Ch4-48
引例 甲、乙两射手各打了 6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：
甲 10,7,9,8,10,6,
乙 8,7,10,9,8,8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.3
§ 4.2 方差有五个不同数有四个不同数
Ch4-49
再比较稳定程度
34.13)3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2
22
222


甲,
乙,
34.5)3.87(
)3.88(3)3.89()3.810(
2
222


乙比甲技术稳定，故乙技术较好,
Ch4-50进一步比较平均偏离平均值的程度甲
])3.86()3.87(
)3.88()3.89()3.810(2[
6
1
22
222


乙
])3.87()3.88(3
)3.89()3.810[(
6
1
22
22


22.26/34.13
89.06/34.5

5
1
2)(
k
kk pXEx

4
1
2)(
k
kk pXEx
E [X - E(X)]2
Ch4-51
若 E [X - E(X)]2 存在,则称其为随机称 )( XD 为 X 的 均方差 或 标准差,
方差概念定义即 D (X ) = E [X - E(X)]2
变量 X 的 方差,记为 D (X ) 或 Var (X )
两者量纲相同
D(X ) —— 描述 r.v,X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 —— 数
Ch4-52
,2,1,)( kpxXP kk
若 X 为离散型 r.v.,分布律为



1
2)()(
k
kk pXExXD
若 X 为连续型 r.v.,概率密度为 f (x)
dxxfXExXD )()()( 2


计算方差的常用公式：
)()()( 22 XEXEXD
Ch4-53
D (C) = 0
D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a
2D(X)
))())(((2
)()()(
YEYXEXE
YDXDYXD


特别地，若 X,Y 相互独立，则
)()()( YDXDYXD
方差的性质
Ch4-54
若
nXX,,1?
相互独立,baaa n,,,,21?为常数则



n
i
ii
n
i
ii XDabXaD
1
2
1
)(
若 X,Y 相互独立 )()()( YDXDYXD
)()()( YEXEXYE?
对任意常数 C,D (X )? E(X – C)2,
当且仅当 C = E(X )时等号成立
D (X ) = 0 P (X = E(X))=1
称为 X 依概率 1 等于常数 E(X)
Ch4-61
常见随机变量的方差 (P.159 )
分布 方差概率分布参数为 p 的
0-1分布 pXP
pXP


1)0(
)1(
p(1-p)
B(n,p) nk
ppCkXP knkkn
,,2,1,0
)1()(


np(1-p)
P(?)
,2,1,0
!
)(

k
k
e
kXP
k
Ch4-62
分布 方差概率密度区间 (a,b)上的均匀分布


其它,0
,,
1
)(
bxa
abxf
12
)( 2ab?
E(?)

其它,0
,0,
)(
xe
xf
x
2
1
N(?,? 2)
2
2
2
)(
2
1)(


x
exf 2?
Ch4-63
例 4 已知 X,Y 相互独立,且都服从
N (0,0.5),求 E( | X – Y | ).
解 )5.0,0(~),5.0,0(~ NYNX
1)(,0)( YXDYXE
故 )1,0(~ NYX?
dzezYXE
z
2
2
2
1|||)(|



2
2
2 2
0
2


dzez
z
Ch4-64
例 5 设 X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止所需射击的次数,已知每次射击中靶的概率为 p,求 E(X ),D(X ).
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中目标所需射击的次数,i = 1,2,…,n
1
,2,1,)( 1


qp
kpqkXP ki?




1
1
1
1)(
k
k
k
k
i kqpkp qXE pqp
1
)1(
1
2
nXXX,,,21?相互独立，且
n
i
iXX
1
Ch4-65



1
1
1
12 )1()(
k
k
k
k
i kp qpqkkXE
p
qkkpq
k
k 1)1(
2
2

p
x
dx
dpq
qxk
k 1
0
2
2



px
pq
qx
1
)1(
2
3
2
2
p
p
222
112)(
p
p
pp
pXD
i

Ch4-66
p
nXEXE n
i
i
1
)()(故
2
1
)1(
)()(
p
pn
XDXD
n
i
i

本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差
Ch4-67
例 6 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机地放入编号分别为 1 ~ n 的 n 只盒子中,
每盒一 球,若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对,求配对个数 X 的期望与方差,
解 ni
ii
X i,,2,1
,0
,1


其它号盒号球放入则?
n
i
iXX
1
nXXX,,,21?不相互独立，但
Ch4-68
11)()(
1

n
nXEXE
n
i
i2
1
2 )(?

n
i
iXEXE
iX
P
1 0
n
1
n
11? ni,,2,1


n
nji
ji
n
i
i XXXE
11
2 2



n
nji
ji
n
i
i XXEXE
11
2 )(2)(
Ch4-69
2iX
P
1 0
n
1
n
11?
ni,,2,1
nji,,2,1,
ji XX
P
1 0
)1(
1
nn )1(
11
nn
nXE i
1)( 2?
)1(
1)(
nnXXE ji
Ch4-70


n
nji
ji
n
i
i XXEXEXE
11
22 )(2)()(



n
nji
n
i nnn 11 )1(
1
2
1
)1(
1
2
1 2

nn
C
n
n n
2?
1)()()( 22 XEXEXD
Ch4-71
标准化随机变量设随机变量 X 的期望 E(X ),方差 D(X )
都存在,且 D(X )? 0,则称
)(
)(
XD
XEX
X

为 X 的标准化随机变量,显然，
1)(,0)( XDXE
Ch4-72
仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布
X
P
-1 0 1
0.1 0.8 0.1
Y
P
-2 0 2
0.025 0.95 0.025
与 2.0)(,0)( XDXE
2.0)(,0)( YDYE
有相同的期望方差但是分布却不相同例如
Ch4-73
例 7 已知 X 服从正态分布,E(X ) = 1.7,
D(X ) = 3,Y =1 – 2 X,求 Y 的密度函数,
解
1234)(
,4.27.121)(


YD
YE

yeyf
y
Y,
62
1
)( 24
)4.2( 2
在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布,
Ch4-74
作业 P.170 习题三
9 11 16
17 19 21
Ch4-75
附例 在 [0,1] 中随机地取两个数 X,Y,
求 D (min{ X,Y })
解

其它,0
10,10,1
),(
yx
yxf
1
1
0



10
10
},m in {
y
x
d x d yyx
.3/1?
dydxydxdyx
yx
1
0
11
0
1
}),( m in { YXE
Ch4-76
dydxydxdyx
YXE
yx

1
0
1 21
0
1 2
2 }),{( m in
.6/1?
},m in {},{m in
}),( m in {
22 YXEYXE
YXD

.18/1?
Ch4-77
例 8 已知 X 的 d.f.为

其它,0
,10,
)(
2 xBxAx
xf
其中 A,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.
(1) 求 A,B.
(1) 设 Y = X 2,求 E (Y ),D (Y )
Ch4-78
解 (1)
1)()( 1
0
2

dxBxAxdxxf
2
1)()( 1
0
2

dxBxAxxdxxxf
2
1
34
1
23


BA
BA
6
,6

B
A
Ch4-79
(2)
.10/3)66(
1
0
22 dxxxx
.7/1)66(
1
0
24 dxxxx
.
7 0 0
37
)()()( 22 YEYEYD


dxxfxXEYE )()()( 22


dxxfxXEYE )()()( 442