(~
1
pnBX
n
i
i?

1)
)1(
)(
(
22
z
pp
pXn
zP
nXXX,,,21?
( n > 50 ).
)1,0(~
)1(
)( N
pp
pXn
(近似 )
2
2
2)1(
)(0
zpp
pXn?

0)2()( 2222
22
XnpzXnpzn
令 222 ),2(),( 22 XnczXnbzna
ch7-106
a
acbbp
a
acbbp
2
4,
2
4 2
2
2
1

所以参数 p 的置信区间为 ( p1,p2 )
例如 自一大批产品中抽取 100个样品,其中有
60个一级品,求这批产品的一级品率 p 的置信度为 0.95的置信区间,
366.01 0 0 2c
p 的置信区间为 )69.0,50.0(),( 21?pp
96.1,05.0,6.0,100 025.0 zxn?
84.1 0 396.11 0 0 2a
84.123)96.16.01002( 2b
ch7-107
作业 P.232 习题七
22 23
29 30
32